邱紅勝， 楊雨， 李東健， 羅剛

(武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院， 武漢 430063)

軟土作為特殊土的一種尤為常見，江河中下游、湖泊以及沿海地區(qū)附近均有軟土覆蓋，因軟土具有強(qiáng)度低、壓縮性高、承載力低、易于擾動(dòng)等不良工程特性，直接計(jì)算沉降是有一定難度的，因此技術(shù)人員常根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)推測(cè)沉降量[1]。

大量工程經(jīng)驗(yàn)表明，全過程的地基沉降與時(shí)間的關(guān)系曲線呈S形[2]，路基的沉降過程經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展、成熟、到達(dá)極限4個(gè)階段[3]。由于S形曲線能很好地描述路基固結(jié)沉降的發(fā)展規(guī)律，因而近年來(lái)受到各國(guó)學(xué)者青睞。張宇亭等[4]用Gompertz模型對(duì)濱海路基進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比對(duì)，證實(shí)該方法在軟土地基沉降預(yù)測(cè)的可行性。朱志鐸等[5]驗(yàn)證了實(shí)測(cè)沉降曲線與Logistic曲線基本吻合，表明用于擬合的數(shù)據(jù)越多預(yù)測(cè)結(jié)果越精準(zhǔn)。胡習(xí)陽(yáng)等[6]建立GM(1,1)、灰色Verhulst和非等時(shí)距UGM(1,1)3種模型進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)，結(jié)果表明灰色Verhulst模型模擬和預(yù)測(cè)精度更高。

影響軟土路基沉降的因素有很多，單一的預(yù)測(cè)模型和預(yù)測(cè)方法不同發(fā)展階段的精確性和適用性不同，即便對(duì)單一模型進(jìn)行改進(jìn)，預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性難以保證。而組合預(yù)測(cè)將不同的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行適當(dāng)組合，能夠綜合各單項(xiàng)模型優(yōu)勢(shì)避免單一預(yù)測(cè)模型受隨機(jī)因素的影響，進(jìn)而有效提高預(yù)測(cè)精度[2-3,7- 8]。王博林等[9]通過建立Gompertz和Logistic模型以及二者的最優(yōu)化組合模型對(duì)高填方土體后期沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明最優(yōu)組合模型的精度和可靠性均優(yōu)于單一模型。劉光秀等[10]通過對(duì)灰色模型和Gompertz模型根據(jù)最優(yōu)加權(quán)組合原理建立組合預(yù)測(cè)模型，驗(yàn)證了新構(gòu)建的組合模型能夠有效消除系統(tǒng)誤差提高擬合精度。王俊瑜等[11]基于三參數(shù)冪函數(shù)模型和Logistic模型，以最小誤差平方和為準(zhǔn)則構(gòu)建了最優(yōu)組合沉降預(yù)測(cè)模型，發(fā)現(xiàn)組合模型擬合結(jié)果可靠，預(yù)測(cè)精度明顯高于單項(xiàng)模型。

根據(jù)上述研究成果，選用Gompertz、Logistic和灰色Verhulst 模型3種模型為單預(yù)測(cè)模型，分別以原始沉降數(shù)據(jù)、經(jīng)過三次樣條插值處理的數(shù)據(jù)和經(jīng)過分段三次插值處理的數(shù)據(jù)為樣本值建立3種單模型，經(jīng)過對(duì)比分析得到每種模型的優(yōu)勢(shì)方法。對(duì)3種單模型建立基于誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均(induced ordered weighted harmonic averaging，IOWHA)算子的組合預(yù)測(cè)模型，并用遺傳算法(genetic algorithm，GA)和MATLAB的非線性優(yōu)化工具箱兩種求解方法。

