常海斌

(渤海大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 121013)

李 健

(人民教育出版社課程教材研究所 100081)

1 引言

隨著數(shù)學(xué)課程改革的持續(xù)推進(jìn)和創(chuàng)新教育的不斷發(fā)展，傳統(tǒng)的教學(xué)模式已經(jīng)難以滿足社會(huì)對(duì)于創(chuàng)新型人才的需求，數(shù)學(xué)教育急需回應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需要．綜合與實(shí)踐活動(dòng)作為培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的跨學(xué)科實(shí)踐性課程[1]，被視作發(fā)展學(xué)生探究能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的有效途徑．我國(guó)一直高度重視學(xué)生創(chuàng)新能力和探究意識(shí)的培養(yǎng)，并將綜合與實(shí)踐活動(dòng)作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的四大主線之一．然而，綜合與實(shí)踐活動(dòng)在具體設(shè)置過(guò)程中面臨諸多困境，如課程內(nèi)容簡(jiǎn)化、去知識(shí)化、預(yù)設(shè)活動(dòng)方式單一等[2,3]，設(shè)置高質(zhì)量的綜合與實(shí)踐活動(dòng)成為時(shí)下值得關(guān)注的一項(xiàng)重要課題．

教材作為貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)和承載課程理念的物質(zhì)載體，是師生開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)的主要資源．日本是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育強(qiáng)國(guó)，在數(shù)學(xué)教材編寫方面擁有許多值得借鑒的經(jīng)驗(yàn)．日本文部科學(xué)省于2017年頒布了《初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》，并于2021年4月1日開始實(shí)施．東京書籍株式會(huì)社依據(jù)《初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》編寫了《新數(shù)學(xué)》系列教材，教材中的“自由研究活動(dòng)”是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力的重要切入點(diǎn)，展現(xiàn)出初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)的日本樣態(tài)．本文將以日本2021版《新數(shù)學(xué)》教材中的“自由研究活動(dòng)”為研究對(duì)象，并基于該活動(dòng)的主題選擇、活動(dòng)方式、研究報(bào)告三個(gè)方面展開分析，以期為我國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中綜合與實(shí)踐活動(dòng)的設(shè)置提供日本經(jīng)驗(yàn)．

2 自由研究活動(dòng)的主題選擇

在自由研究活動(dòng)的主題選擇方面，《新數(shù)學(xué)》系列教材不僅重視一般性研究活動(dòng)，而且關(guān)注跨學(xué)科研究活動(dòng)．具體而言，在“縱向”的一般性研究活動(dòng)與“橫向”的跨學(xué)科研究活動(dòng)下，可以細(xì)分為七類主題，各主題下屬23個(gè)自由研究活動(dòng)，見表1．

表1 自由研究活動(dòng)的主題選擇與活動(dòng)名稱

2.1 一般性研究活動(dòng)

按照活動(dòng)是否與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)聯(lián)，將一般性研究活動(dòng)劃分為“數(shù)學(xué)內(nèi)部研究”和“數(shù)學(xué)與生活”兩類．

“數(shù)學(xué)內(nèi)部研究”主題下的活動(dòng)主要指基于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容自身，或?qū)?shù)學(xué)課程內(nèi)容進(jìn)一步拓展和加深而形成的探究性活動(dòng)；“數(shù)學(xué)與生活”主題下的活動(dòng)則主要指與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)聯(lián)密切但不涉及其他學(xué)科知識(shí)的探究性活動(dòng)．

在日本初中課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的數(shù)與式、圖形、函數(shù)、數(shù)據(jù)的活用這四個(gè)知識(shí)板塊中[4]，《新數(shù)學(xué)》系列教材共設(shè)置了10個(gè)一般性研究活動(dòng)，其中“數(shù)學(xué)內(nèi)部研究”主題下的研究活動(dòng)8個(gè)，“數(shù)學(xué)與生活”主題下的研究活動(dòng)2個(gè)．例如《如何移動(dòng)圓周角》這一活動(dòng)，該活動(dòng)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓周角定理后，要求學(xué)生利用GeoGebra進(jìn)一步探究圓的性質(zhì)，屬于數(shù)學(xué)內(nèi)部研究活動(dòng)；而函數(shù)版塊中的《瞬時(shí)速度》這一活動(dòng)則以“坐過(guò)山車”為情境，引導(dǎo)學(xué)生利用二次函數(shù)解決生活實(shí)際問(wèn)題，不涉及其他學(xué)科知識(shí)的運(yùn)用，屬于“數(shù)學(xué)與生活”主題下的研究活動(dòng)．

