于 濤，韋才敏，，李傲霜，范 衠

（1.汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063；2.汕頭大學(xué)數(shù)字信號(hào)與圖像處理技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 汕頭 515063）

1 引言

期權(quán)作為金融衍生品市場(chǎng)上最重要的衍生品之一，對(duì)其建立合理準(zhǔn)確的定價(jià)模型具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義.自從Black和Scholes[1]提出了經(jīng)典的B-S定價(jià)模型后，有關(guān)期權(quán)定價(jià)理論和應(yīng)用得到了迅速發(fā)展，相關(guān)學(xué)者在此基礎(chǔ)上得到了一系列豐富的成果.雖然歐式期權(quán)是相對(duì)較為成熟的期權(quán)，且更容易得到它的解析解，但是由于亞式期權(quán)具有風(fēng)險(xiǎn)小、價(jià)格便宜、不易被人為操作等優(yōu)勢(shì)，得到了越來(lái)越多的研究.Stuart和Lee[2]通過(guò)對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)算術(shù)平均價(jià)格的概率分布進(jìn)行Edgeworth展開(kāi)，提出了一種新的歐式平均期權(quán)定價(jià)算法，但是該方法得到的亞式期權(quán)價(jià)格并不精確.Levy[3]在此基礎(chǔ)上，提出了另一種算術(shù)平均價(jià)格近似模型，也使得到的結(jié)果更為精確.Vecer[4]用隨機(jī)分析的方法得到亞式期權(quán)價(jià)格的統(tǒng)一算法.姜禮尚[5]采用偏微分方程的方法，在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、紅利率、波動(dòng)率均為常數(shù)的前提下，給出了B-S模型下歐式幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式.Park等[6]計(jì)算了跳躍擴(kuò)散CIR過(guò)程下亞式期權(quán)定價(jià)的解析公式，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證實(shí)了比完全蒙特卡羅方法計(jì)算時(shí)間快得多，提供了穩(wěn)定和準(zhǔn)確的期權(quán)價(jià)格.楊月等[7]研究次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下帶跳躍的幾何亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，并給出了標(biāo)的資產(chǎn)遵循次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式.Hozman和Tichy[8]研究了一個(gè)歐式和美式兩種行權(quán)特征下的離散觀測(cè)算術(shù)亞式期權(quán)定價(jià)模型，提出了形成和改進(jìn)估價(jià)過(guò)程的綜合方法論概念.

但是經(jīng)過(guò)大量的研究都表明：在實(shí)際的金融市場(chǎng)中金融資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率并不服從正態(tài)分布，而是服從一種“尖峰厚尾”的分布，并且金融市場(chǎng)存在顯著的長(zhǎng)記憶性特征.Mandelbrot[9]和Peters[10]以分形理論為基礎(chǔ)，將Hurst指數(shù)H作為度量長(zhǎng)記憶性強(qiáng)度的指標(biāo)，對(duì)市場(chǎng)收益率的時(shí)間序列進(jìn)行了研究.Necula[11]推導(dǎo)出了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下任意時(shí)刻歐式期權(quán)的定價(jià)公式.孫玉東等[12]考慮了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具有固定敲定價(jià)格的亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，給出了幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式.沈明軒[13]則給出了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式.