1 單預(yù)測(cè)模型及等時(shí)距處理方法簡(jiǎn)介

1.1 S形曲線簡(jiǎn)介

Gompertz模型最初用來(lái)描述自然界生長(zhǎng)變化的規(guī)律，之后Gompertz曲線廣泛應(yīng)用于在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和交通預(yù)測(cè)中，其預(yù)估模型的表達(dá)式為

sg=Le-ae-bt

(1)

式(1)中：L、a、b為模型3個(gè)待定參數(shù)；t為時(shí)間；sg為Gompertz曲線的預(yù)測(cè)沉降量。

Logistic曲線是以美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Raymond Pearl名字命名的曲線，可以反映生物生長(zhǎng)過程，被廣泛應(yīng)用于生物繁殖和產(chǎn)品生命周期分析等方面，目前也被應(yīng)用于路基沉降預(yù)測(cè)中，其預(yù)估模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2)

式(2)中：sl為L(zhǎng)ogistic曲線的預(yù)測(cè)沉降量。

運(yùn)用Origin軟件對(duì)Gompertz和Logistic兩種S形曲線模型進(jìn)行擬合，用擬合優(yōu)度R2評(píng)價(jià)擬合程度，R2取值范圍為0～1，R2越接近1說(shuō)明擬合效果越好。

1.2 灰色Verhulst預(yù)估模型

1.2.1 模型建立

灰色Verhulst模型主要用來(lái)描述具有飽和狀態(tài)的演化過程，如S形過程，反映了生物生長(zhǎng)由加速到減速增長(zhǎng)到最終趨于穩(wěn)定的過程，這一過程和路基沉降基極為相似。

灰色Verhulst模型的表達(dá)式和灰色Verhulst模型的白化方程分別為

S(0)(k)+aZ(1)(k)=b[Z(1)(k)]2

(3)

(4)

式中：S(0)為原始沉降數(shù)據(jù)序列；k=2,3,…,n；S(1)為S(0)的1-AGO序列；Z(1)為S(1)的緊鄰均值生成序列。

白化方程的解為

(5)

灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)式為

(6)

Verhulst模型的參數(shù)用最小二乘法估計(jì)表示為

(7)

式(7)中：

(8)

(9)

1.2.2 模型的精度檢驗(yàn)

后驗(yàn)差檢驗(yàn)是最灰色預(yù)估模型常用的檢驗(yàn)方法。檢驗(yàn)步驟如下。

步驟1計(jì)算原始時(shí)間序列S(0)的均值和方差，其表達(dá)式分別為

(10)

(11)

步驟2計(jì)算殘差數(shù)列e0={e0(1),e0(2),…,e0(n)}的均值和方差，計(jì)算公式分別為

(12)

(13)

步驟3計(jì)算后驗(yàn)差比值，其計(jì)算公式為

c=s2/s1

(14)

步驟4計(jì)算小誤差頻率，其計(jì)算公式為

p=|A|/n

(15)

步驟5根據(jù)表1判定預(yù)測(cè)精度的等級(jí)。

表1 模型預(yù)估精度檢驗(yàn)等級(jí)Table 1 Test scale of model prediction accuracy

1.3 等時(shí)距處理方法簡(jiǎn)介

1.3.1 分段三次Hermite插值

在實(shí)際中不僅要求插值在節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值相等，同時(shí)要滿足節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值相等，甚至要滿足高階導(dǎo)數(shù)值相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式稱為Hermite插值多項(xiàng)式。構(gòu)造的插值多項(xiàng)式的次數(shù)過高可能會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，因此采用分段插值的方法構(gòu)造多項(xiàng)式。設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上的節(jié)點(diǎn)xi處函數(shù)值為yi(i=0,1,…,n)，導(dǎo)數(shù)值為mi(i=0,1,…,n)，對(duì)任意兩相鄰節(jié)點(diǎn)xk、xk+1(k=0,1,…,n-1)可構(gòu)造兩點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，可表示為

k=0,1,…,n-1

(16)

(17)

分段三次Hermite插值多項(xiàng)式為

(18)

