鄭順河，孟克其勞,b,c，海日罕，王 藤

(內蒙古工業(yè)大學a.能源與動力工程學院；b.風能太陽能利用技術教育部重點實驗室；c.內蒙古自治區(qū)風電技術與檢測工程技術研究中心，呼和浩特 010051)

0 引言

近年來，電機相關技術快速發(fā)展，使得直驅永磁同步電機(direct drive permanent magnet synchronous motor，D-PMSM)廣泛應用于風力發(fā)電、飛輪儲能、電動汽車等領域中[1]。在電機驅動系統(tǒng)中，直驅永磁同步電機需通過在電機軸上安裝機械傳感器來得到準確的轉子位置和轉速信號。但機械傳感器不僅成本高，而且受限于惡劣的工業(yè)條件，因此無傳感器控制技術成為近年來的研究熱點[2]。常用的電機無傳感器控制中，基于擴展卡爾曼濾波器(extended Kalman filter，EKF)的無傳感器矢量控制系統(tǒng)具有收斂速度快、動態(tài)性能好、抗干擾能力強等優(yōu)點[3]。

但是傳統(tǒng)EKF需要反復試湊選取噪聲協(xié)方差參數(shù)，往往費時且難以達到良好的效果，如果噪聲協(xié)方差選取不當，EKF系統(tǒng)可能收斂過慢、抖動過大甚至完全發(fā)散。如何選取EKF的噪聲協(xié)方差矩陣，研究者們也進行了不少嘗試。

SHI等[4]通過試探法對噪聲協(xié)方差矩陣進行選取，該方法易于使用，但耗時長、精度差且依賴于個人經驗。佘致廷等[5]引入實數(shù)編碼遺傳算法對EKF的協(xié)方差矩陣進行優(yōu)化，經優(yōu)化后系統(tǒng)能夠很好抑制噪聲并且縮短了協(xié)方差矩陣的選取時間。但遺傳算法不能利用網絡反饋信息，搜索速度慢。WANG等[6]提出用蟻群算法對協(xié)方差矩陣參數(shù)進行優(yōu)化，但蟻群算法中初始信息素匱乏，需要較長的搜索時間。

系統(tǒng)在受到外界擾動時，由于EKF算法具有延遲效應，轉速變化會大于有傳感器系統(tǒng)[7]，使得系統(tǒng)魯棒性降低。而電機的轉速控制器不僅需要精度高、動態(tài)響應快，還需對負載擾動和系統(tǒng)內部參數(shù)變化具有較強的魯棒性，因此PI控制器難以達到系統(tǒng)控制要求?；？刂?sliding mode control，SMC)與控制對象參數(shù)及擾動無關，具有快速響應、對參數(shù)變化及外部擾動不靈敏、魯棒性強等優(yōu)點，非常適合直驅永磁同步電機驅動系統(tǒng)的控制[8]。

趙峰、張宏達等[9-10]將滑?？刂破饕朕D速控制中，滑模控制器能夠對轉速快速跟蹤，魯棒性強，但不可避免會引起系統(tǒng)抖振。相關學者為了削弱系統(tǒng)抖振，在滑?？刂破鞯脑O計中采用趨近律的方法，在快速趨近滑模面的過程中對趨近速度加以控制，能夠很好的削弱系統(tǒng)抖振現(xiàn)象[11]。戴鵬等[12]提出快速冥次趨近律設計滑?？刂?，使系統(tǒng)具有快速性和魯棒性，但所選取的滑模面引入了微分狀態(tài)量，求取速度微分時會引起高頻噪聲，降低控制器性能。

針對該問題，本文采用改進粒子群算法(improved particle swarm optimization，IPSO)對EKF的噪聲協(xié)方差矩陣進行選取和優(yōu)化。另外對傳統(tǒng)指數(shù)趨近律進行了改進，用改進滑?？刂破鞔鍼I控制器，使系統(tǒng)獲得更強的動態(tài)性能和魯棒性。仿真驗證表明經過改進后的控制系統(tǒng)，直驅永磁同步電機控制系統(tǒng)具有較高的轉速控制能力和魯棒性。

1 DPMSM的數(shù)學模型

為了避免在d-q坐標系中建模加重數(shù)學模型的非線性和增加遞推計算時間，本文選擇在α-β靜止坐標系下構建電機非線性方程。表貼式DPMSM在α-β靜止坐標系下的電流方程為：

(1)

機械運動方程為：

(2)

電磁轉矩方程為：

(3)