然而由于金融市場(chǎng)具有波動(dòng)性，即使考慮到金融市場(chǎng)具有長(zhǎng)記憶性和“尖峰厚尾”的特征，確定性的期權(quán)定價(jià)模型也不能適應(yīng)當(dāng)今金融市場(chǎng)的發(fā)展，這就需要在同時(shí)考慮隨機(jī)性和模糊性的基礎(chǔ)上建立新的定價(jià)模型.模糊性與隨機(jī)性不同，模糊性是指由于投資者不知道股票收益率的確切分布，從而對(duì)是否進(jìn)行投資產(chǎn)生一定的不確定性.Zadeh[14]提出的模糊集理論很好地解決了這類問(wèn)題.近年來(lái)，模糊集理論作為一種有用的工具在金融衍生產(chǎn)品定價(jià)中得到了廣泛的應(yīng)用.Wu[15]的研究表明了在B-S模型下研究模糊性的必要性；在模糊環(huán)境下為了取得股票的收益，人們往往更注重對(duì)“最壞”情況的考慮[16].Carlsson等[17]和Collan等[18]分別研究了模糊環(huán)境下的實(shí)物期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.秦學(xué)志等[19]研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式期權(quán)的模糊定價(jià)問(wèn)題，證實(shí)了在不確定環(huán)境下充分考慮長(zhǎng)記憶性特征得到的歐式期權(quán)定價(jià)模型更符合金融市場(chǎng).但是單一的三角模糊數(shù)僅能表示投資者是否進(jìn)行投資，不能表示投資者在面對(duì)模糊性時(shí)的猶豫程度，張茂軍等[20]首次把三角直覺(jué)模糊數(shù)引入到離散情況下的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的研究；明雷等[21]則在此基礎(chǔ)上研究了Black-Scholes模型下的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.

綜上，需要同時(shí)考慮隨機(jī)性和模糊性兩個(gè)方面才能全面地刻畫標(biāo)的股票價(jià)格的演化過(guò)程.本文首先采用三角直覺(jué)模糊數(shù)的方法對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的亞式期權(quán)進(jìn)行研究，利用了Yoshida[22]簡(jiǎn)化股價(jià)模糊區(qū)間的方法對(duì)具有固定敲定價(jià)格和浮動(dòng)敲定價(jià)格的亞式期權(quán)進(jìn)行了討論，給出了股價(jià)的三角模糊區(qū)間，并分別得出了兩種期權(quán)價(jià)格的三角直覺(jué)模糊區(qū)間等.其次分析了金融市場(chǎng)長(zhǎng)記憶性指標(biāo)Hurst指數(shù)H對(duì)定價(jià)模型的影響，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了行權(quán)時(shí)間T會(huì)對(duì)其單調(diào)性產(chǎn)生影響.最后運(yùn)用控制變量法研究了三角直覺(jué)模糊數(shù)下不同因素對(duì)于期權(quán)價(jià)格的影響.主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)為：一、為了刻畫金融市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性和“尖峰厚尾”的特征，采用了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)去描述股票價(jià)格的變化，并分析了Hurst指數(shù)H對(duì)定價(jià)模型的影響；二、將標(biāo)的股票價(jià)格當(dāng)作模糊隨機(jī)過(guò)程，利用模糊隨機(jī)變量期望的定義和模糊數(shù)的運(yùn)算推導(dǎo)出歐式幾何平均亞式期權(quán)模糊價(jià)格的任意水平截集的端點(diǎn)；三、將三角直覺(jué)模糊數(shù)首次引入到亞式期權(quán)中，用三角直覺(jué)模糊數(shù)刻畫了投資者的猶豫程度，彌補(bǔ)了現(xiàn)有模糊環(huán)境下歐式幾何亞式期權(quán)定價(jià)相關(guān)文獻(xiàn)均沒(méi)有考慮投資者猶豫程度的不足.所得結(jié)果與直接給出期權(quán)的價(jià)格公式相比，本文所給的定價(jià)模型更符合金融市場(chǎng).

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的亞式期權(quán)定價(jià)

在這一小節(jié)中將引入分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的亞式期權(quán)定價(jià)公式，由于僅有歐式幾何平均亞式期權(quán)存在解析解，所以本文所討論的期權(quán)均為該類型的亞式期權(quán).以看漲幾何平均亞式期權(quán)為例，分別給出了具有固定敲定價(jià)格的亞式期權(quán)和具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的亞式期權(quán)，看跌期權(quán)可由平價(jià)公式推導(dǎo)得到.

