陳子旸，王秀蓮

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 天津 300387)

經(jīng)典Cramér-Lundberg風(fēng)險模型自Lundberg首次提出以來，相關(guān)問題在精算科學(xué)中受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，大部分文獻(xiàn)都假設(shè)保費(fèi)率為常數(shù)，如文獻(xiàn)[1-3]按照期望保費(fèi)原則和方差保費(fèi)原則厘定保費(fèi)。但對保險公司來說，索賠和保費(fèi)率是密切相關(guān)的，針對這一問題，很多學(xué)者對經(jīng)典的Cramér-Lundberg模型進(jìn)行改進(jìn)，考慮索賠率不是常數(shù)的情況，如文獻(xiàn)[4]研究保費(fèi)率和索賠率存在一個嚴(yán)格單調(diào)的關(guān)系下的相關(guān)問題，文獻(xiàn)[5]研究隨機(jī)保費(fèi)和交易費(fèi)用下的最優(yōu)投資再保險投資問題。上述保費(fèi)原則均是在事故發(fā)生后進(jìn)行賠償，即與未來索賠有關(guān)，但對于主觀因素較多、損失變動幅度較大的風(fēng)險，如公眾責(zé)任保險，厘定費(fèi)率時僅考慮未來索賠而忽略歷史索賠未必是合理的。文獻(xiàn)[6]證明了對于保險公司來說，未來索賠與歷史索賠是相關(guān)的。所以重視相關(guān)索賠可以更好地幫助保險公司規(guī)避未來的風(fēng)險，但這方面的研究相對較少。文獻(xiàn)[7]第一次提出采用外推偏差測量相關(guān)索賠。文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上對外推偏差進(jìn)行拓展，定義外推期望，用歷史索賠和索賠期望的初始估計(jì)的加權(quán)平均預(yù)測未來索賠的期望，在最大化終端財富的期望指數(shù)效用和均值-方差效用的目標(biāo)下，得到最優(yōu)再保險策略的解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[9]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，增加了金融市場、保險市場的不確定性并且投資了有風(fēng)險資產(chǎn)，得到了穩(wěn)健的最優(yōu)再保險投資策略。

眾所周知，金融和保險在社會中越來越重要，許多學(xué)者把風(fēng)險理論和金融數(shù)學(xué)結(jié)合起來，研究了隨機(jī)控制優(yōu)化問題，如最優(yōu)分紅、最優(yōu)投資和最優(yōu)再保險問題。特別地，再保險參與下的最優(yōu)投資問題引起了許多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[10]在Heston模型下考慮投資有風(fēng)險資產(chǎn)，研究具有跳-擴(kuò)散風(fēng)險過程的最優(yōu)超額損失再保險投資問題。文獻(xiàn)[11]基于帶漂移系數(shù)的盈余過程，考慮投資價格由CEV模型決定的風(fēng)險資產(chǎn)，在最大化終端財富分?jǐn)?shù)冪效用的目標(biāo)下，用隨機(jī)方法確定最優(yōu)再保險投資問題。文獻(xiàn)[12]研究復(fù)雜隨機(jī)環(huán)境下具有錯誤定價和模型不確定性的保險公司的優(yōu)化問題，在Ornstein-Unlenbeck模型下定義股票的瞬時收益率，通過動態(tài)規(guī)劃原理，導(dǎo)出了以最大化指數(shù)效用函數(shù)為目標(biāo)的穩(wěn)健最優(yōu)投資再保險策略的解析解。

根據(jù)隨機(jī)控制理論得到的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程通常是非線性偏微分方程，這類方程一般難以得到解析解，而應(yīng)用Legendre變換可以把最初問題轉(zhuǎn)化為對偶問題，進(jìn)一步求解線性偏微分方程得到對偶問題的解析解，為最優(yōu)策略提供了現(xiàn)實(shí)意義。文獻(xiàn)[13]利用CEV模型研究了固定繳費(fèi)型養(yǎng)老金計(jì)劃，通過Legendre變換和對偶理論給出了在退休前后兩個時期的最優(yōu)投資策略。文獻(xiàn)[14]研究在Vasicek模型下最大化HARA效用，利用Legendre變換得到最優(yōu)消費(fèi)和投資策略的解析解。文獻(xiàn)[15]采用期望保費(fèi)原則收取保費(fèi)，在CEV模型和Legendre變換下最大化終端財富期望對數(shù)效用，得到最優(yōu)再保險投資策略的解析表達(dá)式。

本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，將相關(guān)索賠保費(fèi)原則考慮進(jìn)費(fèi)率定價過程中，考慮在最大化終端財富期望下的最優(yōu)投資再保險問題，在對數(shù)效用目標(biāo)下，借助Legendre變換得到最優(yōu)再保險投資策略。

