王 琪 李德玉,2 翟巖慧,2 張少霞

1(山西大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 太原 030006)

2(計(jì)算智能與中文信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(山西大學(xué)) 太原 030006)

(chai_yanhui@163.com)

在哲學(xué)視角下，概念由外延和內(nèi)涵2個(gè)部分組成,外延被定義為屬于這個(gè)概念的所有對象的集合,而內(nèi)涵則是所有這些對象所共有的特征(屬性)集合.1982年，Wille等人[1]基于此提出了形式概念分析(formal concept analysis, FCA)理論.該理論根據(jù)概念之間的包含關(guān)系構(gòu)成的概念格來反映數(shù)據(jù)的代數(shù)結(jié)構(gòu).近年來，F(xiàn)CA以其具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論支撐、獲取的知識層次清晰且邏輯性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，逐漸吸引了廣大研究者的興趣[2-15].目前，F(xiàn)CA已經(jīng)廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)[2]、軟件工程[3]、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析[4]、概念認(rèn)知學(xué)習(xí)[5-6]、知識獲取[7]和知識約簡[8]等領(lǐng)域.

產(chǎn)生式規(guī)則是知識的主要表現(xiàn)形式，F(xiàn)CA對知識獲取的研究就是對蘊(yùn)涵的研究.由于獲得的蘊(yùn)涵數(shù)量龐大，無法滿足用戶的需求，因此如何獲得完備的無冗余的蘊(yùn)涵成為研究熱點(diǎn).Ganter等人[1]研究了蘊(yùn)涵的語義特征和語構(gòu)特征，并且給出一種在所有蘊(yùn)涵基中蘊(yùn)涵個(gè)數(shù)最少的蘊(yùn)涵基，稱為自然基.文獻(xiàn)[16]進(jìn)一步從邏輯角度出發(fā)，提出了一種用于判別蘊(yùn)涵集是否為完備集的充要條件，并且給出一種生成蘊(yùn)涵完備集的算法.

為了進(jìn)一步減少蘊(yùn)涵的數(shù)目，Qu等人通過限制蘊(yùn)涵的前件和后件分別為條件屬性和決策屬性提出了決策蘊(yùn)涵的概念[17]，并完整討論了決策蘊(yùn)涵的邏輯特征[18].基于決策蘊(yùn)涵的邏輯研究，文獻(xiàn)[19]提出了決策前提的概念，并據(jù)此生成一種完備無冗余且最優(yōu)的知識基：決策蘊(yùn)涵規(guī)范基.文獻(xiàn)[20]對決策蘊(yùn)涵與粒規(guī)則[21]和概念規(guī)則[22]進(jìn)行了比較研究，發(fā)現(xiàn)與決策蘊(yùn)涵相比，粒規(guī)則和概念規(guī)則存在信息損失.另外，文獻(xiàn)[23]也從邏輯角度研究了具有支持度和可信度的決策蘊(yùn)涵.文獻(xiàn)[24]將決策蘊(yùn)涵拓展到模糊形式背景上，提出了模糊決策蘊(yùn)涵的概念，并討論其語義特征和語構(gòu)特征.文獻(xiàn)[25]提出模糊決策蘊(yùn)涵規(guī)范基的概念，并證明模糊決策蘊(yùn)涵規(guī)范基的完全性、無冗余性和最優(yōu)性.

模糊決策蘊(yùn)涵可以基于語氣真值算子(hedge)進(jìn)行簡化知識[24-25]，但并沒有考慮閾值這一參數(shù)化策略.在現(xiàn)實(shí)生活中，閾值在簡化知識方面具有重要的作用.例如，在知識“如果1個(gè)女性年輕的程度超過0.8，那么該用戶喜歡愛情喜劇類電影的程度將會(huì)超過0.5”中，0.8和0.5均為閾值，但模糊決策蘊(yùn)涵理論并不適用挖掘此類具有閾值的知識.事實(shí)上，模糊決策蘊(yùn)涵理論只能挖掘諸如“年輕女性喜歡愛情喜劇類電影”不帶有閾值的知識，其中年輕和愛情喜劇類均為模糊集.可以發(fā)現(xiàn)，模糊決策蘊(yùn)涵僅僅是閾值為1時(shí)的特例，因此，研究含有閾值的模糊決策蘊(yùn)涵不僅具有應(yīng)用意義，而且具有理論意義，即含有閾值的模糊決策蘊(yùn)涵是模糊決策蘊(yùn)涵的擴(kuò)展理論.

