張文宇，幸榮盈，李國東

（桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言

大數(shù)據(jù)時代的發(fā)展有利有弊，信息高速傳遞的時候也導(dǎo)致了大量的安全漏洞，越來越多的學(xué)者也將保護數(shù)據(jù)化的隱私問題當(dāng)成核心研究。與文字信息相比，數(shù)字圖像相鄰像素間的相關(guān)性較大、所含信息容量大并且數(shù)據(jù)冗余性強，所以數(shù)字圖像加密不適合應(yīng)用傳統(tǒng)加密技術(shù)（如AES 和DES）。而混沌系統(tǒng)有偽隨機性和初始值很敏感等特性，很適合用來圖像加密，而應(yīng)用混沌系統(tǒng)對圖像加密也成為現(xiàn)代科研的熱點。趙洪祥等人[1]針對以往的Henon 映射存在的混沌空間小，在加密時安全性低的問題，對傳統(tǒng)的Henon 映射進行了創(chuàng)新，并利用創(chuàng)新型Henon 映射對圖像進行加密，其采用分塊的方式對圖像進行加密處理，很大程度上減少了算法的運行時間；馬開運等人[2]針對明文圖像與加密密鑰無關(guān)引起的安全性問題，提出了將Logistic 映射所迭代的混沌序列和明文圖像相結(jié)合生成的密鑰當(dāng)作三維Chen 系統(tǒng)迭代的初始值，再運用Fisher-Yates 算法對圖像進行置亂操作，該算法可以抵御大多數(shù)攻擊；Wang 等人[3]針對低維混沌系統(tǒng)安全性不高，設(shè)計了一個新型的六維混沌系統(tǒng)，結(jié)合比特置亂和DNA 編碼技術(shù)對圖像進行加密；Xian 等人[4]提出一種基于螺旋變換的置亂方法，該方法在一次加密過程中可以引起所有像素點位置的變化，巧妙地簡化了圖像置亂過程。擴散算法利用兩個混沌序列來提高擴散過程的效率。

對圖像加密常用的操作主要有兩種：（1）置亂，即打亂圖像像素點的初始位置；（2）擴散，即改變圖像像素值的大小。目前，針對應(yīng)用混沌系統(tǒng)進行圖像加密算法設(shè)計研究中所存在的混沌系統(tǒng)低維、加密步驟過于簡單而使安全性低以及加密步驟過于繁瑣而導(dǎo)致的加密效率不高等問題，本文改進了Clifford 系統(tǒng)，并利用改進的Clifford系統(tǒng)對圖像進行加密。先將原圖的像素圖像轉(zhuǎn)化為二進制，再分別對行和列進行循環(huán)位移置亂，然后對所得圖像進一步分塊置亂，最后利用混沌序列進行擴散。仿真實驗所得結(jié)果表明該算法具有較高的安全性，可以抵抗各種典型攻擊。

1 Clifford 系統(tǒng)

目前，Lyapunov 指數(shù)可以用來鑒定一個系統(tǒng)是否混沌的。若該指數(shù)為正值，則說明這個系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)；若存在兩個及以上大于零的Lyapunov 指數(shù)，那么可以說這個系統(tǒng)是超混沌的[5-7]。

Clifford 系統(tǒng)的表達式如下：

當(dāng)給出式（2）的初始值時，系統(tǒng)（1）處于超混沌狀態(tài)。

此時，使用雅克比矩陣乘積方法計算出系統(tǒng)的近似Lyapunov 指數(shù)分別為0.0836、0.2924 和0.4518[5]。因此，可以將Clifford 系統(tǒng)用于圖像加密。利用式（2）的參數(shù)和初始值，將Clifford 系統(tǒng)迭代1 000 次的混沌吸引子圖如圖1 和圖2 所示。

圖1 Clifford 系統(tǒng)

圖2 Clifford 系統(tǒng)X、Y 方向相圖

由圖1 可以看出混沌吸引子中間是空心的，有一塊空白區(qū)域；圖2 是Clifford 系統(tǒng)在X、Y 方向的分布，可以看出混沌系統(tǒng)的分布并不均勻。

2 基于改進Clifford 系統(tǒng)的偽隨機序列發(fā)生器設(shè)計

2.1 改進的Clifford 系統(tǒng)

由于Clifford 系統(tǒng)的控制參數(shù)有5個，那么用其進行混沌加密時所需設(shè)置的密鑰會比較多。所以針對Clifford系統(tǒng)混沌吸引子分布不均且初始參數(shù)較多這兩點問題，對Clifford 系統(tǒng)進行改進，讓它的分布比較均勻并且減少控制系統(tǒng)的參數(shù)。改進的Clifford 系統(tǒng)表達式如式（3）所示。

利用式（4）作為改進Clifford 系統(tǒng)的迭代的初始值，圖3 是改進Clifford 系統(tǒng)的混沌吸引子圖。

圖3 改進Clifford 系統(tǒng)

