恒力車(chē)削過(guò)程的模糊指數(shù)趨近律互補(bǔ)滑?？刂?/h1>
2022-09-06 13:17:00陳高華張嫣然
計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件 2022年8期
陳高華 張嫣然 李 悅
(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院 山西 太原 030024)
0 引 言
近年來(lái)，機(jī)械制造追求更加便捷、快速、高效的加工方式[1]。傳統(tǒng)加工采用恒進(jìn)給速度加工，為防止切削力過(guò)大損壞機(jī)床與刀具，只能選擇較低的進(jìn)給速度，導(dǎo)致加工時(shí)間長(zhǎng)，加工精度低，無(wú)法滿(mǎn)足新時(shí)代機(jī)械加工要求。而恒切削力加工，采用的是變進(jìn)給速度加工，可以在切深較小時(shí)進(jìn)行高速加工。恒力加工相較于傳統(tǒng)的加工方式縮短了加工時(shí)間，提高了加工精度，延長(zhǎng)了機(jī)床壽命[2]。
恒力切削對(duì)于加工過(guò)程實(shí)現(xiàn)快速化、高效化有重要作用，因此成為眾多學(xué)者的研究對(duì)象。宋曉華[3]提出基于PID控制與模糊控制的切削加工過(guò)程雙模控制，當(dāng)偏差大時(shí)用模糊控制，偏差小時(shí)轉(zhuǎn)由PID控制；張毅等[4]提出一種將預(yù)測(cè)控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制應(yīng)用于恒力車(chē)削，使切削進(jìn)給在切削深度發(fā)生突變前提前發(fā)生相應(yīng)變化；余銘奇等[5]提出一種加工過(guò)程的模糊自適應(yīng)PID的控制方法，運(yùn)用模糊自適應(yīng)PID控制方法，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，響應(yīng)速度加快，抗干擾能力和適應(yīng)參數(shù)變化的能力要優(yōu)于增益自適應(yīng)的PID控制；陳首彥[6]提出采用模糊滑?？刂茟?yīng)用與機(jī)器人切削，根據(jù)加工狀態(tài)利用模糊規(guī)則調(diào)整滑?？刂葡禂?shù)，進(jìn)而改變進(jìn)給速度，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人切削的切削力控制；Xu等[7]提出將前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制與自適應(yīng)控制結(jié)合的控制方式，并且加工之前離線優(yōu)化切削參數(shù)，該方法有好的穩(wěn)定性和適用性；Zuperl等[8]提出將模糊控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合，實(shí)時(shí)修正模糊規(guī)則，實(shí)現(xiàn)在線調(diào)整進(jìn)給速度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)恒力切削；Liu等[9]建立了主軸電流與進(jìn)給速度之間的數(shù)學(xué)模型，特別之處在于其檢測(cè)并提取了主軸電流，將主軸電流作為反饋，所使用的控制方法是模糊控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合的方式。上述方法在恒力切削控制的研究方面取得了一定成果，但是在切深突變時(shí)切削力均出現(xiàn)了較大的超調(diào)，而采用滑?？刂?Sliding Mode Control，SMC)可以很好地削減這一超調(diào)。加工過(guò)程具有很強(qiáng)的時(shí)變性、非線性、不確定性[10]?；？刂谱鳛橐环N魯棒控制方法，對(duì)外部干擾和未建模動(dòng)態(tài)具有完全的魯棒性，因此對(duì)控制加工過(guò)程有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，但滑模控制器存在輸出抖振的缺陷，且無(wú)法消除，只能削弱。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者就削弱滑?？刂破鬏敵龆墩襁M(jìn)行了大量研究[11-21]，其中包括采用改進(jìn)現(xiàn)有的趨近律、非線性滑模面、觀測(cè)器，以及與現(xiàn)有其他控制器結(jié)合或?qū)追N方法混合使用等各種研究。
