上海市行知中學(xué) 新青年數(shù)學(xué)教師工作室 范廣哲 （郵編：201999）

2020年起部分重點(diǎn)高校率先開(kāi)展強(qiáng)基計(jì)劃，目標(biāo)是選拔并培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的人才.本文對(duì)近兩年部分重點(diǎn)高校強(qiáng)基和自招中的高斯函數(shù)試題進(jìn)行剖析，希望能對(duì)教師和學(xué)生有所幫助和啟迪.

若x∈R，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)y=[x]稱為取整函數(shù)或數(shù)論函數(shù)，稱[x]為x的整數(shù)部分，稱{x}=x-[x]為x的小數(shù)部分.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯首先使用此記號(hào)，因而取整函數(shù)又稱高斯函數(shù).

下面給出高斯函數(shù)的一些重要性質(zhì)，不再證明.

性質(zhì)1若x∈R，則x=[x]+{x}，且0 ≤{x}<1.

性質(zhì)2若x∈R，則x-1<[x]≤x<[x]+1.

性質(zhì)3若n∈Z,x∈R，則[n+x]=n+[x].

性質(zhì)4若x、y∈R，則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

性質(zhì)5若x≥0,y≥0，則[xy]≥[x][y].

性質(zhì)6若n∈N*,x∈R，有

性質(zhì)7若x∈R，則

性質(zhì)8若n∈N*,x∈R，則[nx]≥n[x].

性質(zhì)9若x∈R+,n∈N*，則在不超過(guò)x的所有正實(shí)數(shù)中，是n的倍數(shù)的數(shù)共有個(gè).

性質(zhì)10若n∈N*，設(shè)pm≤n

類型一 分類討論

例1（2021年清華大學(xué)自強(qiáng)計(jì)劃）已知函數(shù)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)），則f(x)的函數(shù)值可能為（ ）

分析首先，自變量x需滿足2 ≠0.題目中x與具有對(duì)稱性，故只需考慮|x|≥1 的情形.

（1）當(dāng)x=1 時(shí)，代入可得

（2）當(dāng)1

（3）當(dāng)x≥2 時(shí)，設(shè)x=[x]+{x}，代入可得進(jìn)一步可得f(x)的值域?yàn)?/p>

（4）當(dāng)x<-1 時(shí)，

類似于（3）的方法可得f(x)的值域?yàn)?/p>

綜上，函數(shù)f(x)的值域?yàn)楣蔬xC.

評(píng)析若求f(x)可能的函數(shù)值，需求出其值域.把握題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用高斯函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論.

例2（2021年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃）若g(x)=，f(x)=log2x，解不等式0

分析g(x)=(x+[x]-[x+|x|]+1)，

先解不等式0

1.當(dāng)x≤0 時(shí)，g(x)=(x+[x])+1.

（1）當(dāng)x=0 時(shí)，g(x)=1，不等式無(wú)解；

（2）當(dāng)-1≤x<0 時(shí)，0

（3）當(dāng)-2≤x<-1時(shí)，0

（4）當(dāng)x<-2 時(shí)，g(x)<(-2-2)+1=0，不等式無(wú)解；

2.當(dāng)x>0 時(shí)，g(x)=(x+[x]-[2x])+1.

設(shè)x=[x]+{x}，則

因此，不等式0

評(píng)析求解復(fù)合函數(shù)不等式問(wèn)題時(shí)，先把外居函數(shù)的解集求出.遇到高斯函數(shù)與絕對(duì)值等綜合的題目，需要進(jìn)行分類討論從而達(dá)到去掉絕對(duì)值目的，簡(jiǎn)化求解過(guò)程.

類型二 借助同余

例3（2021年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃）已知S=，則S的個(gè)位數(shù)字是（ ）

A.4 B.5 C.7 D.以上答案都不對(duì)

分析由于23≡1(mod 7)，因而考慮2的次數(shù)按模3 分類.