本文對模糊決策蘊(yùn)涵進(jìn)行拓展，定義了含參模糊決策蘊(yùn)涵，并研究了其語義特征和語構(gòu)特征.

1 模糊邏輯

本節(jié)簡要介紹相關(guān)的基礎(chǔ)背景知識.

定義1[26].在Pavelka邏輯中，真值結(jié)構(gòu)是形如(L,∧,∨,?,→,0,1)的完備剩余格，滿足3個(gè)性質(zhì)：

1) (L,∧,∨,0,1)是以0和1為最小元和最大元的完備格；

2) (L,?,1)為交換幺半群，即?滿足交換律和結(jié)合律，且有?a∈L,a?1=1?a=a；

3) ?，→為伴隨對，滿足伴隨條件a?b≤c當(dāng)且僅當(dāng)a≤b→c，其中a,b,c∈L.

運(yùn)算?，→分別表示模糊合取和模糊蘊(yùn)含，L中的元素稱為真實(shí)度.

常見的完備剩余格的例子是單位區(qū)間[0,1]，∧和∨運(yùn)算分別是最小值和最大值.3個(gè)單位區(qū)間上重要的伴隨對如下.

a?b=max(a+b-1,0)，
a→b=min(1-a+b,1).

Godel：

Goguen：

a?b=a·b，

語氣真值算子(hedge)可以增加推理的靈活性.

定義2[24].模糊集L上的語氣真值算子定義為映射*:L→L，滿足：

1) 1*=1,a*≤a，

2) (a→b)*≤a*→b*，

3)a**=a*，

其中，a,b∈L.

最大的語氣真值算子為Identity，即對任意的a∈L，都有a*=a.

最小的語氣真值算子為Globalization，即

性質(zhì)1[24].完備剩余格主要具有10條性質(zhì).對于a,b,c,yi∈L：

1)a≤b?a→b=1；

2)a≤b→c?b≤a→c；

3) (a?b)→c=(a→(b→c))；

4)a→∧yi=∧(a→yi)；

5) 1→a=a；

6)a?(a→b)≤b；

7)a≤(b→(a?b))；

8)a*?b*=(a?b)*；

9)a≤(b→(a?b))*；

10)a?∨yi=∨(a?yi).

定義3[24].模糊集A是定義在論域X上的一個(gè)映射，它賦予每個(gè)x∈X一個(gè)隸屬度A(x)∈L.論域X上的所有模糊集記為LX.

定義4[24].L-模糊集之間的包含關(guān)系定義為

性質(zhì)2[24].模糊集之間的包含關(guān)系主要有4個(gè)性質(zhì)：

1)a→S(A,B)=S(a?A,B)=S(A,a→B)；

2)S(A∪B,C)=S(A,C)∧S(B,C)；

3)S(A,B∩C)=S(A,B)∧S(A,C)；

4)S(A,B)?S(B,C)≤S(A,C).

2 含參模糊決策蘊(yùn)涵的語義、語構(gòu)及其性質(zhì)

類似于模糊決策蘊(yùn)涵[24]，含參模糊決策蘊(yùn)涵的研究內(nèi)容包括語義和語構(gòu)2個(gè)方面.

1) 語義方面的研究包括：①含參模糊決策蘊(yùn)涵的合理性，即含參模糊決策蘊(yùn)涵是否合法；②含參模糊決策蘊(yùn)涵的無冗余性，即含參模糊決策蘊(yùn)涵能否被其他含參模糊決策蘊(yùn)涵導(dǎo)出；③含參模糊決策蘊(yùn)涵的完備性，即含參模糊決策蘊(yùn)涵是否包含完整的信息.

