趙富強，常寶玉，李釗鈺，牛志剛

（1.太原科技大學重型機械教育部工程研究中心，山西 太原 030024；2.太原理工大學機械與運載工程學院，山西 太原 030024）

1 引言

南極內陸平均風速可達16m∕s，最大可達（40～50）m∕s，科考設備在南極考察作業(yè)時會遇到強風環(huán)境、雪丘雪隆地形，這對南極科考平臺設計提出了新要求。針對南極科考平臺肢腿［1］設計，不僅要考慮不同工況時肢腿位姿變化造成拉彎扭耦合作用變形，還需研究外形尺寸引起風阻、質量變化對整體功耗的影響。在機械設計時既要考慮降低功耗又想要提高機構承載能力，這兩個設計目標相互矛盾制約，因此，開展南極科考平臺肢腿部件優(yōu)化設計理論與方法研究，對保障南極科考平臺運行能力，提高節(jié)能水平有重要戰(zhàn)略意義。

國內外針對機械結構優(yōu)化設計主要是基于力學性能的尺寸優(yōu)化設計研究。解決多目標優(yōu)化問題常用遺傳算法、粒子群算法、蜻蜓算法［2］優(yōu)化算法。文獻［3］用七種基于群體的元啟發(fā)式算法對二維鋼框架結構進行尺寸優(yōu)化，在滿足一定的位移和應力限制條件下，使剛接鋼框架結構的重量最??；文獻［4］以尺寸和質量為約束對三軸振動夾具采用多目標遺傳算法進行輕量化和一階固有頻率最大化優(yōu)化設計；文獻［5］采用多目標遺傳算法對汽車驅動軸展開多目標優(yōu)化設計，優(yōu)化后的結構在滿足強度和剛度要求下達到了輕量化的設計目標；文獻［6］采用人工神經網絡－遺傳算法對多單元錐管展開了多目標優(yōu)化設計，提高其耐撞性。

遺傳算法雖然適用范圍廣，但有計算效率低的不足，粒子群算法對比遺傳算法有運算快的優(yōu)點，文獻［7］采用粒子群算法對復雜船舶結構展開優(yōu)化，與遺傳算法對比能更快找到最優(yōu)解；文獻［8］對萬向聯(lián)軸器叉頭展開了基于粒子群優(yōu)化算法的尺寸優(yōu)化，提高了叉頭的承載能力。采用粒子群算法求解多目標優(yōu)化問題時因為權重的分配有其局限性，以博弈思想分析可以避免這些缺陷。文獻［9］以多目標優(yōu)化設計合作博弈求解方法對4桁架和拱形壩體進行優(yōu)化；文獻［10］提出一種自適應博弈方法，以汽車制動器為例分別與競爭博弈和合作博弈進行了對比，證明了其收斂速度更快。以上文獻從整體強度、質量方面開展結構優(yōu)化分析，而在實際工況中，結構優(yōu)化不僅要考慮本身因素，還需要考慮服役環(huán)境約束對結構外形設計的影響。

這里以一種南極科考平臺肢腿部件為優(yōu)化對象，考慮因極限支撐和雪丘雪隆地形造成肢腿部件承載能力差、南極強風環(huán)境引起行駛功耗大的設計問題，采用合作博弈與多目標粒子群算法相結合的方法求解肢腿部件結構特征參數(shù)的最優(yōu)解。

2 肢腿部件模型

2.1 南極科考平臺總體構型

南極科考平臺采用六肢腿履帶足移動式構型，從上到下主要部件分別為固定臺、肢腿和履帶足，肢腿由上肢腿和下肢腿組成，固定臺為正六邊形，每個角處設置一個肢腿，上肢腿由推桿1 驅動，下肢腿由桿2 驅動，肢腿為固定臺和履帶足之間的連接裝置，各肢腿協(xié)調動作實現(xiàn)各個方位爬坡、轉向、跨越等功能，確保了南極科考平臺在南極冰雪地形行駛的安全性，總體構型，如圖1所示。