式中，uα、uβ分別為α、β軸電壓；iα、iβ分別為α、β軸電流；iq為旋轉坐標系中q軸電流；R、LS、ψf、θe分別為電機的定子電阻值、定子電感、轉子永磁體磁鏈、轉子位置角；Te和TL分別為電磁轉矩和負載轉矩；D和J分別為阻尼系數(shù)和轉動慣量；ωe和ωr分別為轉子電角速度和機械角速度，其中ωe=pnωr(pn為電機極對數(shù))。

DPMSM在α-β靜止坐標系中用于EKF狀態(tài)估計的狀態(tài)方程為：

(4)

y=Cx

(5)

式中，x=[iα,iβ,ωe,θe]T；U=[uα,uβ]T；y=[iα,iβ]T。

根據(jù)系統(tǒng)的線性化理論，對f(x)進行線性化處理，可以得到對應的雅可比矩陣：

(6)

輸入矩陣為：

(7)

輸出矩陣為：

(8)

2 EKF轉速與轉子位置估算優(yōu)化

2.1 擴展卡爾曼濾波器的設計

采用EKF算法，需對DPMSM的數(shù)學模型式(4)和式(5)進行線性化和離散化。假設采樣周期為TS非常小，并加入系統(tǒng)噪聲和測量噪聲的影響，線性化和離散化的電機狀態(tài)方程為：

xk=(I+FTS)xk-1+BTSUk-1+wk-1

(9)

yk=Cxk+vk

(10)

式中，I為單位矩陣；wk-1和vk分別是系統(tǒng)噪聲和噪聲，它們的均值為0且相互獨立；協(xié)方差矩陣分別為Q和R，即Q=E[wwT]；R=E[vvT]。

將式(9)、式(10)代入EKF遞推公式來實現(xiàn)對DPMSM轉速、電流和轉子位置角的估算。EKF估算的具體步驟如下：

(11)

求協(xié)方差矩陣預測，利用k-1時刻估計的誤差協(xié)方差矩陣計算第k次的誤差協(xié)方差矩陣的先驗估計值Pk/k-1：

Pk/k-1=(I+FTS)Pk-1(I+FTS)T+Q

(12)

(2)計算卡爾曼增益：

Kk=Pk/k-1CT(CPk/k-1CT+R)-1

(13)

(14)

(4)更新最優(yōu)估計誤差：

Pk=(I-KkC)Pk/k-1

(15)

EKF算法經過以上4個步驟的迭代，就可以實現(xiàn)對DPMSM的轉子速度和位置實時估計。需要注意的是擴展卡爾曼濾波器的設計雖然基于確定的數(shù)學模型，但模型在線性化和離散化的過程中存在著量化誤差，同時系統(tǒng)對電壓和電流的測量也存在測量誤差，這些不確定性誤差都被納入到系統(tǒng)噪聲和測量噪聲中，因此系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣Q和測量噪聲協(xié)方差矩陣R的選取對EKF系統(tǒng)的收斂性和穩(wěn)定性至關重要。

2.2 IPSO算法優(yōu)化EKF噪聲協(xié)方差矩陣

2.2.1 基本粒子群算法

PSO是模擬鳥群隨機搜尋食物的捕食方式。算法通過群體中個體之間的協(xié)作與信息共享來尋找最優(yōu)解。假設在一個D維的目標搜索空間，有N個粒子組成一個群落，粒子pi(i=1,2,…,N)的當前位置為Xi={Xi1,Xi2,…,Xid}，當前的飛行速度為Vi=(Vi1,Vi2,…,Vid)，pid為第i個粒子當前的搜索到的最優(yōu)解，pgd為種群中所有粒子的最優(yōu)解。在尋找這兩個最優(yōu)值時，粒子根據(jù)式(16)、式(17)來更新自己的速度和位置：

vid=ωvid+c1r1(pid-xid)+c2r2(pgd-xid)

(16)

xid=xid+vid

(17)

式中，ω為慣性權重；c1、c2為學習因子；r1和r2為[0，1]范圍內的均勻隨機數(shù)。

2.2.2 改進粒子群算法

在粒子群算法中，慣性權重ω是重要的參數(shù)，增大ω可以提高算法的全局搜索能力，減小ω可以提高算法的局部搜索能力。為避免算法容易早熟及后期容易在全局最優(yōu)解附近產生振蕩現(xiàn)象，本文采用線性遞減權重法，其變化公式為：

(18)

式中，ωmax表示慣性權重最大值；ωmin表示慣性權重最小值；t表示當前迭代步數(shù)。

同時考慮到PSO算法受到隨機因素影響較多，為了提高算法的適用性和收斂速度，采用混合策略，將自然選擇機理與PSO算法相結合，其基本思想為在每次迭代中，根據(jù)粒子群適應度值將粒子群排序，用群體中最好的一半粒子替換最差的一半粒子，同時保留原來每個個體所記憶的歷史最優(yōu)值。

