安徽省金寨第一中學(xué) 六安市徐道奎名師工作室 徐道奎 （郵編：237300）

概念是思維的基礎(chǔ)，是問題解決的邏輯起點(diǎn)，分析和解決問題要依據(jù)概念、圍繞概念進(jìn)行.函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題涉及的概念多，問題解決過程的概念性強(qiáng)，現(xiàn)選擇2022年全國高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題說明.

1 回歸概念的本質(zhì)

題1（理科甲卷第6題）

當(dāng)x=1 時(shí)，函數(shù)取得最大值-2，則f′(2)=_______.

分析試題考查函數(shù)單調(diào)性、最值等概念.從概念的角度分析,要回歸概念所反映的問題的本質(zhì)，求函數(shù)最值需要分析函數(shù)圖象，要從導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間入手.由f(1)=-2，得b=-2.由于，所以當(dāng)a≥0 時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，沒有最大值.a<0 時(shí)，函數(shù)在上單增，在上單減.所以處取得最大值，故

題目已知函數(shù)最大值時(shí)自變量的取值，我們在運(yùn)用概念分析時(shí)可以通過導(dǎo)數(shù)和圖象分析另求自變量取何值時(shí)函數(shù)取最大值，把題設(shè)和用概念分析的結(jié)果對(duì)應(yīng)起來.

當(dāng)然，求出b=-2 后，根據(jù)f′(x)=0 解得a=-2，對(duì)于解選擇題是可以的，但如果求得的a有多個(gè)值，則需要檢驗(yàn).而依據(jù)最大值的本質(zhì)（分析單調(diào)區(qū)間，找最值點(diǎn)）去解決問題則能直擊要害，一步到位，這是最嚴(yán)謹(jǐn)和最把穩(wěn)的.

2 構(gòu)造運(yùn)用概念的情境

題2（理科甲卷第11題）

分析試題主要考查函數(shù)圖象（五點(diǎn)法作圖）的概念，同時(shí)涉及周期、單調(diào)性、極值點(diǎn)、零點(diǎn)等多個(gè)概念.因?yàn)閤∈(0,π)，所以由題意，結(jié)合五點(diǎn)法作圖可知，函數(shù)f(x)在(0,π)上圖象如圖1.

圖1

準(zhǔn)確作圖是充分運(yùn)用條件的前提，而作圖的關(guān)鍵是分析出x=0（此時(shí)整體角處于五點(diǎn)法作圖的“五點(diǎn)”第一點(diǎn)（整體角ωπ+和第二點(diǎn)（整體角之間.所以，根據(jù)最后一個(gè)極值點(diǎn)位置可知，

當(dāng)然，也可以把f(x)在(0,π)上的極值點(diǎn)和零點(diǎn)信息轉(zhuǎn)化為上的極值點(diǎn)和零點(diǎn)處理.

順利解題，就需要想辦法創(chuàng)造運(yùn)用概念的情境，如本題，只有通過作圖，分析出函數(shù)圖象的起、止點(diǎn)位置，才能找到關(guān)系，把條件轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系.

3 注重以概念引領(lǐng)變式構(gòu)造

題3（理科乙卷第12題）

已知函數(shù)f(x)、g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2 對(duì)稱，g(2)=4，則

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

分析因?yàn)閱栴}求的是的值，所以要分析出f(x)滿足的關(guān)系，想到消去條件中的g(x)，用周期或?qū)ΨQ關(guān)系解題.

遇復(fù)雜關(guān)系，不知道條件如何運(yùn)用時(shí)，要想到對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，條件可能得到什么，如何變換，朝著什么方向努力，實(shí)際上是概念在暗中引領(lǐng)，解題的思路也是由概念引發(fā)的.

4 準(zhǔn)確理解概念之間的邏輯關(guān)系

題4（理科乙卷第16題）

已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2（a>0且a≠1）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1

分析這是一個(gè)概念性非常強(qiáng)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題，涉及極值點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)幾何意義、導(dǎo)數(shù)變號(hào)零點(diǎn)、圖象分析等多個(gè)概念綜合運(yùn)用.問題的起點(diǎn)低，落點(diǎn)高.

要準(zhǔn)確理解函數(shù)極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)變號(hào)零點(diǎn)的各種不同求法.

由題意和極值點(diǎn)概念，自變量從小到大（圖象自左至右），函數(shù)依次取極小值和極大值，因此，函數(shù)圖象自左至右單調(diào)性依次為減、增、減，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)值依次為負(fù)、正、負(fù).

現(xiàn)在我們對(duì)導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)進(jìn)行分析.分析導(dǎo)數(shù)變號(hào)零點(diǎn)的方法很多，要根據(jù)問題的情境進(jìn)行選擇.因?yàn)閒′(x)=2axlna-2ex，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y1=g(x)=axlna和y2=ex交點(diǎn)（橫坐標(biāo)）.顯然y1與y2的圖象應(yīng)該交于兩點(diǎn)，且自左至右y1圖象在y2圖象的下、上、下，先考慮切線斜率，然后考慮割線與切線斜率的關(guān)系.

