張強(qiáng)，朱雅萍，孟祥飛，張樹(shù)豪，胡宴才

山東交通學(xué)院 航運(yùn)學(xué)院，山東 威海 264200

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)海洋資源開(kāi)發(fā)、運(yùn)輸和勘探的需求日益增加。水面船舶作為一種經(jīng)濟(jì)、有效的工具，在海洋工程中起著至關(guān)重要的作用。軌跡跟蹤控制是船舶運(yùn)動(dòng)控制中一種典型的控制任務(wù)，它可以使水面船舶跟蹤所需要的參考軌跡。隨著對(duì)水面船舶的使用愈加廣泛，軌跡跟蹤的控制問(wèn)題也受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。水面船舶在航行中會(huì)受到各種內(nèi)部和外部的不確定性干擾，在設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制方案時(shí)必須考慮上述復(fù)雜因素的影響，因此，各種先進(jìn)的控制方法被應(yīng)用于軌跡跟蹤控制方案設(shè)計(jì)中。

針對(duì)水面船舶軌跡跟蹤控制的問(wèn)題，軌跡線性化控制方法[1]、基于非線性增益遞歸滑模的船舶軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)面自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法[2]、基于時(shí)變非對(duì)稱(chēng)障礙Lyapunov 函數(shù)的最小參數(shù)自適應(yīng)遞歸滑?？刂品椒╗3]等被應(yīng)用于全驅(qū)動(dòng)船舶的軌跡跟蹤領(lǐng)域。以上方法解決的是具有不確定條件和未知參數(shù)的全驅(qū)動(dòng)船舶的軌跡跟蹤問(wèn)題，并且提高了跟蹤精度，但海面上是以欠驅(qū)動(dòng)船舶為主，研究欠驅(qū)動(dòng)船舶對(duì)降低成本、提高航運(yùn)安全具有重要意義。針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的軌跡跟蹤問(wèn)題，孟威等[4]通過(guò)引入滑動(dòng)平面設(shè)計(jì)控制律，解決了由模型參數(shù)不確定性和未知干擾帶來(lái)的魯棒性問(wèn)題。沈智鵬等[5]提出了動(dòng)態(tài)面自適應(yīng)輸出反饋控制，通過(guò)引入觀測(cè)器，保證了船舶軌跡跟蹤誤差的最終一致有界性。柳晨光等[6]提出的模型預(yù)測(cè)控制是將模型近似線性化，但這種方法在外界干擾系數(shù)變大時(shí)其跟蹤誤差也會(huì)變大。文獻(xiàn)[7-8]分別利用觀測(cè)器和比例積分實(shí)現(xiàn)了魯棒自適應(yīng)控制，并且文獻(xiàn)[8]還實(shí)現(xiàn)了進(jìn)一步減少由滑模控制引發(fā)的振動(dòng)問(wèn)題。Dai 等[9]通過(guò)引入擾動(dòng)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)未知干擾，Haseltable 等[10]通過(guò)引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性函數(shù)，均進(jìn)一步提高了軌跡跟蹤的精度。

然而，以上文獻(xiàn)都只有在系統(tǒng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)才能得到一個(gè)漸近穩(wěn)定的結(jié)果，沒(méi)有考慮船舶在各種不確定性影響下能否實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間的跟蹤控制。王昱棋等[11]基于終端滑?？刂埔敕稚⒖刂破?，提出了一種終端滑模控制方法，可使欠驅(qū)動(dòng)水面船舶在有限的時(shí)間內(nèi)較快地實(shí)現(xiàn)跟蹤并保持期望的軌跡。Ning 等[12]首先將未知的參數(shù)動(dòng)力學(xué)和不確定性封裝成非線性函數(shù)，再通過(guò)自適應(yīng)模糊逼近器在線識(shí)別非線性函數(shù)，得到了一種新的直接自適應(yīng)模糊跟蹤控制方法，可實(shí)現(xiàn)船舶在有限時(shí)間內(nèi)的跟蹤。Sun 等[13]提出了一種事件觸發(fā)的魯棒模糊自適應(yīng)定性能有限時(shí)間控制方法。Zhao 等[14]針對(duì)具有上界未知干擾的剛性航天器，分別設(shè)計(jì)了有邊界層和無(wú)邊界層的自適應(yīng)有限時(shí)間控制律，實(shí)現(xiàn)了在有限時(shí)間內(nèi)的軌跡跟蹤，并能消除抖振問(wèn)題。

基于以上分析，本文擬設(shè)計(jì)一種受動(dòng)態(tài)不確定性和未知時(shí)變干擾影響下的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間軌跡跟蹤控制方案。首先，利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)船舶的動(dòng)態(tài)不確定性，并設(shè)計(jì)自適應(yīng)律逼近未知擾動(dòng)的上界。由于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性函數(shù)有著高度的擬合關(guān)系，因此，提高逼近精度，并在控制方案設(shè)計(jì)中引入有限時(shí)間控制理論，以保證系統(tǒng)跟蹤誤差能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至一個(gè)比較小的區(qū)域內(nèi)，提高系統(tǒng)誤差的收斂速度。最后，進(jìn)行仿真對(duì)比試驗(yàn)，驗(yàn)證該控制方案的跟蹤效果。

