余 銀，周 彬，李銀波，劉永旭，吳啟星

(1.電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610036；2.北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094)

0 引 言

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析(Target Motion Analysis，TMA)主要指利用無(wú)源探測(cè)方式，由一段時(shí)間的量測(cè)信息對(duì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，包含對(duì)目標(biāo)位置、速度、加速度及高階運(yùn)動(dòng)信息的估計(jì)[1-3]。目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測(cè)性是指目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的唯一性[4]。可觀測(cè)性是對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的前提，但目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析多為非線性系統(tǒng)問(wèn)題。非線性系統(tǒng)可觀測(cè)性分析涉及求解高階非線性微分方程，較難直接應(yīng)用于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的可觀測(cè)性判別。因此，確定可觀測(cè)性及獲取可觀測(cè)條件是目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的難點(diǎn)之一。

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的可觀測(cè)性與量測(cè)信息息息相關(guān)。單站由于其具有系統(tǒng)簡(jiǎn)單、適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)受到了青睞[5-6]，但與多站相比可測(cè)性較差，所以對(duì)單站目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的可觀測(cè)性研究顯得尤為重要。僅測(cè)角單站目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析是最簡(jiǎn)單、最經(jīng)典的方法，至今已有大量文獻(xiàn)對(duì)該方法進(jìn)行了研究，并采用不同方法對(duì)其可觀測(cè)性進(jìn)行了深入分析[1,3,7-12]。僅測(cè)角的可觀測(cè)性要求觀測(cè)站運(yùn)動(dòng)階數(shù)高于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)階數(shù)。隨后，研究者們致力于引入其他量測(cè)信息來(lái)改善可觀測(cè)性。例如，較早期的引入頻率[4,13]，以及后來(lái)的引入徑向加速度[14]、角度變化率[15]、相位差變化率[16]、到達(dá)時(shí)間[5,13]、頻率變化率[1,16]等。

文獻(xiàn)[9,17]對(duì)現(xiàn)有單站可觀測(cè)性分析方法進(jìn)行了總結(jié)，后者將單站可觀測(cè)性分析方法歸納為幾何方法、代數(shù)方程方法和線性系統(tǒng)方法三類(lèi)。文獻(xiàn)[2-3]將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，利用可觀測(cè)矩陣進(jìn)行分析。但該方法涉及求解高階微分方程，難以用于高階運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[5,7,15]對(duì)非線性系統(tǒng)泰勒近似和離散化，通過(guò)離散系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[8,10-12]將非線性量測(cè)方程轉(zhuǎn)換為偽線性量測(cè)方程，并基于可觀測(cè)條件的泛函等式進(jìn)行了分析，避免了求解高階微分方程。該方法在文獻(xiàn)[17]中歸為線性系統(tǒng)法。文獻(xiàn)[4,18]提出了一種相容軌跡的方法分析目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測(cè)性條件。該方法在文獻(xiàn)[17]中歸為代數(shù)方程法。后兩種方法適用性廣，且無(wú)近似處理，可獲得可觀測(cè)性充要條件。

“角度+頻率變化率”的單站體制基于運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，理論完備，不需要已知頻率，動(dòng)態(tài)性能好，近年來(lái)受到了廣泛關(guān)注[1,19]。頻率變化率為高階微分量，與基于角度、頻率、到達(dá)時(shí)間等信息的可觀測(cè)性分析相比難度更大，同時(shí)相關(guān)研究還非常少。本文采用相容軌跡和系統(tǒng)可觀測(cè)性理論兩種方法分別從定性和定量的角度對(duì)“角度+頻率變化率”的可觀測(cè)性進(jìn)行分析，給出可觀測(cè)性的充要條件，為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析提供理論支撐。

1 問(wèn)題描述

如圖1所示，目標(biāo)沿著軌跡rT(t)=[xT(t),yT(t),zT(t)]T運(yùn)動(dòng)，觀測(cè)站沿著rO(t)=[xO(t),yO(t),zO(t)]T(通常已知)運(yùn)動(dòng)，r(t)=rT(t)-rO(t)=[x(t),y(t),z(t)]T是目標(biāo)T相對(duì)于觀測(cè)站O的軌跡，t表示時(shí)間。