由于8 的方冪的尾數(shù)以8，4，2，6 為一循環(huán)，

可得(8+4+2+6)×168+1+8-674 ≡5(mod 10).綜上，S的個(gè)位數(shù)字為5.故選B.

評(píng)析高斯函數(shù)里為分式結(jié)構(gòu)，需要借助同余進(jìn)行分類討論，從而去掉取整符號(hào).

例4（2021年北京大學(xué)高水平招生）已知[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-π]=-4等，則

分析由于22≡1(mod3)，因而考慮2的次數(shù)按模2 分類.

評(píng)析本題思想方法去例3 類似，也需要借助同余去取整符號(hào)，然后運(yùn)用等比數(shù)列求和方法求解.

類型三 運(yùn)用性質(zhì)

例5（2021年北京大學(xué)寒假學(xué)堂）已知f(x)=[x]+[2x]+[3x]，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則f(x)的值域?yàn)開(kāi)_____.

分析可得，f(x+1)=[x+1]+[2(x+1)]+[3(x+1)]=[x]+[2x]+[3x]+6=f(x)+6，可得f(x+1)=f(x)+6.因而考慮f(x)在[0,1) 上的值域即可.

由于[1，2，3]=6，故把區(qū)間[0,1)分為6 個(gè)部分考慮即可.

可得f(x)在[0,1)上的值域?yàn)閧0,1,2,3 }.

因而f(x)的值域?yàn)?/p>

評(píng)析觀察函數(shù)表達(dá)式特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其隱含性質(zhì)，進(jìn)而把考慮范圍縮小.

例6（2021年清華強(qiáng)基計(jì)劃）已知[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則方程x的解的個(gè)數(shù)為（ ）

A.15 B.30 C.60 D.無(wú)窮多個(gè)

分析由題知x∈Z.

由于[2,3,5=30]，由帶余除法可設(shè)x=30a+b，其中a、b∈Z，0 ≤b≤29.

若b確定，則a確定，因而x唯一確定.又由于b取不同值時(shí)，x必不同.

綜上，x的個(gè)數(shù)為30 個(gè).故選B.

評(píng)析求解取整方程時(shí)，考慮把變量進(jìn)行放縮，逐漸分析進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在關(guān)系.

例7（2021年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃）求M=

評(píng)析含根式的取整問(wèn)題，需要借助取值范圍，達(dá)到取整目的，進(jìn)而求解.

例8（2020年北京大學(xué)暑期體驗(yàn)營(yíng)）已知[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù)，求方程[x]+[x2]=[x3]的解集.

分析根據(jù)高斯函數(shù)性質(zhì)，可得

解得-2

（1）當(dāng)[x]=-2 時(shí)，[x]+[x2]≥-2+1=-1>[x3]，無(wú)解；

（2）當(dāng)[x]=-1 時(shí)，[x3]=-1，于是[x2]=0，因此-1

（3）當(dāng)[x]=0 時(shí)，[x]+[x2]=0+0=0=[x3]，因此0≤x<1 符合；

（4）當(dāng)[x]=1 時(shí)，按[x2]，[x3]的取值情況進(jìn)行詳細(xì)分類討論，可得符合.

綜上，該方程的解集為

評(píng)析觀察取整方程左右兩邊的表達(dá)式，利用取整函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解，在限定整數(shù)后再進(jìn)行分類討論.

總結(jié)數(shù)學(xué)試題是數(shù)學(xué)思想和方法的載體.強(qiáng)基和自招中的數(shù)學(xué)試題普遍具有難度高，知識(shí)廣，題量大及綜合性強(qiáng)的基本特點(diǎn)，更加注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)抓住知識(shí)間的聯(lián)系，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì).著名數(shù)學(xué)家和教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”.學(xué)生解題的過(guò)程就是分析-思考-探索-解決問(wèn)題的過(guò)程.教師和學(xué)生都應(yīng)積累解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略.