張玲，岳梢?，劉亞楠，彭文哲

（1.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410082；2.建筑安全與節(jié)能教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（湖南大學(xué)），湖南長(zhǎng)沙 410082；3.國(guó)家級(jí)建筑安全與環(huán)境國(guó)際聯(lián)合研究中心（湖南大學(xué)），湖南長(zhǎng)沙 410082）

隨著跨江、跨溝谷等斜坡地形上的高速公路建設(shè)的不斷推進(jìn)，斜坡樁基工程越來(lái)越多.斜坡基樁不僅要承受上部結(jié)構(gòu)自重等豎向荷載，還要承擔(dān)車輛制動(dòng)等水平動(dòng)荷載作用.與平地基樁相比，因斜坡巖土體應(yīng)力場(chǎng)分布不對(duì)稱，斜坡基樁樁-土耦合振動(dòng)問(wèn)題以及側(cè)向承載能力設(shè)計(jì)計(jì)算更加復(fù)雜.因此，分析水平動(dòng)荷載作用下斜坡基樁的動(dòng)力響應(yīng)具有重要的意義.

目前，國(guó)內(nèi)外已有學(xué)者針對(duì)水平靜載下斜坡基樁的受力變形分析開展了一些研究.試驗(yàn)方面，趙明華等［1］通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)探究了陡坡段雙樁基礎(chǔ)承載特性及荷載傳遞機(jī)理，為同類工程設(shè)計(jì)施工提供了有效參考；尹平保等［2］通過(guò)室內(nèi)模型試驗(yàn)研究了坡度等因素對(duì)斜坡段基樁的斜坡空間效應(yīng)的影響；楊明輝等［3］基于室內(nèi)模型試驗(yàn)指出了樁前土抗力折減效應(yīng)與坡角及臨坡距緊密相關(guān).數(shù)值模擬方面，Georgiadis 等［4］采用三維有限元軟件研究了邊坡樁基的水平承載性能，并得到了考慮坡角的p-y曲線表達(dá)式；Ng等［5］基于有限元軟件，研究了水平荷載下斜坡套筒樁的受力變形，得到了套管對(duì)斜坡樁性能影響規(guī)律.理論計(jì)算方面，趙明華等［6］和楊超煒等［7］根據(jù)m法假定，分別提出陡坡段雙樁內(nèi)力計(jì)算有限差分解及有限桿單元解；尹平保等［8］假定樁后邊坡趨于穩(wěn)定，產(chǎn)生的水平推力甚小，只考慮樁前土抗力作用，提出了基于p-y曲線法的斜坡段基樁內(nèi)力變形計(jì)算方法；楊明輝等［9］基于斜坡基樁橫向加載破壞試驗(yàn)，提出考慮陡坡效應(yīng)的應(yīng)變楔計(jì)算方法，并研究了陡坡效應(yīng)的影響范圍；Peng 等［10-11］假定斜坡地基樁前淺層土難以提供土抗力，提出修正應(yīng)變楔理論；我國(guó)《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》（JTG 3363—2019）［12］建議采用m法計(jì)算平地樁身內(nèi)力變形，對(duì)于斜坡地形可將地基反力系數(shù)比例系數(shù)m值折減一半簡(jiǎn)化計(jì)算.上述研究采用不同方式均對(duì)樁前土抗力進(jìn)行折減以考慮斜坡效應(yīng)，且取得較好的效果，但均屬于靜力學(xué)范疇，斜坡段基樁的動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算方法鮮有報(bào)道，尚缺乏系統(tǒng)深入的研究.

