馮偉,劉光宇,曹禹,王帥,趙恩銘,邢傳璽

（1.大理大學(xué)工程學(xué)院,云南 大理 671003;2.云南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院,云南 昆明 650504）

隨著科技的不斷發(fā)展,圖像處理技術(shù)越來(lái)越多地被應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)領(lǐng)域中,圖像邊緣檢測(cè)作為圖像處理中最基本且重要的步驟,圖像邊緣檢測(cè)技術(shù)也成為近些年的研究重點(diǎn)和熱點(diǎn)[1-2].到目前為止,研究人員已經(jīng)提出了多種不同的邊緣檢測(cè)算法,檢測(cè)效果各有特點(diǎn),檢測(cè)結(jié)果在準(zhǔn)確性、連續(xù)性、邊緣寬度以及抑制噪聲等方面都有很大差異,但不能找到一種有效的算法適用于大多數(shù)的圖像[3],所以通過(guò)分析邊緣檢測(cè)的效果確定每種檢測(cè)方法的優(yōu)缺點(diǎn)和適應(yīng)性, 對(duì)后續(xù)的圖像處理選擇合適的邊緣檢測(cè)算法非常重要.

本文采用Roberts 算子、Prewitt 算子、Sobel 算子、Laplace 算子和Canny 算子這5 種微分算子分別對(duì)原圖和含噪圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè),并分析每種邊緣檢測(cè)方法的優(yōu)缺點(diǎn)和差異.

1 微分算子的邊緣檢測(cè)原理

1.1 邊緣檢測(cè)原理

圖像邊緣檢測(cè)是指從圖像中檢測(cè)出邊緣點(diǎn)和邊緣線段,然后描述出邊緣方向的過(guò)程[4].圖像信息變化時(shí)會(huì)出現(xiàn)邊緣,由于在描繪圖像邊緣時(shí),要將圖上具有相同關(guān)系的邊緣連接成邊緣線,可以利用如下公式來(lái)找到邊緣的位置和確定邊緣的方向[5-6].

用（x,y）表示為當(dāng)前像素點(diǎn)位置,f（x,y）為當(dāng)前像素點(diǎn)位置的灰度值,通過(guò)微分計(jì)算得到灰度圖像的梯度變化,由于灰度圖像是一個(gè)離散的二維函數(shù),微分計(jì)算分別對(duì)水平方向x 和垂直方向y 求偏導(dǎo)可以得到梯度變化,計(jì)算公式如下

梯度的幅值可以用 | ?f(x,y)|表示,它代表梯度變化的大小,計(jì)算公式如下

用M（x,y）表示梯度幅值,將（2）式化簡(jiǎn)可得

因此對(duì)于圖像中的一個(gè)像素點(diǎn)（x,y）,判定這個(gè)像素點(diǎn)是否是邊緣點(diǎn),可以通過(guò)設(shè)定一個(gè)閾值來(lái)判斷,若微分算子計(jì)算后像素點(diǎn)梯度變化幅值大于該閾值,就確定為邊緣[7],以此得到含有邊緣信息的圖像,可以保留圖像中最重要的信息特征,剔除不相關(guān)的信息而大幅減少圖像的數(shù)據(jù)量[8].

1.2 Roberts 算子

Roberts 算子是簡(jiǎn)單的一階線性微分代數(shù)算子,它是一種基于斜率梯度的部分微分來(lái)計(jì)算邊緣梯度的方法[9].梯度大小代表邊緣的強(qiáng)度,梯度的方向與代表邊緣的強(qiáng)度方向垂直（正交）.其計(jì)算方法如下

Rx和Ry分別表示在水平方向和垂直方向Roberts 算子計(jì)算得到的像素點(diǎn)的灰度值, 可以用模板表示,模板中的元素表示算式中相應(yīng)像素的加權(quán)因子,水平方向和垂直方向模板分別為

1.3 Prewitt 算子

Prewitt 微分算子是一階微分算子,它是通過(guò)在像素點(diǎn)和圖像內(nèi)部邊緣或者頂點(diǎn)附近處通過(guò)找出可以達(dá)到一個(gè)圖像極值的內(nèi)部來(lái)檢測(cè)邊緣,是可以去掉部分偽差的檢測(cè)算子,對(duì)外部圖像噪聲源的影響具有平滑性和補(bǔ)償性的作用[10].其計(jì)算方法如下

