姜希堯

（上海工藝美術職業(yè)學院，上海 201808）

1 引言

信息置亂變換既能夠作為信息加密手段，還能作為隱藏信息的預處理過程。因此，其越來越受到學術界探究的廣泛關注[1]。

數(shù)字影像是利用有限數(shù)字數(shù)值像素來表達二維圖像，運用數(shù)組或矩陣進行描述，光照位置與強度均呈現(xiàn)離散性[2]。數(shù)字影像通過模擬圖像數(shù)字化獲得，將像素當作基礎元素，用數(shù)字計算機或數(shù)字電路保存及處理的圖像。從數(shù)學角度來看，二維矩陣就是一幅數(shù)字圖像，圖像置亂就是把固定的數(shù)字圖像轉變?yōu)橐环s亂無章的圖像，令其表示的信息無法被直觀獲取。

關于圖像置亂問題，郭海儒[3]等人基于像素顏色置亂，提出一種全新加密方法。采用新型增強量子模型表示彩色量子圖像，再通過改進后的量子旋轉門來闡明顏色的量子比特隨機旋轉，讓初始圖像不涵蓋自身信息，達到加密效果。但該方法抗干擾性較差，算法性能穩(wěn)定性不高。屈凌峰[4]等人利用加密前后明文圖像0、1分布比例不變的特性，估計位平面置亂次序，再按照塊置亂和塊內像素置亂維持像素值恒定不變的特征，定義圖像塊均方根特征以查找和估計塊置亂矩陣。但方法置亂過程計算量過大。

針對上述方法的不足，本文提出一種基于Arnold 變換的數(shù)字影像隱私信息置亂方法，在了解Arnold 變換計算過程前提下，使用離散化對其安全性與靈活性進行優(yōu)化，然后對圖像隱私信息的位置與色彩進行置亂處理，獲得高質量置亂加密圖像。

2 置亂方法研究

2.1 Arnold變換計算

Arnold變換又被叫作貓映射，將該變換過程記作：

式中，mod1代表僅擇取小數(shù)部分，所以(xn，yn)的相空間被收斂于單位正方形[0，1]×[0，1]中，將其定義為矩陣模式：

式中，C代表變換矩陣，行列式的值是1。此映射為無吸引子的單一映射，單位正方形中隨機一點僅能變換至單位正方形中的另一點[5]。實際上，貓映射就是混沌映射，其指數(shù)經(jīng)過推算矩陣C的兩個特征值獲得。

因為離散化下的Arnold 變換狀態(tài)空間較為有限，難以擁有優(yōu)秀的混沌特征。但從幾何角度來看，依舊具備Arnold 變換的拉伸與折疊性質，致使鄰近的兩點(i，j)、(i，j+1)通過多次離散變換迭代后無法相鄰，證明Arnold 變換擁有相對的初始值敏感性[6]。使用該性質，能打亂數(shù)字圖像的相鄰像素方位，從圖像內不能得到原始圖像的有關信息，實現(xiàn)隱私信息安全保護。

為增強Arnold變換作用于數(shù)字影像置亂的靈活性與安全性，對變換矩陣C內每個元素進行參數(shù)化，并符合相關收斂條件，得到廣義Arnold變換：

式中，參變量a，b，c，dC，且gcd(ad-bc，N)=1。然后將其變化成等價模式：

式中，l1、l2為整數(shù)。使用求解線性方程組的消元法求解上式，得到廣義Arnold變換的逆向變換解析式：

此外，關于整數(shù)型方程組式(4)，能夠獲得接近傳統(tǒng)克萊姆法則的求解過程為：

利用矩陣計算法，可判斷出逆向變換下的式(5)與式(6)為等價關系，把逆向變化式(5)用在置亂后圖像的迅速修復，比使用周期性修復具有更高的效率。關于二維廣義Arnold變換只適用于兩個變量的平面圖像像素位置置亂的缺陷[7]，使用廣義三維Arnold 變換來填補其不足，將廣義三維Arnold變換過程記作：