圖1 總體構型Fig.1 General Configuration

2.2 肢腿部件

肢腿部件材料選用輕質材料鋁合金7075，外形結構為厚板式構型，各部分之間用螺栓裝配連接，避免因焊接對結構造成變形影響，這里以上肢腿為例，上肢腿裝配圖，如圖2 所示。兩側板為主體結構，側板變形直接影響著整個平臺結構強度；承力桿組可有效簡化上肢腿結構實現(xiàn)減重，增強抗扭轉剛度；加強環(huán)可提高鉸接孔處的強度。兩側板厚度為b，將上肢腿以側板中間折彎處以為界分為左右兩段分析，左段側板寬度為hAB，右段側板寬度為hCD。肢腿作為整個科考平臺的重要部件所占重量約為整體重量的1∕5，起到支撐固定臺、轉換履帶足空間位置和實現(xiàn)南極科考平臺空間伸展的作用，這使得肢腿部件要承受復雜載荷，因此設計中既要從本體結構強度出發(fā)，滿足肢腿在空間位姿變化時不出現(xiàn)過載變形的要求，又需考慮強風條件肢腿外形及質量對科考平臺整體運行功耗的影響。特別是肢腿部件在極限支撐、30°坡度雪丘雪隆地形抬腿時，上肢腿比下肢腿承載大，因此以上肢腿作為優(yōu)化對象，開展結構特征參數(shù)優(yōu)化。

圖2 上肢腿裝配圖Fig.2 Assembly Drawing of Upper Limb

3 工況及受載變形分析

3.1 工況分析

南極科考平臺通過各肢腿動作變化以適應不同地形，肢腿動作時其受力狀況也發(fā)生改變，選取極限支撐、在30°坡度雪丘雪隆地形抬腿兩種極限工況進行分析，肢腿動作及受力特征，如圖3 所示。對各連接點進行受力分析，在圖3（a）工況1 中，E點-上肢腿與下肢腿的鉸接點，E點受到下肢腿的作用力Fe；D點-上肢腿與固定臺的鉸接點，受到固定臺的作用力Fd。分別以E、D點為原點，以平行于側板方向為x軸、垂直x軸方向為y軸建立兩個平面直角坐標系，F(xiàn)e與y2夾角為θe，F(xiàn)d與x1夾角為θd。在圖3（b）工況2 中，G1—下肢腿重力；G2—履帶足重力；L1、L2—兩個重力與重心的距離；β—雪丘雪隆路面的坡度。根據此建立力學方程分析部件受載變形情況。極限工況下肢腿動作及力學特征，如表1所示。

表1 極限工況下肢腿動作及力學特征Tab.1 Movement and Mechanical Characteristics of Limbs Under Limit Working Conditions

圖3 肢腿動作及受力示意圖Fig.3 Schematic Diagram of Limb Movement and Force

3.2 受載變形分析

3.2.1 縱向變形gAB、gCD

AB、CD段在圖3（1）中兩個坐標系中沿y軸發(fā)生的縱向變形gAB、gCD為：

式中：θe—Fe與所在坐標系縱坐標的夾角；lEA—E點與端板件螺栓連接處中心A點之間的距離；lAB—端板件螺栓連接處A點與上肢腿和推桿2的鉸接點B點之間的距離；lCD—上肢腿和推桿1的鉸接點C點與D點之間的距離；E—所選材料鋁合金7075的彈性模量。