本文采用積分滑模面與互補(bǔ)滑模面結(jié)合的方法設(shè)計(jì)了互補(bǔ)滑模變結(jié)構(gòu)控制器(Complementary Sliding Mode Controller，CSMC)，并將其與模糊控制結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種用模糊控制策略實(shí)時(shí)整定指數(shù)趨近律指數(shù)系數(shù)的互補(bǔ)滑?？刂破?Fuzzy Complementary Sliding Mode Control，F(xiàn)-CSMC)應(yīng)用于恒力車(chē)削控制，并分別在切削深度臺(tái)階型變化與斜坡變化兩種情況下進(jìn)行了仿真研究?；パa(bǔ)滑?？刂浦校捎梅e分滑模面與互補(bǔ)滑模面結(jié)合的方式，但其本質(zhì)仍為線性滑模面，因此，兼具了積分滑模面與線性滑模面的優(yōu)點(diǎn)，既削弱了抖振，提高了控制精度，又保持了滑模面降階特性。在模糊控制中，通過(guò)模糊控制策略實(shí)時(shí)整定指數(shù)趨近律指數(shù)系數(shù)，降低切換控制的影響，可以在保證系統(tǒng)魯棒性的同時(shí)削弱抖振。當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)距離滑模面遠(yuǎn)時(shí)，加快收斂速度縮短收斂時(shí)間；當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)滑模面附近時(shí)，減小趨近速度，有效地削弱傳統(tǒng)滑?？刂破鞯妮敵龆墩瘛H通過(guò)整定指數(shù)趨近律的一個(gè)參數(shù)指數(shù)系數(shù)就可以既實(shí)現(xiàn)縮短系統(tǒng)的收斂時(shí)間又削弱抖振，相較于同時(shí)整定兩個(gè)參數(shù)節(jié)省了計(jì)算量。
1 車(chē)削過(guò)程建模
車(chē)削過(guò)程由伺服機(jī)構(gòu)、機(jī)械傳動(dòng)和車(chē)削過(guò)程三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成[22]，車(chē)削過(guò)程系統(tǒng)控制框圖如圖1所示，其中：Fn為給定切削力；F為檢測(cè)切削力；e為誤差；u為伺服電壓；Vf為進(jìn)給速度；f為進(jìn)給量；Fs為實(shí)際切削力。
圖1 車(chē)削過(guò)程系統(tǒng)控制框圖
伺服機(jī)構(gòu)可簡(jiǎn)化為一個(gè)二階系統(tǒng)：
(1)
式中：Vf為進(jìn)給速率；u為電樞電壓；Km為伺服增益；ωn為伺服系統(tǒng)的自然頻率；ξ為阻尼系數(shù)。
機(jī)械傳動(dòng)裝置簡(jiǎn)化為進(jìn)給量與進(jìn)給速度之間的關(guān)系：
(2)
式中：p為刀具齒數(shù)，車(chē)削時(shí)為1；n為電機(jī)轉(zhuǎn)速。
加工過(guò)程中進(jìn)給量與切削力之間的關(guān)系可用切削力經(jīng)驗(yàn)公式表示：
(3)
式中：Ks為切削系數(shù)，α與β是指數(shù)系數(shù)，三個(gè)系數(shù)均由大量實(shí)驗(yàn)后憑借經(jīng)驗(yàn)給出；ap為切削深度，為本文的主動(dòng)變化量。
因此，車(chē)削過(guò)程的傳遞函數(shù)為：
(4)
式中：Kd為測(cè)力儀轉(zhuǎn)化系數(shù)。
2 互補(bǔ)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
由式(4)可得到切削過(guò)程的微分方程：
(5)
取狀態(tài)變量：
(6)
確定傳統(tǒng)線性滑模面為：
(7)
式中：c為常數(shù)。