由圖3 與圖4 可觀察到改進的Clifford 系統(tǒng)在空間上的分布更加均勻、遍歷性更好。此時，計算出的系統(tǒng)近似的Lyapunov 指數(shù)為0.2213、0.2187、0.1878，說明改進的Clifford 系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng)，具有良好的混沌特性，適合用來進行圖像加密。

圖4 改進Clifford 系統(tǒng)X、Y 方向相圖

由圖1 可以看出混沌吸引子中間是空心的，有一塊空白區(qū)域，圖2 是Clifford 系統(tǒng)在X、Y 方向的分布，可以看出混沌系統(tǒng)的分布并不均勻。

2.2 偽隨機序列的獲取

為了增加密鑰敏感性，達到一圖一密的效果，將明文圖像和密鑰聯(lián)系起來，根據(jù)明文圖像得到混沌系統(tǒng)迭代的初始值。給定一個m×n 平面圖像A，計算A 中像素的均值m0，根據(jù)式（3）計算混沌系統(tǒng)（2）的初始值x1、x2、x3。

令混沌系統(tǒng)的初始控制參數(shù)為a=3.89，b=0.51，c=2.73，迭代混沌系統(tǒng)（3）200+m×n次，為了消除瞬態(tài)效應(yīng)，拋棄前200 個值生成3 個混沌序列X、Y 和Z，其中，每個混沌序列所包含m×n 個元素。為了解決混沌序列所存在的局部連續(xù)性問題，對混沌序列X 和Y 做離散化處理如式（6）和式（7）所示，得到T1和T2兩個混沌序列。選擇混沌序列T1的奇數(shù)項元素和T2的偶數(shù)項元素構(gòu)成序列D1。

并對于序列D1做以下處理：

將混沌序列X 的每個元素與混沌序列Y 的每個元素對應(yīng)相乘構(gòu)成混沌序列D2，選取D2的后8 個數(shù)構(gòu)成序列D3并對序列D3做以下處理：

其中，abs（·）表示取絕對值，fix（·）表示向0 靠近取整，ceil（·）表示向上取整，mod（·）是取模運算。

3 基于改進Clifford 系統(tǒng)的隨機分塊置亂算法設(shè)計

在混沌序列X 中選取前8 個偶數(shù)項元素組成一維向量XS=（xs1，xs2，xs3，xs4，xs5，xs6，xs7，xs8），并對序列XS進行處理，如式（10）所示。

令d=max（B1（2i-1），B1（2i））+1，其中，max（·）是取最大值函數(shù)，i=1，2，3，4，d 是一個1×4 的一維向量。

利用將圖像分為9 個尺寸不同的矩陣塊，具體分塊模型如圖5 所示。

圖5 分塊模型

在混沌序列Y 中選取前9 個奇數(shù)項元素組成一維向量YS=（ys1，ys2，ys3，ys4，ys5，ys6，ys7，ys8，ys9），然后對YS中的元素進行升序排列，記其索引序列為S0，再將S0按照一列接一列的方式重構(gòu)成3×3 大小的索引矩陣S，使用索引矩陣S 對矩陣塊進行置亂操作，具體塊置亂情況如圖6 所示。

圖6 塊間置亂

依次統(tǒng)計每一個矩陣塊中奇數(shù)像素的個數(shù)u1和偶數(shù)像素的個數(shù)u2，如果u1＞u2，則對其矩陣塊中的元素按照列逆時針循環(huán)移動一位；如果u1＜u2，則對其矩陣塊中的元素按照行順時針循環(huán)移動一位。把每一個矩陣塊內(nèi)部的像素點按照一列接一列的方式重構(gòu)成一維行向量。再將所有的行向量組合成一個大小為1×mn 的一維行向量，最后將這個一維向量重構(gòu)成大小為m×n 的矩陣Q，則Q 為置亂后的圖像。

4 加密算法設(shè)計

4.1 加密算法

（1）基于原圖像素矩陣A 計算混沌系統(tǒng)的初始值，并將A 轉(zhuǎn)化為一維向量P=（p1，p2，…，pm×n）。

（2）將P 轉(zhuǎn)為二進制矩陣得到矩陣A1，A1第i 行行向量按照順時針循環(huán)移動B1（i）個位置得到A2，再將A2第j 列列向量按照順時針循環(huán)移動B2（j）個位置得到矩陣A3。

（3）把A3轉(zhuǎn)化為十進制矩陣，并將按照一列接一列的方式將其重構(gòu)為大小為m×n 的矩陣A4，利用向量d將A4劃分為9 個大小不同的矩陣塊，用上述的隨機分塊置亂算法對A4進行像素置亂得到A5。