2.1.1 具有固定敲定價(jià)格的亞式期權(quán)[12]

現(xiàn)在考慮分?jǐn)?shù)B-S市場(chǎng)有兩種資產(chǎn).設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（債券）價(jià)格Bt滿足方程dBt＝rBtdt，0≤t≤T，而風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（股票）價(jià)格St滿足下列隨機(jī)微分方程

其中期望收益率μ、波動(dòng)率σ都為常數(shù)，{WtH，t≥0}為完備概率空間（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P）上的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，且 Ft＝σ（WsH，0≤s≤t）＝σ（Ss，0≤s≤t）.

作變量代換

那么在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，可以得到

引理2.1若股票價(jià)格過(guò)程滿足方程（1），則具有固定敲定價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)價(jià)格為[12]：

引理 2.2 用 C（S，J，t），P（S，J，t）分別表示看漲、看跌期權(quán)，則具有固定敲定價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)的平價(jià)公式為[5]：

2.1.2 具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的亞式期權(quán)[13]

引理2.3若股票價(jià)格過(guò)程滿足方程（1），則具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)價(jià)格為[13]：

引理 2.4 用 C（S，J，t），P（S，J，t）分別表示看漲、看跌期權(quán)，則具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)的平價(jià)公式為[5]：

2.2 三角直覺(jué)模糊數(shù)[23]

以下引入三角模糊數(shù)的概念：

其非隸屬度定義為：

圖1 三角直覺(jué)模糊數(shù)

3 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式幾何平均亞式期權(quán)的三角直覺(jué)模糊價(jià)格

在確定模糊變量時(shí)，應(yīng)考慮是否能判斷期權(quán)價(jià)格關(guān)于該模糊變量的單調(diào)性，以便得出期權(quán)價(jià)格的上下界.不同于歐式期權(quán)，由于亞式期權(quán)價(jià)格公式和三角直覺(jué)模糊數(shù)的復(fù)雜性，在判斷期權(quán)價(jià)格對(duì)模糊變量的單調(diào)性時(shí)會(huì)更加復(fù)雜，甚至對(duì)某些變量并不保持單調(diào)性.

定理3.3可以證明：在保證期權(quán)模糊價(jià)格非負(fù)的條件下，期權(quán)模糊價(jià)格是股票模糊初始價(jià)格的單調(diào)遞增函數(shù).

假設(shè)at＝cSt，c被稱為散度因子，也即模糊指標(biāo)，它反映了以股價(jià)價(jià)格S為中心的模糊股價(jià)價(jià)格的散度大小，c越大，說(shuō)明模糊股價(jià)價(jià)格的距離股價(jià)中心S的散度越大，模糊程度越大.

在選定模糊變量之后，可以得到期權(quán)模糊價(jià)格的表達(dá)式，以具有固定價(jià)格的亞式看漲期權(quán)為例：

定理3.1具有固定價(jià)格的亞式看漲期權(quán)的模糊價(jià)格為：

其中 d1，d2，r*，σ*2，Xt由式（3）給出.

由定義2.2知，股票價(jià)格對(duì)應(yīng)的隸屬度越大時(shí)，其滿足條件的模糊數(shù)越少，而S為區(qū)間[S1，S2]中最有可能取到的值，其最大隸屬度為，最小非隸屬度為，因此可以通過(guò)S來(lái)判定αβ，由此可以得到定理3.2.

定理3.3期權(quán)價(jià)格對(duì)模糊變量的單調(diào)性判斷：在保證期權(quán)價(jià)格非負(fù)的條件下，歐式幾何平均看漲亞式期權(quán)的模糊價(jià)格對(duì)股票的初始模糊價(jià)格為單調(diào)遞增函數(shù).

因?yàn)?d1＜d2，Φ（d1）＜Φ（d2），結(jié)合t的實(shí)際意義有t＞0，對(duì)比t與的后兩項(xiàng)可得，在的情況下，的后兩項(xiàng)之和大于0，同時(shí)第一項(xiàng)大于0，則大于0成立，即此時(shí)t是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù).

下一節(jié)在運(yùn)用控制變量法分析模型的敏感性和穩(wěn)健性時(shí)，為了計(jì)算的簡(jiǎn)潔和保持期權(quán)的單調(diào)性可令t＝0.

