魏 操 程時(shí)清 白 江 李宗澤 史文洋 吳嘉鑫，3

（1. 中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249；2. 延長油田股份有限公司吳起采油廠，陜西吳起 717600；3. 中國航油集團(tuán)儲運(yùn)有限公司，上海 201100）

0 引 言

目前，對低滲油藏的生產(chǎn)井普遍進(jìn)行水力壓裂，井距較小，特別是二次加密后測試井的壓力恢復(fù)資料易受鄰井生產(chǎn)或注水影響，壓力導(dǎo)數(shù)曲線在中后期出現(xiàn)“上翹”或“下掉”特征［1-3］?，F(xiàn)有試井分析方法常將該特征考慮為受邊界的影響［4?5］，導(dǎo)致解釋結(jié)果失真。此外，常用壓裂井試井方法主要將裂縫視為有限導(dǎo)流裂縫［6-11］，求解方法主要為半解析法（Green 源函數(shù)法、Newman 乘積原理、Fredholm 型積分、邊界元法）和數(shù)值法，半解析方法和數(shù)值方法可以處理各種復(fù)雜儲層情況，但計(jì)算多數(shù)不收斂且時(shí)間較長，現(xiàn)場應(yīng)用不方便。針對這個(gè)問題，S.T.Lee 等［12］提出了解析的三線性流模型，計(jì)算速度雖然得到很大提升，但中后期的誤差很大，因此本文提出適用于各個(gè)階段的有限導(dǎo)流裂縫模型解析解。當(dāng)存在鄰井干擾時(shí)，業(yè)內(nèi)通常在單井試井模型基礎(chǔ)上運(yùn)用疊加原理獲得測試井的壓力響應(yīng)［13］。林加恩等［14］建立了適合于直井的油藏注采系統(tǒng)多井壓力恢復(fù)干擾試井分析方法。李順初等［15］、李成勇等［16］研究了均質(zhì)無限大儲層2 口直井共同生產(chǎn)時(shí)的干擾試井模型。程時(shí)清等［17］建立多級壓裂水平井干擾試井模型，通過干擾試井判斷來水方向。A.Uraiet 等［18］把裂縫考慮為均勻流量裂縫，利用干擾試井分析方法確定壓裂裂縫的延伸方向和位置。H.Cinco?Ley 等［19］在Uraiet 等模型的基礎(chǔ)上提出有限導(dǎo)流垂直裂縫干擾試井模型。目前考慮鄰井干擾情況下的有限導(dǎo)流裂縫解析試井分析方法未被提出。

針對多井試井分析中半解析和數(shù)值解計(jì)算速度、收斂性和解釋精度問題，本文提出多井干擾下有限導(dǎo)流裂縫井解析試井分析方法，不僅大幅降低試井反演時(shí)間，還能獲取鄰井干擾發(fā)生時(shí)間、干擾量、干擾井位置和地層參數(shù)，應(yīng)用于長慶油田某區(qū)塊，解釋效率和精度顯著提高。

1 鄰井干擾下有限導(dǎo)流裂縫井解析試井模型

均質(zhì)無限大儲層中存在1 口壓裂直井，該井作為測試井，周圍n口直井作為干擾井以定產(chǎn)量生產(chǎn)（圖1）。

圖1 垂直裂縫井鄰井干擾示意（俯視）Fig.1 Sketch of adjacent well interference for vertical fractured well（Top view）

基本假設(shè)：①裂縫以井筒為中心對稱，半長為xf，寬度為bf，高度為h（地層厚度），無因次導(dǎo)流系數(shù)為FcD；②鄰井以產(chǎn)量qj（j=1，2，3，…，n）生產(chǎn)，不考慮井儲和表皮效應(yīng)；③地層孔隙度為φ，滲透率為K，原始地層壓力為pi，綜合壓縮系數(shù)為Ct，流體黏度為μ；④地層流體只通過裂縫向井筒供液，基質(zhì)向裂縫供液而不直接流入井筒；⑤單相微可壓縮流體流動(dòng)符合達(dá)西定律，忽略毛管力和重力影響；⑥井筒以定產(chǎn)量qw生產(chǎn)（井底產(chǎn)量），考慮井儲和表皮效應(yīng)。