2.2 跨學(xué)科研究活動(dòng)

按照教材中的劃分，所有跨學(xué)科研究活動(dòng)被劃分到“數(shù)學(xué)與歷史”“數(shù)學(xué)與語(yǔ)言”“數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)”“數(shù)學(xué)與美術(shù)”“數(shù)學(xué)與保健體育”五個(gè)類別當(dāng)中．

“數(shù)學(xué)與歷史”主題下的活動(dòng)主要指數(shù)學(xué)史視角下的自由研究活動(dòng)．法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡于1654年首次將二項(xiàng)式系數(shù)表稱為“算法三角形”，并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)研究[5]，該主題下的《帕斯卡三角形》這一活動(dòng)就是以算法三角形為線索，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生從不同方向觀察算法三角形，使學(xué)生探究算法三角形的各行數(shù)列與(a+b)2,(a+b)3展開式中各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系．“數(shù)學(xué)與語(yǔ)言”主要指數(shù)學(xué)與其他語(yǔ)言結(jié)合而成的自由研究活動(dòng)．例如《試著讀盲文》這一活動(dòng)，學(xué)生需要經(jīng)歷歸納推理等活動(dòng)，方可發(fā)現(xiàn)盲文的內(nèi)部特征和認(rèn)知規(guī)律，展現(xiàn)出數(shù)學(xué)與其他語(yǔ)言間的聯(lián)系．“數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)”主要指數(shù)學(xué)與技術(shù)以及數(shù)學(xué)與物理、地理、化學(xué)等自然學(xué)科相結(jié)合而成的自由研究活動(dòng)．例如在解決《思考汽車的死角》這一活動(dòng)中的問(wèn)題時(shí)，就需要運(yùn)用物理學(xué)中的反射角知識(shí)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)間的聯(lián)系．“數(shù)學(xué)與美術(shù)”主要指將藝術(shù)作品作為數(shù)學(xué)的應(yīng)用載體的自由研究活動(dòng)．例如《挑戰(zhàn)埃舍爾》以荷蘭著名畫家埃舍爾的作品為研究對(duì)象，使學(xué)生體會(huì)“平移”“旋轉(zhuǎn)”“對(duì)稱”等變換形式在繪畫中的應(yīng)用．“數(shù)學(xué)與保健體育”主要指與體育及身體保健有關(guān)的自由研究活動(dòng)．《高爾夫球得分的表示方法》就是該主題下的典型案例，該活動(dòng)將高爾夫比賽中高于標(biāo)準(zhǔn)桿的成績(jī)記為正數(shù)、低于標(biāo)準(zhǔn)桿的成績(jī)記為負(fù)數(shù)，學(xué)生以此為線索，進(jìn)行“有理數(shù)加減法”的探究．

整體而言，這五類跨學(xué)科研究活動(dòng)既是對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容自身的鞏固與加深，也是數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的廣泛滲透應(yīng)用的深刻體現(xiàn)，對(duì)于學(xué)生綜合素質(zhì)的提升具有重要意義．

3 自由研究活動(dòng)的活動(dòng)方式

活動(dòng)方式即完成自由研究活動(dòng)所運(yùn)用的方法和手段[6]．通過(guò)對(duì)《新數(shù)學(xué)》系列教材中的23個(gè)自由研究活動(dòng)進(jìn)行分析，對(duì)具有類似特征的活動(dòng)進(jìn)行歸類，可以將教材中預(yù)設(shè)的活動(dòng)方式劃分為數(shù)學(xué)探究型、文獻(xiàn)查閱型、動(dòng)手操作型三類．

3.1 數(shù)學(xué)探究型

數(shù)學(xué)探究型活動(dòng)，主要指需先將研究活動(dòng)抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題(若無(wú)需數(shù)學(xué)抽象，則省略該步驟)，進(jìn)而利用歸納、類比、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法就能直接完成的自由研究活動(dòng)．例如《使用圖表思考》這一自由研究活動(dòng)(圖1)：

圖1

思考下面的問(wèn)題，嘗試創(chuàng)造出新的問(wèn)題，并利用方程或圖表來(lái)思考和解決問(wèn)題．

弟弟從家出發(fā)去了學(xué)校，4 min后，哥哥從家出發(fā)去追弟弟，假設(shè)弟弟的行走速度為50 m/min，哥哥的行走速度為70 m/min，那么哥哥從家走幾分鐘后能追上弟弟？

