楊宇健，趙世偉，楊向宇

(華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣州 510640)

0 引 言

風(fēng)機(jī)、水泵廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域，其動(dòng)力源大部分是異步電機(jī)，電能利用率較低。相較于傳統(tǒng)的異步電機(jī)，內(nèi)置式永磁同步電機(jī)(以下簡(jiǎn)稱IPMSM) 具有效率高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小等優(yōu)點(diǎn)，在該領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。但現(xiàn)有的控制策略常采用id=0控制，在電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中往往不能有效利用其磁阻轉(zhuǎn)矩。最大轉(zhuǎn)矩電流比(以下簡(jiǎn)稱MTPA) 控制策略可以合理地分配直軸和交軸電流的值，使得在相同的電樞電流下，產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩最大[1]。MTPA控制對(duì)于減小電能損耗、進(jìn)一步提高恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載類電機(jī)的運(yùn)行效率有著較大的意義。

目前，對(duì)于MTPA的實(shí)現(xiàn)策略可以分為離線方法和在線方法[2]。MTPA的離線方法包括查表法、公式法、多項(xiàng)式擬合法等，離線算法需要準(zhǔn)確的電機(jī)參數(shù)和模型，對(duì)電機(jī)參數(shù)的變化較為敏感[3]。在線方法包括搜索法、信號(hào)注入法、參數(shù)辨識(shí)法等。信號(hào)注入法通過(guò)向電機(jī)的定子繞組中注入高頻小電流信號(hào)實(shí)時(shí)追蹤 MTPA 工作點(diǎn)，但依賴電機(jī)參數(shù)的準(zhǔn)確性[4]。參數(shù)辨識(shí)法可以在線辨識(shí)電機(jī)的d,q軸電感參數(shù)[5]，但在線計(jì)算量較大。在線搜索法可以擺脫對(duì)電機(jī)參數(shù)的依賴，計(jì)算量小，具有較高的魯棒性[6]。搜索法多采用定步長(zhǎng)的方式，文獻(xiàn)[7]指出，搜索法在負(fù)載轉(zhuǎn)矩快速變化時(shí)可能會(huì)失效，搜索法的的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)定性仍有待提高。文獻(xiàn)[8]改善了搜索法使能機(jī)制，可使搜索法在面對(duì)IPMSM的工況變化時(shí)具有良好的動(dòng)態(tài)性能。文獻(xiàn)[9]分析了定步長(zhǎng)搜索法應(yīng)用于IPMSM調(diào)速系統(tǒng)中的穩(wěn)定性，為調(diào)速系統(tǒng)使用該方法提供了理論依據(jù)。文獻(xiàn)[10]結(jié)合了多項(xiàng)式擬合法提出的變步長(zhǎng)搜索法，可以加快算法的收斂速度，同時(shí)改善動(dòng)態(tài)性能，但其精度依賴于的擬合的函數(shù)。文獻(xiàn)[11-13]將最優(yōu)化的理論應(yīng)用于搜索法，也可加快收斂速度，然而算法的復(fù)雜度有所增加。

本文結(jié)合恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載類電機(jī)的應(yīng)用場(chǎng)景，分析了其穩(wěn)定工作時(shí)的恒轉(zhuǎn)矩曲線特性，采用基于梯度下降法的搜索法方案實(shí)現(xiàn)MTPA控制。并在傳統(tǒng)梯度下降法的基礎(chǔ)上，結(jié)合電機(jī)運(yùn)行的實(shí)際狀況對(duì)步長(zhǎng)加以改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)MTPA工作點(diǎn)的追蹤。

1 IPMSM的MTPA控制

對(duì)IPMSM而言，其d，q軸的電壓方程可以寫(xiě)成：

(1)

式中：Ld，Lq分別為直軸電感和交軸電感；ψf為永磁體磁鏈；Rs為定子繞組電阻；id，iq為直軸和交軸電流。電磁轉(zhuǎn)矩方程：

(2)

交軸電流iq、直軸電流id和電樞電流is之間的關(guān)系：

(3)

式中：θ為電流矢量角。將電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式寫(xiě)成與定子電流和電流矢量角相關(guān)的表達(dá)式如下：

(4)

運(yùn)動(dòng)方程：

(5)

式中：TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為摩擦系數(shù)；ωm為電機(jī)轉(zhuǎn)速。

式(4)表明，當(dāng)輸出電磁轉(zhuǎn)矩一定時(shí)，存在一個(gè)最優(yōu)的電流矢量角θ，使得定子電流is幅值最小。對(duì)調(diào)速系統(tǒng)而言，采用MTPA控制可以提高電機(jī)的運(yùn)行效率。

