劉云飛，熊 敏，丁曉紅

(上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

lyfwinder@163.com;xiongmin@usst.edu.cn;dingxh@usst.edu.cn

1 引言(Introduction)

隨著高端制造業(yè)、電子芯片業(yè)及航空航天領(lǐng)域的發(fā)展，對各種散熱技術(shù)的散熱能力要求也越來越高，目前常用的散熱技術(shù)主要有風(fēng)冷散熱(自然冷卻和強(qiáng)迫風(fēng)冷)、液冷散熱和熱管散熱等。相較于風(fēng)冷散熱，液冷散熱的散熱效率更高；與熱管等氣液相變循環(huán)系統(tǒng)相比，單相流體的液冷循環(huán)系統(tǒng)也更加簡易穩(wěn)定。因此，液冷板散熱器廣泛應(yīng)用于高熱流密度散熱系統(tǒng)中，其中的散熱流道形態(tài)是決定液冷板性能的重要因素。傳統(tǒng)的散熱流道設(shè)計(jì)通常是基于經(jīng)驗(yàn)的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)，隨著近年來計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的飛速發(fā)展，設(shè)計(jì)自由度高、靈活性強(qiáng)的流體拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)已逐漸成為流體傳熱散熱領(lǐng)域的主要設(shè)計(jì)手段。其方法是將散熱流道設(shè)計(jì)中需要滿足的各種要求和目標(biāo)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后選擇適當(dāng)?shù)膶?yōu)算法得到最優(yōu)解。與傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法相比，拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法更容易確定設(shè)計(jì)域以明確初始設(shè)計(jì)方案，且優(yōu)化求解過程具有明確的數(shù)學(xué)尋優(yōu)方向，其設(shè)計(jì)結(jié)果即為滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，因而可以大大縮短設(shè)計(jì)周期。而且，隨著以增材制造為代表的先進(jìn)制造技術(shù)的快速發(fā)展，過去很難加工的結(jié)構(gòu)，現(xiàn)在也可以高效地制造出來，這也讓拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果能更快地轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品。

2 相關(guān)研究(Related works)

在散熱流道拓?fù)鋬?yōu)化研究中，KOGA等基于SIMP法，采用序列線性規(guī)劃優(yōu)化算法，將流體功率耗散和換熱量加權(quán)相加作為目標(biāo)函數(shù)，研究了不同權(quán)重因子：(流體功率耗散：熱交換)、入口邊界條件對液冷通道拓?fù)湫螒B(tài)的影響，并制造了液冷板試樣進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。MATSUMORI等通過對參數(shù)進(jìn)行無量綱處理后重新定義積分方程，使流體進(jìn)口功率恒定，并針對熱載荷與結(jié)構(gòu)相關(guān)、不相關(guān)兩類優(yōu)化問題，基于變密度法設(shè)計(jì)液冷通道形態(tài)。李昊等通過流體拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)了均溫板內(nèi)部的散熱流道，與傳統(tǒng)流道的液冷板進(jìn)行對比，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了優(yōu)化后均溫板的優(yōu)秀散熱性能。本文基于以流固邊界換熱量最大為目標(biāo)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，對拓?fù)鋬?yōu)化中的體積分?jǐn)?shù)這一關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了液冷板模型并依據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果對體積分?jǐn)?shù)的最優(yōu)取值進(jìn)行分析研究，并給出了由設(shè)計(jì)參數(shù)到設(shè)計(jì)結(jié)果的數(shù)學(xué)預(yù)測模型。

3 基于SIMP法的流體散熱液冷板結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)(Topology optimization design of liquidcooled plate based on SIMP method)

3.1 流體拓?fù)鋬?yōu)化問題

圖1 流體拓?fù)鋬?yōu)化模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of fluid topology optimization model

3.2 流體散熱問題

根據(jù)LI等對流體拓?fù)鋬?yōu)化中的共軛傳熱研究，針對不可壓縮層流流動，需要滿足連續(xù)性方程與動量守恒方程。連續(xù)性方程與動量守恒方程的無量綱形式分別通過無量綱速度 u、雷諾數(shù)、無量綱壓強(qiáng)、無量綱梯度算子 ?進(jìn)行定義：

其中，為特征速度，為特征長度，為密度，為動力黏度。

根據(jù)達(dá)西定律有= -，代入動量守恒方程的體積力及流體域和固體域中能量守恒方程，可分別得到拓?fù)鋬?yōu)化中流場迭代計(jì)算方程和溫度場迭代計(jì)算方程，如式(2)和式(3)所示[10]：