采用等效控制與切換控制共同作用的控制方式，其中等效控制保證滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)品質(zhì)，切換控制保證系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，而利用指數(shù)趨近律既可以保證滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)階段的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，也可以削弱抖振[23]。傳統(tǒng)線性滑?？刂破鬏敵鰑SMC為：
cx2-εcx1-εx2-Ksgn(s)]
(8)
式中：K為切換增益。
針對(duì)線性滑模控制，定義Lyapunov函數(shù)為V=s2/2。
證明將指數(shù)趨近律公式代入Lyapunov函數(shù)中可得：
-K|s|-εs2=-(K|s|+εs2)
(9)
互補(bǔ)滑模控制器的滑模面采用積分滑模面與互補(bǔ)滑模面結(jié)合的方式。其中，積分滑模面定義為：
(10)
Bu+2λx2+λ2x1
(11)
定義廣義滑模面為：
(12)
由于積分滑模面與廣義滑模面存在同一參數(shù)λ，因此，可以得到它們的和為：
(13)
且積分滑模面與互補(bǔ)滑模面存在以下關(guān)系：
(14)
對(duì)互補(bǔ)滑?？刂?，定義Lyapunov函數(shù)為：
(15)
對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)并結(jié)合式(14)可得：
(16)
根據(jù)式(16)得到互補(bǔ)滑?？刂破鞯妮敵觯?/p>
(17)
ucsw=-Ksgn(Sg+Sc)-ε(Sg+Sc)
(18)
uCSMC=uceq+ucsw
(19)
并將式(17)-式(19)代入式(16)可得：
(Sg+Sc)[-Bucw-λ(Sg+Sc)]=
-λ(Sg+Sc)2-(Sg+Sc)·ρsgn(Sg+Sc)≤
-λ(Sg+Sc)2-|Sg+Sc|·ρ≤0
(20)
所構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)滿(mǎn)足定理1，因此，所設(shè)計(jì)的互補(bǔ)滑?？刂破骺梢允瓜到y(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面且系統(tǒng)穩(wěn)定?；パa(bǔ)滑?？刂葡拢瑺顟B(tài)軌跡由滑模面外到達(dá)積分滑模面與互補(bǔ)滑模面的交線處，最終沿著交線到達(dá)原點(diǎn)。
3 趨近律參數(shù)ε整定
圖2 模糊滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)框圖
模糊控制1與模糊控制2高度相似，其設(shè)計(jì)方法、隸屬度函數(shù)及模糊規(guī)則也是相同的。定義模糊控制器的輸入/輸出模糊集均為{NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB}，分別表示負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大。模糊控制的輸入采用三角形隸屬度函數(shù)，邊界用S型隸屬度函數(shù)，輸入隸屬度函數(shù)如圖3所示；模糊控制的輸出采用鐘形隸屬度函數(shù)，輸出隸屬度函數(shù)如圖4所示。
(a) 輸入Sg/Sc隸屬度函數(shù)
(b) 輸入隸屬度函數(shù)圖3 輸入隸屬度函數(shù)
圖4 輸出Δρg、Δρc、Δε隸屬度函數(shù)
所設(shè)計(jì)的模糊規(guī)則如表1所示。
表1 模糊規(guī)則表
去模糊化采用重心法。對(duì)模糊控制1與模糊控制2的輸出作“與”運(yùn)算，得到模糊控制的最終輸出：
Δρ=Δρg∩Δρc=min(Δρg,Δρc)
(21)
由模糊控制得到輸出Δε，采用積分的方法對(duì)ε(t)的上界進(jìn)行估計(jì)：
(22)
式中：G為不小于1的常數(shù)。
4 仿真與結(jié)果分析
設(shè)給定切削力為600 N，取車(chē)削過(guò)程模型的各項(xiàng)參數(shù)如表2所示。
表2 車(chē)削過(guò)程模型的各項(xiàng)參數(shù)