從式(4)出發(fā)，對(duì)電流矢量角求偏導(dǎo)，并忽略電機(jī)參數(shù)的偏導(dǎo)值，可得：

(6)

2(Ld-Lq)iscos2θ+ψfcosθ-(Ld-Lq)is=0

(7)

對(duì)式(7)的一元二次方程求解，可得最優(yōu)電流矢量角：

(8)

式(8)表明，最優(yōu)電流矢量角的值由電機(jī)的d，q軸電感和永磁體磁鏈決定，MTPA曲線在d，q電流坐標(biāo)軸上的軌跡如圖1所示。

圖1 MTPA運(yùn)行軌跡

在電機(jī)實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，采用式(8)計(jì)算MTPA工作點(diǎn)對(duì)電機(jī)參數(shù)的依賴性較大，而電機(jī)參數(shù)的測(cè)量往往需要較大工作量，不利于MTPA控制的工程應(yīng)用。

2 梯度下降搜索法工作原理

對(duì)于風(fēng)機(jī)、水泵等恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載的電機(jī)，當(dāng)其工作在穩(wěn)態(tài)時(shí)，可以認(rèn)為輸出的電磁轉(zhuǎn)矩Te恒定。此時(shí)的MTPA 問(wèn)題是如何在一定的電磁轉(zhuǎn)矩下，跟蹤其定子電流的最小值點(diǎn)。定義目標(biāo)函數(shù)為定子電流is的大小，變量為電流矢量角θ，對(duì)于在某恒轉(zhuǎn)矩區(qū)工作的電機(jī)，MTPA 問(wèn)題可等效為有約束條件的非線性規(guī)劃問(wèn)題：

(9)

此時(shí)定子電流is和電流矢量角θ滿足一定的映射關(guān)系，對(duì)式(4)求解電流is的解析式可得：

(10)

電流矢量角θ的工作范圍為(90°，180°)，可以看出，目標(biāo)函數(shù)is(θ)是以輸出電流矢量角θ為自變量的一元非線性函數(shù)。電機(jī)工作的恒轉(zhuǎn)矩曲線如圖2所示，其中定子電流變化量的梯度為▽is=Δis/Δθ。圖2中,以MTPA工作點(diǎn)θMTPA為分界線，當(dāng)電機(jī)工作點(diǎn)位于分界線左側(cè)時(shí)，其定子電流變化量的梯度▽is<0；當(dāng)工作點(diǎn)位于分界線右側(cè)時(shí)，其定子電流變化量的梯度▽is>0；當(dāng)電機(jī)工作在MTPA工作點(diǎn)附近時(shí)，曲線的斜率越來(lái)越平緩，達(dá)到MTPA工作點(diǎn)時(shí)，則有▽is=0。

圖2 恒轉(zhuǎn)矩區(qū)工作下的電機(jī)is-θ曲線

綜合上述分析的曲線特性，本文擬采用梯度下降法的策略對(duì)MTPA工作點(diǎn)進(jìn)行搜索。梯度下降法的思想是沿著目標(biāo)函數(shù)的梯度方向進(jìn)行搜索，直至找到目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)。采用梯度下降搜索法的收斂過(guò)程步驟如下：

(1)選擇初始值θ0為初始的電流矢量角，Δθ0為初始步長(zhǎng)，置k=0；

(2)以θk+1=θk+Δθk更新電流矢量角，待系統(tǒng)穩(wěn)定后計(jì)算梯度▽is(θk)；

(3)ε為允許的最小誤差，如果|▽is(θk)|<ε，則停止迭代，輸出θ*=θk+1，否則轉(zhuǎn)到步驟(4)；

(4)以迭代公式Δθk+1=-t▽is(θk)更新搜索步長(zhǎng)，t為系統(tǒng)學(xué)習(xí)率，k=k+1，回到步驟(2)。

上述梯度下降搜索法的迭代收斂過(guò)程流程圖如圖3所示。

圖3 梯度下降搜索法流程圖

梯度下降法的步長(zhǎng)Δθ是決定算法收斂速度和準(zhǔn)確率的關(guān)鍵參數(shù)。若步長(zhǎng)設(shè)置過(guò)小，雖能獲得良好的準(zhǔn)確率，但同時(shí)會(huì)導(dǎo)致算法收斂速度變慢；而步長(zhǎng)設(shè)置過(guò)大，算法前期會(huì)快速運(yùn)行，但到后期會(huì)在極值點(diǎn)附近產(chǎn)生振蕩，阻礙算法收斂。針對(duì)電機(jī)的實(shí)際運(yùn)行狀況，本文對(duì)傳統(tǒng)的梯度下降法步長(zhǎng)進(jìn)行如下改進(jìn)：

