倪云林，龔倩，沈夢(mèng)佳

(1. 浙江海洋大學(xué) 海洋工程裝備學(xué)院，浙江 舟山 316022)

1 引言

1913年Bragg父子在用X射線研究?jī)蓚€(gè)平行晶體的結(jié)構(gòu)時(shí)發(fā)現(xiàn)了Bragg共振反射現(xiàn)象[1]，即當(dāng)晶體間距為入射光波波長(zhǎng)一半的整數(shù)倍時(shí)，光波的反射達(dá)到最大。這一現(xiàn)象在波浪傳播過(guò)程中同樣存在。1982年，Davies[2]發(fā)現(xiàn)特定波長(zhǎng)的波通過(guò)周期性變化的沙波地形時(shí)，波浪會(huì)與沙波產(chǎn)生共振，使波浪大幅反射，這就是波浪的Bragg共振反射。受此啟發(fā)，Mei等[3]在1988年首次提出了Bragg防波堤的概念，即在波浪破碎帶外通過(guò)修建與岸線平行且等間距排列的小規(guī)模、低高度的潛壩，實(shí)現(xiàn)對(duì)海岸的保護(hù)。此后Bragg防波堤對(duì)波浪反射的問(wèn)題引起了越來(lái)越多科研人員的興趣。例如，Hsu等[4]、蔡立宏[5]、Wen和Tsai[6]、江鳴[7]分別研究了潛壩的形狀、高度、寬度、數(shù)量等參數(shù)對(duì)Bragg共振反射系數(shù)的影響，Liu等[8-10]、曾慧丹等[11-12]先后開展了水平海床上梯形Bragg防波堤和矩形Bragg防波堤對(duì)波浪共振反射的解析研究。

2 控制方程和求解方法

如圖1所示，將水域分為左、中、右3個(gè)區(qū)域。整個(gè)水域海床水平且可滲透，海床由無(wú)限厚、飽和、剛性多孔介質(zhì)組成。左區(qū)域和右區(qū)域的水深為常數(shù)h0，中間區(qū)域總長(zhǎng)為L(zhǎng)M，在其上布置N個(gè)矩形潛壩，每個(gè)潛壩的寬度為w，堤頂水深為h1，兩個(gè)相鄰壩體之間的距離為d（含壩體寬度與壩體間距），并假設(shè)拋石潛壩和可滲透海床具有相同的滲透系數(shù)。取左、中區(qū)域交界面與靜水面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，x軸位于靜水面，水平向右為正，z軸垂直向上，波浪從左區(qū)域入射沿x軸正方向傳播。

圖1 滲透海床上多孔矩形Bragg防波堤平面示意圖Fig. 1 Bragg breakwaters with porous rectangular bars on a permeable seabed

Dean和Dalrymple[13]在水域中采用微幅波理論，在海床內(nèi)部利用達(dá)西定律推導(dǎo)得到了波浪在水平、無(wú)限厚、可滲透海床上傳播的速度勢(shì)為

利用Dean和Dalrymple[13]的研究成果，可以寫出左區(qū)域和右區(qū)域波浪運(yùn)動(dòng)的速度勢(shì)為

式中，AL、AR為待定系數(shù)。 φL(x) 、 φR(x)為應(yīng)用分離變量法后含x的函數(shù)。

在地形變化的中間區(qū)域，水深h=h(x)。Ni和Teng[15-16]通過(guò)引入海底可滲透邊界條件，推導(dǎo)得到了一維修正型緩坡方程。該方程既包含了地形曲率項(xiàng)和坡度平方項(xiàng)，又考慮了海床可滲透因素，其表達(dá)式為

輔導(dǎo)員不僅要勤奮學(xué)習(xí)，更需要深度思考?！皩W(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”。深度地思考比勤奮學(xué)習(xí)更為重要。面對(duì)自己學(xué)生工作中所遇到的問(wèn)題要用自己所學(xué)，及時(shí)提出自己的思路和解決方案，解決工作中遇到的新問(wèn)題和新矛盾，而不是事事推給領(lǐng)導(dǎo)來(lái)解決；學(xué)生工作紛雜、繁瑣，但是輔導(dǎo)員絕不能一味的埋頭于瑣碎的事務(wù)性工作之中，既要低頭拉車，又要抬頭看路。工作時(shí)除了要有愛(ài)心，還要把握時(shí)代規(guī)律，積極關(guān)注學(xué)生特點(diǎn)變遷，在工作中邊干邊學(xué)，不斷積累知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并深入踏實(shí)進(jìn)行鉆研并創(chuàng)新性地開展工作，把經(jīng)驗(yàn)上升為科學(xué)，不斷地提升自身的履職能力。