將表1中的參數(shù)數(shù)值代入式(4)，得到車(chē)削加工過(guò)程的模型為：
(23)
為了驗(yàn)證本文方法的有效性，按照式(23)在MATLAB/Simulink中搭建車(chē)削過(guò)程模型，并分別在本文方法與指數(shù)趨近律參數(shù)固定的互補(bǔ)滑模控制方法、傳統(tǒng)線性滑模控制方法及文獻(xiàn)[26]采用的PID/PD復(fù)合控制進(jìn)行比較。并在t=5 s時(shí)加入一個(gè)值為50的脈沖干擾，觀察三種控制方法的抗干擾能力。
取指數(shù)趨近律參數(shù)固定的互補(bǔ)滑?？刂破髋c傳統(tǒng)線性滑模控制器的參數(shù)為c=25、λ=12.5、K=60、ε=5。本文方法模糊指數(shù)趨近律互補(bǔ)滑?？刂破鞯膮?shù)為c=25、λ=12.5、K=60，ε由模糊控制方法在線整定?；パa(bǔ)滑?？刂婆c傳統(tǒng)線性滑?？刂瓢凑帐?8)與式(19)在Simulink中搭建仿真，模糊控制利用MATLAB中M文件嵌套進(jìn)Simulink中進(jìn)行參數(shù)整定。切深線性變化的情況下，在文獻(xiàn)[26]采用的PID/PD復(fù)合控制方法下的切削力響應(yīng)曲線如圖5所示。傳統(tǒng)線性滑?？刂?、互補(bǔ)滑?？刂萍澳：パa(bǔ)滑?？刂葡碌那邢髁憫?yīng)曲線如圖6所示。
圖5 切深線性變化時(shí)文獻(xiàn)方法的切削力響應(yīng)曲線
可以看出，當(dāng)切深線性變化時(shí)，相較于文獻(xiàn)[26]所用PID/PD復(fù)合控制方法，滑?？刂品椒ǖ恼{(diào)節(jié)時(shí)間明顯減小，抗干擾能力明顯增強(qiáng)。由圖6可看出本文方法的抗干擾能力、抖振大小、上升時(shí)間等指標(biāo)均優(yōu)于互補(bǔ)滑?？刂品椒ê蛡鹘y(tǒng)線性滑?？刂品椒?。本文方法控制下的切削力響應(yīng)曲線上升時(shí)間最短，抖振最小，抗干擾能力最強(qiáng)。
在切深每一秒發(fā)生一次突變的情況下，PID/PD復(fù)合控制方法下的切削力響應(yīng)曲線如圖7所示，傳統(tǒng)線性滑模控制、互補(bǔ)滑?？刂萍澳：パa(bǔ)滑?？刂葡碌那邢髁憫?yīng)曲線如圖8所示。
圖6 切深線性變化時(shí)SMC、CSMC及F-CSMC下的切削力響應(yīng)曲線
圖7 切深突變時(shí)文獻(xiàn)方法的切削力響應(yīng)曲線
圖8 切深突變時(shí)SMC、CSMC及F-CSMC下的切削力響應(yīng)曲線
切深突變情況下，本文所提的車(chē)削過(guò)程的模糊指數(shù)趨近律互補(bǔ)滑模控制、趨近律參數(shù)ε恒定不變的指數(shù)趨近律互補(bǔ)滑模控制、傳統(tǒng)線性滑?？刂萍癙ID/PD復(fù)合控制四種種控制方式的性能指標(biāo)比較如表3所示。
表3 四種控制方式下性能指標(biāo)比較
可以看出，當(dāng)切深突變時(shí)，文獻(xiàn)[26]所采用的PID/PD復(fù)合控制方法超調(diào)大，對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)敏感。傳統(tǒng)線性滑?？刂品椒ㄅc文獻(xiàn)相比各性能指標(biāo)有明顯改善；互補(bǔ)滑?？刂葡虑邢髁憫?yīng)曲線的各項(xiàng)性能指標(biāo)又進(jìn)一步改善；本文方法與互補(bǔ)滑?？刂品椒ㄏ啾?，其超調(diào)更小，抗干擾能力更強(qiáng)，收斂速度更快且抖振幅度有所減少。
5 結(jié) 語(yǔ)
本文針對(duì)車(chē)削過(guò)程的恒切削力控制問(wèn)題，以切深變化時(shí)仍能保證切削力恒定為目標(biāo)，考慮到車(chē)削過(guò)程的非線性、時(shí)變性及不確定性，提出車(chē)削過(guò)程的模糊指數(shù)趨近律互補(bǔ)滑?？刂品椒?。并分別在切深突變和線性變化兩種情況下進(jìn)行了仿真研究，結(jié)果表明，本文方法響應(yīng)快、超調(diào)小，不僅一定程度上削弱了傳統(tǒng)線性滑?？刂破鞯妮敵龆墩瘢以鰪?qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性，提高了控制精度。本文對(duì)于優(yōu)化切削工藝，使切削過(guò)程更加高效、快速有重要意義。