(11)

式中:b為最小步長(zhǎng)。在工作點(diǎn)遠(yuǎn)離MTPA工作點(diǎn)時(shí)，采用隨機(jī)梯度下降法，式(11)中t為常數(shù)。當(dāng)接近MTPA工作點(diǎn)時(shí)，由于系統(tǒng)的梯度變化不明顯，此時(shí)改用定步長(zhǎng)的方式進(jìn)行搜索。

實(shí)際應(yīng)用梯度下降法對(duì)工作點(diǎn)進(jìn)行追蹤時(shí)，需保證電機(jī)的工作點(diǎn)處于一條恒轉(zhuǎn)矩曲線上。因此，應(yīng)在電機(jī)處于穩(wěn)態(tài)工作一段時(shí)間后再啟用搜索法，并且由于電流環(huán)存在一定的調(diào)節(jié)過(guò)程，搜索法的控制周期不能設(shè)定得太短，具體時(shí)間需結(jié)合工程實(shí)際設(shè)置。

3 仿真結(jié)果及分析

為驗(yàn)證上述控制策略的有效性，利用MATLAB/Simulink搭建了系統(tǒng)仿真模型。仿真實(shí)驗(yàn)的電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM部分參數(shù)

下面仿真驗(yàn)證電機(jī)在起動(dòng)和突加負(fù)載后，梯度下降搜索法對(duì)MTPA工作點(diǎn)的追蹤過(guò)程。其中系統(tǒng)的仿真時(shí)間為3 s，初始負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0.1 N·m，在1 s時(shí)突加負(fù)載為0.2 N·m，參考轉(zhuǎn)速為1 000 r/min。初始電流矢量角為90°，初始步長(zhǎng)Δθ0=3°，搜索法控制周期為0.06 s，系數(shù)t=125，b=1°，允許的最小誤差ε=0.005，仿真實(shí)驗(yàn)的波形如圖4所示。

圖4 梯度下降搜索法仿真波形

圖4(b)顯示電機(jī)在起動(dòng)后，于0.27 s時(shí)開(kāi)始搜索MTPA工作點(diǎn)，最終在0.63 s時(shí)收斂于100.7°，搜索時(shí)間為0.36 s。圖4(c)給出了定子電流幅值變化曲線，定子電流幅值從1.32 A減小到了1.14 A，電流幅值下降了約13.7%。

電機(jī)在突加負(fù)載后，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)短暫的下降，其余時(shí)間基本維持在1 000 r/min。圖4(b)顯示，突加負(fù)載后在1.64 s時(shí)開(kāi)始搜索MTPA工作點(diǎn)，最終在2 s時(shí)收斂于120.2°，搜索時(shí)間為0.36 s。觀察定子電流變化曲線，在系統(tǒng)突加負(fù)載后，梯度下降搜索法實(shí)現(xiàn)了MTPA工作點(diǎn)的追蹤，電流幅值從2.1 A減小到了1.78 A，電流下降了約15.3%，實(shí)現(xiàn)了電機(jī)運(yùn)行效率的優(yōu)化。

為驗(yàn)證梯度下降搜索法對(duì)MTPA工作點(diǎn)的追蹤性能，采用傳統(tǒng)的定步長(zhǎng)搜索法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其中定步長(zhǎng)大小為1°，其余的實(shí)驗(yàn)條件和梯度法相同，仿真波形如圖5所示。

圖5 定步長(zhǎng)搜索法仿真波形

圖5(b)顯示，電機(jī)起動(dòng)后，定步長(zhǎng)搜索法在0.27 s時(shí)開(kāi)始搜索MTPA工作點(diǎn)，最終在0.87 s時(shí)收斂于101°，搜索時(shí)間為0.6 s。突加負(fù)載后，定步長(zhǎng)搜索法在1.64 s時(shí)開(kāi)始搜索MTPA工作點(diǎn)，最終在2.66 s時(shí)收斂于119°，搜索時(shí)間為1.02 s。

對(duì)比圖4和圖5的仿真結(jié)果可知，電機(jī)起動(dòng)后，梯度下降搜索法相較定步長(zhǎng)搜索法搜索時(shí)間減少了58.6%，突加負(fù)載后的搜索時(shí)間減少了64.7%，在搜索速度上具有明顯優(yōu)勢(shì)。兩種算法在搜索過(guò)程中的電流波形平穩(wěn)，且轉(zhuǎn)速未出現(xiàn)較大波動(dòng)，可以認(rèn)為輸出的電磁轉(zhuǎn)矩穩(wěn)定。對(duì)比圖4和圖5的定子電流幅值和d，q軸電流波形，定步長(zhǎng)搜索法的電流變化趨勢(shì)相對(duì)梯度下降搜索法較為緩慢，因此梯度下降搜索法具有更快的響應(yīng)速度。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖6所示，由直流無(wú)刷電機(jī)、直流電源、磁粉制動(dòng)機(jī)以及基于STM32微控制器為核心搭建的驅(qū)動(dòng)器組成，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集通過(guò)串口通信協(xié)議傳輸至上位機(jī)平臺(tái)，如圖6所示。實(shí)驗(yàn)所用的電機(jī)參數(shù)和仿真相同。