2) 語構(gòu)方面的研究包括：①推理規(guī)則的合理性，即含參模糊決策蘊(yùn)涵能否使用推理規(guī)則得出；②推理規(guī)則的完備性，即是否能用這些推理規(guī)則推出所有可能的含參模糊決策蘊(yùn)涵.

2.1 含參模糊決策蘊(yùn)涵的語義特征

本文使用Bělohlávek等人[14]提出的同時(shí)考慮閾值和語氣真值算子的概念構(gòu)成算子，并將其引入到模糊決策蘊(yùn)涵中.

定義5.C∪D上的含參模糊決策蘊(yùn)涵為公式A?B，其中A∈LC，B∈LD分別是條件屬性和決策屬性的模糊集.設(shè)模糊屬性集T∈LC∪D，TC={t/l∈T|t∈T∩C}，TD={t/l∈T|t∈T∩D}，則其對含參模糊決策蘊(yùn)涵A?B的滿足程度定義為

其中,δ=(δ1,δ2)∈L×L，δ1和δ2是2個(gè)閾值參數(shù).

例1.令L={0,0.25,0.5,0.75,1}，C={s,l}，D={f,n}，δ1=δ2=0.5，使用ukasiewicz伴隨對和Identity語氣真值算子，令

A?B={0.5/s,0.5/l}?{0.5/f,0.5/n}，
T={0.75/s,0/l,0.25/f,0.5/n}，
TC={0.75/s,0/l}，
TD={0.25/f,0.5/n}，

則

這表明數(shù)據(jù)T滿足含參模糊決策蘊(yùn)涵“若對象含有屬性s和l的程度均超過0.5，則其含有屬性f和n的程度也均超過0.5”的程度為1.

定理1.設(shè)模糊屬性集T∈LC×LD，含參模糊決策蘊(yùn)涵為A?B，A∈LC，B∈LD，則有

證明.由定義5及伴隨對的性質(zhì)容易證明該結(jié)論成立.

證畢.

定理1的第1個(gè)等式表明，在閾值δ=(δ1,δ2)下，數(shù)據(jù)T滿足含參模糊決策蘊(yùn)涵的程度與(δ1→TC)∪(δ2→TD)滿足模糊決策蘊(yùn)涵的程度相同.定理1的第2個(gè)等式表明，數(shù)據(jù)T滿足含參模糊決策蘊(yùn)涵的程度等于數(shù)據(jù)T滿足前件為δ1?A、后件為B的模糊決策蘊(yùn)涵的程度超過δ2的程度.

定理2.設(shè)模糊屬性集T∈LC∪D，則對含參模糊決策蘊(yùn)涵A?B，A∈LC，B∈LD有

證明.由定理1以及文獻(xiàn)[22]中定理1的證明可證.

證畢.

定義6.T={T1,T2,…,Tn}?LC∪D滿足含參模糊決策蘊(yùn)涵A?B，A∈LC，B∈LD的程度定義為

定義6表明，含參模糊決策蘊(yùn)涵在數(shù)據(jù)集T中成立的程度是其在所有數(shù)據(jù)中Ti∈T成立程度的最小值.

定義7.設(shè)L為含參模糊決策蘊(yùn)涵集，L的所有模型定義為

其中,L(A?B)是A?B屬于L的程度.含參模糊決策蘊(yùn)涵從L中語義導(dǎo)出的程度定義為

即A?B從L導(dǎo)出的程度等于L的全部模型滿足A?B的程度.

例2.令含參模糊決策蘊(yùn)涵集L為

L={({0.5/s,0.25/l}?{0.25/f,0.5/n})/0.75,
({0/s,0.5/l}?{0.5/f,0/n})/0.75}，

令δ1=δ2=0.5.對于T={0.5/s,0/l,0/f,0.5/n}，使用ukasiewicz伴隨對和Identity語氣真值算子計(jì)算可得

可以發(fā)現(xiàn)，T滿足L中含參模糊決策蘊(yùn)涵的程度均為1，從而T是L的模型.

定理3.對于含參模糊決策蘊(yùn)涵集L和含參模糊決策蘊(yùn)涵A?B，A∈LC，B∈LD有

1)Modδ(L)={T|(δ1→TC)∪(δ2→TD)∈Mod1(L)}；

證明.類似于文獻(xiàn)[22]可證.