定理3.4歐式幾何平均看漲亞式期權(quán)的模糊價(jià)格截集：對(duì)于具有固定敲定價(jià)格的亞式期權(quán)：

證明：由定理3.1及定理3.2，3.3可得.

推論3.1：對(duì)于具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的看漲亞式期權(quán)，在滿足期權(quán)價(jià)格非負(fù)的條件下，同理得到期權(quán)價(jià)格關(guān)于股票初始價(jià)格為單調(diào)遞增函數(shù)，故其價(jià)格截集可表示如下：

該推論同樣可以由定理3.1與定理3.2，3.3得到.

同時(shí)，由第二節(jié)的平價(jià)公式可以得到在幾何平均看跌亞式期權(quán)的價(jià)格截集.但由于第四部分主要研究具有固定敲定價(jià)格的幾何平均看漲亞式期權(quán)，故省去了該情況下的表述.

金融市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性可以用Hurst指數(shù)H來(lái)度量，下面的定理表示了Hurst指數(shù)對(duì)具有固定敲定價(jià)格的歐式幾何平均看漲亞式期權(quán)模糊價(jià)格t的影響.

證明：以上可通過(guò)求導(dǎo)公式得到.

推論3.2 Hurst指數(shù)對(duì)兩類具有固定敲定價(jià)格的亞式看漲期權(quán)價(jià)格截集的影響如下：

接下來(lái)通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析，重點(diǎn)討論具有固定敲定價(jià)格的亞式看漲期權(quán)，對(duì)其將通過(guò)控制變量法分析各個(gè)變量及H對(duì)價(jià)格截集的影響；且由于具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的亞式看漲期權(quán)本身的解析式及求導(dǎo)公式過(guò)于復(fù)雜，不便進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，所以這里略去了H對(duì)其價(jià)格截集的影響.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)主要研究的是具有固定敲定價(jià)格的幾何平均看漲亞式期權(quán)，對(duì)其通過(guò)控制變量法分別討論了各個(gè)變量對(duì)期權(quán)上下限價(jià)格的影響.由于亞式期權(quán)價(jià)格公式的復(fù)雜性，為了方便研究不同變量對(duì)于期權(quán)價(jià)格的影響，故對(duì)模型中的某些參數(shù)進(jìn)行了簡(jiǎn)化.

4.1 基準(zhǔn)模型的參數(shù)數(shù)據(jù)

下面給出基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，取初始股價(jià)為S＝25期權(quán)期限t＝0，T＝5，Hurst指數(shù)H＝0.6，α－截集α＝0.75，最大隸屬度w＝0.9，股票波動(dòng)率σ＝0.25，敲定價(jià)格K＝20，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r＝0.07，β－截集β＝0.2，最小非隸屬度u＝0.05，模糊指標(biāo)c＝0.05.易知：當(dāng)Δ＞0 時(shí)，有 C1＝5.458，C2＝5.787.

4.2 靈敏性和穩(wěn)健性分析

首先需給出Hurst指數(shù)對(duì)亞式期權(quán)模糊價(jià)格的影響，與歐式期權(quán)不同，由于在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具有固定敲定價(jià)格的歐式幾何平均看漲亞式期權(quán)的模糊價(jià)格公式十分復(fù)雜，很難準(zhǔn)確地判斷出關(guān)于H的單調(diào)性.但是同樣可以得出對(duì)于不同的T，期權(quán)價(jià)格關(guān)于H的單調(diào)性會(huì)不同.在經(jīng)過(guò)多次對(duì)T取值后，分別列舉了T＝0.5和T＝5兩種情況下期權(quán)關(guān)于H的變化.如圖2和3所示：當(dāng)T＝0.5時(shí)，期權(quán)的三角直覺(jué)模糊價(jià)格關(guān)于參數(shù)H是單調(diào)遞增的.但是當(dāng)T＝5時(shí)，期權(quán)的上限價(jià)格則先隨著H的增大而略有增加，隨后緩慢下降，最后當(dāng)H＝0.858 6時(shí)期權(quán)上限價(jià)格迅速遞減至0；期權(quán)的下限價(jià)格則在H＝0.858 6前呈現(xiàn)緩慢下降的趨勢(shì)，同樣在到達(dá)該點(diǎn)后迅速遞減至0.以上兩種情況表征了不同的T會(huì)對(duì)期權(quán)的單調(diào)性產(chǎn)生不同的影響.