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近年來(lái)，機(jī)械制造追求更加便捷、快速、高效的加工方式[1]。傳統(tǒng)加工采用恒進(jìn)給速度加工，為防止切削力過(guò)大損壞機(jī)床與刀具，只能選擇較低的進(jìn)給速度，導(dǎo)致加工時(shí)間長(zhǎng)，加工精度低，無(wú)法滿(mǎn)足新時(shí)代機(jī)械加工要求。而恒切削力加工，采用的是變進(jìn)給速度加工，可以在切深較小時(shí)進(jìn)行高速加工。恒力加工相較于傳統(tǒng)的加工方式縮短了加工時(shí)間，提高了加工精度，延長(zhǎng)了機(jī)床壽命[2]。
恒力切削對(duì)于加工過(guò)程實(shí)現(xiàn)快速化、高效化有重要作用，因此成為眾多學(xué)者的研究對(duì)象。宋曉華[3]提出基于PID控制與模糊控制的切削加工過(guò)程雙模控制，當(dāng)偏差大時(shí)用模糊控制，偏差小時(shí)轉(zhuǎn)由PID控制；張毅等[4]提出一種將預(yù)測(cè)控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制應(yīng)用于恒力車(chē)削，使切削進(jìn)給在切削深度發(fā)生突變前提前發(fā)生相應(yīng)變化；余銘奇等[5]提出一種加工過(guò)程的模糊自適應(yīng)PID的控制方法，運(yùn)用模糊自適應(yīng)PID控制方法，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，響應(yīng)速度加快，抗干擾能力和適應(yīng)參數(shù)變化的能力要優(yōu)于增益自適應(yīng)的PID控制；陳首彥[6]提出采用模糊滑?？刂茟?yīng)用與機(jī)器人切削，根據(jù)加工狀態(tài)利用模糊規(guī)則調(diào)整滑?？刂葡禂?shù)，進(jìn)而改變進(jìn)給速度，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人切削的切削力控制；Xu等[7]提出將前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制與自適應(yīng)控制結(jié)合的控制方式，并且加工之前離線優(yōu)化切削參數(shù)，該方法有好的穩(wěn)定性和適用性；Zuperl等[8]提出將模糊控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合，實(shí)時(shí)修正模糊規(guī)則，實(shí)現(xiàn)在線調(diào)整進(jìn)給速度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)恒力切削；Liu等[9]建立了主軸電流與進(jìn)給速度之間的數(shù)學(xué)模型，特別之處在于其檢測(cè)并提取了主軸電流，將主軸電流作為反饋，所使用的控制方法是模糊控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合的方式。上述方法在恒力切削控制的研究方面取得了一定成果，但是在切深突變時(shí)切削力均出現(xiàn)了較大的超調(diào)，而采用滑?？刂?Sliding Mode Control，SMC)可以很好地削減這一超調(diào)。加工過(guò)程具有很強(qiáng)的時(shí)變性、非線性、不確定性[10]?；？刂谱鳛橐环N魯棒控制方法，對(duì)外部干擾和未建模動(dòng)態(tài)具有完全的魯棒性，因此對(duì)控制加工過(guò)程有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，但滑模控制器存在輸出抖振的缺陷，且無(wú)法消除，只能削弱。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者就削弱滑?？刂破鬏敵龆墩襁M(jìn)行了大量研究[11-21]，其中包括采用改進(jìn)現(xiàn)有的趨近律、非線性滑模面、觀測(cè)器，以及與現(xiàn)有其他控制器結(jié)合或?qū)追N方法混合使用等各種研究。