因此分段線性插值函數(shù)Ih(x)在[a,b]上用插值基函數(shù)表示為

(19)

式(19)中：

(20)

(21)

則余項(xiàng)可表示為

|R3(x)|=|f(x)-Ih(x)|

(22)

式(22)中：

(23)

式(23)中：f(4)(ξ)為f(x)的四階導(dǎo)數(shù)在ξ處的函數(shù)值,ξ∈[xk,xk+1]。

1.3.2 三次樣條插值

若函數(shù)P(x)∈[a,b]，在區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項(xiàng)式，x0,x1,…,xn是區(qū)間[a,b]上的節(jié)點(diǎn)，則稱P(x)為節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上的三次樣條函數(shù)。若yi=f(xi)(i=0,1,…,n)是在節(jié)點(diǎn)xi上給定的函數(shù)值，且滿足P(xi)=yi(i=0,1,…,n)，則稱P(x)為三次樣條插值函數(shù)。P(x)需滿足式(24)的條件，mi(i=0,1,…,n)為節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值。Pk(x)為[xk,xk+1]上的兩點(diǎn)三次樣條插值多項(xiàng)式，滿足式(25)，令hk=xk+1-xk,k=0,1,…,n-1，整理后得到基本方程組如式(26)所示。

(24)

i=k,k+1；k=1,2,…,n-1

(25)

λkmk-1+2mk+μkmk+1=gk

(26)

插值函數(shù)不僅要滿足中間節(jié)點(diǎn)的限制要求，也要滿足下述邊界條件。

(27)

當(dāng)滿足第一類邊界條件時(shí)，基本方程組可簡(jiǎn)化為式(28)，矩陣形式如式(29)所示。

(28)

(29)

當(dāng)滿足第二類邊界條件時(shí)，基本方程組可簡(jiǎn)化為式(30)，矩陣形式如式(31)所示。

(30)

(31)

2 組合預(yù)測(cè)模型的建立

2.1 基于IOWHA算子的組合模型權(quán)重系數(shù)的確定

利用MATLAB中的最優(yōu)化工具箱計(jì)算得到基于IOWGA的組合預(yù)測(cè)模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)。

基于IOWHA算子的組合預(yù)測(cè)模型克服了傳統(tǒng)加權(quán)調(diào)和平均組合預(yù)測(cè)方法賦權(quán)的缺陷，綜合考慮了每個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度的高低按順序賦權(quán)。

第t時(shí)刻IOWHA組合預(yù)測(cè)值可表示為

IOWHAL(〈p1t,s1t〉,〈p2t,s2t〉,…,〈pmt,smt〉)=

(32)

式(32)中：pit為第i種預(yù)測(cè)方法第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度；sit為第i種預(yù)測(cè)方法第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值i=1,2,…，m；t=1,2,…,N；li為m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)序列在組合預(yù)測(cè)種的加權(quán)系數(shù)(滿足非負(fù)性和歸一性)；sp-index(it)為預(yù)測(cè)精度第i個(gè)大的預(yù)測(cè)值。

(33)

基于IOWHA算子的組合預(yù)測(cè)模型可表示為

(34)

式(34)中：L為由權(quán)重系數(shù)構(gòu)成的列向量，L=[1, 2,…,m]。

2.2 組合預(yù)測(cè)模型評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為反映基于IOWHA的組合預(yù)測(cè)模型的有效性，按預(yù)測(cè)效果的評(píng)價(jià)原則，選擇誤差平方和、均方誤差、平均絕對(duì)誤差和平均絕對(duì)百分比誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，如式(35)所示，這4項(xiàng)指標(biāo)值越低表明模型預(yù)測(cè)精度越高。其中MAPE的精度分級(jí)原則如表2所示。

(35)