現(xiàn)有水平動(dòng)力響應(yīng)方面的研究主要是針對(duì)平地基樁開展的.早期有學(xué)者采用動(dòng)力Winkler地基梁模型［13-15］將樁周土模擬為彈簧和阻尼器，該模型雖簡(jiǎn)單直觀，但不能很好地反映樁土相互作用，忽略了樁周土的連續(xù)性；Nogami 等［16］和Novak 等［17］考慮土體應(yīng)力的梯度變化，將土體視為三維連續(xù)介質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造勢(shì)函數(shù)解耦土體三維波動(dòng)方程，求得樁周土水平振動(dòng)阻力，根據(jù)樁土相互作用得到樁基水平振動(dòng)響應(yīng)解析解；Zheng 等［18］將此擴(kuò)展到大直徑管樁，推導(dǎo)了黏彈性土層中大直徑管樁水平動(dòng)力響應(yīng)的解析解；欒魯寶等［19］考慮了豎向應(yīng)力梯度變化和軸向荷載二階效應(yīng)的影響，研究了黏彈性土層中樁-土橫向耦合振動(dòng)問(wèn)題；Hu 等［20］建立了徑向非均質(zhì)黏彈性土體的水平動(dòng)力阻抗解析解；趙密等［21］考慮水-樁-土之間的耦合作用，建立了水中高樁水平振動(dòng)響應(yīng)解析解.以上研究對(duì)斜坡基樁振動(dòng)響應(yīng)有著一定的參考價(jià)值.

鑒于此，本文將在現(xiàn)有平地基樁水平動(dòng)力響應(yīng)理論的基礎(chǔ)上，考慮斜坡效應(yīng)，提出適用于斜坡段基樁的水平動(dòng)力響應(yīng)解析解，以期為斜坡基樁水平振動(dòng)研究提供一定的理論參考.

1 計(jì)算模型建立及基本假定

1.1 計(jì)算模型

如圖1 所示，斜坡段基樁樁頂同時(shí)受到水平簡(jiǎn)諧荷載Q0eiωt和搖擺簡(jiǎn)諧荷載M0eiωt作用；樁長(zhǎng)為L(zhǎng)，其中自由段長(zhǎng)為L(zhǎng)1，嵌入段深度為L(zhǎng)2；樁徑為Dp=2r0.假定樁前一定深度H0范圍內(nèi)的淺層土體難以提供水平抗力［10-11］.實(shí)際計(jì)算土層厚度為H1，并設(shè)實(shí)際計(jì)算土層對(duì)應(yīng)的樁軸中心處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，沿深度方向?yàn)閦軸，水平方向?yàn)閤軸.

圖1 斜坡基樁計(jì)算模型簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculation model of pile in sloping ground

1.2 基本假定

為便于分析，根據(jù)圖1 所示的簡(jiǎn)化計(jì)算模型，進(jìn)一步做出如下假設(shè)：

1）橋梁基樁成樁后斜坡基本上趨于穩(wěn)定，樁后巖土體產(chǎn)生的水平推力甚小，故可假定樁位處斜坡是穩(wěn)定的，即不考慮斜坡的失穩(wěn)破壞，也不考慮樁側(cè)摩阻力及樁后土體水平推力的作用［8］.

2）基樁視為線彈性Euler 桿件，忽略剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，樁周土為各向同性黏彈性體［19，21］.

3）樁土體系為小變形振動(dòng)，樁-土體系接觸良好，接觸面不發(fā)生相對(duì)滑移，且只考慮水平方向位移，忽略豎向位移［19，21］.

2 樁周土層水平振動(dòng)

在水平簡(jiǎn)諧荷載作用下，樁-土體系處于簡(jiǎn)諧振動(dòng)狀態(tài)，相應(yīng)的狀態(tài)項(xiàng)均包含時(shí)間因子eiωt.為書寫方便，在以下推導(dǎo)過(guò)程中均省略eiωt項(xiàng).在對(duì)斜坡樁周土水平動(dòng)反力推導(dǎo)時(shí)，先推導(dǎo)出平地基樁周土水平動(dòng)反力，再進(jìn)一步考慮斜坡的土抗力折減效應(yīng)，最終得出斜坡基樁周土抗力表達(dá)式.