式中，為懲罰因數(shù)，本文取0.0 1；為達(dá)西數(shù)，取0.0001；流體工質(zhì)為常溫下的液態(tài)水，故普朗特?cái)?shù)取6.78；流體通道最終拓?fù)湫螒B(tài)與和換熱系數(shù)的取值相關(guān)，本文以=100，取為300進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。由于系統(tǒng)內(nèi)的熱量最終由流過模型內(nèi)部的流體帶走，因此以流固邊界換熱量最大為目標(biāo)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

3.3 液冷板拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)及散熱性能分析

圖2 流道拓?fù)鋬?yōu)化過程及目標(biāo)函數(shù)迭代收斂曲線Fig.2 Process of passage topology optimization and iterative convergence curve of the objective function

將得到的流道邊界使用霍爾姆茲偏微分方程形式的密度過濾，再進(jìn)行雙曲正切投影過濾，得到清晰的流道邊界。而后進(jìn)行拉伸建模得到液冷板幾何模型，液冷板結(jié)構(gòu)尺寸如圖3所示(單位：mm)。

圖3 液冷板結(jié)構(gòu)尺寸示意圖Fig.3 Schematic diagram of structural dimensions of liquid-cooled plate

為評估拓?fù)淞鞯酪豪浒宓纳嵝阅?，在COMSOL軟件平臺上進(jìn)行有限元仿真，采用自由四面體網(wǎng)格進(jìn)行劃分。在仿真時(shí)做出假設(shè)：(1)內(nèi)部流體為不可壓縮層流；(2)流固交界面無滑移邊界。數(shù)值模擬時(shí)滿足如下控制方程：

其中，式(5)、式(6)分別為連續(xù)性方程和動量守恒方程，式(7)為流體域的能量守恒方程，式(8)為固體域的能量守恒方程。

仿真時(shí)，冷卻套的固體材料為6061鋁合金，取常溫20 ℃下的純水為冷卻介質(zhì)；各冷卻套的入口為左上側(cè)，出口為右下側(cè)；在入水口處施加恒定的質(zhì)量流量；在冷卻套內(nèi)表面施加180 W恒定功率的生熱源；分別取入水口雷諾數(shù)為200—1，200進(jìn)行分析，其中入水口雷諾數(shù)由式(9)定義：

式中，流體密度=1.0×10kg·m； v為入口的流體速度，單位為m/s；為入口的水力直徑，單位為m；流體黏度=1.008×10Pa·s。

4 流體拓?fù)鋬?yōu)化中的體積分?jǐn)?shù)研究 (Research on volume fraction in fluid topology optimization)

4.1 體積分?jǐn)?shù)對液冷板散熱性能的影響分析

在液冷板設(shè)計(jì)中，如圖4(a)、圖4(b)所示，在拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)增大流體域體積分?jǐn)?shù)，流道平均橫截面間距變寬，分支增多。流道的熱交換面積與散熱性能正相關(guān)，流固換熱總面積為傳熱流道的上下壁面積(圖4(c)灰色)與側(cè)壁面積(圖4(c)白色)之和。

圖4 不同體積分?jǐn)?shù)的拓?fù)淞鞯佬螒B(tài)示意圖Fig.4 Schematic diagram of topology passage patterns with different volume fraction

基于3.3.1的液冷板幾何模型，流固換熱總面積計(jì)算公式如下：

其中， L為拓?fù)鋬?yōu)化得到的二維流道總邊界長度。當(dāng)流體域體積分?jǐn)?shù)增大到一定程度后，固體域也隨之變小，流道的總側(cè)壁面積變小，流固換熱總面積減小，液冷板的整體散熱能力也隨之變?nèi)?。所以，存在一個(gè)體積分?jǐn)?shù)極值使拓?fù)鋬?yōu)化得到的液冷板流固換熱總面積最大，液冷板的散熱性能最優(yōu)。

為了找到該設(shè)計(jì)模型散熱性能最佳的流體域體積占比，首先以0.05為步長，取體積分?jǐn)?shù)分別為0.5、0.55、0.6、0.65、0.7進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為式(4)。以優(yōu)化得到的結(jié)果為流道進(jìn)行三維建模得到五個(gè)液冷板模型，使用3.3.2中的邊界條件進(jìn)行仿真分析。

圖5 V f為[0.5,0.7]的液冷板流道形態(tài)及 Tave& S a折線圖Fig.5 Passage patterns of liquid-cooled plate if Vf is between 0.5 and 0.7，and their Tave& Sa line graph