圖1 觀測(cè)站、目標(biāo)相對(duì)關(guān)系示意圖

觀測(cè)站接收目標(biāo)輻射的信號(hào)，并從信號(hào)中提取量測(cè)信息，對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)r(t)進(jìn)行估計(jì)。如果通過(guò)[t0,tf]內(nèi)的量測(cè)信息能唯一確定[t0,tf]內(nèi)的r(t)，則是可觀測(cè)的。本文考慮的量測(cè)信息包括方位角α(t)、俯仰角β(t)、頻率變化率ν(t)下的可觀測(cè)性分析。根據(jù)多普勒效應(yīng)，ν(t)滿足

(1)

2 基于相容軌跡法的可觀測(cè)性定性分析

2.1 任意目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測(cè)性

定義1 給定一組量測(cè)量{z(t)|t∈[t0,tf]}，若存在多個(gè)不同的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡均滿足這組量測(cè)量，則稱(chēng)這些軌跡在該組觀測(cè)量下是相容的。

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測(cè)，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)真實(shí)軌跡的相容軌跡是自身。

定理1 任意目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下，給定一組“角度+頻率變化率”量測(cè)信息，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的相容軌跡不唯一。

r′(t)=γ(t)r(t) 。

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：M(t)為正交矩陣，?t∈[t0,tf]。

在{α(t),β(t),ν(t)}量測(cè)量下，相容軌跡是式(2)和式(5)的交集，即

(6)

且

(7)

因此，任意目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下，總是存在不唯一的相容軌跡，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析不可觀測(cè)。

2.2 有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測(cè)性

本節(jié)討論有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測(cè)性問(wèn)題。有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)是指目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡可表示為有限階多項(xiàng)式。具體地，若目標(biāo)為N階運(yùn)動(dòng)，則滿足dNrT(t)/dtN=0，積分可得

rT(t)=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2+…+aN(t-t0)N?At。

(8)

定理2 有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下，給定“角度+頻率變化率”量測(cè)信息，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡不存在相容軌跡當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)與觀測(cè)站間存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

證明:式(6)可重新整理為

(9)

其次，考慮目標(biāo)與觀測(cè)站間存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況。由式(9)可得

(10)

因此，有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析是可觀測(cè)的充要條件是目標(biāo)與觀測(cè)站間存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

3 基于系統(tǒng)可觀測(cè)性理論的可觀測(cè)性定量分析

本節(jié)采用系統(tǒng)可觀測(cè)性理論對(duì)“角度+頻率變化率”的可觀測(cè)性進(jìn)行定量分析。首先分析一階運(yùn)動(dòng)下的可觀測(cè)性，然后推廣到任意有限階的情況。

3.1 系統(tǒng)可觀測(cè)性理論

考慮一般的線性時(shí)變系統(tǒng)：

(11)

式中：x是狀態(tài)向量，u是輸入向量，z是量測(cè)向量，A是狀態(tài)矩陣，B是輸入矩陣，C是量測(cè)矩陣。

系統(tǒng)(11)在[t0,tf]上是完全狀態(tài)可觀測(cè)的是指?x(t0)在u(t)和z(t)已知的情況下，x(t0)可唯一確定。

根據(jù)線性系統(tǒng)理論，系統(tǒng)(11)在[t0,tf]上可觀測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)可觀測(cè)性矩陣O(t,t0)是正定的，其中

式中：Φ(t,t0)稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，滿足?Φ(t,t0)/?t=A(t)Φ(t,t0)且Φ(t0,t0)=I。

上述可觀測(cè)性條件可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為引理1[12]。

引理1 系統(tǒng)(11)在[t0,tf]上可觀測(cè)當(dāng)且僅當(dāng){?t∈[t0,tf],C(t)Φ(t,t0)y=0}?{y=0}成立。

3.2 目標(biāo)常速運(yùn)動(dòng)下的可觀測(cè)性

(12)

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得系統(tǒng)(12)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(13)

角度量測(cè)量α(t)、β(t)可表示為

(14)

(15)

定理3 考慮目標(biāo)常速運(yùn)動(dòng)方程(12)和量測(cè)方程(14)和(15)，其可觀測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)與觀測(cè)站在[t0,tf]存在非徑向運(yùn)動(dòng)時(shí)。

證明：式(14)經(jīng)整理可轉(zhuǎn)換為偽線性形式：

(16)

此外，考慮到r=xcosβcosα+ycosβsinα+zsinβ，對(duì)式(15)進(jìn)行整理可得

(17)

zcv(t)=Ccv(t)x(t) 。

(18)

(19)

Ccv(t)Φ(t,t0)a=T1Q[a0+(t-t0)a1]。

(20)

針對(duì)C(t)Φ(t,t0)a=0，?t∈[t0,tf]分兩種情況進(jìn)行討論。

(1)目標(biāo)相對(duì)觀測(cè)站徑向運(yùn)動(dòng)