圖2 T＝0.5時(shí)Hurst指數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖3 T＝5時(shí)Hurst指數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖4和5分別表示的是股票的初始價(jià)格S和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r對(duì)期權(quán)上下限價(jià)格的影響，容易得出：在保證期權(quán)價(jià)格始終非負(fù)的條件下，期權(quán)的上下限價(jià)格關(guān)于兩者均為單調(diào)遞增的函數(shù).但當(dāng)超出該范圍，如股票的初始價(jià)格過(guò)小時(shí)，期權(quán)的上下限價(jià)格應(yīng)該為0，因?yàn)榇藭r(shí)行權(quán)者通常不會(huì)執(zhí)行該權(quán)利，同時(shí)這也是符合金融市場(chǎng)的常識(shí).

圖4 股票初始價(jià)格S對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖5 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖6所示，與歐式期權(quán)或歐式回望期權(quán)不同，隨著波動(dòng)率σ的增大，期權(quán)的上下限價(jià)格均呈現(xiàn)單調(diào)遞減的趨勢(shì)，甚至當(dāng)波動(dòng)率足夠大時(shí)，期權(quán)價(jià)格將趨于0.而這與亞式期權(quán)的定義緊密相關(guān)，亞式期權(quán)的收益是依賴于在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)原生資產(chǎn)所經(jīng)歷的價(jià)格平均值，故波動(dòng)率變大不利于該期權(quán)的收益.同樣，期權(quán)的行權(quán)時(shí)間T對(duì)期權(quán)的上下限價(jià)格也不總是正相關(guān)的.在圖7中，期權(quán)的上下限價(jià)格函數(shù)均為上凸函數(shù)，即隨著時(shí)間的增加，期權(quán)價(jià)格先增加后減少.

圖6 波動(dòng)率σ對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖7 行權(quán)時(shí)間T對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

隨著敲定價(jià)格K的增大，期權(quán)價(jià)格會(huì)逐漸變小.在圖8中，當(dāng)期權(quán)的敲定價(jià)格過(guò)大時(shí)，期權(quán)的上下限價(jià)格會(huì)單調(diào)遞減至0甚至負(fù)數(shù)，但是這在實(shí)際的金融市場(chǎng)中是不可能發(fā)生的，因?yàn)楫?dāng)敲定價(jià)格過(guò)高時(shí)，期權(quán)持有人可選擇不行權(quán)，此時(shí)期權(quán)的價(jià)格為0.同樣的，最大隸屬度的選擇也應(yīng)該符合實(shí)際情況，在圖9中當(dāng)最大隸屬度過(guò)小時(shí)就會(huì)出現(xiàn)期權(quán)的下限價(jià)格大于上限價(jià)格的情況.在合理的最大隸屬度內(nèi)，隨著最大隸屬度的增大，期權(quán)的上限價(jià)格會(huì)單增，下限價(jià)格會(huì)單減.

圖8 敲定價(jià)格K對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖9 最大隸屬度w對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖10中表明了：模糊指標(biāo)c越大，由于上限價(jià)格單增、下限價(jià)格單減，從而使得期權(quán)的模糊定價(jià)區(qū)間（上下限價(jià)格構(gòu)成的區(qū)間）就會(huì)越大.在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，應(yīng)該選擇合理的模糊指標(biāo)c，這樣既可以對(duì)期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行較為準(zhǔn)確地描述，又考慮到了投資者的猶豫度.在圖11中，隨著α－截集的增大，期權(quán)的上限價(jià)格遞減，上限價(jià)格遞增.同時(shí)，α－截集的值不應(yīng)過(guò)大，這樣會(huì)導(dǎo)致上限價(jià)格高于下限價(jià)格，沒(méi)有實(shí)際意義.