Px和Py分別表示在水平方向和垂直方向Prewitt 算子計(jì)算得到的像素點(diǎn)的灰度值,轉(zhuǎn)換為模板得到

1.4 Sobel 算子

Sobel 算子是一階微分算子,它用于檢測(cè)像素梯度圖像的邊緣亮度,Sobel 算子強(qiáng)調(diào)了像素位置的效果,從而減少了邊緣的模糊[11].它是對(duì)當(dāng)前行或列對(duì)應(yīng)的值加權(quán)后,再進(jìn)行平均和差分,其計(jì)算方法如下

Sx和Sy分別表示在水平方向和垂直方向Sobel 算子計(jì)算得到的像素點(diǎn)的灰度值,其卷積模板為

1.5 Laplace 算子

Laplace 算子是一個(gè)二階微分線性算子.它是無(wú)方向性的算子,它的邊緣方向不需要依靠二階導(dǎo)數(shù),而是表示像素點(diǎn)附近鄰域與該點(diǎn)像素點(diǎn)值的差[12].Laplace 算子的計(jì)算如下

L（x,y）表示在處Laplace 算子計(jì)算得到的像素點(diǎn)的灰度值,轉(zhuǎn)換為模板得到

1.6 Canny 算子

Canny 算子是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),是對(duì)信噪比和定位精度之乘積的最優(yōu)逼近算子[13],它由以下四個(gè)步驟組成.

第一步：對(duì)圖像高斯濾波.

高斯濾波的主要作用是平滑（模糊）圖像,將圖像中的噪聲減少,也可能增加邊緣的寬度.高斯函數(shù)是一個(gè)類似于正態(tài)分布的函數(shù),用σ 表示標(biāo)準(zhǔn)差,經(jīng)過(guò)高斯濾波后得到（x,y）處的灰度值為C（x,y）,高斯濾波后的灰度值可由如下公式得到

第二步：計(jì)算梯度幅值和梯度方向.

在圖像中,梯度被用來(lái)表示灰度值的變化程度和方向.計(jì)算梯度幅值和梯度方向的方法如公式（3）和公式（4）所示.

第三步：對(duì)幅值進(jìn)行非極大值抑制.

非極大值抑制是用來(lái)過(guò)濾不是邊緣的點(diǎn),使邊緣的寬度盡可能用較少的像素進(jìn)行表示.計(jì)算整個(gè)圖像的梯度幅值,保留每個(gè)方向上梯度幅值最大的點(diǎn),并將其余的像素點(diǎn)的灰度值置為0[14].

第四步：采用雙閾值檢測(cè)和連接邊緣.

選擇兩個(gè)大小不同的閾值,將像素點(diǎn)的灰度值分為三類,它們分別是大于高閾值的像素點(diǎn)、低于低閾值的像素點(diǎn)以及介于高閾值和低閾值之間的像素點(diǎn),將第一類像素點(diǎn)確定為強(qiáng)邊緣點(diǎn),將灰度值置為1,將低于低閾值的像素點(diǎn)確定為非邊緣點(diǎn),將其灰度值置為0,介于高閾值和低閾值之間的像素點(diǎn)確定為弱邊緣點(diǎn),當(dāng)弱邊緣連接到強(qiáng)邊緣時(shí)才能確定為邊緣[15],以減少邊緣的寬度并確保邊緣檢測(cè)的連續(xù)性.

2 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1.1 實(shí)驗(yàn)流程 實(shí)驗(yàn)流程圖如圖1 所示.對(duì)原始灰度圖像添加噪聲并濾波, 得到一幅濾波后的灰度圖像,對(duì)原始灰度圖像和濾波后的灰度圖像進(jìn)行直方圖對(duì)比,分別利用5 種微分算子進(jìn)行邊緣檢測(cè),最后分析結(jié)果以及評(píng)價(jià)每種算子抑制噪聲的能力.

圖1 實(shí)驗(yàn)流程Fig.1 Experimental flowchart

以尺寸為256×256、位深度為8 的五葉地錦灰度圖像作為原始圖像,格式為jpg,如圖2 所示為五葉地錦灰度圖像.

圖2 五葉地錦灰度圖像Fig.2 Gray image of virginia creeper

對(duì)五葉地錦灰度圖像添加方差為0.01 的高斯噪聲,并采用5×5 模板的高斯濾波處理五葉地錦灰度圖像[16],得到高斯濾波后的灰度圖像如圖3 所示.