(2)目標(biāo)相對(duì)觀測(cè)站存在非徑向運(yùn)動(dòng)

3.3 有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測(cè)性

在常速運(yùn)動(dòng)可觀測(cè)性分析的基礎(chǔ)上，本節(jié)進(jìn)一步拓展到有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)下的可觀測(cè)性分析。

N階運(yùn)動(dòng)目標(biāo)滿足dNrT(t)/dtN=0。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(21)

定理4 考慮N階運(yùn)動(dòng)目標(biāo)(21)和量測(cè)方程和(15)，其可觀測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)與觀測(cè)站在[t0,tf]存在非徑向運(yùn)動(dòng)時(shí)。

zN(t)=CN(t)x(t)。

(22)

(23)

類(lèi)似目標(biāo)常速運(yùn)動(dòng)，針對(duì)C(t)Φ(t,t0)a=0，?t∈[t0,tf]分兩種情況討論。

(1)目標(biāo)相對(duì)觀測(cè)站徑向運(yùn)動(dòng)

(2)目標(biāo)相對(duì)觀測(cè)站存在非徑向運(yùn)動(dòng)

因此，基于系統(tǒng)可觀測(cè)性理論，可得出角度和頻率變化率量測(cè)下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的可觀測(cè)性充要條件是目標(biāo)與觀測(cè)站間存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，與前一種方法結(jié)論一致。

4 仿真分析

本節(jié)分別從相容軌跡和目標(biāo)跟蹤進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證前面的結(jié)論。前者對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)階數(shù)無(wú)限制；后者考慮有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，建立有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波[20]進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析，獲取目標(biāo)航跡。

4.1 相容軌跡仿真

如圖2中實(shí)線所示，觀測(cè)站處于(0,0)km位置，目標(biāo)從距離觀測(cè)站80 km、方位角165°出發(fā)，沿x方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

圖2 相容軌跡計(jì)算結(jié)果

圖2中虛線分別是由距離觀測(cè)站65 km、70 km、90 km、100 km、110 km不同的起始位置，按照與目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡在任意時(shí)刻具有相同的方位角和相等的距離二階變化率計(jì)算獲得的，也即這些虛線都是目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的相容軌跡。

由此可知，相容軌跡不是目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡本身，且存在多條不同的相同軌跡。實(shí)際上，任意不同距離的起始位置均可產(chǎn)生一條相容軌跡，即存在無(wú)窮多相容軌跡，也即目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析不可觀測(cè)。

4.2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析仿真

本節(jié)利用有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析，獲取目標(biāo)的航跡?？紤]目標(biāo)與觀測(cè)站徑向運(yùn)動(dòng)和目標(biāo)與觀測(cè)站非徑向運(yùn)動(dòng)兩種情況。

徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)：觀測(cè)站位于(0,0,3)km位置，目標(biāo)從坐標(biāo)為(-4,0,3)km的位置沿x方向以200 km/h的速度勻速運(yùn)動(dòng)。目標(biāo)發(fā)射的信號(hào)載頻為8 GHz。

非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)：觀測(cè)站位于(0,0,0)km位置，目標(biāo)從坐標(biāo)為(-4,1,3)km的位置沿x方向以200 km/h的速度勻速運(yùn)動(dòng)。目標(biāo)發(fā)射的信號(hào)載頻為8 GHz。

建立常速模型，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波分別對(duì)兩種情況下的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行仿真。方位角和俯仰角測(cè)量誤差均為0.5°，頻率變換率測(cè)量精度5 Hz/s。觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為144 s，進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真。

圖3和圖4分別給出了兩種情況下的位置估計(jì)誤差曲線。由圖3可知，徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)下位置估計(jì)誤差曲線發(fā)散，而圖4中非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)下的位置估計(jì)誤差可收斂到較小值，由此驗(yàn)證了前面的理論分析結(jié)論。

圖3 徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)下的位置估計(jì)誤差曲線

圖4 非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)下的位置估計(jì)誤差曲線

5 結(jié) 論

可觀測(cè)性是進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的前提。本文采用相容軌跡法和系統(tǒng)可觀測(cè)性理論分別從定性和定量角度討論了角度和頻率變化率量測(cè)下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測(cè)性問(wèn)題。對(duì)于有限階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，可觀測(cè)性的充要條件是目標(biāo)與觀測(cè)站存在非徑向相對(duì)運(yùn)動(dòng)。仿真分析驗(yàn)證了本文的理論結(jié)果。