式中，

根據(jù)相鄰兩個(gè)區(qū)域速度勢(shì)連續(xù)和速度連續(xù)的匹配條件：

（1）在左區(qū)域和中間區(qū)域的交界面處

（2）在中間區(qū)域和右區(qū)域的交界面處

采用中心差分格式對(duì)式（4）進(jìn)行離散：

式（16）還可以寫為

式中， Δx為空間步長(zhǎng)；下標(biāo)i為節(jié)點(diǎn)編號(hào)；n表示節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

再對(duì)匹配條件式（12）至式（15）進(jìn)行離散可得：

綜合式（17）至式（21），可以得到n+2個(gè)線性方程，進(jìn)而求解n+2個(gè)未知數(shù)（ φ1, φ2,···,φn,AL,AR）。

3 模型驗(yàn)證與討論

3.1 模型驗(yàn)證與收斂性分析

3.1.1 與不可滲透海床上矩形Bragg防波堤對(duì)波浪反射系數(shù)解析解的比較

Zeng等[17]采用解析方法研究了水平不可滲透海床上矩形Bragg防波堤對(duì)波浪的反射問(wèn)題，相關(guān)參數(shù)選取如下：N=3，h0=4 m，h1=3 m，w=90 m，d=180 m。因Zeng等[17]假設(shè)海床不可滲透，所以在用本文有限差分模型計(jì)算時(shí)，令海床滲透性參數(shù)T=0 s，其他參數(shù)保持不變，并定義反射系數(shù)。同時(shí)，為了驗(yàn)證模型的收斂性，空間步長(zhǎng)Δx分別取10 m、5 m、2 m 和1 m。則不同空間步長(zhǎng)情況下，計(jì)算得到的反射系數(shù)KR隨入射波相對(duì)波長(zhǎng)2d/L在區(qū)間[0.3，4.5]的變化情況及其與Zeng等[17]解析解的比較如圖2所示。

圖2 不可滲透海上矩形Bragg防波堤對(duì)波浪反射本文數(shù)值解與Zeng等[17]解析解的比較Fig. 2 The comparison of the present numerical solutions with Zeng et al’s[17] analytical solutions for the wave reflection by the Bragg breakwater with rectangular bars on the impermeable seabed

從圖2可以看出，當(dāng)空間步長(zhǎng) Δx取2 m和1 m時(shí)，本文有限差分模型計(jì)算得到的反射系數(shù)KR幾乎相同，并和Zeng等[17]的解析解完全吻合。這說(shuō)明當(dāng)空間步長(zhǎng) Δx=1 m時(shí)，模型收斂且計(jì)算結(jié)果正確。

同時(shí)，從圖2中還可以看到，在壩體數(shù)量N=3的情況下，隨著入射波長(zhǎng)的減小，即2d/L的增大，反射系數(shù)KR呈現(xiàn)出振蕩變化。在2d/L=0.92時(shí)，反射系數(shù)KR達(dá)到最大值0.41，此時(shí)發(fā)生Bragg共振反射。而在2d/L=0.31、0.62、1.23等位置處，反射系數(shù)KR=0，說(shuō)明波浪發(fā)生全透射。

3.1.2 與波浪在可滲透水平海床上傳播水槽實(shí)驗(yàn)修正結(jié)果的比較

Savage和Fairchild[18]在1953年開展了波浪在可滲透水平海床上傳播的水槽實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)中，水槽底部鋪有一層厚度為0.3 m的泥沙，滲透性參數(shù)T=4.49×10-3s，其上水深為常數(shù)，即h0=0.229 m；入射波浪圓頻率ω=4.9474 Hz，對(duì)應(yīng)的入射波長(zhǎng)L=1.7204 m。為了消除實(shí)驗(yàn)中水槽邊壁摩阻的影響，Savage和Fairchild[18]還對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了修正。

應(yīng)用本文考慮海底可滲透的一維修正型緩坡方程有限差分模型，計(jì)算了實(shí)驗(yàn)工況，計(jì)算得到的相對(duì)振幅（定義為|A(x)/A0|，其中A(x)為x處的振幅）沿程變化情況及其與Savage和Fairchild[18]實(shí)驗(yàn)修正結(jié)果的比較見(jiàn)圖3?？梢钥闯?，本文數(shù)值解與Savage和Fairchild[18]的實(shí)驗(yàn)修正結(jié)果總體上吻合良好，但計(jì)算結(jié)果略小于實(shí)驗(yàn)修正結(jié)果，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中的可滲透海床厚度為0.3 m，而本文模型假設(shè)可滲透海床無(wú)限厚。