圖3 高斯濾波后的灰度圖像Fig.3 Gaussian filtered gray image

2.1.2 直方圖對(duì)比 對(duì)圖像邊緣檢測(cè)的目的是利用微分算子對(duì)圖像邊緣進(jìn)行提取,能夠準(zhǔn)確地顯示目標(biāo)物的信息,所以將最終邊緣檢測(cè)的結(jié)果表示為一幅二值化圖像,此時(shí)圖像中只有像素值為0 和1 的兩個(gè)像素,其中0 代表的是黑色,即利用非邊緣像素點(diǎn)充當(dāng)背景,1 代表白色,即圖中目標(biāo)物的邊緣,以此清晰地顯示邊緣檢測(cè)的結(jié)果.

灰度級(jí)直方圖是圖像的一種統(tǒng)計(jì)表達(dá),它反映了該圖中不同灰度出現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)概率,所以可以通過(guò)直方圖直接觀測(cè)灰度級(jí)出現(xiàn)的頻率[17].對(duì)五葉地錦灰度圖像和高斯濾波后的灰度圖像進(jìn)行直方圖統(tǒng)計(jì),可以直觀的看到灰度級(jí)分布和出現(xiàn)頻率的變化,如圖4 所示為兩幅灰度圖像的直方圖分布,其中灰度值大小的變化和整體灰度分布的變化存在比較大的差異,如圖4-b 所示,使用高斯濾波后的圖像灰度變化更加平緩.

圖4 兩幅灰度圖像的直方圖分布Fig.4 Histogram distribution of two gray images

2.2 灰度圖像效果圖和分析

2.2.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 使用5 種微分算子分別對(duì)五葉地錦灰度圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果如圖5 所示.

圖5 五葉地錦邊緣檢測(cè)結(jié)果Fig.5 Edge detection results of Virginia creeper

圖5-a~e 分別為Roberts 算子、Prewitt 算子、Sobel 算子、Laplace 算子和Canny 算子對(duì)五葉地錦灰度圖像邊緣的檢測(cè)結(jié)果.圖5-a~c 對(duì)原始灰度圖像邊緣檢測(cè)的效果是較為相似的,對(duì)梯度較為明顯的部分檢測(cè)準(zhǔn)確性較高,但都對(duì)一些梯度變化較小的部分無(wú)法準(zhǔn)確檢測(cè),且存在斷點(diǎn)問(wèn)題,而圖3-a 邊緣檢測(cè)寬度比圖5-b 和圖5-c 稍窄一點(diǎn).圖5-d 對(duì)圖像邊緣檢測(cè)的連續(xù)性不夠,出現(xiàn)的斷點(diǎn)較多,檢測(cè)結(jié)果差于其它微分算子的檢測(cè)結(jié)果.圖5-e Canny 算子檢測(cè)的邊緣寬度較小,可以將梯度變化較小的邊緣檢測(cè)出來(lái),邊緣連續(xù)性高,檢測(cè)效果最好.

2.2.2 不同像素比值計(jì)算 邊緣檢測(cè)后的圖像是一幅二值化圖像,圖5 中每幅圖像只含有兩個(gè)像素值,每幅圖像兩種像素值的數(shù)量差距比較大,Prewitt 算子和Sobel 算子中的像素值為1 的像素較多,而Canny算子像素值為0 的像素較多.利用直方圖可以更加直接的對(duì)比兩種像素點(diǎn)的數(shù)量,由于像素?cái)?shù)量較大,為了方便計(jì)算與可觀測(cè),采用比值計(jì)算方法得到兩種類型像素?cái)?shù)量的比值,令像素點(diǎn)值為0 的全部像素點(diǎn)之和除以像素點(diǎn)為1 的全部像素點(diǎn)之和,比值越大,說(shuō)明圖中像素點(diǎn)為1 的白色越多,比值越小,說(shuō)明像素點(diǎn)為0 的黑色越多.

如圖6 為計(jì)算結(jié)果,Laplace 算子和Canny 算子的比值比較大,像素點(diǎn)值為1 的像素較少,Prewitt 算子和Sobel 算子的比值較小,像素點(diǎn)值為1 的像素較少,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.

圖6 灰度圖像邊緣檢測(cè)比值Fig.6 Gray image edge detection ratio

2.3 濾波后灰度圖像效果圖和分析

2.3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 使用5 種微分算子分別對(duì)高斯濾波后的灰度圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果如圖7 所示.

