唐博， 王鵬， 張紅， 馮定*

(1.長江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 荊州 434023； 2.湖北省油氣鉆完井工具工程技術(shù)研究中心， 荊州 434023)

指向式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向工具是目前國內(nèi)外石油鉆井領(lǐng)域先進(jìn)的定向鉆井工具，其具有鉆井效率高和惡劣環(huán)境下鉆井能力高等諸多優(yōu)點(diǎn)，適應(yīng)目前油藏開發(fā)的發(fā)展趨勢[1-2]。在導(dǎo)向工具鉆井作業(yè)時(shí)，主軸的動(dòng)力學(xué)特性是旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向系統(tǒng)可靠性的決定性因素之一[3]，導(dǎo)向工具主軸的動(dòng)力學(xué)行為與井眼軌跡設(shè)計(jì)和控制密切相關(guān)。因此，有必要深入研究導(dǎo)向工具主軸的動(dòng)力學(xué)特性。

目前，國外關(guān)于旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究方面主要集中于底部鉆具組合的動(dòng)力學(xué)特性研究[4-6]，而對導(dǎo)向工具主軸動(dòng)力學(xué)特性的探討較少。中國對導(dǎo)向工具主軸的動(dòng)力學(xué)特性研究主要集中在以下幾個(gè)方面：馮定等[7]基于動(dòng)態(tài)有限元積分算法，分析了導(dǎo)向工具主軸轉(zhuǎn)速、偏心距及鉆壓對主軸力學(xué)行為的影響。張光偉等[8]基于有限元法進(jìn)行了導(dǎo)向工具主軸振動(dòng)的模態(tài)分析。張紅[9]采用能量法建立了導(dǎo)向工具主軸的動(dòng)力學(xué)方程。田偉康[10]使用傳遞矩陣法求出了主軸橫向振動(dòng)的固有頻率。

綜上所述，中國關(guān)于導(dǎo)向工具主軸動(dòng)力學(xué)特性方面常用的研究方法主要包括有限元法[11]、能量法以及傳遞矩陣法。但有限元方法和能量法建模過程煩瑣，求解耗時(shí)較長[12]，相比于前兩種方法，傳遞矩陣法主要優(yōu)勢在于建模靈活和計(jì)算求解效率較高[13]，且中國對導(dǎo)向工具主軸的動(dòng)力學(xué)特性研究并沒有考慮導(dǎo)向工具外殼和軸承對主軸的影響，使得計(jì)算結(jié)果不夠精確。因此，綜合考慮導(dǎo)向工具外殼與主軸的相互作用，采用整體傳遞矩陣法[14]，建立了工作狀態(tài)下指向式導(dǎo)向工具外殼-軸承-主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型?；谏鲜瞿Ｐ驼归_了導(dǎo)向工具偏心主軸的動(dòng)力學(xué)特性分析，推導(dǎo)了偏心主軸任意節(jié)點(diǎn)的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力方程，并通過主軸測點(diǎn)實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證了力學(xué)模型的合理性。

1 導(dǎo)向工具系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為指向式導(dǎo)向工具結(jié)構(gòu)示意圖。主軸通過上支撐軸承和下支撐軸承與外殼連接，組成了外殼-軸承-主軸動(dòng)態(tài)耦合系統(tǒng)?？紤]外殼撓曲變形對主軸力學(xué)行為的影響，采用整體傳遞矩陣法建立導(dǎo)向工具外殼-軸承-主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。在簡化過程中，按照質(zhì)心不變的原則[15]，將主軸和外殼均離散為采用N段無質(zhì)量彈性軸聯(lián)接的集中質(zhì)量[16]；軸承和夾持機(jī)構(gòu)簡化為具有徑向剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的彈簧。此外，為了確保外殼與主軸具有相同的單元數(shù)，在主軸鉆頭段對應(yīng)的外殼處引入長度和質(zhì)量均為零的虛段外殼，使之與主軸分段邏輯對齊[14]。

圖1 指向式導(dǎo)向工具結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of point-bit steerable tool