圖3 波浪在可滲透水平海床上傳播相對(duì)振幅沿程變化本文數(shù)值解與Savage和Fairchild[18]實(shí)驗(yàn)修正結(jié)果的比較Fig. 3 The comparison of the present numerical solutions with Savage and Fairchild’s[18] modified experimental results for the dimensionless wave amplitudes of waves propagation on the horizontal permeable seabed

3.2 討論與分析

本節(jié)將利用有限差分模型，研究海床可滲透情況下，海床的滲透性參數(shù)、壩體的相對(duì)寬度、數(shù)量和浸沒(méi)度對(duì)波浪共振反射系數(shù)KR的影響。

3.2.1 海床滲透性參數(shù)T的影響分析

如前所述，實(shí)際海床由砂礫、粗砂、細(xì)砂等不同類型的沉積物構(gòu)成，防波堤由拋石和砂土組成，均具有不同的滲透性。根據(jù)已有的研究成果，相關(guān)可滲透物質(zhì)的滲透性參數(shù)列于表1[19-21]。從表1可以看出，防波堤及可滲透海床的滲透性參數(shù)T數(shù)量級(jí)介于10-3～10-2s之間，因此，在本節(jié)計(jì)算中滲透性參數(shù)分別取T=0.005 s、0.010 s和0.030 s，其余參數(shù)h0=4 m，h1=3 m，w=90 m，d=180 m保持不變。則在壩體數(shù)量為N=3和N=4的兩種情況下，Bragg防波堤對(duì)不同周期入射波浪反射系數(shù)KR的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖4和表2。

表2 海床不同滲透性參數(shù)下Bragg共振反射的特征值Table 2 Eigenvalues of Bragg resonance reflection under different permeability of seabed

圖4 海床滲透性參數(shù)T對(duì)Bragg共振反射的影響Fig. 4 Influence of the seabed permeability parameter T on Bragg resonance reflection

表1 不同多孔介質(zhì)的滲透性參數(shù)T取值Table 1 Values of the permeability parameter T for different porous media

從計(jì)算結(jié)果可以看出，在不同壩體數(shù)量為N=3和N=4的情況下，無(wú)論海床是否可滲透，Bragg共振反射發(fā)生時(shí)反射系數(shù)KR都在2d/L=0.919處達(dá)到最大，說(shuō)明海床的滲透性對(duì)Bragg共振反射的發(fā)生位置基本沒(méi)有影響，這是因?yàn)橥活l率的波浪在不可滲透海床和可滲透海床上傳播時(shí)，波長(zhǎng)幾乎相等[22-23]，而波長(zhǎng)又是Bragg共振反射的決定性參數(shù)。但是，隨著波能在可滲透海床和壩體中耗散，發(fā)生Bragg共振反射時(shí)的反射系數(shù)KR和帶寬均隨著海床滲透性參數(shù)的增加而減小，且全透射（KR=0）現(xiàn)象不再發(fā)生。當(dāng)N=3時(shí)，在海床不可滲透（T=0 s）時(shí)，KR=0.416，而隨著海床滲透性參數(shù)從T=0.005 s增加到T=0.030 s，反射系數(shù)KR也從0.403減小到0.347；當(dāng)N=4時(shí)，在海床不可滲透（T=0 s）時(shí)，KR=0.526，而隨著海床滲透性參數(shù)從T=0.005 s增加到T=0.030 s，反射系數(shù)KR同樣從0.504減小到0.415。

3.2.2 壩體相對(duì)寬度w/d的影響分析

本小節(jié)討論海床不可滲透（T=0 s）和可滲透（T=0.005 s）情況下，壩體相對(duì)寬度w/d對(duì)Bragg共振反射的影響。令N=3，h0=4 m，h1=3 m，d=180 m保持不變，w分別取18 m、54 m、90 m、126 m、162 m，則相對(duì)寬度w/d分別為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

從圖5a可以看到，當(dāng)海床不可滲透時(shí)，在壩體相對(duì)寬度w/d從0.1增加到0.3再增加到0.5的過(guò)程中，在2d/L≈1時(shí)，發(fā)生Bragg共振反射，反射系數(shù)KR從0.155增加到0.367再增加到0.416，而隨著壩體相對(duì)寬度w/d從0.5增加到0.7再增加到0.9時(shí)，同樣在2d/L≈1附近發(fā)生Bragg共振反射，但是反射系數(shù)KR從0.416減小到0.339再減小到0.210。從圖5b也可以看到，當(dāng)海床可滲透時(shí)，在壩體的相對(duì)寬度w/d從0.1增加到0.3再增加到0.5的過(guò)程中，Bragg共振反射系數(shù)從0.151增加到0.350再增加0.403，而隨著相對(duì)寬度w/d從0.5增加到0.7再增加到0.9時(shí)，發(fā)生Bragg共振反射時(shí)的反射系數(shù)KR從0.403減小到0.323再減小到0.203。這表明無(wú)論海床是否可滲透，都存在著一個(gè)特定的壩體相對(duì)寬度值可以使Bragg共振反射達(dá)到最大。

