張文匯，劉婷

西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070

20世紀(jì)90年代，Enochs等［1-2］引入了Gorenstein投（內(nèi)）射模和Gorenstein平坦模，這三類模及其維數(shù)理論構(gòu)成了Gorenstein 同調(diào)代數(shù)的理論核心。近年來，隨著Gorenstein 同調(diào)理論的進(jìn)一步豐富發(fā)展，出現(xiàn)了許多有重要理論意義的研究成果。2009年，丁南慶和毛立新先后引入GorensteinFP-內(nèi)射模和強(qiáng)Gorenstein平坦模，這分別是特殊的Gorenstein 內(nèi)射模和Gorenstein 投射模［3-4］。之后，Gillespie 將這兩類模重新命名為Ding 投射模和Ding 內(nèi)射模［5］。2015 年，唐曦在交換的Noether 環(huán)上引入了n-Gorenstein 投射模和n-Gorenstein內(nèi)射模的概念，并且研究了這兩類模的同調(diào)性質(zhì)［6］。

本文所提到的環(huán)均指有單位元的非零結(jié)合環(huán)，模均指酉模。

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，我們討論形式下三角矩陣環(huán)上n-Ding 模的刻畫及其同調(diào)性質(zhì)。稱左R-模M是Ding 投射模，如果存在投射模的正合列P：… →P1→P0→P-1→P-2→…，使得M?Im(P0→P-1)，且對任意平坦左R-模F，序列HomR(P，F(xiàn))正合；稱左R-模E是FP-內(nèi)射模，如果對任意有限表示左R-模H，ExtR1(H，E) = 0；稱左R-模N是Ding 內(nèi)射模，如果存在內(nèi)射模的正合列?：… →I1→I0→I-1→I-2→…，使得N?Im(I0→I-1)，且對任意FP-內(nèi)射左R-模E，序列HomR(E，?)正合。對于環(huán)R，用LM(R)（RM(R)）表示左（右）R-模范疇，RM(MR)表示左（右）R-模M，用pdM(fdM，F(xiàn)P-idM)表示R-模M的投射（平坦，F(xiàn)P-內(nèi)射）維數(shù)。模M的示性模M+= HomZ(M，Q/Z)，Z 表示整數(shù)集，Hi(X) 表示復(fù)形X的第i次同調(diào)群。

定義范疇LM(A) 和LM(B) 的積LM(A) × LM(B) 是如下范疇：其對象為有序?qū)?M，N)，其中M∈LM(A)，N∈LM(B). 任取LM(A) × LM(B) 中的對象(M，N) 和(M′，N′)，態(tài)射集

對任意態(tài)射(f，g)：(M，N) →(M′，N′)和(f′，g′)：(M′，N′) →(M″，N″)，態(tài)射的合成為(f′，g′)(f，g)：=(f′f，g′g).

以下是我們要用到的范疇LM(T) 與LM(A) × LM(B) 之間的幾個(gè)函子：

定義q：LM(T) →LM(A) × LM(B)為

且對LM(T)中的任意態(tài)射有

因此(p，q)，(q，h)均為伴隨對，從而q是正合函子，p保持投射對象，h保持內(nèi)射對象[10]。

1 n-Ding投射模

下面討論形式下三角矩陣環(huán)T上n-Ding 投射模的相關(guān)性質(zhì)。

證明 （i）存在投射左T-模的正合列

由引理1可得投射左A-模的正合列

其中M1?Im. 任取平坦左A-模F，則存在左T-模的正合列

其中φF：U?AF→U?AF是同構(gòu)。因此可誘導(dǎo)復(fù)形的短正合列

因?yàn)閒dUA＜+∞，由文獻(xiàn)［10］的引理2.3 可知序列U?AΔ1正合，所以圖中1 ?λ1是單同態(tài)。再由引理1知，φ-1是單同態(tài)，故φM是單同態(tài)。