1 模型構(gòu)造

(1)

其中W1(t)是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動。有大量的研究可以表明(如文獻(xiàn)[6，16])未來索賠與歷史索賠是相關(guān)的，那么可以合理地假設(shè)保險公司認(rèn)為索賠的歷史趨勢能預(yù)測未來索賠的變化，借鑒文獻(xiàn)[9]，用外推偏差v(t)衡量相關(guān)索賠，

(2)

其中v(0)=v0=0，δ是外推強(qiáng)度(0<δ<1)，并且dL(s-ds)=L(s)-L(s-ds)代表從時刻s-ds到時刻s發(fā)生的索賠數(shù)量。

為確保歷史索賠的加權(quán)平均是有限的，假設(shè)|v(t)|≤M，0≤t≤T，其中M是一個正的常數(shù)。對式(2)求導(dǎo)，得到：

dv(t)=-δv(t)dt+δdL(t)。

通過相關(guān)索賠保費(fèi)原則，累計(jì)索賠過程(1)的微分形式為

因此

保險公司為了避免更大的風(fēng)險，采取的再保險類型設(shè)為比例再保險，t時刻的自留比例為a(t)，0≤a(t)≤1，即保險公司支付每份索賠額的a(t)，相應(yīng)的再保險公司支付余下的1-a(t)。為避免套利，保險公司購買再保險的保費(fèi)率為c1=(1+η2)(e-δtλ1μ11+v(t))，其中η2為再保險公司的安全負(fù)荷且η2>η1。因此在購買再保險之后，在t時刻保險公司盈余過程為

保險公司為了資金運(yùn)轉(zhuǎn)，在金融市場投資無風(fēng)險資產(chǎn)P0(t)和有風(fēng)險資產(chǎn)P1(t)，無風(fēng)險資產(chǎn)P0(t)的定價過程為

dP0(t)=rP0(t)dt，

其中r>0為無風(fēng)險利率。有風(fēng)險資產(chǎn)P1(t)的定價過程為

dP1(t)=αP1(t)dt+βP1(t)dW2(t)，

其中α>0，β>0，W2(t)是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動且W1(t)與W2(t)獨(dú)立。假設(shè)保險公司在t時刻投資在風(fēng)險資產(chǎn)的數(shù)量為π(t)，那么在再保險投資策略Π=(a(t)，π(t))下，對應(yīng)于保險公司的盈余過程表示為

(3)

定義1 稱Π={(a(t)，π(t))t≥0}為可行策略，如果Π中元素滿足如下條件：

(1) ?t>0，(a(t)，π(t))是關(guān)于{Ft}t≥0循序可測的；

(3) (a(t)，π(t))使式(3)有唯一的強(qiáng)解。

為方便起見，?t≥0，令a(t)=a，π(t)=π，v(t)=v。

2 相關(guān)索賠保費(fèi)原則下的最優(yōu)策略

2.1 目標(biāo)函數(shù)

假設(shè)V是一個效用函數(shù)，對于一個固定時間段[0，T]，定義

VΠ(t,v,x)=E[V(X(T))|v(t)=v，X(T)=x]，

應(yīng)用隨機(jī)控制定理，定義

本文目標(biāo)是找到最優(yōu)策略Π*，使H(t,v,x)=VΠ*(t,v,x)。由動態(tài)優(yōu)化原理，得到H(t，v，x)滿足的HJB方程[17]為

Ht+[rx+π(α-r)+(η1-η2+aη2)(e-δtλ1μ11+v)]Hx+δe-δtλ1μ11Hv+

(4)

且有邊界條件H(T，v，x)=V(x)。

根據(jù)一階最優(yōu)條件，對式(4)關(guān)于a和π求導(dǎo)，得到

(5)

再把式(5)代入式(4)得到

(6)

由于方程(6)是非線性偏微分方程，所以利用Legendre變換將其轉(zhuǎn)化為對偶問題，通過求解對偶問題得到原問題的解析解。

2.2 對偶問題

利用值函數(shù)的凸性定義如下的Legendre變換：

其中z是x的對偶變量。x的值表示為g(t，v，z)，因此

根據(jù)上面的表達(dá)式，

(7)

在終點(diǎn)時間T，定義

(8)

對應(yīng)的邊界條件為g(T，v，z)=(V′)-1(z)。

因此最初的問題轉(zhuǎn)化為對偶問題。

把式(7)代入式(6)并關(guān)于z求導(dǎo)得到

(9)

把式(7)代入式(5)得到最優(yōu)策略

(10)