式中，矩陣C表示變換矩陣，同時符合如下收斂條件：參變量均為整數(shù)值，且變換矩陣C的行列式滿足式(8)條件。

在符合式(8)的前提下，讓廣義三維Arnold 變換擁有周期性、保面積性與可逆性。對于廣義三維Arnold 變換的一般情況，相關學者設計了比較繁雜的消元法獲得對應的逆向變換結果，但不利于理論研究與真實運用。依舊采用傳統(tǒng)克萊姆法則進行求解[8]，滿足高質量數(shù)字圖像隱私信息保護，計算過程為：

不管是二維廣義Arnold 變換還是高維廣義Arnold 變換，其數(shù)學性質均接近仿射變換，擁有線性密碼學特質，安全性與置亂加密成效還有很大的提升空間，為優(yōu)化Arnold 變換整體效果，對廣義Arnold變換實施優(yōu)化?；煦鐒恿W中，有一類映射被叫作標準映射，將其描述成下式：

式中，k表示正常數(shù)，將式(10)變換成普通形式：

為實現(xiàn)數(shù)字影像像素值大小加密，將式(11)進行離散化，得到：

上述流程和傳統(tǒng)密碼學內的分組密碼Feistel 結構十分相近。為使用離散標準映射來改進廣義Arnold 變換提供了優(yōu)化思路，具體優(yōu)化過程為：將式(3)的廣義Arnold變換轉變?yōu)椋?/p>

式中，f(xn+1)為非線性函數(shù)。此外，為提升Arnold 變換安全性能，對式(13)進行變換，剔除模計算過程，記作：

在上式成立的情況下，對其實施逆向變換：

同理關于式(7)，能夠得到提升其安全性的改進后變換解析式：

2.2 基于Arnold變換的數(shù)字影像隱私信息位置置亂

在了解Arnold變換相關計算過程后，下面對Arnold變換下數(shù)字影像隱私信息位置置亂進行著重研究。對于數(shù)字影像而言，可以把它當作某函數(shù)處于離散網(wǎng)格點的采樣值，這樣就能獲得一個代表圖像的矩陣。將正方形數(shù)字影像位置的離散化Arnold變換描述為：

式中，N表示數(shù)字影像的寬度與高度。

數(shù)字影像內的位移本質上為互相對應點的灰度值或顏色值的位置移動，也就是把原始點(x，y)位置像素對應的灰度值轉移到變換之后的點(x'，y')。倘若對某數(shù)字影像迭代采用離散化Arnold 變換，把左端輸出的(x'，y')T當作下次變換輸入，反復執(zhí)行該操作，迭代若干次后，假如呈現(xiàn)的圖像滿足對其雜亂無章的需求，即完成數(shù)字影像隱私信息位置置亂目標。

值得注意的是，Arnold變換具備周期性，也就是迭代某個步驟之后，會重新獲得初始圖像，為解決這一難題，設定隨機N＞2 情況下，Arnold 變換周期為TN≤N2/2。針對二維平面內的位置變換，可以通過Arnold 變換擴展出一類變換，符合此類位置移動需求。關于式(18)的矩陣，其元素符合ad-bc=1條件的情況下，對平面坐標實施轉換就是一種置亂處理。

2.3 基于Arnold變換的數(shù)字影像隱私信息色彩置亂

把Arnold變換拓展至高維空間，與其對應的變換矩陣是：

式(20)即為一種在N維空間內離散網(wǎng)格點的運動形式。在數(shù)字影像色彩空間中，設計兩類高維Arnold 變換的置亂方法。首先是RGB色彩空間下的置亂方法。將三維空間內的正方體擬定為RGB 色彩空間，且頂點坐落于坐標原點，一般情況下，色彩空間中的顏色分量均為整數(shù)，因此置亂對象為正方體內的離散網(wǎng)格點，將其記作：