式(35)中：SSE為誤差平方和；MSE為均方誤差；MAE為平均絕對(duì)誤差；MAPE為平均絕對(duì)百分比誤差。

表2 MAPE預(yù)測(cè)精度等級(jí)劃分Table 2 MAPE classification of prediction accuracy

3 等時(shí)距處理方法對(duì)比研究

3.1 常張高速公路軟土路基

常張高速公路K159+585是一典型觀測(cè)斷面[2]，原地基為軟土地基，土質(zhì)為低液限黏土，施工進(jìn)行了粉噴樁處理。高路堤填土為紅砂巖，設(shè)計(jì)填方高度為15.1 m，觀測(cè)板板底距原地面1.392 m，主要觀測(cè)原地基的沉降量。

為提高模型預(yù)測(cè)精度，通過對(duì)樣本值的比選，適當(dāng)剔除觀測(cè)前期數(shù)據(jù)，以351 d以前的觀測(cè)數(shù)據(jù)作為各預(yù)測(cè)模型的樣本值，對(duì)351～409 d共58 d的4期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。Gompertz模型和Logistic模型以166～341 d的觀測(cè)值作為樣本值，灰色Verhulst模型以184～341 d的觀測(cè)值作為樣本值。

根據(jù)第2節(jié)中所述的分段三次Hermite插值和三次樣條插值求解方法，分別對(duì)3種單一預(yù)測(cè)模型進(jìn)行處理得到等時(shí)距的沉降數(shù)據(jù)樣本值。對(duì)原始觀測(cè)沉降值以及兩種等間距處理的沉降數(shù)據(jù)樣本值用Gompertz模型、Logistic模型、灰色Verhulst模型3種模型進(jìn)行擬合求解并預(yù)測(cè)后4期沉降值，各模型的沉降預(yù)測(cè)曲線如圖1所示。各預(yù)測(cè)模型精度指標(biāo)值的比較如表3所示。

圖1 常張高速各模型等時(shí)距處理方法對(duì)比Fig.1 Comparison of equal-interval processing methods for different models of Chang-Zhang highway

表3 常張高速各預(yù)測(cè)模型精度評(píng)價(jià)指標(biāo)的比較Table 3 Comparison of precision evaluation indexes of different prediction models for Chang-Zhang highway

由表3可知，3種模型的3種情況的擬合優(yōu)度均大于95%，置信水平顯著；MAPE均小于10%，屬于高精度預(yù)測(cè)。其中Gompertz模型和Logistic模型基于分段三次Hermite插值后的樣本值的擬合程度和預(yù)測(cè)精度都更高于其他兩種情況?；疑玍erhulst模型3種情況的小誤差概率均為1，后驗(yàn)差比值均小于0.35，預(yù)估模型精度等級(jí)為“好”，根據(jù)擬合優(yōu)度和SSE、MAPE、MSE、MAE預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，以原始沉降數(shù)據(jù)作為樣本值灰色Verhulst模型的預(yù)測(cè)精度更高。

由圖1(a)、圖1(b)可知，在沉降速率明顯下降的時(shí)候，如291～309 d和318～341 d時(shí)間段，三次樣條插值雖然有連續(xù)曲率(二階導(dǎo)數(shù)連續(xù))具有足夠的光滑性，但是明顯比三次分段Hermite插值更偏離原始沉降數(shù)據(jù)。對(duì)于Gompertz和Logistic兩種模型，以分段三次Hermite插值處理的數(shù)據(jù)作為樣本值的擬合效果和預(yù)測(cè)效果更優(yōu)。

3.2 內(nèi)蒙古烏-噶一級(jí)公路軟土路基

內(nèi)蒙古沙漠地區(qū)烏審召生態(tài)工業(yè)園區(qū)——噶魯圖段一級(jí)公路(簡(jiǎn)稱烏-噶一級(jí)公路)在K35+100～K35+800之間為軟土路基[12]，地勘資料表明在該路段地勢(shì)低洼，表層0.2 m范圍內(nèi)為細(xì)砂，0.2 m以下為3.5～5.4 m厚的粉土及淤泥質(zhì)粉土夾層，地下水位較高為0.6 m，透水性不好，力學(xué)指標(biāo)較差，地基承載力低。該路段主要采用了置換、擠密等綜合方法對(duì)土體改良加固，對(duì)加固后的軟土路基進(jìn)行動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)。

