張亞，何紅杰

（鄭州輕工業(yè)大學(xué)，河南鄭州，450000）

0 引言

粗糙面與目標(biāo)的復(fù)合電磁散射特性研究應(yīng)用廣泛，在雷達(dá)監(jiān)控、遙感和目標(biāo)識(shí)別等領(lǐng)域具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。近幾十年來(lái)，針對(duì)粗糙面與目標(biāo)的復(fù)合電磁散射問(wèn)題，各國(guó)學(xué)者提出了多種研究方法，根據(jù)其求解機(jī)制不同，這些方法大致可以分為三類(lèi)：高頻近似方法[1-3]、低頻數(shù)值方法[4-7]和高低頻混合算法[8-11]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)值算法由于其較高的計(jì)算精度受到越來(lái)越多學(xué)者的青睞。目前，求解三維復(fù)合電磁散射問(wèn)題的常用數(shù)值方法主要包括矩量法(Method of Moment, MoM)[5-7,12]、時(shí)域有限差分方法(Finite Difference Time Domain, FDTD)[13,14]和有限元-邊界元方法(Finite Element Method-Boundary Integral Method, FEM-BIM)[4,15]。例如，文獻(xiàn)[5]將電場(chǎng)積分方程與局部粗糙表面的并矢格林函數(shù)結(jié)合研究了二維介質(zhì)粗糙面下方埋藏介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射特性，但隨機(jī)粗糙表面的并矢格林函數(shù)一般是難以預(yù)知的，因此該方法不適用于處理隨機(jī)粗糙表面的電磁散射問(wèn)題；Wei等人采用基于單積分方程的MoM研究了介質(zhì)粗糙面上/下方目標(biāo)的電磁散射特性[12]，由于單積分方程的未知量?jī)H為傳統(tǒng)MoM未知量的一半，因此，基于單積分方程的MoM在求解時(shí)間和內(nèi)存消耗方面都具有明顯的優(yōu)勢(shì)；Lai等人將區(qū)域分解技術(shù)與FDTD方法結(jié)合，計(jì)算了大尺度粗糙面的電磁散射[13]；Tian等人采用改進(jìn)的FDTD方法分析了強(qiáng)脈沖源入射下粗糙地面上方電介質(zhì)涂層導(dǎo)線的瞬態(tài)耦合特性[16]。

FEM-BIM方法結(jié)合了FEM和BIM兩種方法的優(yōu)勢(shì)，具備處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)非均勻媒質(zhì)電磁散射問(wèn)題的能力，該方法在目標(biāo)與粗糙面復(fù)合電磁散射特性研究方面的應(yīng)用也已有報(bào)道。Xu等人將采用FEM/MoM求解了一維/二維粗糙面上方二維/三維目標(biāo)的電磁散射[4,17]，但Xu的工作均采用傳統(tǒng)的LU分解算法求解復(fù)合模型的FEM/MoM矩陣方程組，雖然具有較高的計(jì)算精度，但內(nèi)存消耗較大且求解效率不高；針對(duì)FEM-BIM矩陣方程組的特點(diǎn)，本文作者將FEMBIM與快速多極子技術(shù)(Fast Multipole Method, FMM)[18,19]結(jié)合計(jì)算了水平極化和垂直極化波入射下一維分層介質(zhì)粗糙面上方二維涂覆目標(biāo)的雙站散射系數(shù)(Bistatic Scattering Coefficient, BSC)[20]，顯著提高了仿真效率；Sun等人將FEM/MoM方法與多層快速多極子技術(shù)結(jié)合計(jì)算了二維介質(zhì)粗糙面上方三維介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射[15]，極大地提高了計(jì)算效率，減少了內(nèi)存資源消耗。但上述工作均針對(duì)粗糙面上方目標(biāo)的散射問(wèn)題，將FEM-BIM-FMM應(yīng)用于二維介質(zhì)粗糙面下方導(dǎo)體目標(biāo)電磁散射特性的研究還未見(jiàn)報(bào)道。

本文將三維矢量FEM-BIM與FMM結(jié)合研究了二維介質(zhì)粗糙面下方導(dǎo)體目標(biāo)的復(fù)合電磁散射特性，推導(dǎo)了復(fù)合模型電磁散射的FEM-BIM-FMM公式。在仿真中，采用FEMBIM處理導(dǎo)體目標(biāo)的散射場(chǎng)，為了保證收斂速度，采用PMCHW積分方程組處理介質(zhì)粗糙面的散射場(chǎng)，導(dǎo)體目標(biāo)與粗糙面之間的耦合場(chǎng)通過(guò)復(fù)合模型表面的積分方程進(jìn)行考慮；針對(duì)FEM-BIM矩陣方程組的特點(diǎn)，采用混合求解器求解復(fù)合模型的矩陣方程組，并采用FMM加速迭代求解過(guò)程；通過(guò)與MoM和傳統(tǒng)FEM-BIM的對(duì)比，驗(yàn)證了本文算法的精確性和高效性；最后，結(jié)合Monte-Carlo方法，數(shù)值模擬了二維粗糙地面下方炸彈型導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射，分析了土壤濕度、埋地深度和地面粗糙度等參數(shù)對(duì)復(fù)合模型電磁散射特性的影響。