圖5 壩體相對(duì)寬度w/d對(duì)Bragg共振反射的影響Fig. 5 Influence of the bar width w/d on the Bragg resonance reflection

3.2.3 壩體數(shù)量N的影響分析

本小節(jié)討論在海床不可滲透（T=0 s）和可滲透（T=0.005 s）情況下，壩體數(shù)量N對(duì)Bragg共振反射的影響。保持參數(shù)h0=4 m，h1=3 m，w=90 m，d=180 m不變，壩體數(shù)量N從1增加到8，計(jì)算結(jié)果繪于圖6。

圖6 壩體數(shù)量N對(duì)Bragg共振反射的影響Fig. 6 Influence of the bar number N on the Bragg resonance reflection

從圖6a可以看出，在海床不可滲透時(shí)，隨著壩體數(shù)量N從1增加到8，反射系數(shù)KR從0.147增加到0.826；從圖6b中可以看出，在海床可滲透時(shí)，隨著壩體數(shù)量N從1增加到8，反射系數(shù)KR從0.146增加到0.772，小于海床不可滲透時(shí)的反射系數(shù)，同樣，全透射（KR=0）現(xiàn)象依舊不會(huì)發(fā)生。同時(shí)，隨著壩體數(shù)量的增加共振帶寬隨之減小。這與Guazzelli等[24]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和Liu等[25-26]解析解所證實(shí)的Bragg反射強(qiáng)度隨著正弦形沙波個(gè)數(shù)的增加而增大，而共振帶寬隨之減小的結(jié)論相一致。

3.2.4 壩體浸沒(méi)度S的影響分析

本小節(jié)討論在海床不可滲透（T=0 s）和可滲透（T=0.005 s）的情況下，壩體浸沒(méi)度S對(duì)Bragg共振反射的影響（壩體浸沒(méi)度定義為S=h1/h0）。保持參數(shù)h0=4 m，w=90 m，d=180 m，N=3不變，h1先后取2.0 m、2.5 m、3.0 m、3.5 m，則S分別為0.5、0.625、0.75和0.875，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7和表3。

從圖7a中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不可滲透海床，隨著S從0.5增加到0.625、0.75再增加到0.875，Bragg共振發(fā)生時(shí)的反射系數(shù)從0.860減小到0.651、0.416再減小到0.201；從圖7b中也可以觀察到，對(duì)于可滲透海床，隨著S從0.5增加到0.625、0.75再增加到0.875，Bragg共振反射發(fā)生時(shí)的系數(shù)從0.842減小到0.634、0.403再減小到0.195。由此，我們可以得出Bragg共振反射系數(shù)隨著壩體的浸沒(méi)度S的增加而減小。從表3中還可以觀察到Bragg共振反射的峰值位置隨著壩體浸沒(méi)度S的增加會(huì)向高頻區(qū)移動(dòng)。在海床不可滲透的情況下，隨著壩體浸沒(méi)度S從0.5增加到0.875，Bragg共振反射發(fā)生的位置從0.909增加到1.373，同樣的情況也發(fā)生在可滲透海床中。

圖7 壩體浸沒(méi)度S對(duì)Bragg共振反射的影響Fig. 7 Influence of bar submergence S on Bragg resonance reflection

表3 不同壩體浸沒(méi)度情況下Bragg共振反射的特征值Table 3 Characteristic values of Bragg resonance reflection under different bar submergence

4 結(jié)論

本文采用考慮海底可滲透的一維修正型緩坡方程有限差分模型，研究了可滲透海床上矩形Bragg防波堤對(duì)波浪反射的問(wèn)題。詳細(xì)探討了在海床可滲透情況下，海床的滲透性、矩形壩體的相對(duì)寬度、數(shù)量以及浸沒(méi)度的變化對(duì)波浪Bragg共振反射的影響。計(jì)算結(jié)果表明：隨著壩體數(shù)量的增加，Bragg共振反射強(qiáng)度隨之增大；而隨著海床滲透性和壩體浸沒(méi)度的增大，Bragg共振反射的峰值隨之減??；并且，當(dāng)壩體相對(duì)寬度等于0.5時(shí)，會(huì)使Bragg共振反射強(qiáng)度達(dá)到最大。此外，通過(guò)與不可滲透海床上Bragg共振反射的比較，發(fā)現(xiàn)可滲透海床上發(fā)生Bragg共振反射的波浪頻率幾乎相同，但反射系數(shù)小于海床不可滲透的情況，而且零反射（或全透射）現(xiàn)象在不再存在。