F1為偏置機(jī)構(gòu)給主軸的偏置力，N；F2為偏置機(jī)構(gòu)給外殼的偏置 力，N；Kr為外殼與夾持機(jī)構(gòu)接觸的徑向剛度，N/m；Kθ為外殼 與夾持機(jī)構(gòu)接觸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，N·m/rad；Kc為耦合軸承徑向 剛度，N/m；Kch為耦合軸承轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為，N·m/rad圖2 外殼-軸承-主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Housing-bearing-spindle system dynamics model

根據(jù)等截面梁的計(jì)算結(jié)果[16]，如果要求的導(dǎo)向工具主軸的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算誤差小于1%，那么分段總數(shù)N應(yīng)滿足

N≥1+5.34r

(1)

式(1)中：N是需要?jiǎng)澐值妮S段數(shù)；r為需要求解的固有頻率階數(shù)。

設(shè)主軸和外殼任意節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)矢量分別為

(2)

則將主軸和外殼狀態(tài)矢量合并置于同一向量中可得到整體傳遞矩陣的狀態(tài)矢量，即

(3)

式(3)中：y為撓度，m；θ為轉(zhuǎn)角，rad；M為彎矩，N·m；Q為剪力，N。

根據(jù)力學(xué)平衡條件和材料力學(xué)理論[14]，可以分別寫出主軸和外殼的質(zhì)量—梁單元傳遞矩陣，其傳遞矩陣形式如下所示。

主軸質(zhì)量-梁單元傳遞矩陣為

(4)

外殼質(zhì)量-梁單元傳遞矩陣為

(5)

式中：v為剪切變形系數(shù)；EI為無質(zhì)量軸段的抗彎剛度，N·m2；G為剪切彈性模量，GPa；L為無質(zhì)量軸段長度，m；A為橫截面面積，m2；F為偏置力，N；q為重力分布載荷，N/m；Jp為極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m2；Jd為直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m2；m為集中質(zhì)量，kg；ω為固有頻率，Hz。

將式(4)和式(5)合并可得到外殼-主軸整體單元傳遞矩陣為

(6)

此外，由于導(dǎo)向工具主軸與外殼通過軸承連接在一起，如圖3所示。

圖3 外殼與主軸耦合示意圖Fig.3 Schematic diagram of coupling between housing and spindle

因此，根據(jù)整體傳遞矩陣法，主軸和外殼在耦合處需要通過耦合矩陣滿足協(xié)調(diào)條件[13]，設(shè)耦合點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)i處， 根據(jù)協(xié)調(diào)方程[14]可推導(dǎo)出外殼與主軸的耦合矩陣為

(7)

由上述可知，在外殼-軸承-主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中，整體狀態(tài)矢量存在傳遞關(guān)系，即

(8)

式(8)中：Si為外殼-軸承-主軸系統(tǒng)整體傳遞矩陣。

2 導(dǎo)向工具動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 導(dǎo)向工具整體臨界轉(zhuǎn)速和振型

外殼-軸承-主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中主軸與外殼端點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)狀態(tài)矢量相同，導(dǎo)向工具第1個(gè)節(jié)點(diǎn)是鉆頭端，第N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)是上支撐軸承端。

上支撐軸承端為固定狀態(tài)不變，即

ZN+1=[0Ⅰ0ⅠMⅠQⅠ10Ⅱ0ⅡMⅡQⅡ1]T

(9)

非鉆進(jìn)工況下，鉆頭端節(jié)點(diǎn)為自由狀態(tài)，即

Z1=[yⅠθⅠ0Ⅰ0Ⅰ1yⅡθⅡ0Ⅱ0Ⅱ1]T

(10)

且第一個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)矢量和第N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)矢量之間可通過式(8)表示為

ZN+1=SZ1

(11)

式(11)中：S=SNSN-1…S3S2S1

則將式(9)和式(10)代入式(11)可得方程AX=B為

(12)

式(12)中:Sa,b為S矩陣的第a行第b列的元素。為使式(12)有非零解，則其特征行列式必須為0，即

A=0

(13)