3.2.2 橫向變形ΔlAB、ΔlCD

AB、CD段在圖3（1）中兩個坐標系中沿x軸發(fā)生的橫向變形ΔlAB、ΔlCD為：

3.2.3 扭轉變形φAB

在圖3（2）中，AB段收到扭轉作用，AB段相對扭轉角φAB為：

式中：μ-泊松比；η—修正因數(shù)。

4 合作博弈求解肢腿部件多目標優(yōu)化設計

合作博弈與非合作博弈區(qū)別為其目標最終為哪方達到最大效益，合作博弈是使整體效益達到最好，非合作博弈是使各博弈方達到最大效益。在合作博弈中各博弈方分別有其自己的策略與收益函數(shù)，各方通過合作、協(xié)商的方式確定可行解，最終的結果對于各決策者可能不是最優(yōu)解，但對于全局來說是一個最優(yōu)解。南極科考平臺肢腿部件優(yōu)化目標為肢腿承載變形、運行功耗，為使整個平臺性能達到最優(yōu)，采用合作博弈。兩優(yōu)化目標者之間存在著矛盾關系，所以將這兩方作為博弈方，變量優(yōu)化的過程就是要在這兩者之間尋求最優(yōu)解的過程。對于合作博弈解決肢腿多目標優(yōu)化問題，具體步驟有建立上肢腿多目標優(yōu)化博弈模型、粒子群算法對收益函數(shù)求最優(yōu)解和最后對優(yōu)化結果進行分析。

4.1 上肢腿多目標優(yōu)化博弈模型

4.1.1 多目標優(yōu)化問題的博弈描述

對上肢腿在實際約束條件下進行結構設計優(yōu)化屬多目標優(yōu)化問題，多目標優(yōu)化問題主要包括三方面內容：選擇優(yōu)化變量、建立目標函數(shù)和確定變量取值范圍，其數(shù)學模型如下式：

式中：x1，x2，…xn—n個設計變量；f1（X），f2（X）…fm（X）—m個目標函數(shù)；與—第i個設計變量的取值范圍。

解決多目標優(yōu)化問題常用統(tǒng)一目標法，如下式：

式中：D（X）—統(tǒng)一后的總目標；Wi—個人設置的權重系數(shù)，該方法運算時間長，且優(yōu)化結果受個人主觀行為影響，將多目標優(yōu)化問題轉變?yōu)槎喾讲┺臎Q策問題，可以縮短運算時間，避免人為設置權重系數(shù)，提高解決問題能力。

在博弈中，假設博弈G中包含有m個博弈方，每個博弈方的策略空間分別為T1，T2，…Tm，每個博弈方的收益函數(shù)分別為u1，u2，…um。多目標優(yōu)化問題轉化為博弈決策問題的具體操作有：m個優(yōu)化目標對應博弈決策中的m個博弈方，各目標函數(shù)f1（X），f2（X）…fm（X）對應u1，u2，…um，設計變量x1，x2，…xn對應T1，T2，…Tm，設計變量的上、下限對應博弈中的約束條件，則多目標優(yōu)化問題變?yōu)椴┺男问綖椋?/p>

4.1.2 優(yōu)化變量

側板是肢腿的主體結構，選擇側板截面的參數(shù)作為優(yōu)化變量，包括厚度b、左右兩段的高度hAB與hCD。側板的高度及厚度對上肢腿強度影響較大，因此選取此作為優(yōu)化變量。由于科考平臺總體已經定型，側板的長度不再變化。選擇與優(yōu)化目標關聯(lián)度最高的結構特征參數(shù)作為優(yōu)化變量，可以大幅提高優(yōu)化效率。

4.1.3 目標函數(shù)

（1）最小變形優(yōu)化目標w

AB、CD段x、y、z方向總位移函數(shù)為：

肢腿總變形為w，為了統(tǒng)一量綱，在w中加入系數(shù)βi：

（2）最低功耗優(yōu)化目標p

厚度b、左右兩段的高度hAB與hCD三個設計變量直接關系到上肢腿外形和質量的變化，設計變量改變會影響整個科考平臺在行駛中風阻的大小，這對整個平臺運行功耗有直接影響。南極平均16m∕s風速的強風會產生不可忽略風阻影響，側板面積直接影響著風阻大小，側板面積與南極科考平臺行進中的風阻f關系為：

式中：C—空氣阻力；ρa—空氣密度；VR—科考平臺行駛時風速；Sz—上肢腿總迎風面積。

由此可得風阻消耗功率pf為：

式中：vC—南極科考平臺行駛速度。

上肢腿質量M與整個南極科考平臺行駛功率PR關系為：

式中：μL—摩擦系數(shù)；g—重力加速。

南極科考平臺總運行功率為p：

4.1.4 約束條件

原上肢腿模型中側板尺寸b=8mm、hAB=64mm 與hCD=74mm，側板的b、hAB與hCD值過小會使肢腿在上述工況因大載荷發(fā)生結構變形，若過大不僅會和平臺產生干涉還會造成整體質量偏大，若變量取值范圍過大不僅會造成計算效率嚴重降低，而且無益于改善優(yōu)化效果，所以在保證結構強度的前提下，以原上肢腿模型中側板尺寸附近范圍取值作為變量上下限，設定如下取值范圍：