模型的建立如圖2 所示，有限導(dǎo)流和無限導(dǎo)流裂縫的井底壓力（pwD）雙對數(shù)曲線僅在早期流動(dòng)階段（線性流和雙線性流）存在差異，在中后期兩類裂縫的壓力響應(yīng)幾乎一致。根據(jù)這個(gè)現(xiàn)象，利用三線性流模型和無限導(dǎo)流裂縫模型的早期近似解建立導(dǎo)流能力影響函數(shù)來表征兩類裂縫早期壓力響應(yīng)的差異（標(biāo)號①），然后疊加無限導(dǎo)流裂縫解（標(biāo)號②）獲得有限導(dǎo)流裂縫模型的解析解。在此基礎(chǔ)上利用疊加原理得到鄰井干擾下的有限導(dǎo)流裂縫模型的解析解。

圖2 有限導(dǎo)流和無限導(dǎo)流裂縫壓力響應(yīng)差異Fig.2 Pressure response difference between finite conductivity and infinite conductivity fractures

為方便模型建立，需要給出無因次定義，公式為：

式中：p——地層壓力，MPa；Q——油氣井產(chǎn)量，m3/d；B——體積系數(shù)；t——時(shí)間，h；c——井筒儲集系數(shù)，m3/MPa；x—橫軸坐標(biāo)距離，m；y——縱軸坐標(biāo)距離，m；Kf——裂縫滲透率，10?3μm2；bf——裂縫寬度，m；pD——無因次壓力；tD——無因次時(shí)間；CD——無因次井儲系數(shù)；xD，yD，rD——無因次坐標(biāo)系統(tǒng)；FcD——無因次裂縫導(dǎo)流系數(shù)；qjD——第j口鄰井無因次產(chǎn)量。

首先，根據(jù)S.T.Lee 等［12］提出的三線性流模型，同時(shí)考慮到裂縫體積較小，裂縫內(nèi)流動(dòng)近似為一維穩(wěn)態(tài)滲流，給出三線性流模型的解（詳細(xì)步驟可查閱文獻(xiàn)［12］，不再贅述），公式為

至于無限導(dǎo)流裂縫解，A.C.Gringarten 等［20］在均勻流量裂縫模型的基礎(chǔ)上提出將計(jì)算點(diǎn)設(shè)置在裂縫長度的0.732 處獲得井底壓力解，公式為

式中 K0——第二類0階修正貝塞爾函數(shù)。

解析反演式（11），得

當(dāng)時(shí)間處于早期時(shí)，誤差函數(shù)趨近于1，指數(shù)積分函數(shù)趨近于0，式（12）簡化為

對式（13）進(jìn)行Laplace 變換得到無限導(dǎo)流裂縫模型在Laplace 空間的早期近似解

根據(jù)式（10）和式（14）初步得到導(dǎo)流能力影響函數(shù)的表達(dá)式為

如圖2 所示，無限導(dǎo)流裂縫解（式（11））和疊加導(dǎo)流能力影響函數(shù)（式（15））得到有限導(dǎo)流裂縫模型的解析解為

由于在線性流和徑向流之間的過渡段，本文的解析解與Cinco?Ley 等提出的半解析解計(jì)算結(jié)果存在差異，本文參考A.F.Wilkinson［21］的工作并結(jié)合模型的無因次定義給出修正項(xiàng)，即

最終，根據(jù)式（16）和式（17）得到有限導(dǎo)流裂縫模型的解析解

考慮井儲和表皮效應(yīng)，借鑒A.F.Van Everdingen 和W.Hurst［22］的工作得到井底壓力解為

當(dāng)存在鄰井干擾的情況時(shí)，在單井模型的基礎(chǔ)上運(yùn)用疊加原理獲得測試井的井底壓力解?？紤]鄰井為定產(chǎn)量生產(chǎn)，首先得到其在測試井處的壓力干擾為