本文采用積分滑模面與互補(bǔ)滑模面結(jié)合的方法設(shè)計(jì)了互補(bǔ)滑模變結(jié)構(gòu)控制器(Complementary Sliding Mode Controller，CSMC)，并將其與模糊控制結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種用模糊控制策略實(shí)時(shí)整定指數(shù)趨近律指數(shù)系數(shù)的互補(bǔ)滑?？刂破?Fuzzy Complementary Sliding Mode Control，F(xiàn)-CSMC)應(yīng)用于恒力車(chē)削控制，并分別在切削深度臺(tái)階型變化與斜坡變化兩種情況下進(jìn)行了仿真研究?；パa(bǔ)滑?？刂浦校捎梅e分滑模面與互補(bǔ)滑模面結(jié)合的方式，但其本質(zhì)仍為線性滑模面，因此，兼具了積分滑模面與線性滑模面的優(yōu)點(diǎn)，既削弱了抖振，提高了控制精度，又保持了滑模面降階特性。在模糊控制中，通過(guò)模糊控制策略實(shí)時(shí)整定指數(shù)趨近律指數(shù)系數(shù)，降低切換控制的影響，可以在保證系統(tǒng)魯棒性的同時(shí)削弱抖振。當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)距離滑模面遠(yuǎn)時(shí)，加快收斂速度縮短收斂時(shí)間；當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)滑模面附近時(shí)，減小趨近速度，有效地削弱傳統(tǒng)滑?？刂破鞯妮敵龆墩瘛H通過(guò)整定指數(shù)趨近律的一個(gè)參數(shù)指數(shù)系數(shù)就可以既實(shí)現(xiàn)縮短系統(tǒng)的收斂時(shí)間又削弱抖振，相較于同時(shí)整定兩個(gè)參數(shù)節(jié)省了計(jì)算量。
1 車(chē)削過(guò)程建模
車(chē)削過(guò)程由伺服機(jī)構(gòu)、機(jī)械傳動(dòng)和車(chē)削過(guò)程三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成[22]，車(chē)削過(guò)程系統(tǒng)控制框圖如圖1所示，其中：Fn為給定切削力；F為檢測(cè)切削力；e為誤差；u為伺服電壓；Vf為進(jìn)給速度；f為進(jìn)給量；Fs為實(shí)際切削力。
圖1 車(chē)削過(guò)程系統(tǒng)控制框圖
伺服機(jī)構(gòu)可簡(jiǎn)化為一個(gè)二階系統(tǒng)：
(1)
式中：Vf為進(jìn)給速率；u為電樞電壓；Km為伺服增益；ωn為伺服系統(tǒng)的自然頻率；ξ為阻尼系數(shù)。
機(jī)械傳動(dòng)裝置簡(jiǎn)化為進(jìn)給量與進(jìn)給速度之間的關(guān)系：
(2)
式中：p為刀具齒數(shù)，車(chē)削時(shí)為1；n為電機(jī)轉(zhuǎn)速。
加工過(guò)程中進(jìn)給量與切削力之間的關(guān)系可用切削力經(jīng)驗(yàn)公式表示：
(3)
式中：Ks為切削系數(shù)，α與β是指數(shù)系數(shù)，三個(gè)系數(shù)均由大量實(shí)驗(yàn)后憑借經(jīng)驗(yàn)給出；ap為切削深度，為本文的主動(dòng)變化量。
因此，車(chē)削過(guò)程的傳遞函數(shù)為：
(4)
式中：Kd為測(cè)力儀轉(zhuǎn)化系數(shù)。
2 互補(bǔ)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
由式(4)可得到切削過(guò)程的微分方程：
(5)
取狀態(tài)變量：
(6)
確定傳統(tǒng)線性滑模面為：
(7)
式中：c為常數(shù)。