4.1.5 計算策略空間

多目標優(yōu)化問題轉化為合作博弈的核心是如何將優(yōu)化變量轉換為博弈方的策略空間，具體包括求解單目標最優(yōu)解、計算影響因子、影響因子模糊聚類，最終確定策略空間。

（1）最小變形和最小功耗單目標優(yōu)化結果分別為：

（2）設計變量xj對博弈方i的影響因子為Δji，采用式（18）偏導法求Δji。

式中：n—設計變量個數(shù)，定義第j個設計變量xj對全部m個優(yōu)化目標的影響因子集合為Δj，求得三個變量的影響因子集合為：

（1）對影響因子進行模糊聚類，首先對數(shù)據進行標準化處理、建立模糊相似矩陣、求模糊聚類矩陣。

對B采用式（20）平移－極差變化方法求得：

采用歐拉距離法求得模糊相似矩陣R=(rij)n×m。

以下是求歐拉距離方法公式：

式中：c—相關系數(shù)。對R自平方求得傳遞閉包t(R)，求等價矩陣=t(R)，取分類系數(shù)k截取矩陣進行模糊聚類，得到模糊聚類矩陣RK如下：

在上式中：

其中，k的取值范圍為［0，1］。

求得傳遞閉包t(R)結果為：

k依次取t(R)中各元素0.8010，0.8027，0.9963，1.000，所得到的模糊聚類矩陣分別為：

當分類系數(shù)k為0.8010時，全歸一類｛x1，x2，x3｝，當分類系數(shù)k為0.8027和1時，分為3類｛x1｝，｛x2｝，｛x3｝，當分類系數(shù)k為0.9963時，分為2類｛x1｝，｛x2，x3｝，因為有兩個博弈方，所以取分類系數(shù)k為0.9963，得到博弈方A1的策略集為T1=｛x1｝，博弈方A2的策略集為T2=｛x2，x3｝。

4.1.6 確定各博弈方收益函數(shù)

將設計變量集合轉換為各博弈方的策略集后，將三個設計變量的下限定為初始策略集和分別為T1、T2的初始策略集，其中：

根據合作競爭策略，博弈方的收益函數(shù)為：

式中：ui—各博弈方的收益函數(shù)；m—博弈中博弈方的數(shù)量；wii—權系數(shù)與博弈方競爭程度相關，值越大則表示競爭越激烈，wij相反。

此處取wii=0.8，wij=0.2。博弈總收益u為u=u1+u2。

4.2 粒子群優(yōu)化求解算法

對于建立的上肢腿部件優(yōu)化博弈模型，需要對收益函數(shù)u搜尋最優(yōu)解，這里采用有參數(shù)設置少、易收斂和運算快等特點的粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）求解目標函數(shù)最優(yōu)解。該算法常用于解決許多全局優(yōu)化問題，能滿足實際工程應用。

粒子i的第d維速度更新公式：

粒子i的第d維位置更新公式：

式中：qi—權重因子；c1和c2—加速因子；pid—局部最優(yōu)位置；gd—全局最優(yōu)。

4.3 優(yōu)化結果對比

對博弈總收益u采用粒子群算法求最優(yōu)解，再比較粒子群算法對統(tǒng)一后的函數(shù)D求最優(yōu)值，兩種優(yōu)化方法迭代過程，如圖4所示。

圖4 兩種優(yōu)化算法迭代過程Fig.4 Iteration Process of Two Optimization Algorithms

由圖4可知，博弈-粒子群算法經過兩次階躍趨于最優(yōu)，粒子群算法經過一次突變趨于最優(yōu)，前者比后者迭代少、收斂快。最終求得各設計變量最優(yōu)解及優(yōu)化目標結果對比，如表2所示。