證畢.

定理3的1)和2)相當(dāng)于定理1的第1個(gè)等式的推論，定理3的3)是2)的推論.值得注意的是，由定理3的2)并不能得出含參模糊決策蘊(yùn)涵的語義導(dǎo)出程度關(guān)于參數(shù)δ是遞減的，只能得出該語義導(dǎo)出程度的2個(gè)極值.參數(shù)的引入，使得語義導(dǎo)出程度的變化更加復(fù)雜，不再是單純的單調(diào).

給定一個(gè)條件屬性模糊集以及參數(shù)δ1和δ2，該條件屬性模糊集可以從給定的含參模糊決策蘊(yùn)涵集中得出的所有結(jié)論，即該條件屬性模糊集的閉包.

定義9.對于含參模糊決策蘊(yùn)涵集L和A∈LC，定義A相對于L的閉包為

例3.設(shè)A={0.5/s,0/l}，δ1=δ2=0.5，使用ukasiewicz伴隨對和Identity語氣真值算子.令

L={(A1?B1)/0.75,(A2?B2)/0.75}=
{({0.5/s,0.25/l}?{0.25/f,0.5/n})/0.75,
({0/s,0.5/l}?{0.5/f,0/n})/0.75}，

則

L(A1?B1)?S(δ1?A1,A)*?B1=
0.75?1?B1={0/f,0.25/n}，
L(A2?B2)?S(δ1?A2,A)*?B2={0/f,0/n}.

對于不在模糊決策蘊(yùn)涵集中的模糊決策蘊(yùn)涵，有

L(A1?B1)?S(δ1?A1,A)*?B1=
0?S(δ1?A1,A)*?B1={0/f,0/n}，

證明.對于任意的A1?B1∈L，記

c=L(A1?B1)?S(δ1?A1,A)*，

顯然有

(c?B1(u)?δ2)→(c?B1(u)?δ2)=1.

由性質(zhì)1的結(jié)論3)和4)有

(c?B1?δ2)→(c?B1?δ2)=
c→S(δ2?B1,δ2?c?B1)=1，

從而c≤S(δ2?B1,δ2?c?B1)，即

L(A1?B1)?S(δ1?A1,A)*≤
S(δ2?B1,δ2?L(A1?B1)?
S(δ1?A1,A)*?B1).

又因?yàn)?/p>

從而可得

即

證畢.

例4.(續(xù)例3)令A(yù)={0.5/s,0/l}，由例3可得

對于L中的含參模糊決策蘊(yùn)涵有

因此有T0∈Modδ(L).

證畢.

證明.對于任意的T∈Modδ(L)和A1?B1有

由伴隨對的性質(zhì)有

L(A1?B1)?S(δ1?A1,TC)*≤
S(δ2?B1,TD)?L(A1?B1)?
S(δ1?A1,TC)*→
S(δ2?B1,TD)=1.

由性質(zhì)1的結(jié)論8)和性質(zhì)2的結(jié)論4)有

S(δ1?A1,δ1?A)*?
S(δ1?A,TC)*≤S(δ1?A1,TC)*，

兩邊同乘L(A1?B1)可得

L(A1?B1)?S(δ1?A1,δ1?A)*?S(δ1?
A,TC)*≤L(A1?B1)?S(δ1?A1,TD)*，

由→的性質(zhì)有

L(A1?B1)?S(δ1?A1,δ1?A)*?
S(δ1?A,TC)*→S(δ2?B1,TD)≥
L(A1?B1)?S(δ1?A1,TC)*→
S(δ2?B1,TD)=1，

從而

L(A1?B1)?S(δ1?A1,δ1?A)*?
S(δ1?A,TC)*≤S(δ2?B1,TD)，

由性質(zhì)1的結(jié)論3)有

S(δ1?A,TC)*≤L(A1?B1)?
S(δ1?A1,δ1?A)*→
S(B1,δ2→TD)=
S(δ2?L(A1?B1)?
S(δ1?A1,δ1?A)*?B1,TD)，

由性質(zhì)2的2)和性質(zhì)1的4)，上式等價(jià)于

由定義9可得

從而

即

證畢.