采用等效控制與切換控制共同作用的控制方式，其中等效控制保證滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)品質(zhì)，切換控制保證系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，而利用指數(shù)趨近律既可以保證滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)階段的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，也可以削弱抖振[23]。傳統(tǒng)線性滑?？刂破鬏敵鰑SMC為：
cx2-εcx1-εx2-Ksgn(s)]
(8)
式中：K為切換增益。
針對(duì)線性滑模控制，定義Lyapunov函數(shù)為V=s2/2。
證明將指數(shù)趨近律公式代入Lyapunov函數(shù)中可得：
-K|s|-εs2=-(K|s|+εs2)
(9)
互補(bǔ)滑模控制器的滑模面采用積分滑模面與互補(bǔ)滑模面結(jié)合的方式。其中，積分滑模面定義為：
(10)
Bu+2λx2+λ2x1
(11)
定義廣義滑模面為：
(12)
由于積分滑模面與廣義滑模面存在同一參數(shù)λ，因此，可以得到它們的和為：
(13)
且積分滑模面與互補(bǔ)滑模面存在以下關(guān)系：
(14)
對(duì)互補(bǔ)滑?？刂?，定義Lyapunov函數(shù)為：
(15)
對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)并結(jié)合式(14)可得：
(16)
根據(jù)式(16)得到互補(bǔ)滑?？刂破鞯妮敵觯?/p>
(17)
ucsw=-Ksgn(Sg+Sc)-ε(Sg+Sc)
(18)
uCSMC=uceq+ucsw
(19)
并將式(17)-式(19)代入式(16)可得：
(Sg+Sc)[-Bucw-λ(Sg+Sc)]=
-λ(Sg+Sc)2-(Sg+Sc)·ρsgn(Sg+Sc)≤
-λ(Sg+Sc)2-|Sg+Sc|·ρ≤0
(20)
所構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)滿(mǎn)足定理1，因此，所設(shè)計(jì)的互補(bǔ)滑?？刂破骺梢允瓜到y(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面且系統(tǒng)穩(wěn)定?；パa(bǔ)滑?？刂葡拢瑺顟B(tài)軌跡由滑模面外到達(dá)積分滑模面與互補(bǔ)滑模面的交線處，最終沿著交線到達(dá)原點(diǎn)。
3 趨近律參數(shù)ε整定
圖2 模糊滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)框圖
模糊控制1與模糊控制2高度相似，其設(shè)計(jì)方法、隸屬度函數(shù)及模糊規(guī)則也是相同的。定義模糊控制器的輸入/輸出模糊集均為{NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB}，分別表示負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大。模糊控制的輸入采用三角形隸屬度函數(shù)，邊界用S型隸屬度函數(shù)，輸入隸屬度函數(shù)如圖3所示；模糊控制的輸出采用鐘形隸屬度函數(shù)，輸出隸屬度函數(shù)如圖4所示。
(a) 輸入Sg/Sc隸屬度函數(shù)
(b) 輸入隸屬度函數(shù)圖3 輸入隸屬度函數(shù)
圖4 輸出Δρg、Δρc、Δε隸屬度函數(shù)
所設(shè)計(jì)的模糊規(guī)則如表1所示。
表1 模糊規(guī)則表
去模糊化采用重心法。對(duì)模糊控制1與模糊控制2的輸出作“與”運(yùn)算，得到模糊控制的最終輸出：
Δρ=Δρg∩Δρc=min(Δρg,Δρc)
(21)
由模糊控制得到輸出Δε，采用積分的方法對(duì)ε(t)的上界進(jìn)行估計(jì)：
(22)
式中：G為不小于1的常數(shù)。
4 仿真與結(jié)果分析
設(shè)給定切削力為600 N，取車(chē)削過(guò)程模型的各項(xiàng)參數(shù)如表2所示。
表2 車(chē)削過(guò)程模型的各項(xiàng)參數(shù)
將表1中的參數(shù)數(shù)值代入式(4)，得到車(chē)削加工過(guò)程的模型為：
(23)