1 理論模型及公式推導(dǎo)

圖1為二維介質(zhì)粗糙面下方埋藏導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射模型，其中粗糙面Ss被截?cái)酁檎叫螀^(qū)域，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，為粗糙面的外法向單位矢量，粗糙面上半空間 ΩU的相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為εU和μU，下半空間 ΩD的相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為εD和μD；錐形入射波Einc以入射角θinc和φinc照射到復(fù)合模型表面，Js和Ms為粗糙面上的感應(yīng)電磁流。

圖1 二維介質(zhì)粗糙面下方埋藏導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射模型

采用FEM方法處理導(dǎo)體目標(biāo)的內(nèi)部場(chǎng)。取虛構(gòu)邊界 tS將導(dǎo)體目標(biāo)包圍，內(nèi)部空間為 tΩ，t?n為 tS的外法向單位矢量；tJ和 tM分別為目標(biāo)表面的感應(yīng)電磁流。根據(jù)有限元方法的基本思想， Ωt內(nèi)部的電場(chǎng)E(r)可以通過(guò)求解下面的等效變分問(wèn)題獲得：

其中：

式中k0和η0分別表示真空中的波數(shù)和波阻抗。采用四面體單元和Whitney矢量基函數(shù)N(r)[21]將 Ωt內(nèi)的電場(chǎng)E(r)離散，表達(dá)式為：

其中 tW表示四面體棱邊的個(gè)數(shù)，mE為電場(chǎng)展開(kāi)系數(shù)。同時(shí)采用RWG基函數(shù)f(r)[22]將St上的感應(yīng)電磁流離散，表達(dá)式為：

式中 tN為虛構(gòu)邊界上三角形棱邊的個(gè)數(shù)。將(3)式和(4)式代入到(2)式可以得到下面的有限元矩陣方程組：

其中：

介質(zhì)粗糙面及目標(biāo)的耦合場(chǎng)采用BIM方法考慮。虛構(gòu)面 tS上的場(chǎng)滿(mǎn)足下面的電場(chǎng)積分方程：

其中ηD為空間 ΩD的波阻抗，算子L(X)和K(X) 的表達(dá)式為：

其中G表示格林函數(shù)。粗糙面上的場(chǎng)可以用PMCHW積分方程描述，表達(dá)式為：

其中 Uη為空間 UΩ 的波阻抗。將粗糙面用三角形面元離散后，粗糙面上的未知量可以用RWG基函數(shù)展開(kāi)為：

式中：

聯(lián)立(6)式和(16)式即得到了復(fù)合模型的FEM-BIM矩陣方程組，求解該方程組即可得到模型表面的電磁流信息。為了提交求解效率，本文采用LU分解法和廣義最小殘差法（Generalized minimal residual method, GMRES）混合迭代求解FEM-BIM矩陣方程組，首先假定{Jt}= 0、 {Ms}=0和{Js} = 0，結(jié)合{Jt}采用LU分解法求解(6)式，得到{Mt}；然后結(jié)合{Jt}、{Mt}、{Js}和{Ms}用GMERS求解(16)式，得到新的{Jt}、 {Mt}、{Js}和{Ms}；直到迭代誤差小于10-3。

獲得模型表面的電磁流信息后，可以采用下式計(jì)算復(fù)合模型的BSC：

其中Escat(r)為復(fù)合模型在上半空間中的散射場(chǎng)，其計(jì)算表達(dá)式為：為入射波功率，式中g(shù) =L4表示錐形波因子。

為了提高仿真效率，本文采用快速多極子技術(shù)加速GMRES迭代求解過(guò)程。按照快速多極子的思想將復(fù)合模型表面的未知量分組后，面元間的強(qiáng)相互作用仍然采用(17)~ (20)式計(jì)算，而弱相互作用則由下面各式計(jì)算。

其中Uk和Dk分別為空間 UΩ 和 DΩ 中的波數(shù)，矩陣A、B、T和D的表達(dá)式如下：

其中當(dāng)l=U時(shí)，, sij= 。

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證算法的正確性，分別采用FEM-BIM、MoM和FEM-BIM-FMM計(jì)算二維高斯介質(zhì)粗糙面下方導(dǎo)體立方體的雙站散射系數(shù)，仿真實(shí)現(xiàn)的硬件平臺(tái)為：AMD Ryzen 9 5950X CPU， 內(nèi)存：32 GB。模型參數(shù)設(shè)置如下：粗糙面尺寸8m × 8m，均方根高度δ= 0.05 m ，相關(guān)長(zhǎng)度lc= 0.15 m ，εD= 2.0 - j0.2，μD= 1.0，立方體的邊長(zhǎng)為0.6 m，埋藏深度3.5 m，入射波為橫電波（TE波），頻率為0.3 GHz。圖2給出了三種方法的對(duì)比結(jié)果，從圖中可以看出，兩種入射角下，三種方法的計(jì)算結(jié)果均吻合良好，驗(yàn)證了本文算法的正確性。表1給出了FEM-BIM和FEM-BIM-FMM的求解時(shí)間及內(nèi)存需求對(duì)比，從表中可以看出，F(xiàn)EM-BIM-FMM的求解時(shí)間和內(nèi)存需求分別為傳統(tǒng)FEM-BIM的14.6%和9.2%，計(jì)算資源消耗明顯減少，說(shuō)明了本文算法的高效性。