定理6.對于含參模糊決策蘊(yùn)涵集L，可得

證明.由定理4容易得

進(jìn)而

反過來，設(shè)T∈Modδ(L)，有

L(A1?B1)≤S(δ1?A1,TC)*→
S(δ2?B1,TD)?L(A1?B1)?
S(δ1?A1,TC)*≤S(δ2?B1,TD)?
L(A1?B1)?S(δ1?A1,TC)*≤
δ2?B1(d)→TD(d),?d∈D
?L(A1?B1)?S(δ1?A1,TC)*?
δ2?B1(d)≤TD(d),?d∈D?
L(A1?B1)?S(δ1?A1,TC)*?
δ2?B1?TD，

證畢.

例5.設(shè)C={a}，D={z}，真值結(jié)構(gòu)采用L={0,0.25,0.5,0.75,1}，δ1=0.75，δ2=1，采用ukasiewicz算子和Identity語氣真值算子.設(shè)含參模糊決策蘊(yùn)涵集為L={{1/a}?{1/z}/1}.計(jì)算閉包及其模型如表1所示：

Table 1 Closure and Models表1 閉包及其模型

因此有

Modδ(L)={{0/a,0.25/z},{0/a,0.5/z},
{0/a,0.75/z},{0/a,1.0/z},{0.25/a,0.75/z},
{0.25/a,1/z},{0.5/a,0.75/z},{0.5/a,1/z},
{0.75/a,0.75/z},{0.75/a,1/z},{1/a,1/z}}.

定理7.對于含參模糊決策蘊(yùn)涵集L和含參模糊決策蘊(yùn)涵A?B，有

另一方面，設(shè)T∈Modδ(L)，由定理5有

即

因此

從而由性質(zhì)2的結(jié)論4)可知

因此

等價(jià)于

證畢.

定理7同時(shí)也給出了含參模糊決策蘊(yùn)涵從含參模糊決策蘊(yùn)涵集中導(dǎo)出程度的計(jì)算方法.

2.2 含參模糊決策蘊(yùn)涵的語構(gòu)特征

其中φ1,φ2,…,φn,φ是n+1條含參模糊決策蘊(yùn)涵，a1,a2,…,an,a∈L，ai可以為L(φi)，即φi的隸屬度，也可以為使用推理規(guī)則從含參模糊決策蘊(yùn)涵集推導(dǎo)的φi的程度.

推理規(guī)則的含義為：若含參模糊決策蘊(yùn)涵φi具有隸屬度或者導(dǎo)出程度ai，i∈{1,2,…,n}，則可推導(dǎo)出程度為a的含參模糊決策蘊(yùn)涵φ.

針對含參模糊決策蘊(yùn)涵，本文提出3條推理規(guī)則.

1) 含參模糊變換推理規(guī)則：

2) 含參模糊擴(kuò)增推理規(guī)則：

3) 含參模糊轉(zhuǎn)換推理規(guī)則：

定義10[24].模糊推理規(guī)則

是合理的，若

Mod({a1/φ1,a2/φ2,…,an/φn})=
Mod({a1/φ1,a2/φ2,…,an/φn,a/φ}).

定理8.上述3條規(guī)則是合理的.

證明.含參模糊變換推理規(guī)則：設(shè)T是A?B,a的模型，即‖A?B≥a，要證明T也是A1?B1,a?S(δ1?A,δ1?A1)*?S(δ2?B1,δ2?B)的模型，即證

這等價(jià)于證明

a?S(δ1?A,δ1?A1)*?S(δ2?B1,δ2?B)?
S(δ1?A1,TC)*≤S(δ2?B1,TD)，

由性質(zhì)2的結(jié)論4)可得

S(δ2?B1,δ2?B)?S(δ2?B,TD)≤
S(δ2?B1,TD)，

(1)

另外，由性質(zhì)1的結(jié)論6)有

(S(δ1?A,TC)*→S(δ2?B,TD))?
S(δ1?A,TC)*≤S(δ2?B,TD)，

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)可得

(S(δ1?A,TC)*→S(δ2?B,TD))?
S(δ1?A,TC)*?S(δ2?B1,δ2?B)≤
S(δ2?B,TD)?S(δ2?B1,δ2?B)≤
S(δ2?B1,TD)，

上式可變形為

另外，由性質(zhì)1的結(jié)論6)又有

S(δ1?A,δ1?A1)*?S(δ1?A1,TC)*≤
S(δ1?A,TC)*，

因此可得

即有

這說明T也是A1?B1,a?S(δ1?A,δ1?A1)*?S(δ2?B1,δ2?B)的模型.