2.2.3 改進粒子群算法優(yōu)化EKF協(xié)方差矩陣

噪聲協(xié)方差優(yōu)化就是在每個仿真周期對Q和R矩陣內的參數(shù)進行調整，每個粒子對應一組參數(shù)，對系統(tǒng)進行多次迭代，在每次迭代中計算系統(tǒng)仿真結果獲得粒子的適應度值，根據(jù)適應度值得到個體最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置，迭代結束后獲得全局最優(yōu)粒子作為噪聲協(xié)方差矩陣的參數(shù)。為了評價不同Q和R對EKF性能的影響，采用均方根誤差(RMSE)為評價控制系統(tǒng)性能指標，適應度函數(shù)選為：

(19)

式中，si為實際轉速；ωi為估計轉速；n為采樣次數(shù)，其值為仿真時間除以采樣周期。

改進粒子群算法對EKF的參數(shù)進行優(yōu)化，其流程圖如圖1所示。

圖1 粒子群優(yōu)化EKF過程示意圖

2.2.4 改進粒子群算法收斂性分析

為驗證上述方案合理性，采用PSO和改進粒子群算法對EKF進行優(yōu)化，并比較優(yōu)化結果。兩種算法的相關參數(shù)設置如下：慣性權重ω=0.6，ωmax=0.9，ωmin=0.4；學習因子c1=c2=2；粒子數(shù)為20；最大迭代次數(shù)為40；空間維度為6(Q，R總共6個對角元素)；解空間[1e-10,200]。

圖2 兩種尋優(yōu)策略收斂曲線

圖2為兩種算法適應度函數(shù)的收斂曲線，即系統(tǒng)性能指標RMSE的變化曲線。可見最優(yōu)適應度值難以達到理想效果0，這是因為EKF具有延遲效應，在轉速快速上升期間估計轉速滯后于實際轉速所導致。表1為兩種尋優(yōu)算法的性能比較?？梢姼倪M粒子群算法具有更強的搜索能力，能夠提高尋優(yōu)精度且保持較高的尋優(yōu)速度。

表1 兩種優(yōu)化策略性能分析

3 滑模轉速控制器設計

3.1 滑模控制器設計

(20)

由電機轉速的狀態(tài)方程可知，控制模型滿足一階單輸入系統(tǒng)的切換函數(shù)設計。為消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，將速度誤差x1做積分運算，采用積分滑模面如下：

(21)

根據(jù)式(21)，對s進行求導有：

(22)

(23)

為提高系統(tǒng)動態(tài)性能和減弱滑模抖振，采用指數(shù)趨近律方法設計SMC轉速控制器，指數(shù)趨近律的形式為：

(24)

式中，ε、k都是大于0的常數(shù)。

將式(20)與趨近律表達式建立等價關系，繼而推導出控制器的數(shù)學模型：

(25)

在指數(shù)趨近律得到廣泛引用的同時，有相關學者對指數(shù)趨近律進行改良。為進一步縮短趨近滑模面的時間，需要加快趨近速度；同時速度過快又會引起系統(tǒng)抖振，因此在快速趨近滑模面的同時還要減小到達滑模面的速度。在此基礎上，引入改進趨近律：

(26)

式中，η、δ、ε、k均為大于0的常數(shù)。系統(tǒng)引入了指數(shù)項e-δ|s|，當|s|較大時，即系統(tǒng)狀態(tài)距離滑模面較遠時，指數(shù)項趨近于0，等速項εsgn(s)被放大，系統(tǒng)在εsgn(s)和ks作用下加速趨近滑模面。當|s|趨近于0，指數(shù)項趨近于一并且逐漸失效。η可調節(jié)分母近視為0的系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面的距離。同時利用反正切函數(shù)值域的有界性，可以保證速度不會太大，引起系統(tǒng)抖振。

由于傳統(tǒng)滑模控制器采用符號函數(shù)難免導致高頻抖振。為了進一步削弱開關函數(shù)帶來的系統(tǒng)抖振現(xiàn)象，本文將雙曲正切函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號開關函數(shù)，雙曲正切函數(shù)為tanh(s)：

(27)

由上述可得最終改進指數(shù)趨近律的控制器為：

(28)

3.2 穩(wěn)定性證明

采用Lyapunov函數(shù)來對新型趨近律進行穩(wěn)定性證明。Lyapunov函數(shù)如下：

(29)

(30)

3.3 改近指數(shù)趨近律特性分析

以經典系統(tǒng)為例對改進指數(shù)趨近律與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律進行驗證分析。被控對象如下：

(31)

