劉晉麗，鄭文源

(1. 西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710089；2. 西安華雷船舶實業(yè)有限公司，陜西 西安 710000)

0 引 言

深孔加工技術(shù)在裝備制造業(yè)中應(yīng)用廣泛。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，對于深孔零件的要求也不斷提升，但是由于深孔加工封閉與半封閉的特殊性，很難檢測與控制其加工質(zhì)量，故一直是一項瓶頸技術(shù)[1]。而鉆桿在加工過程中出現(xiàn)的擾動現(xiàn)象會導(dǎo)致圓度形貌改變，產(chǎn)生凸角，在孔壁上生成不規(guī)則刀痕等，影響孔零件的使用，也大大降低了生產(chǎn)效率。因此，研究鉆桿擾動的形成機理和抑制擾動的方法就顯得極為緊迫。

切削液是深孔加工過程中不可缺少的物質(zhì)，起著冷卻、排屑等作用，但是其也對鉆桿在加工過程中的運動產(chǎn)生了一定的擾動作用。本文以Timoshenko梁模型為基礎(chǔ)，并考慮切削液因素，研究鉆桿擾動形成的機理和軌跡模型。

1 BTA鉆振動模型

1.1 Timoshenko梁模型

考慮到BTA鉆桿的慣性和剪切變形的影響，其微分方程為[2]：

(1)

其中，E表示鉆桿的彈性模量，G表示剪切模量，ρ表示鉆桿材料密度，K表示鉆桿的體型系數(shù)，I表示鉆桿的轉(zhuǎn)動慣量。假設(shè)式(1)解的形式為：

(2)

其中，ωi為BTA鉆的固有頻率，其表達(dá)式為：

(3)

從式(3)可以看出，剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量影響著鉆桿的固有頻率。

1.2 流固耦合振動模型

考慮到切削液引起的彎曲變形和慣性力，BTA鉆系統(tǒng)的振動將是耦合振動，其微分方程為[3]：

(4)

其中，v表示切削液的流速，ρL為切削液的密度，m是鉆桿和切削液組成的系統(tǒng)單元的單位質(zhì)量，即將切削液及鉆桿微觀分解后組成的單位體積內(nèi)的系統(tǒng)質(zhì)量，則其解的形式為：

(5)

通過分析，由于切削液的變形和慣性力的影響，降低了鉆桿的固有頻率。

2 BTA鉆削力分析

2.1 動態(tài)切削力的線性方程

當(dāng)BTA鉆在加工過程中受到理想位置的運動和速度影響時[4]，切削液對鉆桿運動的作用也會發(fā)生改變，作用力與擾動的關(guān)系一般是非線性的，但是當(dāng)干擾足夠小時，周期關(guān)系可以表現(xiàn)為線性：

(6)

其中，Δ為位移變化量。式(6)的前提是擾動足夠小，切削力與鉆桿之間的作用力與鉆桿的運動速度成正比，其表達(dá)式如下：

ΔFx=Fx-Fx0=kxxΔx+kxyΔy+

(7)

其中，kij表示剛度系數(shù)，cij表示阻尼系數(shù)，對應(yīng)于式(6)中。Δ為力的變化量，對應(yīng)于式(7)中。

2.2 切削液的剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)

鉆桿在加工過程中與切削液的相互作用如圖1所示。

圖1 鉆桿與切削液相互作用示意圖

使用雷諾方程計算切削液的剛度與阻尼系數(shù)[5]：

(8)

(9)

從式(9)中可以得到切削液的壓力表達(dá)式[6]。結(jié)合式(6)和(7)對結(jié)果進(jìn)行分析，則剛度、阻尼的表達(dá)式如下：

(10)

其中，Φa和Φb表示切削液壓力區(qū)域的起始和終止角度。

3 BTA深孔鉆運動軌跡方程

如圖1所示，在切削液的作用下，BTA鉆桿理想中心o的位置在(x，y)，實際中心o1的位置在(x1，y1)。如果鉆桿的剛度系數(shù)是k，o的微分方程：

(11)

鉆桿彈性力與切削液反作用力之間的平衡條件是：

(12)

則切削液作用力的線性表達(dá)式為：

(13)

假設(shè)解的形式為x=x0e(σ+iω)t，y=y0e(σ+iω)t，x1=x10e(σ+iω)t，y=y10e(σ+iω)t，其中σ和ω可以通過式(11)～(13)計算獲得。根據(jù)Floquet原理，鉆桿發(fā)生失穩(wěn)的邊界條件是σ=0，所以將式(10)代入式(11)，通過計算可以得到鉆桿實際中心的運動軌跡方程：

(14)

從式(14)可知：鉆桿的運動軌跡與鉆桿轉(zhuǎn)速和渦動頻率有關(guān),使用Matlab對式(14)進(jìn)行計算，以φ=23 mm的BTA鉆為例，根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知，加工孔徑為25 mm的孔，鉆桿轉(zhuǎn)速為10 rad·s-1時，則鉆桿的軌跡根據(jù)不同的渦動頻率不同，其形狀如圖2所示。

(a) 渦動頻率為5 rad·s-1 (b) 渦動頻率為10 rad·s-1

(c) 渦動頻率為20 rad·s-1 (d) 渦動頻率為30 rad·s-1

(e) 渦動頻率為50 rad·s-1 (f) 渦動頻率為60 rad·s-1

由圖2可知：鉆桿發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象的臨界值為20 rad·s-1，即當(dāng)鉆桿渦動頻率小于鉆桿轉(zhuǎn)速的2倍時，鉆桿的運動軌跡為橢圓形，當(dāng)渦動頻率大于轉(zhuǎn)速的2倍時，渦動軌跡呈現(xiàn)多凸角形式，且凸角數(shù)等于渦動頻率與轉(zhuǎn)速比值減1。所以在加工過程中，適當(dāng)增加轉(zhuǎn)速有利于提高鉆桿渦動的穩(wěn)定性。

4 結(jié) 論

本文根據(jù)BTA深孔加工過程中的實際情況，對鉆桿渦動進(jìn)行研究。使用Timoshenko梁模型對BTA系統(tǒng)進(jìn)行建模，并加入切削液的影響，建立耦合模型。通過研究切削液對鉆桿系統(tǒng)的影響規(guī)律，建立了BTA鉆桿中心的運動軌跡方程。計算結(jié)果表明：鉆桿的渦動頻率與轉(zhuǎn)速之間的比值是影響鉆桿渦動穩(wěn)定性的指標(biāo)，且比值為2是穩(wěn)定性的臨界條件。穩(wěn)定的渦動形狀為橢圓形，不穩(wěn)定的渦動形狀為多凸角形狀，且凸角個數(shù)為比值減1。