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電機(jī)在參考轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，在空載起動(dòng)以及外界突加負(fù)載的情況下，梯度下降搜索法對(duì)MTPA工作點(diǎn)的追蹤過(guò)程。其中，電流矢量角的初始值為90°，初始步長(zhǎng)Δθ0=3°。由于電流環(huán)存在一定的調(diào)節(jié)過(guò)程，搜索法的周期設(shè)定為0.3 s，并且對(duì)采集的定子電流做了適當(dāng)?shù)臑V波處理，實(shí)驗(yàn)波形如圖7所示。

圖7 梯度下降搜索法實(shí)驗(yàn)波形

觀察圖7波形可知，電機(jī)起動(dòng)并到達(dá)1 000 r/min后，于2 s時(shí)開(kāi)啟對(duì)MTPA工作點(diǎn)的搜索，并在4.1 s時(shí)收斂于100.5°，搜索時(shí)間為2.1 s。相比于id=0控制，電流從1.56 A減小到1.28 A，電流下降了約18%。實(shí)驗(yàn)于7.6 s時(shí)突加負(fù)載，電機(jī)轉(zhuǎn)速出現(xiàn)短暫波動(dòng)后重新穩(wěn)定在1 000 r/min，待電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行一段時(shí)間后于8.6 s時(shí)開(kāi)啟對(duì)新工況下MTPA工作點(diǎn)的搜索，并在11.6 s時(shí)收斂于119°，搜索時(shí)間為3 s，定子電流大小從2.13 A減小到1.5 A，電流下降約29.6%。

采用定步長(zhǎng)搜索法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其中定步長(zhǎng)大小為1°，其余的實(shí)驗(yàn)條件和梯度法相同，實(shí)驗(yàn)波形如圖8所示。

圖8 定步長(zhǎng)搜索法實(shí)驗(yàn)波形

電機(jī)起動(dòng)后，定步長(zhǎng)搜索法在2.7 s時(shí)開(kāi)始搜索MTPA工作點(diǎn)，并在6 s時(shí)收斂于101°，搜索時(shí)間為3.3 s。突加負(fù)載后，定步長(zhǎng)搜索法在11.1 s時(shí)開(kāi)始搜索MTPA工作點(diǎn)，最終在16.5 s時(shí)收斂于119°，搜索時(shí)間為5.4 s。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，梯度下降搜索法在電機(jī)起動(dòng)后的搜索時(shí)間比定步長(zhǎng)搜索法減少了36.3%，突加負(fù)載后的搜索時(shí)間減少了44.4%，相較傳統(tǒng)搜索算法在收斂速度上提升明顯。觀察兩種算法的實(shí)驗(yàn)電流波形可知，在搜索最優(yōu)電流矢量角的過(guò)程中電機(jī)轉(zhuǎn)速均未出現(xiàn)較大波動(dòng)，輸出的電磁轉(zhuǎn)矩平穩(wěn)。對(duì)比兩種算法的實(shí)驗(yàn)電流波形可知，在搜索精度相同的情況下，梯度下降搜索法相對(duì)傳統(tǒng)算法的電流變化趨勢(shì)更加明顯，響應(yīng)速度更快。

5 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)應(yīng)用于恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載場(chǎng)景的IPMSM，本文分析了其工作時(shí)的恒轉(zhuǎn)矩曲線特性，提出了一種基于梯度下降搜索法的控制方案，以實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中MTPA工作點(diǎn)的追蹤，并結(jié)合電機(jī)運(yùn)行的具體情況對(duì)傳統(tǒng)的梯度下降法的步長(zhǎng)進(jìn)行了優(yōu)化。本文算法不依賴電機(jī)參數(shù)，便于在工程應(yīng)用中推廣。

仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于梯度下降搜索法可以有效實(shí)現(xiàn)MTPA控制，對(duì)MTPA工作點(diǎn)具有良好的追蹤性能。本文方案有利于恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載工作的電機(jī)在其長(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中節(jié)約電能，實(shí)現(xiàn)效率優(yōu)化。