為了驗(yàn)證本文方法的有效性，按照式(23)在MATLAB/Simulink中搭建車(chē)削過(guò)程模型，并分別在本文方法與指數(shù)趨近律參數(shù)固定的互補(bǔ)滑模控制方法、傳統(tǒng)線性滑模控制方法及文獻(xiàn)[26]采用的PID/PD復(fù)合控制進(jìn)行比較。并在t=5 s時(shí)加入一個(gè)值為50的脈沖干擾，觀察三種控制方法的抗干擾能力。
取指數(shù)趨近律參數(shù)固定的互補(bǔ)滑?？刂破髋c傳統(tǒng)線性滑模控制器的參數(shù)為c=25、λ=12.5、K=60、ε=5。本文方法模糊指數(shù)趨近律互補(bǔ)滑?？刂破鞯膮?shù)為c=25、λ=12.5、K=60，ε由模糊控制方法在線整定?；パa(bǔ)滑?？刂婆c傳統(tǒng)線性滑?？刂瓢凑帐?8)與式(19)在Simulink中搭建仿真，模糊控制利用MATLAB中M文件嵌套進(jìn)Simulink中進(jìn)行參數(shù)整定。切深線性變化的情況下，在文獻(xiàn)[26]采用的PID/PD復(fù)合控制方法下的切削力響應(yīng)曲線如圖5所示。傳統(tǒng)線性滑?？刂?、互補(bǔ)滑?？刂萍澳：パa(bǔ)滑?？刂葡碌那邢髁憫?yīng)曲線如圖6所示。
圖5 切深線性變化時(shí)文獻(xiàn)方法的切削力響應(yīng)曲線
可以看出，當(dāng)切深線性變化時(shí)，相較于文獻(xiàn)[26]所用PID/PD復(fù)合控制方法，滑?？刂品椒ǖ恼{(diào)節(jié)時(shí)間明顯減小，抗干擾能力明顯增強(qiáng)。由圖6可看出本文方法的抗干擾能力、抖振大小、上升時(shí)間等指標(biāo)均優(yōu)于互補(bǔ)滑?？刂品椒ê蛡鹘y(tǒng)線性滑?？刂品椒?。本文方法控制下的切削力響應(yīng)曲線上升時(shí)間最短，抖振最小，抗干擾能力最強(qiáng)。
在切深每一秒發(fā)生一次突變的情況下，PID/PD復(fù)合控制方法下的切削力響應(yīng)曲線如圖7所示，傳統(tǒng)線性滑模控制、互補(bǔ)滑?？刂萍澳：パa(bǔ)滑?？刂葡碌那邢髁憫?yīng)曲線如圖8所示。
圖6 切深線性變化時(shí)SMC、CSMC及F-CSMC下的切削力響應(yīng)曲線
圖7 切深突變時(shí)文獻(xiàn)方法的切削力響應(yīng)曲線
圖8 切深突變時(shí)SMC、CSMC及F-CSMC下的切削力響應(yīng)曲線
切深突變情況下，本文所提的車(chē)削過(guò)程的模糊指數(shù)趨近律互補(bǔ)滑模控制、趨近律參數(shù)ε恒定不變的指數(shù)趨近律互補(bǔ)滑模控制、傳統(tǒng)線性滑?？刂萍癙ID/PD復(fù)合控制四種種控制方式的性能指標(biāo)比較如表3所示。
表3 四種控制方式下性能指標(biāo)比較
可以看出，當(dāng)切深突變時(shí)，文獻(xiàn)[26]所采用的PID/PD復(fù)合控制方法超調(diào)大，對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)敏感。傳統(tǒng)線性滑?？刂品椒ㄅc文獻(xiàn)相比各性能指標(biāo)有明顯改善；互補(bǔ)滑?？刂葡虑邢髁憫?yīng)曲線的各項(xiàng)性能指標(biāo)又進(jìn)一步改善；本文方法與互補(bǔ)滑?？刂品椒ㄏ啾?，其超調(diào)更小，抗干擾能力更強(qiáng)，收斂速度更快且抖振幅度有所減少。
5 結(jié) 語(yǔ)
本文針對(duì)車(chē)削過(guò)程的恒切削力控制問(wèn)題，以切深變化時(shí)仍能保證切削力恒定為目標(biāo)，考慮到車(chē)削過(guò)程的非線性、時(shí)變性及不確定性，提出車(chē)削過(guò)程的模糊指數(shù)趨近律互補(bǔ)滑?？刂品椒?。并分別在切深突變和線性變化兩種情況下進(jìn)行了仿真研究，結(jié)果表明，本文方法響應(yīng)快、超調(diào)小，不僅一定程度上削弱了傳統(tǒng)線性滑?？刂破鞯妮敵龆墩瘢以鰪?qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性，提高了控制精度。本文對(duì)于優(yōu)化切削工藝，使切削過(guò)程更加高效、快速有重要意義。
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