取滑模面：

(32)

求導得：

(33)

跟蹤誤差為：

(34)

式中，θd為給定的目標信號。

(35)

取改進指數(shù)趨近律有：

(36)

式中，ε=10；k=30；η=0.1；σ=20，取目標信號θd=sin(t)，被控對象初始狀態(tài)為[-0.15 -0.15]，對兩種趨近律進行仿真分析，仿真結果如圖3～圖5所示。

圖3 滑模態(tài)相軌跡圖4 趨近時間

圖5 控制器輸出

結果表明，改進型指數(shù)趨近律可以減少趨近時間，快速趨近滑模面，并收斂于平衡點。同時由圖5可見基于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器輸出抖振明顯，而改進型趨近律控制器輸出平滑，抖振得到有效削弱。

4 仿真與分析

為了驗證優(yōu)化方案的有效性和改進滑模轉速控制器的正確性，本文利用MATLAB/Simulink搭建基于id=0的空間矢量控制的表貼式DPMSM系統(tǒng)仿真模型，系統(tǒng)原理框圖如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)原理框圖

直驅永磁同步電機參數(shù)如下：定子電阻R=2.875 Ω，定子電感Ls=0.008 5 H，轉子磁鏈ψf=0.3 Wb，轉動慣量J=0.008 kg·m2，阻尼系數(shù)D=0；滑?？刂破鲄?shù)如下：η=5，δ=0.1，ε=0.01；EKF參數(shù)如下：x0=[0 0 0 0]，P0=diag([0.1 0.1 0 0])，試探法、PSO和IPSO優(yōu)化的Q、R取值分別為：

試探法：

Q=diag([0.1,0.1,5,0.05]),R=diag([0.2,0.2])

PSO：

Q=diag([4.66706754922473,3.51407001728619,
50,18.5708126317066]),
R=diag([19.183267304730,29.196957738851])

IPSO：

Q=diag([15.7483240437961,12.5281571748522,
160.196984318041,1E-10]),
R=diag([128.336576027543,75.852734584808])

圖7 EKF估計轉速

為了驗證IPSO優(yōu)化EKF的有效性，給定電機轉速1000 r/min，空載啟動，0.35 s轉速突變?yōu)?00 r/min。圖7為試湊法、PSO算法和IPSO算法得出的噪聲協(xié)方差矩陣的估計轉速圖形，可以看出EKF估算能夠對給定電機轉速準確快速跟蹤，且IPSO算法優(yōu)化的系統(tǒng)可以更好地抑制噪聲。

圖8為EKF轉子位置角估計值和實際值及誤差波形?？梢娨允?20)為評價函數(shù)，通過PSO優(yōu)化的系統(tǒng)在轉子位置角的跟蹤情況沒有試探法好，而IPSO算法在系統(tǒng)穩(wěn)定后轉子位置角誤差值保持在0左右，EKF的估算精度高。

(a) 電機實際轉子位置 和估算位置波形 (b) EKF估計轉子位置與 實際轉子位置誤差

圖9為改進SMC、傳統(tǒng)指數(shù)趨近律SMC和PI控制器轉速之間的對比，圖10為電機電磁轉矩對比。

圖9 電機轉速圖10 電機電磁轉矩

由圖可知基于改進SMC中電機轉速在0.05 s左右達到設定轉速，指數(shù)趨近律滑?？刂菩枰?.08 s，PI控制器需要0.1 s，在0.35 s電機突加負載TL=10 N·m，PI控制器與傳統(tǒng)滑模控制器比改進SMC轉速跌落大且回復慢?？梢姼倪M的SMC響應比傳統(tǒng)的SMC和PI控制器要快，在突加負載時轉速變化小，且很快恢復為原來狀態(tài)，提高了系統(tǒng)抗負載擾動能力和魯棒性。

5 結論

本文針對直驅永磁同步電機提出了一種基于粒子群優(yōu)化EKF的永磁同步電機滑模控制方法，與采用傳統(tǒng)控制方法相比，該方法使系統(tǒng)獲得了高更的估計精度、動態(tài)性能和抗負載擾動能力，得到如下結論：

(1)采用改進粒子群算法算法對基于擴展卡爾曼濾波器的無傳感器控制系統(tǒng)進行優(yōu)化，能夠有效抑制噪聲提高系統(tǒng)估計精度，同時解決了EKF噪聲協(xié)方差選取困難的問題。

(2)采用改進滑?？刂破鞔?zhèn)鹘y(tǒng)PI控制器，能夠降低EKF算法延遲效應導致的系統(tǒng)受到外界擾動時估計值滯后于實際值的影響，同時提高了系統(tǒng)魯棒性。