2.1 樁周土振動(dòng)方程建立

當(dāng)樁周土系統(tǒng)做水平振動(dòng)時(shí)，根據(jù)黏彈性動(dòng)力學(xué)理論，建立柱坐標(biāo)系下樁周土運(yùn)動(dòng)方程如下：

式中：ur、uθ分別為樁周土的徑向和環(huán)向位移；λs和μs為復(fù)拉梅常數(shù)，λs=2μsνs/（1-2νs），μs=Gs（1+2iξs），Gs為樁周土剪切模量，Gs=Es/（2（1+νs）），νs、Es、ξs分別為樁周土泊松比、彈性模量以及滯回阻尼比；ρs為樁周土密度.

2.2 樁周土邊界及連續(xù)性條件

樁周土邊界條件：

樁周土接觸邊界條件：

式中：up為樁身沿θ=0方向水平位移.

2.3 樁周土振動(dòng)方程求解

引入勢(shì)函數(shù)對(duì)土體振動(dòng)控制方程進(jìn)行解耦：

式中：?（r，θ，z）、ψ（r，θ，z）為土體的位移勢(shì)函數(shù).

由式（10）（11）容易得到：

將式（10）～（12）代入方程（1）（2），化簡(jiǎn)得：

式中：A、B、C、D、E和F為待定系數(shù)；Kn1（·）和In1（·）分別為n1階第一類和第二類修正Bessel函數(shù).

勢(shì)函數(shù)?的解為：

同理，可得到勢(shì)函數(shù)ψ的解：

根據(jù)式（7）并考慮修正Bessel 函數(shù)的性質(zhì)，可得B=B0=0，n1=1.由式（8）（9）可知ur是θ的偶函數(shù)，uθ是θ的奇函數(shù)，可得C=D0=0.由式（5）（6）可得E=E0=0，gn=（2n-1）π/（2H1）；n=1，2，3，….

因此可得：

式中：An、Bn為待定系數(shù).

將式（26）（27）代入方程（8）（9）化簡(jiǎn)得：

由式（28）（29）得到：

土層對(duì)樁的水平阻力p可表示為：

以上即得平地水平動(dòng)反力p的表達(dá)式，但對(duì)于斜坡而言將會(huì)存在折減效應(yīng)［8-9］，《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》（JTG 3363—2019）［12］建議當(dāng)樁基礎(chǔ)側(cè)面設(shè)有斜坡或臺(tái)階，且其坡度（橫∶豎）或臺(tái)階總寬與深度之比大于1∶20 時(shí)，地基抗力比例系數(shù)m值應(yīng)減小50%取用.即通過(guò)考慮土體強(qiáng)度折減來(lái)計(jì)算水平荷載下斜坡樁的受力變形，本文采用類似處理，對(duì)反力系數(shù)bn進(jìn)行折減，引入折減因子ζ，ζ數(shù)值大小與邊坡角度等緊密相關(guān)［2-4］，例如：尹平保等［2］基于室內(nèi)模型試驗(yàn)，提出不同坡度θs下基樁水平極限承載力的折減系數(shù)擬合式（1-θs/90°）.

綜上即得斜坡土層水平動(dòng)反力ps：

3 單樁水平振動(dòng)

根據(jù)假設(shè)1），可將圖1 土層深度H0對(duì)應(yīng)樁體劃入自由段，并在下文求解中將自由段與土層深度H0對(duì)應(yīng)樁體統(tǒng)稱為自由段，相應(yīng)的入土段則僅表示埋入土中實(shí)際計(jì)算土層對(duì)應(yīng)樁體.

3.1 單樁振動(dòng)方程建立

由動(dòng)力平衡條件建立柱坐標(biāo)系中樁運(yùn)動(dòng)方程.

自由段：

入土段：

式中：Ep為樁彈性模量；Ip為樁截面慣性矩；up0、up1分別為自由段、入土段的樁身水平位移；mp為樁單位長(zhǎng)度質(zhì)量，mp=ρpπr02，ρp為樁體密度.

3.2 單樁振動(dòng)方程求解

3.2.1 自由段

令λ4=mpω2/（EpIp），可得式（33）的解為：

式中：C1、C2、C3、C4為待定常數(shù).