對特征方程式(13)求解即可得到非鉆進(jìn)工況下導(dǎo)向工具整體固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速，將固有頻率代入式(12)，解此方程組就可得到鉆頭端的狀態(tài)矢量，再將固有頻率和鉆頭端的狀態(tài)矢量代入式(11)即可得到導(dǎo)向工具對應(yīng)于此階固有頻率的振型。

2.2 偏心主軸軸身幾何方程和力學(xué)方程求解

將導(dǎo)向工具主軸的工作轉(zhuǎn)速代入式(12)進(jìn)行求解即可得到節(jié)點(diǎn)1處狀態(tài)矢量Z1。將主軸的轉(zhuǎn)速ω和狀態(tài)矢量Z1代入式(8)即可得到偏心主軸任意節(jié)點(diǎn)i處的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力為

(14)

式(14)中：S=Si-1Si-2…S1；Sa,b為傳遞矩陣S的第a行第b列的元素。

3 實(shí)例計(jì)算

3.1 導(dǎo)向工具系統(tǒng)整體固有頻率和振型

基于上述力學(xué)模型，進(jìn)行固有頻率和振型計(jì)算。以指向式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向工具為例,其外殼外徑為180 mm,內(nèi)徑為150 mm,總長為2 685 mm,彈性模量為211 GPa,泊松比為0.3,質(zhì)量為164 kg,主軸外徑為70 mm,內(nèi)徑為40 mm,主軸總長為3 063 mm, 彈性模量為195 GPa,泊松比為0.28,質(zhì)量為62 kg。

(1)固有頻率計(jì)算：主要分析導(dǎo)向工具前三階固有頻率,根據(jù)式(1)計(jì)算應(yīng)將導(dǎo)向工具劃分為17段,即N=17,具體的劃分如圖4所示，在節(jié)點(diǎn)4處和節(jié)點(diǎn)17處分別為下支撐軸承和上支撐軸承所對應(yīng)的位置,在節(jié)點(diǎn)5處和節(jié)點(diǎn)16處為夾持機(jī)構(gòu)對應(yīng)的位置,節(jié)點(diǎn)7處為偏置機(jī)構(gòu)對應(yīng)的位置。

圖4 導(dǎo)向工具具體劃分示意圖Fig.4 Schematic diagram of steerable tool concrete division

對式(13)求解可得到導(dǎo)向工具系統(tǒng)前三階固有頻率，分別為199.716、550.724、946.690 Hz，由于導(dǎo)向工具主軸的最高工作轉(zhuǎn)速為200 r/min，低于一階臨界轉(zhuǎn)速，因此導(dǎo)向工具在工作過程中不會(huì)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，安全性和可靠性可以得到保障。

(2)主軸振型計(jì)算：主軸偏置機(jī)構(gòu)施加偏置力F1使主軸節(jié)點(diǎn)7處撓度為6 mm時(shí)，將前三階固有頻率和節(jié)點(diǎn)1處狀態(tài)矢量Z1代入式(14)即可得到相應(yīng)的主軸前三階振型，如圖5所示。

從圖5可知，從鉆頭處到下支撐軸承處，越靠近下支撐軸承，主軸前三階固有振型振幅越小，且下支撐軸承處振幅接近零；從下支撐軸承到偏置機(jī)構(gòu)處，越靠近偏置機(jī)構(gòu)，一階和二階固有振型振幅越大，而三階固有振型振幅變化狀態(tài)為先減小后增大(小-大)；從偏置機(jī)構(gòu)到上支撐軸承處，隨著靠近上支撐軸承，主軸一階振型振幅變化狀態(tài)為大-小，主軸二階振型振幅變化狀態(tài)為小-大-小，主軸三階振型振幅變化狀態(tài)為大-小-大-小，且在上支撐軸承處前三階振型振幅均為零。可見，階數(shù)越高，主軸振型越復(fù)雜。

3.2 主軸測點(diǎn)偏移量計(jì)算

為與下文導(dǎo)向工具室內(nèi)實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對比分析，此處主要計(jì)算導(dǎo)向工具主軸測點(diǎn)偏移量。主軸測點(diǎn)[9]為近鉆頭端、距離下支撐軸承100 mm處，為計(jì)算方便，將其設(shè)置為主軸節(jié)點(diǎn)3，即式(14)中i=3，分別代入工具主軸轉(zhuǎn)速30、60、90 r/min可得不同偏心距下主軸測點(diǎn)偏移量，結(jié)果如表1所示。