探究1 把原題中的“4 min后”改為“2 min后”，哥哥從家出發(fā)幾分鐘能追上弟弟呢？

探究2 把原題中的“4 min后”改為“7 min后”，哥哥要在距離家700 m的地方追上弟弟，那哥哥應(yīng)該以什么速度行走？

探究3 自己創(chuàng)造問(wèn)題思考一下吧！

該自由研究活動(dòng)以貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的“上學(xué)”為線索創(chuàng)設(shè)情境，將“追擊相遇”問(wèn)題以圖表的形式呈現(xiàn)．學(xué)生要想解決該問(wèn)題，需先明確圖中兩條直線交點(diǎn)的意義，進(jìn)而將目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解兩直線的交點(diǎn)．在探究1中，哥哥出發(fā)的時(shí)間改變，但速度不變，學(xué)生需以(2,0)為起點(diǎn)畫出哥哥此時(shí)的行走示意圖，進(jìn)而找到兩條直線此時(shí)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；在探究2中，哥哥的出發(fā)時(shí)間更改為了7 min后，由于要求兩人在700 m處相遇，且弟弟到達(dá)700 m處的時(shí)間已知，故哥哥追趕弟弟的路程和時(shí)間都已知，速度顯然可求．該活動(dòng)的探究主要涉及數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，屬于數(shù)學(xué)探究型活動(dòng)．

3.2 文獻(xiàn)查閱型

3.3 動(dòng)手操作型

動(dòng)手操作型活動(dòng)，主要指需要學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作(既包括物理世界的實(shí)踐操作，也包括虛擬世界的信息技術(shù)應(yīng)用)才能完成的自由研究活動(dòng)．例如《四邊形的變身》這一自由研究活動(dòng)(圖2)：

圖2

無(wú)論什么樣的四邊形，通過(guò)裁剪方式的改變都可以變成平行四邊形，怎么剪最好呢？

探究1 思考一下，怎樣剪四邊形才是最好的？另外，確認(rèn)剪完后的四邊形能否重新組合成為平行四邊形？

探究2 試著想一下，像探究1那樣剪四邊形并重新組合后，變成平行四邊形的原因吧．

探究3 要變成長(zhǎng)方形，應(yīng)如何剪四邊形呢？

這一活動(dòng)是在學(xué)生已有的平行四邊形相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上設(shè)置的．學(xué)生要想完成該活動(dòng)，需先動(dòng)手嘗試剪裁四邊形，在不斷嘗試的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即對(duì)任意四邊形進(jìn)行裁剪，得到四個(gè)小四邊形，以裁剪所形成的四個(gè)角為頂角將四個(gè)小四邊形進(jìn)行重新組合就能構(gòu)造成一個(gè)平行四邊形．該活動(dòng)既加深了學(xué)生對(duì)于平行四邊形知識(shí)的理解，又將知識(shí)應(yīng)用于具體的實(shí)踐操作中，是數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐操作相結(jié)合的典型案例．

4 自由研究活動(dòng)的研究報(bào)告

《新數(shù)學(xué)》系列教材在自由研究活動(dòng)中設(shè)置了“撰寫研究報(bào)告”這一欄目，要求學(xué)生選擇感興趣的課題，嘗試把自己對(duì)于該課題的思考和探究過(guò)程以文字、圖表和公式等形式總結(jié)成報(bào)告，并規(guī)定了研究報(bào)告撰寫的基本要求和基本構(gòu)成要素．其中，基本要求包括：(1)簡(jiǎn)要易懂地說(shuō)明自己是如何思考的；(2)在研究報(bào)告中使用圖、表、公式等容易讓讀者理解的方式呈現(xiàn)．研究報(bào)告的基本構(gòu)成要素見表2．

表2 研究報(bào)告的基本構(gòu)成要素

由表2可知，“動(dòng)機(jī)與目的”重在引導(dǎo)學(xué)生回憶發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的過(guò)程，在整個(gè)自由研究活動(dòng)中起引領(lǐng)作用；“方法”與“結(jié)果”是對(duì)活動(dòng)所應(yīng)用的知識(shí)與方法的反思過(guò)程；而“考察”與“感想”則有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和情感等元認(rèn)知體驗(yàn)．通過(guò)撰寫研究報(bào)告，學(xué)生可以從多個(gè)角度對(duì)活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行剖析和反思，這一過(guò)程對(duì)于學(xué)生元認(rèn)知水平的提升具有重要意義．