針對上面的RGB顏色，采用三維Arnold變換在該網(wǎng)格上實施置亂，實現(xiàn)對數(shù)字影像的顏色置亂效果：

在RGB色彩空間內，假如使用上式進行變換，可以明確其周期為450。但對于數(shù)字影像來說，由于不同影像的色彩搭配各不相等，只能認定該周期為變換的一個臨界值。色彩置亂的另一個難題為：不同位置的相同顏色不能實施置亂，這是由于R、G、B分量值為固定的，通過此種置亂變換后，不同位置點的色彩依舊相同，這樣就恢復了初始圖像的輪廓，對該問題使用下面的置亂方法進行修正。

設定某數(shù)字影像為F，把該影像描述成一個函數(shù)在矩形網(wǎng)格點處的函數(shù)值，即：

將該數(shù)字影像表示成以下矩陣：

以列舉例，隨機挑選數(shù)字影像的某一列Z=(Fi0，F(xiàn)i1，…，F(xiàn)i，N-1)T，使用式(19)的N階拓展Arnold變換矩陣AN采取以下變換過程：

利用式(25)就能獲得一幅色彩置亂圖像，把左端的輸入列放置到初始圖像的對應方位，并迭代重復該過程。

N維空間的拓展Arnold 變換周期計算過程比較繁雜，且因為影像不同的行與列，會出現(xiàn)多種色彩值組合排序，讓初始圖像恢復變得極其困難，惡意攻擊者很難破譯圖像信息。由此看出，使用Arnold 變換時，即便是相同顏色，只要出現(xiàn)于圖像內的不同方位，就能產(chǎn)生全新的色彩，讓圖像變得更為混亂，實現(xiàn)預期需求，填補了傳統(tǒng)RGB色彩空間三維顏色置亂的缺陷。

3 實驗與分析

為驗證基于Arnold變換的數(shù)字影像隱私信息置亂方法的有效性，設計如下實驗。

使用本文方法對512×512 的人像進行仿真實驗，實驗結果如圖1 所示。圖1(a)為初始圖像，圖1(b)是初始圖像通過15 次Arnold 變換后，對其各個2×2 字塊依次采取一次Fermat數(shù)變換后的結果，圖1(c)為還原后的圖像。分析圖1可知，使用本文進行數(shù)字影像置亂后，該圖像雜亂無章，擁有優(yōu)秀的隱私信息安全性，且還原后的圖像清晰度更高。

圖1 本文方法的信息置亂效果圖

表1為在圖像大小不定的情況下，加解密所消耗的時間對比。分析表1 可知，本文方法的時間復雜度很低，證明所提圖像置亂方法的運算速度較快，這是因為本文方法采用了Arnold 變換對所需加密圖像進行置亂處理，并運用矩陣計算法改善圖像修復速率，獲得令人滿意的圖像加密結果。

表1 本文方法加解密速率仿真結果

倘若初始圖像像素點通過置亂變換后，像素點地址無任何改變，將該像素點當作置亂變換的不移動點。不移動點數(shù)量越少，置亂成效越好，保密性越強。表2 為對512×512 的lena 圖像任意挑選的9000 個初值，經(jīng)過Arnold 變換后不移動點的統(tǒng)計結果。分析表2可知，基于Arnold變換的數(shù)字影像隱私信息置亂方法的不移動點數(shù)量僅占據(jù)整幅圖像全部像素點的0．37%～0．46%，證明本文方法擁有優(yōu)秀的置亂效果，實用性強。

表2 圖像置亂不移動點統(tǒng)計結果

4 結束語

針對數(shù)字影像隱私信息安全問題，本研究設計了基于Arnold變換的數(shù)字影像隱私信息置亂方法。該方法擁有計算量少、運行速率快、置亂效果良好等諸多優(yōu)勢。由于在還原圖像塊聚合特征時存在噪聲，因此，在提升置亂效率的同時增強該方法在多樣化應用背景下的適用性是接下來研究的主要內容。