為提高模型預(yù)測(cè)精度，通過對(duì)樣本值比選，適當(dāng)剔除觀測(cè)前期數(shù)據(jù)，以201 d前的觀測(cè)數(shù)據(jù)為各個(gè)預(yù)測(cè)模型的樣本值，對(duì)234～328 d共94 d的4期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。其中Gompertz模型和Logistic模型以29～201 d的觀測(cè)值作為樣本值，灰色Verhulst模型以76～201 d的觀測(cè)值作為樣本值。

根據(jù)第2節(jié)中所述的分段三次Hermite插值和三次樣條插值求解方法，分別對(duì)3種單一預(yù)測(cè)模型進(jìn)行處理得到等時(shí)距的沉降數(shù)據(jù)樣本值。對(duì)原始觀測(cè)沉降值以及兩種等間距處理的沉降數(shù)據(jù)樣本值用Gompertz模型、Logistic模型、灰色Verhulst模型3種模型進(jìn)行擬合求解并預(yù)測(cè)后4期沉降值，沉降預(yù)測(cè)曲線如圖2所示。各個(gè)預(yù)測(cè)模型精度指標(biāo)值的比較如表4所示。

圖2 烏-噶一級(jí)公路各模型等時(shí)距處理方法對(duì)比Fig.2 Comparison of equal-interval processing methods for different models of Wu-Ga first class highway

由表4可知，除灰色模型情況2外，3種模型的3種情況的擬合優(yōu)度均大于95%，置信水平顯著；MAPE均小于10%，屬于高精度預(yù)測(cè)。Gompertz模型和Logistic模型以分段三次Hermite插值后的數(shù)據(jù)為樣本值的擬合程度和預(yù)測(cè)精度都更高于其他兩種情況?；疑玍erhulst模型3種情況的小誤差概率均為1，后驗(yàn)差比值均小于0.35，預(yù)估模型精度等級(jí)為“好”。根據(jù)擬合優(yōu)度和預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，原始沉降數(shù)據(jù)為樣本值時(shí)，灰色Verhulst模型的預(yù)測(cè)精度更高。

由圖2(a)、圖2(b)可知，91 ～116 d和134 ～176 d時(shí)間段沉降速率明顯下降，經(jīng)三次樣條插值處理的數(shù)據(jù)比三次分段Hermite插值處理的數(shù)據(jù)更偏離原始沉降數(shù)據(jù)。烏-噶一級(jí)公路用Gompertz和Logistic兩種模型預(yù)測(cè)時(shí)，以三次分段Hermite插值處理的數(shù)據(jù)為樣本值的擬合效果和預(yù)測(cè)效果更優(yōu)。

結(jié)合常張高速公路和烏-噶一級(jí)公路兩工程實(shí)例分析，在用Gompertz和Logistic兩種模型以沉降速率發(fā)生明顯變化時(shí)刻的數(shù)據(jù)作為最后一組樣本值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，推薦選用分段三次Hermite插值對(duì)原始沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行等時(shí)距處理后再預(yù)測(cè)沉降量。對(duì)于灰色Verhulst模型，推薦采用原始沉降數(shù)據(jù)為樣本值進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)。

4 組合預(yù)測(cè)模型對(duì)比分析

4.1 常張高速公路軟土路基

第3節(jié)中計(jì)算結(jié)果表明，常張高速公路Gompertz和Logistic模型經(jīng)分段三次Hermite插值的沉降數(shù)據(jù)為樣本值時(shí)預(yù)測(cè)精度更高，因此在組合預(yù)測(cè)中將兩種模型的情況3作為單預(yù)測(cè)模型?；疑玍erhulst模型以原始沉降數(shù)據(jù)為樣本值預(yù)測(cè)精度更高，因此在組合預(yù)測(cè)中將灰色模型的情況1作為單預(yù)測(cè)模型。