由第一列和第二列的正合性及長正合序列引理，可得投射左B-模的正合列

對任意m∈Z，由函子p，q的伴隨性，得

（ii）因?yàn)棣誐：U?AM1→M2是單同態(tài)，所以存在左T-模的正合列

其中φM1：U?AM1→U?AM1是同構(gòu)。又因?yàn)镸1是n-Ding 投射左A-模，所以存在投射左A-模的正合列

使得M1?Imf0，且對任意平坦左A-模F，任意整數(shù)i≥-n，Hi(HomA(Λ，F(xiàn))) = 0. 因?yàn)閒dUA＜+∞，所以序列U?AΛ 正合，因此可得投射左T-模的正合列

因?yàn)樽驜-模M2/ImφM是n-Ding 投射模，所以存在投射模的正合列

使得M2/ImφM?Imα0，且對任意平坦左B-模G， 任意整數(shù)i≥-n，Hi(HomB(Θ，G)) = 0. 因此可得投射左T-模的正合列

2 n-Ding內(nèi)射模

設(shè)Γ 是 一 范 疇， 其 對 象 是 三 元 組W=(W1，W2)φW， 其 中W1∈RM(A)，W2∈RM(B) 且φW：W2?BU→W1是 右A-模 同 態(tài)。任 意 兩 個(gè) 對 象(W1，W2)φW與(X1，X2)φX間 的 態(tài) 射 是g=(g1，g2)，其 中g(shù)1∈HomA(W1，X1)，g2∈HomB(W2，X2)，且滿足φX(g2?1) =g1φW. 范疇RM(T)與范疇Γ 等價(jià)[15]。我們?nèi)砸匀M(W1，W2)φW的形式表示右T-模。注意到，g是單（滿）同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)g1和g2是單（滿）同態(tài)。設(shè)W=(W1，W2)φW是右T-模，由伴隨同構(gòu)HomA(W2?BU，W1)?HomB(W2，HomA(U，W1)). 任取w∈W2，u∈U，定 義：W2→HomA(U，W1) 的 作 用 為(w)(u) =φW(w?u)， 則是 右B- 模 同 態(tài)。 設(shè)g=(g1，g2)：(W1，W2)φW→(X1，X2)φX，

類似地，可以定義范疇RM(A) 和RM(B) 的積，即范疇RM(A) × RM(B)以及范疇RM(T)與RM(A) ×RM(B)之間的幾個(gè)函子：

p：RM(A) × RM(B) →RM(T)，p(W1，W2)=((W2?BU)⊕W1，W2)φW，其 中φW：W2?BU→(W2?BU)⊕W1的標(biāo)準(zhǔn)單射；對任意態(tài)射(g1，g2)，p(g1，g2)=((g2?B1)⊕g1，g2).

q：RM(T) →RM(A) × RM(B)，對 任 意 右T-模W=(W1，W2)φW，q((W1，W2)φW)= (W1，W2)，且 對 范 疇RM(T)中的任意態(tài)射(g1，g2)，q((g1，g2)) =(g1，g2).

則(p，q)，(q，h)均為伴隨對，從而q是正合函子，p保持投射對象，h保持內(nèi)射對象[11]。

定義2[13]設(shè)n是一固定的正整數(shù)。稱右R-模N是n-Ding內(nèi)射模，如果存在內(nèi)射模的正合列

使得N?Im(I0→I-1)，對任意FP-內(nèi)射右R-模E，任意整數(shù)i≥-n，Hi(HomR(E，Ι)) = 0.

稱環(huán)R是右凝聚環(huán)，如果每個(gè)有限生成右理想都有限表示。下面我們討論形式下三角矩陣環(huán)T上n-Ding內(nèi)射模的結(jié)構(gòu)。

引理3[11]設(shè)W=(W1，W2)φW是一右T-模。

（i）W是內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)W1是內(nèi)射右A-模，Ker是內(nèi)射右B-模，且是滿同態(tài)；

（ii） 若T是右凝聚環(huán)，UA是有限表示模，則W是FP-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)W1是FP-內(nèi)射右A-模，Ker是FP-內(nèi)射右B-模，且是滿同態(tài)。