證畢.

含參模糊擴(kuò)增推理規(guī)則和含參模糊變換推理規(guī)則的合理性證明類似.

定理9.上述3條模糊推理規(guī)則相對于含參模糊決策蘊(yùn)涵的語義特征是完備的.

其中bi=L(Ai?Bi).由含參模糊轉(zhuǎn)換推理規(guī)則有

再由含參模糊擴(kuò)增推理規(guī)則合并得到的所有含參模糊決策蘊(yùn)涵可得

證畢.

3 結(jié) 論

本文在模糊決策蘊(yùn)涵中引入了閾值，提出了含參模糊決策蘊(yùn)涵，提升了模糊決策蘊(yùn)涵的可調(diào)節(jié)性和應(yīng)用價(jià)值.在語義方面，研究了含參模糊決策蘊(yùn)涵的模型和語義導(dǎo)出程度的計(jì)算方法；在語構(gòu)方面，將模糊決策蘊(yùn)涵中的3條推理規(guī)則拓展到含參模糊決策蘊(yùn)涵，并證明了這些推理規(guī)則的合理性和完備性.

從理論上看，將閾值引入模糊決策蘊(yùn)涵的意義并不局限于構(gòu)建一種以模糊決策蘊(yùn)涵為特例的理論框架.一方面，這種引入方式具有普遍意義，事實(shí)上，定義4和性質(zhì)1的1)正是模糊集包含度和含參的模糊集包含度的定義.因此，這個(gè)引入方式對整個(gè)粒計(jì)算領(lǐng)域均有參考意義.另一方面，由定義5可以看出，將閾值引入模糊決策蘊(yùn)涵本質(zhì)上相當(dāng)于在完備剩余格上建立一種協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)，而定理1正是說明這種協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)所具有的特性，因此，本文的結(jié)論對完備剩余的公理化或代數(shù)研究也具有一定的啟發(fā)意義.進(jìn)一步來說，含參模糊決策蘊(yùn)涵同時(shí)包含閾值和語氣真值算子2種知識簡化策略，但本文并沒有考慮這種簡化策略之間的聯(lián)系和相互作用.事實(shí)上，如果說參數(shù)的引入是在完備剩余格上建立一種協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)，那么語氣真值算子就是完備剩余格上的另一種協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)，因此，從代數(shù)角度和應(yīng)用角度研究這2種結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系將是下一步的研究工作.

值得指出的是，在應(yīng)用中，用戶可能需要根據(jù)不同的實(shí)際需求選擇合適的閾值.由定理1可知，給定模糊決策背景，參數(shù)δ1越小或參數(shù)δ2越大，滿足含參模糊決策蘊(yùn)涵的模型也越少，因此模糊決策背景中成立的含參模糊決策蘊(yùn)涵也越少.當(dāng)δ1和δ2分別為0和1時(shí)，用戶可以得到最嚴(yán)格意義上的模糊決策蘊(yùn)涵；用戶可以進(jìn)一步增加δ1或減小δ2來獲取更多的模糊決策蘊(yùn)涵.在具體應(yīng)用中，用戶可以參考專家的意見來選定閾值，或選取一些指標(biāo)(如分類性能等)來有監(jiān)督地選擇合適的閾值.

作者貢獻(xiàn)聲明：王琪負(fù)責(zé)設(shè)計(jì)研究方案、方法實(shí)現(xiàn)與論證、論文初稿撰寫；李德玉提出研究思路，優(yōu)化研究方案；翟巖慧參與研究方案優(yōu)化以及方法檢驗(yàn)與論證；張少霞參與方法檢驗(yàn)與論證以及論文審閱與修訂.