（4）對混沌序列Z 進行以下處理：

其中，floor（·）表示向下取整。將T3重構(gòu)成一個m×n 大小的混沌矩陣F 進行擴散變換，具體操作如下所示：

則H 為最終的密文圖像，其中⊕表示異或操作，圖7是本文加密算法的流程圖。

圖7 加密流程圖

4.2 解密算法

解密算法是加密算法的逆過程，先由密文圖像像素矩陣H 與F 進行異或運算，然后對擴散后的圖像進行分塊置亂的逆運算，再將所得矩陣轉(zhuǎn)成二進制進行循環(huán)位移逆操作，最后把二進制矩陣轉(zhuǎn)成十進制矩陣就是最終解出來的明文圖像。

5 仿真實驗分析

為了驗證本文加密算法的安全性，選擇256×256 的“Lena”“Cameraman”“Airplane”圖像，明文圖像如圖8（a）、（b）、（c）所示，密文圖像如圖8（d）、（e）、（f）所示。加密后的密文圖像呈現(xiàn)出雪花狀的噪聲信號形式，完全看不出原圖的特征。

圖8 仿真結(jié)果

5.1 密鑰空間

本文中，明文圖像像素均值m0和混沌系統(tǒng)控制參數(shù)a、b、c 組成了算法的密鑰。若m0全部可取的值為m0′，并且使用精度1016來估計，則密鑰空間可達1048×m0′。由此可見本文算法的密鑰空間足夠大。

5.2 統(tǒng)計分析

5.2.1 直方圖

明文圖像像素灰度值的分布普遍都具有一定的特點。因此，若圖像像素灰度值分布得越勻稱表明算法越有效。圖9 是Lena 圖像明文和密文的直方圖。圖9（a）反映出像素值分布的平滑、均勻程度都很差；而圖9（b）密文圖像像素直方圖分布比較平緩，分布均勻。由此看出本文算法不會輕易被破解。

圖9 明密文圖像直方圖

5.2.2 相鄰像素相關(guān)性分析

若加密后圖像相鄰像素對的相關(guān)系數(shù)幾乎為0，那么說明算法的置亂功效不錯。

圖10 是Lena 明文和密文圖像相鄰像素在水平方向上的分布情況。由圖10（a）可以看出明文圖像相鄰像素對基本分布在一條直線上，說明相鄰像素的相關(guān)性很強；而圖10（b）密文圖像相鄰像素對均勻分布在矩形區(qū)域內(nèi)，說明相鄰像素對間幾乎沒有相關(guān)性。

圖10 明密文圖像水平方向相關(guān)分布情況

表1 是本文算法加密后的Lena 圖像相鄰像素對之間的相關(guān)系數(shù)，加密后圖像相鄰像素的相關(guān)系數(shù)基本接近于0，說明本文算法可以進行有效的加密。

表1 相關(guān)系數(shù)

5.3 信息熵分析

信息熵反映圖像信息的不確定性[6]，計算公式為：

其中，p（i）表示像素灰度值為i 出現(xiàn)的概率。對于一幅8 bit的灰度圖像，信息熵理論值為8。表2 給出了應(yīng)用本文算法對Lena 和Airplane 進行加密得到的信息熵，相較于其他文獻更接近于8。由此可見，本文算法加密的圖像能抵御熵攻擊。

表2 信息熵

5.4 差分攻擊測試

差分攻擊是檢驗算法對明文敏感性的重要分析法。一般用像素變化率（NPCR）來度量加密算法對明文圖像的敏感程度，NPCR 的計算公式如下：

其中，M 表示原始圖像的寬，N 表示原始圖像的長。對于有效加密算法，NPCR 值理論上接近0.996 1[7]。表3 是Lena 圖像加密不同次數(shù)所計算的NPCR 值。

由表3 可知本文算法的NPCR 平均值為99.5949%，本文算法對明文圖像敏感，能夠有效地抵抗差分攻擊。

表3 明文敏感性測試結(jié)果

6 結(jié)論

本文提出了一種基于改進Clifford 系統(tǒng)的圖像加密新算法，對Clifford 系統(tǒng)做出改進，從混沌吸引子圖和Lyapunov指數(shù)說明改進的Clifford 系統(tǒng)的混沌特性。利用改進的Clifford 系統(tǒng)所迭代的3 個混沌序列對圖像進行加密。首先，將明文圖像轉(zhuǎn)化為二進制，分別對行和列進行循環(huán)位移操作；然后將圖像化分為9 個大小不同的矩陣塊，矩陣塊的大小是根據(jù)混沌序列的元素變化而變化的，并且結(jié)合混沌序列的索引序列進行塊間置亂；再利用循環(huán)位移對每個塊內(nèi)的像素點進行置亂，既保證了每個像素點發(fā)生變化，又提高了處理圖像的效率；最后，利用剩余的混沌序列與置亂后的圖像進行異或運算得到最終的密文圖像。仿真實驗結(jié)果以及安全性分析表明，該算法具有以下特點：（1）改進的Clifford 系統(tǒng)具有良好的混沌特性，其生成的混沌序列可用于圖像加密領(lǐng)域；（2）可以抵抗各種攻擊，不會被攻擊者輕易破解，具有較高的安全性。