命題1 設(shè)T是右凝聚環(huán)，UA是有限表示模，且fdBU＜+∞. 若J是FP-內(nèi)射右A-模，則右T-模(J，0)0的FP-內(nèi)射維數(shù)有限。

證明 不妨設(shè)fdBU=m＜+∞. 由右T-模的序列

的正合性，可誘導(dǎo)出左T-模的正合列

定理2 設(shè)T是右凝聚環(huán)，BU是平坦模，UA是有限表示模且其投射維數(shù)有限，W=(W1，W2)φW是右T-模。

（i） 若W是n-Ding內(nèi)射模，則W1是(n- 1)-Ding內(nèi)射右A-模，是滿同態(tài)，且Ker是n-Ding內(nèi)射右B-模；

（ii） 若W1是n-Ding 內(nèi)射右A-模，是滿同態(tài)，且Ker是n-Ding 內(nèi)射右B-模，則W是n-Ding 內(nèi)射模。

證明 （i）存在內(nèi)射右T-模的正合列

使得W?Im(，)，且對任意FP-內(nèi)射右T-模E=(E1，E2)φE，任意整數(shù)i≥-n，Hi(HomT(E，Δ))= 0. 由引理3可得內(nèi)射右A-模的正合列

其中W1?Im. 任取FP-內(nèi)射右A-模J，則右T-模的序列

正合，且對任意f∈HomA(U，J)，u∈U，φJ(rèn)(f?u) =f(u)，從而是同構(gòu)。于是得到復(fù)形的短正合列

由 引 理3 可 知， (J，HomA(U，J))φJ(rèn)是FP- 內(nèi) 射 右T- 模， 故 對 任 意 整 數(shù)i≥-n，Hi(HomT((J，HomA(U，J))φJ(rèn)，Δ)) = 0. 因?yàn)锽U是平坦模，由文獻(xiàn)［11］的引理4.2 可知，HomA(U，J)是FP-內(nèi)射右B-模，故(0，HomA(U，J))0是FP-內(nèi)射右T-模，因此對任意整數(shù)i≥-n，Hi(HomT((0，HomA(U，J))0，Δ)) =0. 利用長正合序列引理可知，對任意整數(shù)i≥-n+ 1，Hi(HomT((J，0)0，Δ)) = 0. 對任意m∈Z，由

故對任意整數(shù)i≥-n+ 1，Hi(HomT((J，0)0，Δ)) ?Hi(HomA(J，Δ1)) = 0，因此W1是(n- 1)-Ding 內(nèi) 射 右A-模。

設(shè)(π1，π2)：(，)φ0→W是序列Δ中的滿同態(tài)，考慮如下交換圖。

因?yàn)閜dUA＜+∞，所以由文獻(xiàn)［10］的引理2.5 可知，序列HomA(U，Δ1)正合，故π1*是滿同態(tài)。又因?yàn)?，)φ0是內(nèi)射右T-模，所以由引理3可知是滿同態(tài)。因此是滿同態(tài)。

對任意j∈Z，存在態(tài)射ρj：Ker→Ker，使得行正合的下圖可交換。

由第二列和第三列的正合性及長正合序列引理，可得內(nèi)射右B-模的正合列

綜上，再由文獻(xiàn)［13］的命題2.3可知在正合列(*)中，右T-模W=(W1，W2)φW是n-Ding內(nèi)射模。

推論2 設(shè)R是右凝聚環(huán)，T=是由R作成的形式下三角矩陣環(huán)，W=(W1，W2)φW是一右T-模。

（i） 若W是n-Ding 內(nèi)射模，則W1是(n- 1)-Ding 內(nèi)射右R-模，是滿同態(tài)，且Ker是n-Ding 內(nèi)射右R-模；

（ii） 若W1，Ker是n-Ding 內(nèi)射右R-模，是滿同態(tài)，則W是n-Ding 內(nèi)射右T-模。

證明 由文獻(xiàn)［16］的推論4.5可知T是右凝聚環(huán)，再由定理2易見結(jié)論成立。