表2 優(yōu)化結果對比Tab.2 Comparison of Optimization Results

為了分析整體優(yōu)化效果，定義單位功耗內抗變形提升能力指標Δδ，如式（29）所示，其值越大表示優(yōu)化結果對于整體優(yōu)化效果更好。

由運算可得，博弈－粒子群算法相比于粒子群算法運算時間減少為一半，相對于原始模型兩個優(yōu)化目標wyuan=0.19mm，pyuan=117W，粒子群算法在w和p方面分別提高了63%和26%，單位功耗內抗變形提升能力Δδli為4.8×10-3mm∕W；博弈－粒子群算法在w和p方面分別提高了47%和12%，單位功耗內抗變形提升能力Δδboyi為6.4×10-3mm∕W，由此可得博弈－粒子群算法在單位功耗內抗變形能力提升比粒子群算法高1.3倍，優(yōu)化效果更加理想。

5 上肢腿有限元數(shù)值模擬驗證

為了研究優(yōu)化后上肢腿在兩種極限工況載荷作用下結構強度與變形情況，設置Abaqus 中分析步為靜態(tài)通用，分別對原模型、粒子群算法、博弈－粒子群算法優(yōu)化后的三個結構進行有限元分析，驗證所設計結構的安全性。

5.1 有限元前處理

上肢腿模型網格設置為六面體單元形狀，原模型有69209個單元，如圖5所示。粒子群算法優(yōu)化后的模型有118155個單元，博弈－粒子群算法優(yōu)化后的模型有118151個單元，優(yōu)化后模型除與原模型在單元數(shù)量不同外其余設置都相同。設置材料屬性密度為2.810×109tonne∕mm3，楊氏模量為72000E∕MPa，泊松比為0.33，屈服應力504MPa。對推桿1、2與上肢腿鉸接孔兩處進行固定，對上、下肢腿鉸接處和上肢腿和固定臺鉸接處以耦合參考點的形式施加載荷Fe和Fd。

圖5 原上肢腿模型網格劃分圖Fig.5 Grid Partition Map of Original Upper Limb Model

5.2 有限元結果分析

經ABAUQS后處理得到原模型與優(yōu)化后模型的有限元分析結果，如圖6所示。

圖6 優(yōu)化前后有限元數(shù)值模擬結果Fig.6 Finite Element Numerical Simulation Results before and after Optimizations

上述三種結構的應力應變分析，如表3所示。其中，優(yōu)化前最大變形發(fā)生在y方向，為6.7mm，優(yōu)化后最大變形分別降低為原來的46%和33%；而最大應力位置都出現(xiàn)在側板中段處。這表明優(yōu)化后結構抗變形能力提升效果明顯，滿足在極限工況下的使用要求。

表3 上肢腿優(yōu)化前后各項參數(shù)對比Tab.3 Comparison of Parameters Before and After Upper Limb Optimization

6 結論

針對南極科考平臺肢腿部件在極限支撐和雪丘雪隆地形下抬腿時肢腿部件承載能力差、強風環(huán)境引起行駛功耗大的設計問題，以肢腿部件為研究對象，開展結構優(yōu)化設計研究。

（1）提出一種基于合作博弈的南極科考平臺肢腿部件多目標優(yōu)化設計方法，將肢腿在受載發(fā)生最小變形、行駛最小功耗多目標優(yōu)化問題轉換為博弈問題求解肢腿部件的結構特征參數(shù)最優(yōu)解，求解結果表明博弈－粒子群算法對比單純粒子群優(yōu)化算法不僅所需運算時間少，而且單位功耗內抗變形能力提升更高。

（2）對原肢腿模型、粒子群算法優(yōu)化和博弈－粒子群算法優(yōu)化后肢腿模型進行有限元數(shù)值模擬，可得兩種優(yōu)化后的模型最大應變分別降低為原來的46%和33%，最大變形改善效果明顯，滿足肢腿部件在極限支撐和雪丘雪隆地形下抬腿工況的使用要求，驗證了優(yōu)化后結構的安全性。