（1）當(dāng)a>1 時(shí)，若y1與y2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖2），自左至右y1圖象在y2圖象的上、下、上，這時(shí)，x1是極大值點(diǎn)，x2是極小值點(diǎn)，不合題意.

圖2

圖3

（2）當(dāng)0

5 把握概念的適用條件和概念運(yùn)用視角

題5（文科乙卷16題）

分析試題考查函數(shù)奇偶性概念、性質(zhì).要注意概念的適用條件，不能在不知道定義域的情況下代入自變量.有的同學(xué)盲目代入（這是最典型的錯(cuò)誤），雖然也能得出結(jié)果，但其過程是錯(cuò)誤的.

法一從具有奇偶性的函數(shù)其定義域是關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間的角度分析.

一個(gè)概念往往有多種理解方式，要善于在復(fù)雜情境中選擇最適合解決問題的概念運(yùn)用方式，因此，要提升對(duì)概念的理解水平和綜合運(yùn)用能力.

概念是思維的邏輯起點(diǎn)，是思維的源泉，依據(jù)概念的內(nèi)涵和意義，從不同角度切入概念，問題的解決方法不同，但所有問題解決都是建立在概念運(yùn)用基礎(chǔ)之上.

6 強(qiáng)化概念運(yùn)用意識(shí)，找準(zhǔn)概念運(yùn)用的切入點(diǎn)

題6（新高考卷1 第15題）

若曲線y=(x)+aex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是______.

分析本題主要考查函數(shù)切線的概念，最終轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)（方程的解）解決，在問題解決過程中，切點(diǎn)是關(guān)鍵.

設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則y0=(x0+a)ex0,切線斜率k=(x0+1+a)ex0,因此，切線方程為：y-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0(x-x0),又由于切線過原點(diǎn)，所以-(x0+a)ex0=-(x0+1+a)ex0x0,整理得：x02+ax0-a=0,因?yàn)榍芯€有兩條，所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,所以a的取值范圍是(-∞,-4)?(0,+∞).

解決問題要從概念入手，一開始，不要盯著“兩條切線”，而要抓住切線概念.先求切線.切點(diǎn)是應(yīng)用切線概念的關(guān)鍵，通過設(shè)切點(diǎn)，求切線，得到參數(shù)關(guān)系，自然而然知道如何處理“兩條切線”的問題，從而使問題解決.

7 注重概念綜合運(yùn)用

題7（新高考1 卷第12題）

已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)=f′(x)，若，g(2+x)均為偶函數(shù)，則（）.

分析本題為多選題，考查抽象函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性、周期性以及函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系等概念，是概念的綜合運(yùn)用.

第一，要準(zhǔn)確理解概念的本質(zhì).函數(shù)奇偶性反映了函數(shù)圖象的對(duì)稱特征，函數(shù)奇偶性概念的本質(zhì)是“自變量相反”時(shí)“函數(shù)值相反（或相同）”，而函數(shù)中的“自變量”均是“x”，而不是，因此，（*），g(2+x)=g(2-x)，所以，函數(shù)f(x)、g(x)的圖象分別關(guān)于直線,x=2 對(duì)稱.（*）式中令，可知選項(xiàng)C 正確.

第二，要結(jié)合概念充分挖掘條件隱含的信息.由于g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且是函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸（f(x)可導(dǎo)，是函數(shù)f(x)極值點(diǎn)），所以

第三，要準(zhǔn)確把握概念之間的關(guān)系.函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性有一定關(guān)系.由關(guān)于直線對(duì)稱），兩邊對(duì)求x導(dǎo)，得（f′(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱）即

由題目的條件可以變出很多結(jié)論，但其關(guān)鍵條件僅就兩個(gè)，即函數(shù)f(x)關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)g()x關(guān)于直線x=2 對(duì)稱，根據(jù)上述分析，我們完全可以構(gòu)造函數(shù)f()x=sin πx+1（該函數(shù)符合題目中的所有條件），則g(x)=π cos πx，這樣可將選項(xiàng)A 和D 排除，這也是以特殊的關(guān)系運(yùn)用概念.

運(yùn)用概念時(shí)，要對(duì)題目的條件進(jìn)行變式轉(zhuǎn)化，由函數(shù)的兩個(gè)對(duì)稱關(guān)系推出周期，或由一個(gè)對(duì)稱和周期推出其它對(duì)稱都屬于最基本的變式.

概念反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，概念在問題解決中的作用不可替代，因此，要有以概念解決問題的視角，強(qiáng)化概念解決問題的意識(shí)，提升用概念解決問題能力.