從表1可知，當(dāng)導(dǎo)向工具內(nèi)外偏心環(huán)合成偏心距不變時(shí)，轉(zhuǎn)速對主軸測點(diǎn)偏移量影響較??；當(dāng)轉(zhuǎn)速一定時(shí)，偏心距與主軸測點(diǎn)偏移量成正比關(guān)系。

表1 測點(diǎn)偏移量實(shí)驗(yàn)結(jié)果均值、理論結(jié)果和誤差

4 室內(nèi)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提出的力學(xué)模型，以現(xiàn)有的井眼軌跡控制工具實(shí)驗(yàn)臺(tái)架[9]為基礎(chǔ)，開展主軸測點(diǎn)偏移量實(shí)驗(yàn)，測得不同偏心距和轉(zhuǎn)速下電渦流位移傳感器處主軸的偏移量，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析，來驗(yàn)證導(dǎo)向工具外殼-軸承-主軸系統(tǒng)力學(xué)模型理論分析的合理性，測試裝置如圖6所示，其具體參數(shù)在3.1節(jié)中已敘述。

4.1 主軸測點(diǎn)偏移量測試原理

指向式導(dǎo)向工具主軸測點(diǎn)偏移量測試原理圖如圖7所示。

圖6 井眼軌跡控制工具實(shí)驗(yàn)臺(tái)架Fig.6 Well trajectory control tool test bench

圖7 測試原理圖Fig.7 Test schematic

采用四個(gè)電渦流位移傳感器，分別布置于主軸上C-C′截面上對應(yīng)主軸外徑上(在圖中EFGH處)，測量主軸C點(diǎn)處變形后點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)x1、x2，縱坐標(biāo)y1、y2，主軸截面中心沿x軸、y軸兩個(gè)橫向運(yùn)動(dòng)耦合的合位移為exy，即主軸測點(diǎn)偏移量為

(15)

4.2 主軸測點(diǎn)偏移量實(shí)驗(yàn)結(jié)果及誤差分析

將對應(yīng)偏心距和不同轉(zhuǎn)速下測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取平均值，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果、理論結(jié)果和誤差計(jì)算匯總，如表1所示。從表1可以看出，主軸在30、60、90 r/min三種轉(zhuǎn)速下，理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合度較好，最大誤差為 6.48%，滿足工程需要。

通過上述分析可知，實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)與理論計(jì)算的結(jié)果較為一致，因此建立的動(dòng)力學(xué)模型合理且可靠。

5 結(jié)論

(1)綜合考慮了指向式導(dǎo)向工具外殼和主軸的相互作用，基于整體傳遞矩陣法，建立可用于分析導(dǎo)向工具偏心主軸動(dòng)力學(xué)特性的外殼-軸承-主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

(2) 通過力學(xué)模型計(jì)算了指向式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向工具前三階固有頻率和主軸偏置6 mm時(shí)的前三階振型，得出結(jié)論，主軸最高工作轉(zhuǎn)速200 r/min遠(yuǎn)小于一階臨界轉(zhuǎn)速，因此，在導(dǎo)向工具主軸工作過程中不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)可以安全、穩(wěn)定地運(yùn)轉(zhuǎn)。

(3)通過力學(xué)模型推導(dǎo)了導(dǎo)向工具偏心主軸任意節(jié)點(diǎn)處的幾何方程和力學(xué)方程，并結(jié)合實(shí)例，計(jì)算了不同轉(zhuǎn)速和不同偏心距下的主軸測點(diǎn)偏移量。

(4)利用高造斜率井眼控制工具的實(shí)驗(yàn)臺(tái)架對不同轉(zhuǎn)速和不同偏心距下主軸測點(diǎn)偏移量進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)與理論計(jì)算結(jié)果非常接近，最大誤差僅為6.48%，驗(yàn)證了所建力學(xué)模型的合理性。