季海波

（宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

在進(jìn)行可靠性壽命試驗(yàn)時(shí)，通常采用截尾試驗(yàn)的方式縮短試驗(yàn)周期，減少試驗(yàn)成本.使用較多的截尾壽命試驗(yàn)有定數(shù)截尾和定時(shí)截尾，對(duì)于這2類截尾情形下的Bayes 估計(jì)，已經(jīng)有了較為完整的結(jié)果.除定數(shù)截尾和定時(shí)截尾試驗(yàn)外，隨機(jī)截尾情形也經(jīng)常會(huì)用到[1-4].Burr XII 分布在保險(xiǎn)精算學(xué)、社會(huì)科學(xué)等很多領(lǐng)域內(nèi)都有很廣泛的應(yīng)用，在現(xiàn)有的研究結(jié)果中，暫時(shí)還無人研究隨機(jī)截尾情形下Burr XII 分布參數(shù)的Bayes 估計(jì)問題.本文研究了LINEX 損失和復(fù)合LINEX 對(duì)稱損失下Burr XII 分布參數(shù)的估計(jì)問題.

假設(shè)隨機(jī)截尾試驗(yàn)中受試產(chǎn)品的壽命為X1,X2,X3,…，它們是相互獨(dú)立且均服從于Burr XII 分布的一列隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

為方便起見，假設(shè)其中的參數(shù)α已知，θ未知.

將壽命截尾的時(shí)間設(shè)為一列相互獨(dú)立的正值隨機(jī)變量Y1,Y2,Y3,….在實(shí)際應(yīng)用中，由于隨機(jī)截尾導(dǎo)致試驗(yàn)過程中X i(i=1,2,3,…)無法被完全觀察到，僅能觀察到min（X i,Yi）和I（X i≤Yi）i=1,2,3,….在隨機(jī)截尾試驗(yàn)下，記，給定觀測值為（x1,σ1）,（x2,σ2）,…,（xn,σn），為了參數(shù)估計(jì)的存在性，假設(shè).令x=（（x1,σ1）,（x2,σ2）,…,（xn,σn）），那么由式（1）（2）可得隨機(jī)截尾下的似然函數(shù)為

2 參數(shù)θ 的Bayes 估計(jì)

取參數(shù)θ的Jeffreys 先驗(yàn)分布，其先驗(yàn)密度函數(shù)為

由式（3）（4）可知，參數(shù)θ的后驗(yàn)條件密度函數(shù)為

從而未知參數(shù)θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

定理1在LINEX 損失函數(shù)L(θ,δ)=ec(δ-θ)-c（δ-θ）-1(c?R,c≠0)下，若參數(shù)θ取Jeffreys 先驗(yàn)分布，則分布（1）中參數(shù)θ的Bayes 估計(jì)為

證明由文獻(xiàn)[5]可知，在LINEX 損失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes 估計(jì)為，由式（6）可知

文獻(xiàn)[6]提出了復(fù)合LINEX 對(duì)稱損失函數(shù)

定理2在損失函數(shù)（8）下，若參數(shù)θ取Jeffreys 先驗(yàn)分布，則分布（1）中參數(shù)θ的Bayes 估計(jì)為

證明由文獻(xiàn)[6]可知，在復(fù)合LINEX 對(duì)稱損失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes 估計(jì)為由定理1 中的結(jié)果易知，從而有證畢.

3 隨機(jī)模擬

由于本文推導(dǎo)的不同損失下的估計(jì)都是在α已知的前提下，故利用Monte-Carlo 方法進(jìn)行模擬前，先取α=2.預(yù)先給定每一部件的截尾時(shí)間y1,y2,…,yn，利用文獻(xiàn)[7]的算法產(chǎn)生隨機(jī)截尾的樣本.利用樣本數(shù)據(jù)及式（7）（9），給出對(duì)應(yīng)損失下的Burr XII 分布參數(shù)θ的Bayes 估計(jì).取a=c=1，利用Matlab 編程，隨機(jī)模擬1 500次，模擬結(jié)果見表1.

表1 2 種損失下指標(biāo)θ 的Bayes 估計(jì)模擬值

由表1可以看出，不管是哪種損失函數(shù)下的估計(jì)，都呈現(xiàn)出樣本量越大越接近真值的趨勢；相同的真值和樣本量的情形下，不管是看均值還是均方誤差，都是復(fù)合LINEX 對(duì)稱損失函數(shù)下的Bayes 估計(jì)較為優(yōu)良.故在求隨機(jī)截尾情形下Burr XII 分布參數(shù)θ的Bayes 估計(jì)時(shí)，優(yōu)先推薦利用復(fù)合LINEX 對(duì)稱損失函數(shù).