圖7 濾波后的灰度圖像檢測(cè)結(jié)果Fig.7 Detection results of filtered gray image

圖7-a~e 分別為Roberts 算子、Prewitt 算子、Sobel 算子、Laplace 算子和Canny 算子對(duì)濾波后的灰度圖像邊緣檢測(cè)結(jié)果.圖7-a 和圖7-d 受噪聲干擾影響較大,對(duì)圖像邊緣檢測(cè)的效果較差.圖7-c 和圖7-d對(duì)濾波后的灰度圖像檢測(cè)結(jié)果較為相似,大部分邊緣被檢測(cè)出來(lái),但含有明顯的噪聲,檢測(cè)結(jié)果一般.圖7-e Canny 算子對(duì)濾波后的灰度圖像的檢測(cè)結(jié)果最優(yōu),將大部分的噪聲過(guò)濾掉,檢測(cè)連續(xù)性較好,邊緣定位準(zhǔn)確,檢測(cè)結(jié)果顯示比較清晰.

2.3.2 不同像素比值計(jì)算 在圖7 濾波后的灰度圖像邊緣檢測(cè)結(jié)果中,Laplace 算子的邊緣檢測(cè)效果最差,圖像中信息最混亂,含有的噪聲最多,所以它的像素值為1 的像素點(diǎn)數(shù)量最多,Prewitt 算子和Sobel 算子的去噪能力比Roberts 算子稍好一些,Roberts 算子含有像素值為1 的像素點(diǎn)數(shù)量稍多,Canny 算子檢測(cè)效果最好,邊緣清晰且含有的噪聲最少,它的像素值為1 的像素點(diǎn)數(shù)量最少.采用比值計(jì)算方法,令像素點(diǎn)值為0 的全部像素之和除以像素值為1 的全部像素之和,得到兩種像素值出現(xiàn)頻率的比值.

圖8 為經(jīng)過(guò)邊緣檢測(cè)的濾波后灰度圖像中兩種像素值出現(xiàn)頻率的比值.其中Laplace 算子的比值最小, 含有像素值為1 的像素點(diǎn)最多,Roberts 算子、Prewitt 算子和Sobel 算子的像素值為1 的像素點(diǎn)數(shù)量比較相近,Canny 算子的比值最大,說(shuō)明它含有像素值為1 的像素點(diǎn)最少,且和其他算子的比值差距較大,去噪能力相比較其他算子有比較大優(yōu)勢(shì).

圖8 濾波后的灰度圖像邊緣檢測(cè)比值Fig.8 Edge detection ratio of filtered gray image

2.3.3 數(shù)據(jù)比較 以五葉地錦灰度圖像的檢測(cè)結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn),分析每種微分算子對(duì)濾波后的灰度圖像檢測(cè)效果,通過(guò)峰值信噪比、均方誤差和信噪比等數(shù)據(jù)比較每種微分算子抑制噪聲的能力,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 濾波后灰度圖像邊緣檢測(cè)變化數(shù)據(jù)Tab.1 Change data of gray image edge detection after filtering

在表1 中,Canny 算子檢測(cè)得到的峰值信噪比的值和信噪比的值最大、均方誤差的值最小,說(shuō)明對(duì)噪聲的抑制能力最好,與Canny 算子檢測(cè)后的圖像信息一致.峰值信噪比、信噪比和均方誤差數(shù)據(jù)次之的Prewitt 算子和Sobel 算子的檢測(cè)結(jié)果稍弱,Laplace 算子對(duì)濾波后灰度圖像檢測(cè)效果最差.

3 小結(jié)

本文的微分算子邊緣檢測(cè)方法基于圖像灰度值的梯度變化,采用不同的微分算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)和對(duì)比分析.通過(guò)分析不同算子邊緣檢測(cè)的優(yōu)缺點(diǎn)和適應(yīng)性,實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,原圖的檢測(cè)結(jié)果基本與圖像中實(shí)際的邊緣信息相符合,Canny算子檢測(cè)效果最好,而Sobel 算子和prewitt 算子檢測(cè)的邊緣寬度較大,Roberts算子和Laplace 算子的對(duì)邊緣的定位稍差一些,且Laplace 算子的斷點(diǎn)問(wèn)題較嚴(yán)重.而在含噪圖像的檢測(cè)中,受噪聲影響的檢測(cè)結(jié)果差異性較大,Laplace 算子受噪聲影響最大,檢測(cè)效果最差,Roberts 算子對(duì)噪聲的抑制能力次之,prewitt 算子和Sobel 算子檢測(cè)結(jié)果相似,但都含有噪聲,Canny 算子對(duì)噪聲抑制能力最強(qiáng),檢測(cè)效果最好.