5 啟示

通過(guò)對(duì)日本《新數(shù)學(xué)》系列教材中自由研究活動(dòng)的主題選擇、活動(dòng)方式、研究報(bào)告的歸納與分析，從中總結(jié)出綜合與實(shí)踐活動(dòng)設(shè)置的日本經(jīng)驗(yàn)．基于此，為我國(guó)綜合與實(shí)踐活動(dòng)的設(shè)置提出以下三條建議．

5.1 同時(shí)關(guān)注“縱向”與“橫向”類研究選題，開拓學(xué)生數(shù)學(xué)視野

通過(guò)綜合與實(shí)踐活動(dòng)的開展拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，引導(dǎo)學(xué)生多層次、多角度地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，這是綜合與實(shí)踐活動(dòng)的應(yīng)有之義．選題是設(shè)置綜合與實(shí)踐活動(dòng)的起始環(huán)節(jié)，主題類型的豐富性能夠開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野．在選題過(guò)程中，教師不僅可關(guān)注一般性研究活動(dòng)，還可設(shè)置與歷史、語(yǔ)言、美術(shù)、保健體育、科學(xué)技術(shù)等學(xué)科相融合的跨學(xué)科研究活動(dòng)．一般性研究活動(dòng)有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)視野的“縱向”發(fā)展，是解決活動(dòng)內(nèi)容去知識(shí)化和表層化實(shí)踐的有效途徑．而跨學(xué)科研究活動(dòng)的設(shè)置則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性，重在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)視野的“橫向”延伸．這樣的活動(dòng)主題設(shè)置對(duì)于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值、開拓?cái)?shù)學(xué)視野具有重要意義．

5.2 重視探究、寫作、動(dòng)手等多元化活動(dòng)方式，促進(jìn)學(xué)生的高階思維發(fā)展

高階思維是一種綜合性思維，常發(fā)生在元認(rèn)知、問(wèn)題解決、應(yīng)用與創(chuàng)造性活動(dòng)中[7]，包括批判性思維、創(chuàng)造性思維、問(wèn)題解決能力和自我監(jiān)控能力等．活動(dòng)方式是學(xué)生思維的外部表現(xiàn)，多元化的活動(dòng)方式對(duì)于學(xué)生的高階思維發(fā)展具有重要意義．教師在預(yù)設(shè)綜合與實(shí)踐活動(dòng)的活動(dòng)方式時(shí)，可以參考自由研究活動(dòng)的活動(dòng)方式進(jìn)行設(shè)置．首先，數(shù)學(xué)探究型活動(dòng)的設(shè)置應(yīng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力提出一定要求，還應(yīng)在活動(dòng)的探究過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力．在設(shè)置文獻(xiàn)查閱型活動(dòng)時(shí)，教師要著重培養(yǎng)學(xué)生收集、整理、歸納、分析信息的能力，要引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行文獻(xiàn)的整理與分析，并將認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移與整合．在設(shè)置動(dòng)手操作型活動(dòng)時(shí)，應(yīng)注重學(xué)生親身參與動(dòng)手操作，活動(dòng)要具有一定的開放性，給學(xué)生更多的主動(dòng)權(quán)，在學(xué)生的主動(dòng)探索中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維．總之，在綜合與實(shí)踐活動(dòng)的教學(xué)過(guò)程中，教師要有意識(shí)地預(yù)設(shè)多元化的活動(dòng)方式供學(xué)生選擇，這將有助于學(xué)生高階思維的發(fā)展．

5.3 注重活動(dòng)后研究報(bào)告撰寫任務(wù)的設(shè)置，提高學(xué)生元認(rèn)知水平

研究表明，對(duì)學(xué)生的反思能力進(jìn)行針對(duì)性的培訓(xùn)后，學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平有顯著提高[8]，而撰寫研究報(bào)告就是開展反思性學(xué)習(xí)的有效手段．自由研究活動(dòng)規(guī)定了撰寫研究報(bào)告的基本范式，由“動(dòng)機(jī)與目的”“方法”“結(jié)果”“考察”和“感想”五個(gè)基本要素組成．在綜合與實(shí)踐活動(dòng)完成后，教師可以基于綜合與實(shí)踐活動(dòng)的具體特征，參考日本教材中的研究報(bào)告撰寫范式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)活動(dòng)的發(fā)現(xiàn)、提出、研究方法、研究結(jié)果以及活動(dòng)所運(yùn)用的知識(shí)等進(jìn)行反思與評(píng)價(jià)．學(xué)生依據(jù)該范式對(duì)活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行剖析，將自身的探究過(guò)程顯性化，這可以使學(xué)生有意識(shí)地調(diào)節(jié)其認(rèn)知加工過(guò)程，在對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的不斷反思中提高自身的數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平．