由材料力學(xué)位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力之間的關(guān)系可知：

式中：φp0、Mp0、Qp0分別為樁身自由段轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力；χ0為自由段系數(shù)矩陣.

則樁身自由段上、下兩端的水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力的關(guān)系可表示為：

3.2.2 入土段

式（34）由通解與特解兩部分組成，容易得到式（34）的解為：

由樁周土接觸邊界條件式（8）（9）可得：

利用三角函數(shù)cos（gnz）正交性，式（40）兩端同乘cos（gnz），在區(qū)間［0，L］上積分可得：

由式（41）可得：

將式（42）代入式（39）中可得斜坡基樁入土段水平位移up1解：

由材料力學(xué)位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力之間的關(guān)系可得：

式中：φp1、Mp1、Qp1分別為樁身入土段轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力；χ1為入土段系數(shù)矩陣.

則入土樁段上、下兩端的水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力的關(guān)系可表示為：

結(jié)合式（38）和式（46），考慮樁身連續(xù)條件，可得樁底和樁頂?shù)乃轿灰?、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力的關(guān)系為：

式中：fp=［χ1（H1）］［χ1（0）］-1［χ0（0）］［χ1（-L1-H0）］-1.

3.3 邊界條件

Novak 等［17］給出了平地單樁樁端固定與鉸接時(shí)的樁動(dòng)力阻抗的解答，對(duì)于斜坡基樁而言，樁端一般嵌入基巖中，故本文給出式（48）樁端固定時(shí)的詳細(xì)解答，鉸接可類似得出.

樁頂已知邊界條件：

限于篇幅，下文僅給出樁頂自由、樁端固定時(shí)的詳細(xì)解答，其他邊界條件可類似得出.

3.4 動(dòng)力阻抗解答

結(jié)合邊界條件式（48），由式（47）可得樁頂彎矩、剪力和樁頂水平位移、轉(zhuǎn)角的關(guān)系：

式中：Kp為動(dòng)力阻抗矩陣，其表達(dá)式為：

樁端鉸接時(shí)的動(dòng)力阻抗矩陣為：

根據(jù)動(dòng)力阻抗的定義［15］，可得單樁水平動(dòng)力阻抗Kh、搖擺動(dòng)力阻抗Kr以及水平-搖擺耦合動(dòng)力阻抗Khr如下：

3.5 內(nèi)力變形解答

結(jié)合邊界條件式（48）（49），由式（47）可得樁頂水平位移、轉(zhuǎn)角和樁頂彎矩、剪力的關(guān)系：

式中：K0為系數(shù)矩陣，其表達(dá)式為：

綜上結(jié)合式（36）（44）即可得樁身內(nèi)力變形解.

4 算例驗(yàn)證分析

因現(xiàn)有文獻(xiàn)鮮有斜坡基樁水平動(dòng)力試驗(yàn)或數(shù)值模擬報(bào)道，難以直接用對(duì)應(yīng)試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證本文解答正確性，故下文將分兩步進(jìn)行驗(yàn)證，其一是不考慮斜坡效應(yīng)，將解答退化為平地基樁動(dòng)力問(wèn)題，并與已有平地動(dòng)力解析解對(duì)比，驗(yàn)證樁周土振動(dòng)方程以及基樁動(dòng)力阻抗方程解答正確性；其二是不考慮水平動(dòng)荷載的影響，將解答退化為斜坡基樁靜力問(wèn)題，與已有斜坡基樁靜力數(shù)值試驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證斜坡基樁水平振動(dòng)響應(yīng)解答的正確性.

4.1 算例1

為驗(yàn)證本文樁周土振動(dòng)方程的正確性，本文與Nogami 等［16］理論解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，基本參數(shù)為：r0/H1=100，νs=0.4，ξs=0.01，ζ=1，H0=0，L1=0，計(jì)算結(jié)果如圖2 所示.圖2 中土體第n振動(dòng)模態(tài)阻抗因子βn=bn/ηs（第n模態(tài)下樁在發(fā)生單位水平位移時(shí)，對(duì)應(yīng)土體在r=r0產(chǎn)生的水平阻力）；an為土體第n階固有頻率，an=π（2n-1）/2，n=1，2，3，….圖2 中橫縱坐標(biāo)分別為：無(wú)量綱土體頻率a*=/a1（a1=π/2）；無(wú)量綱土體阻抗因子=βn/（πμs）通常為復(fù)數(shù)，根據(jù)定義［16］實(shí)部為土體剛度虛部為阻尼.