基于建立的3種單模型，將其每時(shí)刻的預(yù)測(cè)值按照精度高低進(jìn)行排序，分別運(yùn)用MATLAB的非線性優(yōu)化工具箱和遺傳算法(genetic algorithm，GA)兩種方法求解基于IOWHA算子的組合模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)，并將這兩種方法的組合預(yù)測(cè)結(jié)果及單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的精度進(jìn)行對(duì)比分析。由GA得到組合模型1的最優(yōu)權(quán)系數(shù)為l1=0.832,l2=0.010,l3=0.158。由MATLAB非線性優(yōu)化工具箱計(jì)算得到的組合模型2的最優(yōu)權(quán)系數(shù)為l1=0.424,l2=0.288,l3=0.288。

各單項(xiàng)模型及組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果及評(píng)價(jià)指標(biāo)值分別如表5、表6所示。各單項(xiàng)模型、組合模型的預(yù)測(cè)曲線與實(shí)測(cè)值的對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

由表5、表6、表1可知， 5種模型均屬于高精度預(yù)測(cè)。組合模型1的MAPE分別比Gompertz模型、Logistic模型、灰色Verhulst模型和組合模型2降低75%、76%、26%和49%。由圖3可見，在后4期的預(yù)測(cè)結(jié)果中組合模型2的曲線更接近實(shí)際沉降量。所以GA求解基于IOWHA算子的組合模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)的方法能夠提高模型的精度。

4.2 內(nèi)蒙古烏-噶一級(jí)公路軟土路基

第3節(jié)的計(jì)算結(jié)果表明，烏-噶一級(jí)公路Gompertz模型和Logistic模型經(jīng)過分段三次Hermite插值的沉降數(shù)據(jù)為樣本值預(yù)測(cè)精度更高，灰色Verhulst模型以原始沉降數(shù)據(jù)為樣本值預(yù)測(cè)精度更高。因此在組合預(yù)測(cè)中將因此在組合預(yù)測(cè)中將Gompertz模型和Logistic模型兩種模型的情況3和灰色模型的情況1作為單一預(yù)測(cè)模型。

表4 烏噶一級(jí)公路各預(yù)測(cè)模型精度評(píng)價(jià)指標(biāo)的比較Table 4 Comparison of precision evaluation indexes of different prediction models for Wu-Ga first class highway

表5 常張高速公路各模型預(yù)測(cè)結(jié)果Table 5 Prediction results of various models of Chang-Zhang highway

表6 常張高速公路各預(yù)測(cè)模型精度評(píng)價(jià)指標(biāo)的比較Table 6 Comparison of precision evaluation indexes of different prediction models for Chang-Zhang highway

圖3 常張高速公路沉降預(yù)測(cè)曲線Fig.3 Settlement prediction curve of Chang-Zhang highway

基于建立的3種單模型，分別運(yùn)用MATLAB的非線性優(yōu)化工具箱GA兩種方法求解基于IOWHA算子的組合模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)，并將這兩種方法的組合預(yù)測(cè)結(jié)果及單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的精度進(jìn)行對(duì)比分析。由GA得到組合模型1的最優(yōu)權(quán)系數(shù)為l1=0.553,l2=0.447,l3=0.000。由MATLAB非線性優(yōu)化工具箱計(jì)算得到的組合模型2的最優(yōu)權(quán)系數(shù)為l1=0.501,l2=0.251,l3=0.248。

各單項(xiàng)模型及組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果及評(píng)價(jià)指標(biāo)值分別如表7、表8所示。各單項(xiàng)模型、組合模型的預(yù)測(cè)曲線與實(shí)測(cè)值的對(duì)比結(jié)果如圖4所示。