圖10 模糊指標(biāo)c對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖11 α－截集對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖12和13分別描述了最小非隸屬度u和β－截集對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響：隨著最小非隸屬度u的增大，期權(quán)的上限價(jià)格單調(diào)遞減，下限價(jià)格單調(diào)遞增.即期權(quán)的定價(jià)區(qū)間單調(diào)遞減，并且在最小非隸屬度u＝0.2時(shí)，期權(quán)的上下限價(jià)格相等.故而對(duì)最小非隸屬度的選取應(yīng)該符合金融市場(chǎng)，不然可能會(huì)出現(xiàn)期權(quán)上限價(jià)格低于下限價(jià)格的情況.β－截集對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響則相反，隨著β值的增大，期權(quán)的上限價(jià)格線性增大，下限價(jià)格線性減小.即期權(quán)的定價(jià)區(qū)間單調(diào)遞增，且當(dāng)β＝0.05時(shí)期權(quán)的上下限價(jià)格相等，同時(shí)這與歐式期權(quán)的結(jié)論相類似.

圖12 最小非隸屬u度對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

圖13 β－截集對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響

5 結(jié)論

本文研究了基于模糊環(huán)境下金融市場(chǎng)長(zhǎng)記憶性特征的歐式幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.亞式期權(quán)一直都是金融市場(chǎng)上最活躍的奇異期權(quán)之一，與已有的研究不同，本文是在模糊環(huán)境下運(yùn)用三角直覺(jué)模糊數(shù)的理論對(duì)歐式幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究，并考慮了金融市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性特征.在長(zhǎng)期的市場(chǎng)驗(yàn)證及大量的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)股票市場(chǎng)的價(jià)格變化的經(jīng)驗(yàn)分布具有“尖峰厚尾”的特征，而且股價(jià)之間存在著長(zhǎng)期相關(guān)性，因此將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)引入到模糊環(huán)境下亞式期權(quán)的定價(jià)中更具有普遍意義，也更符合金融市場(chǎng).所得的結(jié)論如下：

（1）將股票的初始價(jià)格設(shè)為三角直覺(jué)模糊變量，運(yùn)用隨機(jī)分析，模糊集理論等構(gòu)建了模糊環(huán)境下金融市場(chǎng)長(zhǎng)記憶性特征的幾何亞式期權(quán)定價(jià)模型，分別得出了具有固定敲定價(jià)格的歐式幾何平均亞式期權(quán)和浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的歐式幾何平均亞式期權(quán)的模糊價(jià)格公式和價(jià)格截集；

（2）對(duì)具有固定敲定價(jià)格的歐式幾何平均亞式期權(quán)進(jìn)行了重點(diǎn)研究，分析了金融市場(chǎng)長(zhǎng)記憶性的度量指標(biāo)Hurst指數(shù)對(duì)其定價(jià)模型的影響，得出行權(quán)時(shí)間T將會(huì)改變其單調(diào)性等特征；

（3）運(yùn)用控制變量法對(duì)具有固定敲定價(jià)格的亞式期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了敏感性和穩(wěn)健性檢驗(yàn)，并得出了與歐式期權(quán)不同的結(jié)論，如：波動(dòng)率越大，期權(quán)價(jià)格越低；期權(quán)價(jià)格和行權(quán)時(shí)間并不總是正相關(guān)的，而是關(guān)于T的一個(gè)上凸函數(shù).同時(shí)得出對(duì)于模糊指標(biāo)c、α－截集、β－截集等變量的選取應(yīng)當(dāng)符合理論分析和金融市場(chǎng)的現(xiàn)實(shí)意義.通過(guò)最后的數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)，相比于直接給出期權(quán)價(jià)格的解析解，引入分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和三角直覺(jué)模糊數(shù)將更有利于投資者在面對(duì)投資時(shí)做出判斷，具有很好的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義.