式中：rjD——第j口干擾井距測試井的無因次距離；pjD——第j口干擾井在測試井處產(chǎn)生的干擾壓力；rwD——無因次徑向距離。

在公式（19）的基礎(chǔ)上運(yùn)用疊加原理即獲得多井干擾下有限導(dǎo)流裂縫井的解析解為

其中，piwD表示鄰井干擾下有限導(dǎo)流裂縫的井底壓力解，第1 項(xiàng)為考慮井儲表皮效應(yīng)的有限導(dǎo)流裂縫解析解，第2 項(xiàng)為鄰井在測試井處產(chǎn)生的壓力干擾。公式（21）同樣可用于氣井試井分析，此時(shí)壓力變?yōu)橐?guī)整化的擬壓力，時(shí)間變?yōu)橐?guī)整化的擬時(shí)間。

2 模型驗(yàn)證

利用Saphir 軟件數(shù)值試井模塊（Numerical Analysis）構(gòu)建數(shù)值模型，用以驗(yàn)證提出模型的準(zhǔn)確性，非結(jié)構(gòu)PEBI 網(wǎng)格兼有笛卡爾網(wǎng)格的規(guī)則性和有限元網(wǎng)格的靈活性，方便處理裂縫附近的網(wǎng)格加密，因而使用非結(jié)構(gòu)PEBI 網(wǎng)格離散整個(gè)油藏區(qū)域。如圖3 所示，垂直裂縫井位于區(qū)域中心，設(shè)置地層滲透率為10×10?3μm2，孔隙度為0.2%，綜合壓縮系數(shù)為1 GPa?1，地層厚度為10 m，流體黏度為1.2 mPa·s，裂縫半長為100 m，測試井產(chǎn)量為10 m3/d，考慮4 口注水干擾井，單井注水量為1.5 m3/d，干擾井距測試井為300 m，數(shù)值模型中不考慮井儲系數(shù)和表皮的影響。設(shè)置了6 組不同無因次裂縫導(dǎo)流系數(shù)（0.5，1，2，10，50，100）的模擬，用以對比本文模型和數(shù)值模型的結(jié)果。如圖4所示，當(dāng)無因次裂縫導(dǎo)流系數(shù)小于1 時(shí)（這種情況較少發(fā)生：因?yàn)榈蜐B儲層往往地層滲透率較低，而填砂裂縫的滲透率很高，F(xiàn)cD一般大于1），模型計(jì)算的中后期結(jié)果誤差較大，大于1 時(shí)和數(shù)值模型的結(jié)果沒有差異。

圖3 數(shù)值模型離散示意（俯視）Fig.3 Sketch of numerical model discretization（Top view）

圖4 解析模型和數(shù)值模型壓力計(jì)算結(jié)果對比Fig.4 Comparisons of pressure calculation by analytical and numerical models

3 鄰井同時(shí)生產(chǎn)壓降曲線特征

由式（12）可知，鄰井對測試井的干擾主要影響因素是鄰井產(chǎn)量和井間距離，根據(jù)2 個(gè)因素的組合關(guān)系，討論3 種情形。在敏感性分析中，設(shè)置1 口測試井和3 口干擾井，無因次井儲系數(shù)為0.001，表皮系數(shù)為0.01，無因次裂縫導(dǎo)流系數(shù)為10π。

3.1 鄰井產(chǎn)量不同、井距不同的情形

圖5為均質(zhì)儲層中1口有限導(dǎo)流裂縫井（測試井）和3 口油井同時(shí)生產(chǎn)的壓降曲線，3 口油井的無因次產(chǎn)量分別為1，3，5，情形（a）中，油井1、油井2、油井3 的無因次距離分別為2 000，200，20；情形（b）中，油井1、油井2、油井3 的無因次距離分別為20，200，2 000。兩種情形的典型曲線皆存在4 個(gè)徑向流段，兩種情形對比可以看出，鄰井與測試井的無因次距離越小，產(chǎn)生的影響越快；鄰井的無因次產(chǎn)量影響4 個(gè)徑向流段“臺階”的高度。

圖5 鄰井產(chǎn)量不同、井距不同情形下壓降典型曲線Fig.5 Typical pressure drop curves with different production and different spacing adjacent wells