由圖2 可知，本文解與Nogami 理論解［16］吻合較好，表明本文樁周土振動(dòng)方程是正確的.

圖2 不同振動(dòng)模態(tài)n下，土體阻抗因子隨頻率a*的變化對(duì)比Fig.2 Comparison of soil resistance factor with frequency a*under different vibration modes n

4.2 算例2

為驗(yàn)證本文斜坡段基樁動(dòng)力阻抗方程的正確性，令H0=0，L1=0，ζ=1，即退化為平地基樁動(dòng)力阻抗解，與Chau 等［22］解析解進(jìn)行驗(yàn)證.基本參數(shù)為：νs=0.4，ρs/ρp=0.6，L/r0=H1/r0=30，ξs=0.05，η′=0.01.邊界條件為樁端鉸接，計(jì)算結(jié)果如圖3所示.圖3中，橫坐標(biāo)為λ*/λ0，其中λ0為無(wú)土的獨(dú)立彈性樁λ*的最小值，對(duì)于樁端鉸接，Kh對(duì)應(yīng)的λ0=1.571，其他邊界條件取值見文獻(xiàn)［22］.縱坐標(biāo)Kh′=Kh（動(dòng)力）/Kh（靜力），Kh（靜力）可令ω→0，通過(guò)計(jì)算Kh（動(dòng)力）的值確定.

由圖3 可知，本文解與文獻(xiàn)［22］解吻合較好，驗(yàn)證了本文動(dòng)力阻抗方程以及相應(yīng)程序的正確性.

圖3 無(wú)量綱水平動(dòng)力阻抗隨頻率的變化對(duì)比Fig.3 Comparison of dimensionless horizontal dynamic resistance with frequency

4.3 算例3

為驗(yàn)證本文斜坡基樁水平振動(dòng)響應(yīng)解析解的正確性與適用性，令ω→0，即退化為水平靜載下斜坡基樁解答，與Peng 等［11］基于張-花高速公路現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的ABAQUS 有限元軟件解進(jìn)行對(duì)比.基本參數(shù)如下：L=L2=18，r0=1 m，ρp=2 400 kg/m3，Ep=29 600 MPa，νs=0.3，Es=100 MPa，ρs=2 000 kg/m3，ζ=0.5.樁頂受水平荷載Q0=200 kN作用，且樁頂自由，樁端固定.通過(guò)有限元解最大位移值反算土層深度H0=1Dp，計(jì)算結(jié)果如圖4 所示.圖4 中縱軸坐標(biāo)參照文獻(xiàn)［11］坐標(biāo)系，以樁頂為零點(diǎn).

圖4 表明本文解與文獻(xiàn)［11］解吻合很好，且相比于規(guī)范法誤差更小，驗(yàn)證了本文解的適用性.

圖4 樁身水平位移結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of pile lateral displacement results

5 結(jié)論

本文基于土體三維波動(dòng)方程，引入折減因子并忽略樁前一定深度范圍內(nèi)的淺層土體的水平抗力作用，求得斜坡樁周土水平動(dòng)反力；在此基礎(chǔ)上，利用Euler 模型推導(dǎo)斜坡基樁自由段以及入土段水平振動(dòng)控制方程，運(yùn)用傳遞矩陣法結(jié)合邊界條件得到斜坡段基樁水平振動(dòng)響應(yīng)解析解，并通過(guò)退化分別與已有平地基樁水平振動(dòng)響應(yīng)解析解以及斜坡基樁靜力變形有限元解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了本文斜坡基樁模型解的正確性與合理性，可為斜坡基樁水平振動(dòng)研究提供初步理論參考.