圖2 二維介質(zhì)粗糙面下方金屬立方體的BSC:(a) inc=0θ °；(b) inc=30θ °

表1 不同方法計(jì)算介質(zhì)粗糙面下方金屬立方體BSC時(shí)的求解時(shí)間及內(nèi)存需求對(duì)比

下面采用FEM-BIM-FMM方法分析地面下方炸彈型金屬未爆物的電磁散射特性。炸彈型金屬未爆物的幾何尺寸如圖3所示，埋地深度1.0 m；地面幾何尺寸為10m10m× ，土壤是由空氣、水和固態(tài)土壤等組成的介電混合體，其相對(duì)介電常數(shù)受土壤濕度、土壤溫度、土壤含沙量和土壤黏土含量等因素的影響，本文采用Wang等人建立的四成分模型來(lái)描述土壤的介電常數(shù)[23]。在本文后面的算例中取土壤溫度為T(mén)= 20°C ，土壤濕度mv= 0.1gcm3，土壤含沙量S= 17.2%，黏土含量C= 19.0%。入射波的參數(shù)與上例相同。

圖3 金屬炸彈型目標(biāo)幾何尺寸示意圖

圖4 分析了土壤濕度 vm變化對(duì)復(fù)合模型電磁散射特性的影響。從圖中可以明顯看出，兩種入射角下，對(duì)于確定的土壤類(lèi)型（土壤含沙量和黏土含量保持不變），隨著土壤濕度 vm的增大，BSC在整體上呈現(xiàn)出明顯增大的趨勢(shì)。這主要是因?yàn)?，土壤濕度變化?duì)土壤介電常數(shù)有較大的影響，且隨著濕度的增大，土壤介電常數(shù)實(shí)部增加明顯，導(dǎo)致反射增強(qiáng)，BSC增大。

圖4 不同土壤濕度mv時(shí)地面下方埋藏炸彈型目標(biāo)的BSC

圖5 分析了炸彈型目標(biāo)的埋地深度變化對(duì)復(fù)合模型電磁散射特性的影響。如圖所示，兩種入射小下，埋地深度變化對(duì)鏡向散射角附近的BSC幾乎沒(méi)有影響，但對(duì)其它散射角方向的BSC影響較大，且隨著埋地深度的增大BSC呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)。這主要是由于鏡向散射角附近的散射場(chǎng)主要來(lái)源于地面反射，而目標(biāo)的存在主要影響非鏡向方向的散射場(chǎng)，因此埋地深度變化主要影響非鏡向角方向的BSC。

圖5 不同埋地深度時(shí)地面下方埋藏炸彈型目標(biāo)的BSC

圖6 分析了地面粗糙度變化對(duì)復(fù)合模型BSC的影響，其中相關(guān)長(zhǎng)度lc= 1.0m ，從圖中可以看出，隨著均方根高度δ的增大，鏡向方向的BSC明顯減小而其它散射角方向的BSC明顯增大，這主要是由于當(dāng)δ增大時(shí)，地面粗糙度增加，鏡向反射減弱而漫反射增加，導(dǎo)致非鏡向角方向的BSC增大。

圖6 不同均方根高度時(shí)地面下方埋藏炸彈型目標(biāo)的BSC

3 結(jié)論

本文將FEM-BIM與FMM結(jié)合，提出了一種用于研究二維介質(zhì)粗糙面下方金屬目標(biāo)電磁散射特性的高效數(shù)值算法，推導(dǎo)了FEM-BIM-FMM的理論公式，采用PMCHW積分方程處理粗糙面的散射場(chǎng)，埋地目標(biāo)的散射場(chǎng)采用FEMBIM處理，目標(biāo)和粗糙面之間的耦合場(chǎng)通過(guò)模型表面的積分方程進(jìn)行考慮。根據(jù)模型矩陣方程組的特點(diǎn)，采用用FMM加速的混合求解器求解FEM-BIM矩陣方程組。與傳統(tǒng)FEM-BIM方法相比，在保證計(jì)算精度的前提下，F(xiàn)EM-BIMFMM可以極大地提高仿真效率，降低計(jì)算機(jī)內(nèi)存需求。最后，結(jié)合Monte-Carlo方法，數(shù)值分析了二維介質(zhì)高斯粗糙面下方炸彈型金屬目標(biāo)的電磁散射特性，研究了土壤濕度、炸彈埋地深度和地面粗糙度對(duì)復(fù)合模型BSC的影響，并給出了一些有意義的結(jié)論。