在情形（a）中，第1 徑向流段（0.5 水平線）反映測試井本身的特征；根據(jù)鄰井的位置分布，第2 徑向流段反映干擾井3 的生產(chǎn)特征，其無因次產(chǎn)量為5，對應(yīng)水平線的縱截距為3；第3 徑向流段反映干擾井2，3 的生產(chǎn)特征，其無因次產(chǎn)量分別為3，5，對應(yīng)水平線的縱截距為4.5；第4 徑向流段反映干擾井1，2，3 的生產(chǎn)特征，其無因次產(chǎn)量分別為1，3，5，對應(yīng)水平線的縱截距為5.0。因此，總結(jié)得到水平線縱軸截距是生產(chǎn)井無因次產(chǎn)量代數(shù)和的0.5 倍，即關(guān)于上述結(jié)論，后文將給出理論證明。對于情形（b）也有相同的結(jié)論。

3.2 鄰井產(chǎn)量相同、井距不同的情形

鄰井與測試井的無因次井距主要影響干擾時(shí)間的早晚（圖6），第1 徑向流段為測試井自身的生產(chǎn)特征反映，第2、3、4 徑向流段按照無因次井距大小分別是鄰井1，1 和2，1 和2 和3 的生產(chǎn)特征反映，而水平線的縱軸截距則是測試井和對測試井產(chǎn)生影響的鄰井無因次產(chǎn)量代數(shù)和的1/2。

圖6 鄰井產(chǎn)量相同、井距不同情形下壓降典型曲線Fig.6 Typical pressure drop curves with equal production and different spacing adjacent wells

3.3 鄰井井距大致相等的情形

當(dāng)鄰井與測試井的無因次井距近似時(shí)，在壓降典型特征曲線（圖7）上將只有2 個(gè)徑向流段，第1個(gè)徑向流段（0.5 水平線）是測試井自身的生產(chǎn)特征反映，而第二個(gè)是所有井生產(chǎn)特征反映的總和。由于無因次井距近似，所有鄰井干擾基本同時(shí)反映，此時(shí)不會出現(xiàn)前面的“多臺階”曲線特征。

圖7 鄰井井距大致相同的情形下壓降典型曲線Fig.7 Typical pressure drop curves with roughly equal spacing adjacent wells

3.4 鄰井干擾下壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征理論

從式（21）可以看出，鄰井干擾下有限導(dǎo)流裂縫解析解由3 項(xiàng)組成：無限導(dǎo)流裂縫解析解項(xiàng)、導(dǎo)流能力影響函數(shù)項(xiàng)和鄰井干擾項(xiàng)。在時(shí)間處于后期時(shí)，導(dǎo)流能力影響函數(shù)的值穩(wěn)定于一個(gè)定值（圖8），其壓力導(dǎo)數(shù)的值為0。因此，鄰井干擾下有限導(dǎo)流裂縫壓力導(dǎo)數(shù)晚期近似解僅需考慮無限導(dǎo)流裂縫解析解項(xiàng)和鄰井干擾項(xiàng)。

（1） 式（12） 是 無 限 導(dǎo) 流 裂 縫 模 型 經(jīng) 過Laplace 解析反演后的實(shí)空間表達(dá)式，當(dāng)tD＞2 時(shí)，式（12）簡化為

（2） 對于鄰井干擾項(xiàng)，以一口井為例進(jìn)行Laplace 解析反演，公式為

根據(jù)指數(shù)積分函數(shù)的性質(zhì)，式（16）可寫作

將式（23），式（25）代入式（21）得到晚期近似解

在式（18）中，對時(shí)間對數(shù)求導(dǎo)可得

由式（19）可知，壓力導(dǎo)數(shù)曲線徑向流段縱截距是測試井和產(chǎn)生影響的鄰井無因次產(chǎn)量代數(shù)和的1/2。

4 應(yīng)用實(shí)例

4.1 實(shí)例一

將本方法應(yīng)用于長慶油田Z36 區(qū)塊，其中Z16井油層中深為1 895.6 m，儲層有效厚度為11 m，孔隙度為12.66 %，綜合壓縮系數(shù)為1.496 GPa?1，原油黏度為1.32 mPa·s，體積系數(shù)為1.26。Z16 井經(jīng)過井下關(guān)井壓恢測試657 h，其中有效測試時(shí)間388 h，實(shí)測壓力為5.96~8.60 MPa，壓力恢復(fù)速度較為緩慢。