表7 烏-噶一級(jí)公路各模型預(yù)測(cè)結(jié)果Table 7 Prediction results of various models of Wu-Ga highway

表8 烏-噶一級(jí)公路各預(yù)測(cè)模型精度評(píng)價(jià)指標(biāo)的比較Table 8 Comparison of precision evaluation indexes of different prediction models for Wu-Ga highway

圖4 烏-噶一級(jí)公路沉降預(yù)測(cè)曲線Fig.4 Settlement prediction curve of Wu-Ga highway

由表8可知，組合模型2 的平均絕對(duì)百分比誤差分別比Gompertz模型、Logistic模型、灰色Verhulst模型和組合模型2降低79%、83%、93%和81%。由圖3可知，灰色Verhulst模型后四期的預(yù)測(cè)結(jié)果大于沉降實(shí)測(cè)值，而Gompertz模型和Logistic模型后4期的預(yù)測(cè)結(jié)果小于沉降實(shí)測(cè)值，所以采用Gompertz模型、Logistic模型和灰色Verhulst模型進(jìn)行組合預(yù)測(cè)是合理的。同時(shí)，在后4期的預(yù)測(cè)結(jié)果中顯然組合模型2的曲線更接近實(shí)際沉降量且該模型的曲線更加平穩(wěn)。

5 結(jié)論

通過分析常張高速公路K159+585斷面和烏噶一級(jí)公路K35+270斷面處軟土路基的實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)模型，得出以下主要結(jié)論。

(1) 路基沉降是一個(gè)復(fù)雜非線性的過程，固結(jié)沉降的發(fā)展過程符合“S”形曲線的變化規(guī)律。同時(shí)通過兩個(gè)工程實(shí)例表明，Gompertz模型、Logistic模型和灰色Verhulst模型能夠較好擬合軟土路基中短期沉降，Gompertz模型、Logistic模型的預(yù)測(cè)值比實(shí)測(cè)值偏小，而灰色Verhulst模型預(yù)測(cè)值比實(shí)測(cè)值總體偏大，所以進(jìn)一步驗(yàn)證用這3種類模型作為單一模型進(jìn)行組合預(yù)測(cè)來(lái)描述軟土路基的沉降是合理的。

(2)通過用Gompertz模型、Logistic模型和灰色Verhulst模型分別以原始沉降數(shù)據(jù)、經(jīng)三次樣條插值處理的數(shù)據(jù)、經(jīng)分段三次樣條插值處理的數(shù)據(jù)作為樣本值進(jìn)行預(yù)測(cè)。結(jié)果表明，在沉降速率發(fā)生明顯變化時(shí)刻的數(shù)據(jù)作為最后一組樣本值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，Gompertz和Logistic模型選用分段三次Hermite插值對(duì)原始沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行等時(shí)距處理后預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)效果更好?；疑玍erhulst模型將原始沉降數(shù)據(jù)作為樣本值進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)結(jié)果精度更高。

(3)基于IOWHA算子的組合預(yù)測(cè)模型包括Gompertz模型、Logistic模型和灰色Verhulst模型3種模型，能夠充分發(fā)揮3個(gè)單一模型的優(yōu)勢(shì)，考慮了每時(shí)刻單一模型的預(yù)測(cè)精度克服傳統(tǒng)加權(quán)調(diào)和平均組合預(yù)測(cè)方法的缺陷，有效降低單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差，提高了模型的預(yù)測(cè)精度。

(4) 對(duì)于組合模型加權(quán)系數(shù)的求解MATLAB的非線性優(yōu)化的工具箱求解的結(jié)果與給定的初始值有關(guān)，采用GA較使用MATLAB的非線性優(yōu)化的工具箱求解組合模型的加權(quán)系數(shù)更為可靠，得到的組合模型的預(yù)測(cè)精度更高。