基于上述分析，再以0.01為步長，取體積分?jǐn)?shù)分別為0.61、0.62、0.63、0.64、0.66、0.67、0.68、0.69進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為式(4)。以優(yōu)化得到的結(jié)果為流道進(jìn)行三維建模得到八個(gè)液冷板模型，使用3.3.2中的邊界條件進(jìn)行仿真分析。加上=0.65和=0.7的兩個(gè)模型，對10個(gè)模型的仿真結(jié)果進(jìn)行分析，繪制&折線圖，如圖6所示。由圖6可知，在為[0.61，0.7]區(qū)間，隨著的增大，流固換熱總面積先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減，液冷板的受熱面平均溫度先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，在體積分?jǐn)?shù)為0.65處的最大且最低，故體積分?jǐn)?shù)最優(yōu)值應(yīng)在(0.64，0.66)區(qū)間，在拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)建議取=0.65。

圖6 V f為[0.61,0.7]的液冷板流道形態(tài)及 Tave& S a折線圖Fig.6 Passage patterns of liquid-cooled plate if Vf is between 0.61 and 0.7，and their Tave& Sa line graph

4.2 在不同設(shè)計(jì)域尺寸下體積分?jǐn)?shù)對拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的影響

由于熱源工況形狀各異，在實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用時(shí)可能需要針對不同尺寸的設(shè)計(jì)域進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。為檢驗(yàn)流體域體積分?jǐn)?shù)對不同尺寸設(shè)計(jì)域的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果影響情況是否一致，在3.1所述的設(shè)計(jì)域尺寸基礎(chǔ)上改變設(shè)計(jì)域尺寸，保持進(jìn)出水口尺寸不變，將設(shè)計(jì)域邊長尺寸分別設(shè)置為橫∶縱=3L∶6L(圖7(a))、橫∶縱=6L∶3L(圖7(b))。再分別以0.05為步長，取體積分?jǐn)?shù)分別為0.5、0.55、0.6、0.65、0.7進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為式(4)。以優(yōu)化得到的結(jié)果為流道進(jìn)行三維建模得到五個(gè)液冷板模型，使用3.3.2中的邊界條件進(jìn)行仿真分析。繪制&折線圖，如圖7所示，在 V為[0.5，0.7]區(qū)間，隨著的增大，流固換熱總面積先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減，液冷板的受熱面平均溫度先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，在體積分?jǐn)?shù)為0.65處的S最大且最低，故體積分?jǐn)?shù)最優(yōu)值應(yīng)在0.65相鄰區(qū)間。

圖7 V f為[0.5,0.7]的長方形設(shè)計(jì)域液冷板流道形態(tài)及 Tave& Sa折線圖Fig.7 Passage patterns of liquid-cooled plate in rectangular design area if Vf is between 0.5 and 0.7，and their Tave& Sa line graph

4.3 非線性回歸分析

非線性回歸是回歸函數(shù)關(guān)于未知回歸系數(shù)具有非線性結(jié)構(gòu)的回歸分析方法。將4.1中仿真得到的受熱面平均溫度均值通過IBM SPSS進(jìn)行一元非線性回歸分析，得到關(guān)于的預(yù)測模型：

圖8 非線性回歸擬合曲線圖Fig.8 Diagram of nonlinear regression fitting curve

5 結(jié)論(Conclusion)

本文針對基于SIMP法的流體散熱液冷板拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中的體積分?jǐn)?shù)取值問題進(jìn)行了系統(tǒng)性的數(shù)值分析，使用控制變量法在以流固邊界換熱量最大為目標(biāo)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中改變體積分?jǐn)?shù)取值進(jìn)行流道拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，并分別進(jìn)行液冷板幾何建模及仿真分析，統(tǒng)計(jì)液冷板受熱面平均溫度數(shù)值及流固換熱總面積；而后改變設(shè)計(jì)域形狀尺寸檢驗(yàn)體積分?jǐn)?shù)取值規(guī)律的普適性；最后將仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸分析，得出體積分?jǐn)?shù)對流道散熱性能的預(yù)測數(shù)學(xué)模型，計(jì)算得出流體散熱拓?fù)鋬?yōu)化問題的體積分?jǐn)?shù)最優(yōu)值應(yīng)在(0.64，0.65)區(qū)間的結(jié)論，為此類散熱流道拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供了有價(jià)值的設(shè)計(jì)指導(dǎo)建議。