Z16 井附近有1 口油井Z15（平均產(chǎn)液量為0.89 m3/d），2 口注水井Z17 和Z18（圖9）。Z16 井含水率長期保持在10 % 左右， 產(chǎn)液量低（1.15 m3/d），注水不見效，排除注水井干擾的情況。根據(jù)壓力恢復(fù)測試資料繪制雙對數(shù)曲線（圖10），壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期“下掉”并最終出現(xiàn)徑向流，初步考慮存在附近油井Z15 井的干擾。采用模型解釋，獲得井儲系數(shù)0.07 m3/MPa，表皮系數(shù)0.09，滲透率0.115×10?3μm2，裂縫半長23.91 m，裂縫導(dǎo)流系數(shù)136.43×10?3μm2·m，鄰井干擾量為0.87 m3/d，與Z15 井的日產(chǎn)液量相近，初步證明Z16 井所受干擾來自Z15 井。另外，根據(jù)兩口井的產(chǎn)量大小結(jié)合前文得到的認(rèn)識可以判斷測試井Z16井自身的徑向流段水平線縱軸截距大概在0.5。因此，Z16 井尚未出現(xiàn)徑向流段，油井Z15 的干擾信號就已到達(dá)測試井，干擾發(fā)生在壓力導(dǎo)數(shù)剛出現(xiàn)下掉的時(shí)刻（第30 h）。

圖9 長慶油田Z36區(qū)塊井位示意（俯視）Fig.9 Sketch of well locations in Block Z36 of Changqing Oilfield（Top view）

圖10 長慶油田Z36區(qū)塊Z16井雙對數(shù)擬合曲線Fig.10 Log-log fitting of Well Z16 in Block Z36 of Changqing Oilfield

4.2 實(shí)例二

將本方法應(yīng)用于長慶油田B157 區(qū)塊，其中G30 ?48 井是一口未壓裂的注水井，日注水量10 m3，關(guān)井壓降測試480.4 h，油層中深為1 978 m，儲層有效厚度為19.7 m，孔隙度為11.19 %，綜合壓縮系數(shù)為1.5 GPa?1，原油黏度為1 mPa·s，體積系數(shù)為1。如圖11 所示，G30?48 井壓力雙對數(shù)曲線出現(xiàn)線性流特征，判斷該井附近形成了誘導(dǎo)裂縫。壓力導(dǎo)數(shù)曲線在后期“下掉”并出現(xiàn)徑向流，同時(shí)結(jié)合周邊井的產(chǎn)液量情況及井的位置分布，判斷注水井間形成了水竄通道，該井在測壓過程中受到了鄰井干擾。采用本文模型解釋G30?48 井的壓力測試資料，獲得井儲系數(shù)0.48 m3/MPa， 表 皮 系 數(shù)0.001， 滲 透 率1.08×10?3μm2，裂縫半長22.01 m，裂縫導(dǎo)流系數(shù)21.04×10?3μm2·m，鄰井干擾量為6 m3/d，結(jié)合各井累計(jì)產(chǎn)液量情況，進(jìn)一步明確了水竄通道和干擾來源。

圖11 長慶油田B157區(qū)塊G30-48井雙對數(shù)擬合曲線Fig.11 Log-log fitting of Well G30-48 in Block B157 of Changqing Oilfield

5 結(jié) 論

（1）提出多井干擾下有限導(dǎo)流裂縫解析試井模型，相較于前人的半解析解和數(shù)值解，該方法的優(yōu)勢在于大幅提高了計(jì)算速度，縮短了擬合時(shí)間。

（2）模型晚期近似解及理論曲線表明：徑向流段水平線的縱截距實(shí)際是測試井和產(chǎn)生影響的鄰井無因次產(chǎn)量代數(shù)和的1/2。

（3）鄰井干擾下垂直裂縫井試井典型曲線會出現(xiàn)“多臺階”特征，反映了自身和鄰井的生產(chǎn)特征，根據(jù)“臺階”的數(shù)量和高度可判斷干擾井的數(shù)量及干擾發(fā)生的順序。

（4）實(shí)例分析表明通過實(shí)測曲線徑向流段的高程差結(jié)合測試井和干擾井的產(chǎn)量可判斷鄰井干擾發(fā)生時(shí)間、干擾量和地層參數(shù)，結(jié)合地質(zhì)和生產(chǎn)動(dòng)態(tài)資料，可進(jìn)一步確定干擾井的位置和分析水竄通道。