因此，對于原問題，通過求解g的線性偏微分方程并從其一階導(dǎo)數(shù)中確定最優(yōu)策略a*和π*。

選擇如下的對數(shù)效用函數(shù)：

f(t,v)=B(t)v+D(t)，

對應(yīng)的最優(yōu)再保險和投資策略為

gv=2A(t)v+B(t),gvv=2A(t),gvz=0,

(11)

把式(11)代入式(9)，得到

[A(t)(r-2δη2)-A′(t)]v2+[B(t)(r-δη2)+(η1-η2)-B′(t)]v+D(t)r+

(η1-η2)e-δtλ1μ11-D′(t)-δe-δtλ1μ11B(t)-δη2e-δtλ1μ11B(t)=0,

令v2、v、常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為0，又因?yàn)檫吔鐥l件A(T)=0，B(T)=0，D(T)=0，可得

A(t)=0，

最后將式(11)代入式(10)，得到最優(yōu)再保險和投資策略的解析解：

證畢。

3 無相關(guān)索賠保費(fèi)原則下的最優(yōu)策略

(12)

最優(yōu)再保險和投資策略為

(13)

對應(yīng)的最優(yōu)再保險和投資策略為

本定理的證明過程與定理1類似，這里不再贅述。

注 將式(10)和式(13)進(jìn)行對比，最優(yōu)再保險和投資策略既有區(qū)別又有相同之處。的形式更簡單，隨著η2的增加，a*和都將增加，即保險人愿意通過自己的努力控制風(fēng)險。π*和是一樣的，因?yàn)樵俦ｋU市場和金融市場之間沒有相關(guān)性，不論考慮相關(guān)索賠與否，都不會改變投資策略。

證畢。

4 數(shù)值例證

本節(jié)分析模型參數(shù)對相關(guān)索賠原則下的最優(yōu)投資再保險策略的影響。

在保險市場中，取η1=0.02，η2=0.04，λ1=1，δ=0.12，μ11=1，μ12=1，x=5，v=0.4。在金融市場中，取α=0.04，β=0.5，r=0.02。其他參數(shù)取t=0，T=10。

圖1和圖2給出了外推強(qiáng)度δ對最優(yōu)再保險a*(t)和最優(yōu)投資π*(t)的影響。a*(t)與δ呈正相關(guān)，這意味隨著δ的增加，加權(quán)平均v(t)也增加。v(t)與財富過程的風(fēng)險呈負(fù)相關(guān)，這說明保險公司面臨的風(fēng)險越少，進(jìn)而減少對再保險業(yè)務(wù)的需求，提高風(fēng)險自留比例。相反地，π*(t)與δ呈負(fù)相關(guān)，這表明隨著δ的增加，保險公司自留比例提高，所以將把更多的資金用于保險業(yè)務(wù)，減少對風(fēng)險資產(chǎn)的投資。

圖3給出了再保險公司的安全負(fù)荷η2和外推強(qiáng)度δ對自留比例a*(t)的共同影響。通常情況下，η2越大，保險公司的自留比例越大，購買再保險量越少，但有外推強(qiáng)度δ的存在，保費(fèi)根據(jù)最近索賠情況，為了減少風(fēng)險，會增加風(fēng)險轉(zhuǎn)移，即降低自留比例。圖4表明加權(quán)平均v(t)越大，保險公司風(fēng)險自留比例越高，因此再保險需求越少。表明v(t)越大，意味著保險公司可以收取更多的保費(fèi)，有足夠的支付能力來應(yīng)對未來的索賠。

圖1 δ對a*(t)的影響 圖2 δ對π*(t)的影響

圖3 δ和η2對a*(t)的影響 圖4 v對a*(t)的影響

5 結(jié)論

本文中，保險公司購買比例再保險，同時進(jìn)行有風(fēng)險與無風(fēng)險兩種投資方式。保險公司與再保險公司在相關(guān)索賠原則下采用不同的參數(shù)定價費(fèi)率，其相關(guān)索賠通過一個外推偏差測量。在最大化保險公司終端財富對數(shù)效用的目標(biāo)下，根據(jù)隨機(jī)控制理論，應(yīng)用Legendre變換解決目標(biāo)函數(shù)的初始問題，求出了兩種保費(fèi)原則下最優(yōu)再保險投資策略的解析式。在無相關(guān)索賠原則下，劃分了終端財富的區(qū)域，確定了再保險a*等于0和1的特殊情況。通過實(shí)例分析了模型中的參數(shù)對最優(yōu)策略的影響。發(fā)現(xiàn)，外推強(qiáng)度δ在最優(yōu)策略中起著重要作用，所得結(jié)果符合我們的直觀理解。在本文的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步考慮模型在不確定性下的最優(yōu)問題，以及考慮保險市場和金融市場在相關(guān)性下的最優(yōu)魯棒投資策略。