安徽省馬鞍山市第二中學(xué) 盧建軍 高瑩（郵編：243000）

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考考查的難點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.有關(guān)解析幾何中的定值定點(diǎn)問(wèn)題是?？挤较蛑?，往往有著深刻的幾何背景.本文以2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷的解析幾何解答題為例，進(jìn)行解法探究與背景溯源.

1 真題呈現(xiàn)

2022年高考全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)第20題，同文科第21題如下：

已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,-2)的直線交E于M、N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足，證明：直線HN過(guò)定 點(diǎn).

2 試題分析

本題第（1）小問(wèn)是常規(guī)問(wèn)題，考查過(guò)A、B兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，其中點(diǎn)A還是橢圓的頂點(diǎn)，學(xué)生在設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需考慮該橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓還是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，不能盲目地認(rèn)為點(diǎn)A(0,-2)在橢圓上就得到橢圓的b=2，比較優(yōu)選的做法是可以直接設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1(m、n>0,m≠n)，再將點(diǎn)A、B分別代入，解二元一次方程組得到m=求出E的方程為

第（2）小問(wèn)是本題的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，由圖形可知，直線PA、PB均為切線，且A、B均為切點(diǎn).直線MN的特殊位置可能是以下幾種：①直線MN退化為直線PA，此時(shí)點(diǎn)M和點(diǎn)N均為點(diǎn)A；②直線MN退化為直線PB，此時(shí)點(diǎn)M和點(diǎn)N均為點(diǎn)B；③直線MN斜率不存在；④直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱.由此幾種特殊情況不難猜測(cè)此時(shí)的直線HN所過(guò)定點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是點(diǎn)A或點(diǎn)B中其一，再結(jié)合當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)分析得此定點(diǎn)為點(diǎn)A(0,-2).

圖1 （一般情形）

圖2 （特殊情形①②）

圖3 （特殊情形③）

圖4 （特殊情形④）

3 常規(guī)解答

（1）E的方程為，過(guò)程略.

（2）在特殊情形③中，當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，lMN:x=1，與E的方程聯(lián)立可得M(1,-，故點(diǎn)T為線段MH的中點(diǎn)，所以H(5-，容易求得2，此時(shí)直線HN過(guò)點(diǎn)A(0,-2).

綜上可知，直線HN過(guò)定點(diǎn)A(0,-2).

4 背景溯源

圖5

圖6

首先，注意到直線PA與橢圓相切，而對(duì)于直線PB與橢圓的位置關(guān)系，由橢圓在處的切線方程為，即2x-y-4=0，其過(guò)點(diǎn)P(1,-2)，可知直線PB與橢圓相切.

另一方面，直線PB與橢圓相切關(guān)系還可以利用伸縮變換將橢圓變換至圓中證明.取點(diǎn)D(0,2)，延長(zhǎng)直線DB、AP交于點(diǎn)E(2,-2)，注意到P為線段AE的中點(diǎn).如圖6，Rt△ADE中，以AD邊為直徑的圓與斜邊DE交于點(diǎn)B，P為邊AE的中點(diǎn).不難知△ABE為直角三角形，于是PA=PB，又PA與圓O相切，所以PB也是圓O的切線.

于是我們發(fā)現(xiàn)，直線PA、PB均與橢圓相切.考慮將橢圓伸縮變換至圓中的情形，PA、PB均與圓O相切，過(guò)點(diǎn)P的直線與圓O交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)割線PMN與弦AB相交于點(diǎn)Q，則P、Q調(diào)和分割MN，即

而再次利用△PMA∽△PAN及△PMB∽△PBN，分別得

圖7

圖8

此時(shí)，如圖8，我們過(guò)M作直線PA的平行線，與AB、AN分別交于點(diǎn)T、H′.考慮△MNH′與截線ATQ，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有

通過(guò)以上的分析我們知道，本題的背景可以看作是在調(diào)和四邊形，即圓的兩切線與一割線的構(gòu)圖下，形成了調(diào)和分割的關(guān)系，對(duì)圖中調(diào)和點(diǎn)列、調(diào)和線束性質(zhì)的應(yīng)用.

5 教學(xué)建議

在高考復(fù)習(xí)中，一定要加強(qiáng)四基的訓(xùn)練，關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)通性通法的深入理解和綜合運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)體系.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從來(lái)都不滿足于特殊情況的結(jié)果，而是從特殊情形去類比到一般情形，在對(duì)特殊情形的研究中得到經(jīng)驗(yàn)和方法，從而尋求解決問(wèn)題的一般思路.在教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生理清數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，通過(guò)一些常見(jiàn)重要的命題啟發(fā)學(xué)生研究該命題的不同變化形式以及之間的邏輯聯(lián)系，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.

目前，核心素養(yǎng)已成為基礎(chǔ)教育領(lǐng)域的重點(diǎn)研究課題和學(xué)生發(fā)展的主要任務(wù).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成與提升離不開(kāi)高效的數(shù)學(xué)課堂，教師在數(shù)學(xué)課堂中不僅要將知識(shí)傳授給學(xué)生，更需要將方法和技能教授給學(xué)生，學(xué)生加以理解和應(yīng)用.在高考真題的分析和解答過(guò)程中，通過(guò)展示多種解題思路、揭示問(wèn)題的背景、梳理各類數(shù)學(xué)模型間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系、合理進(jìn)行數(shù)學(xué)多媒體的動(dòng)態(tài)展示等都可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，直觀想象，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).在試題的溯源和拓展環(huán)節(jié)有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)，思維的連貫性與創(chuàng)新性.