1 船舶數(shù)學(xué)模型與問(wèn)題描述

考慮如下形式的欠驅(qū)動(dòng)水面船舶數(shù)學(xué)模型[15]：

式中：x,y,ψ為水面船舶的實(shí)際跟蹤軌跡，分別為橫向位移、縱向位移、航向角；u,v,r為實(shí)際跟蹤速度，分別為前向速度、橫漂速度和轉(zhuǎn)艏角速度；τu為 船舶縱蕩控制力； τr為 艏搖控制力矩；mu，mv，mr為 附加質(zhì)量；du，dr為 擾動(dòng)；fu(u,v,r)，fv(u,v,r)，fr(u,v,r)為 未知?jiǎng)?態(tài)；Xu，Yv，Yr，Nv，Nr分別為水面船舶在前進(jìn)、橫漂和艏搖3 個(gè)維度上的線性阻尼；Xu|u||u|u，Y|v|v|v|v，Y|r|v|r|v，Y|v|r|v|r，N|r|r|r|r，N|r|v|r|v分別為水面船舶在前進(jìn)、橫漂和艏搖3 個(gè)維度上的非線性阻尼。

為了實(shí)現(xiàn)控制器的設(shè)計(jì)，現(xiàn)給出如下假設(shè)、定義和引理。

定義：非線性控制系統(tǒng)描述如下：

式中：x∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量； Ω0為包含原點(diǎn)的一個(gè)球域；f(x)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，對(duì)于任意初始條件x0， 如果存在一個(gè)常數(shù) ζ ＞0和一個(gè)調(diào)節(jié)時(shí)間函數(shù)0 ＜T(0)＜∞，使 得 ‖x(t)‖≤ζ，t≥T(x0)，那么系統(tǒng)可以說(shuō)是半全局實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的[16]。其中，t為時(shí)間變量，T為初始條件下的時(shí)間。

引理1：考慮一個(gè)系統(tǒng)x=f(x)，f(0)=0，x∈Rn，其中f(x)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)的Lyapunov 函數(shù)V：D→R可以使如下條件滿足：V是一個(gè)正定函數(shù)，存在實(shí)數(shù)ρ1＞0，ρ2＞0，η ∈(0,1)，以及一個(gè)原點(diǎn)附近的開(kāi)環(huán)鄰域滿足V˙(x)+ρ1V(x)+ρ2Vη(x)≤0，則系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，且穩(wěn)定時(shí)間Tr為[17]

引理2：對(duì)于任意給定的定義在緊集 Ω ?Rn上的連續(xù)光滑函數(shù)h(x)[18-19]，有

式中： ε為逼近誤差，對(duì)于所有的x∈Ω，存在向量ε*＞0，且 滿足 |ε|≤ε*；W*為理想條件下的權(quán)重向量；s（x）為中心函數(shù)。通常，理想的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重為未知向量，需要進(jìn)行估計(jì)?？梢岳斫鉃閤∈Ω ?Rn上能使 |ε|最 小化的W，即

引理3：對(duì)任意的a＞0（a為常數(shù)）和x∈R，都滿足如下的關(guān)系[20]：

2 控制器的設(shè)計(jì)

軌跡跟蹤的控制流程如圖1 所示。為解決欠驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，采用文獻(xiàn)[21]中的方法。首先，定義欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的跟蹤誤差：

圖1 軌跡跟蹤控制流程圖Fig. 1 Trajectory tracking control flow chart

式 中：xl，yl， ψl分 別 為 跟 蹤 過(guò) 程 中 的 期 望 橫 向 位移、期望縱向位移和期望航向角；ul，rl分別為跟蹤過(guò)程中的期望前向速度和期望轉(zhuǎn)艏角速度。

令

對(duì)式(11)求導(dǎo)，可得

式中，k11，k12，k31，k32，δ 為可調(diào)參數(shù)。

根據(jù)式(13)設(shè)計(jì)期望的前向速度、轉(zhuǎn)艏角速度和航向角：

式 中 ，ψl通 過(guò)ul=‖α‖反 解 得 到， αx，αy為 α在x,y方向上的分量。

對(duì)式(10)求導(dǎo)，可得

對(duì)于未知?jiǎng)討B(tài)fu(u,v,r)，fr(u,v,r)，利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行重構(gòu)，即

式中：網(wǎng)絡(luò)輸入信號(hào) η=(x,y,ψ,u,v,r)T， σ(η)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律中的中心函數(shù)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣分別為Wu=(wu1,wu2,···,wuh)T，Wr=(wr1,wr2,···,wrh)T； εu， εr為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差。

為穩(wěn)定ue，re，設(shè)計(jì)控制律，如式(17)所示。

3 穩(wěn)定性分析

為了驗(yàn)證欠驅(qū)動(dòng)船舶控制器的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)如式(20)所示的Lyapunov 函數(shù)。

對(duì)式(20)求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得

其中：

式中， λdu， λdr， ωu， ωr為設(shè)計(jì)自適應(yīng)律中的可調(diào)參數(shù)。

根據(jù)引理3，可得

將式(24)、式(28)和式(29)代入式(21)，得

將式(31)代入式(30)，可進(jìn)一步得出

由式(32)，可以得出

其中， η=min{η1,η2}，0 ＜η ＜1。

結(jié)合式(22)，以上計(jì)算證明對(duì)于 ?t≥T，系統(tǒng)誤差會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

4 仿真研究

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制方案的有效性，以挪威科技大學(xué)的Cybership 2船模為被控對(duì)象進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真試驗(yàn)。該船?？傞L(zhǎng)L= 1.255 m，質(zhì)量m= 23.8 kg，其他水動(dòng)力參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[22]。

在仿真分析中，將本文設(shè)計(jì)的控制方案與未采用有限時(shí)間的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方案進(jìn)行對(duì)比。在仿真圖中，將本文設(shè)計(jì)的控制律設(shè)為控制律1，用于對(duì)比的控制律設(shè)為控制律2，對(duì)比控制律的虛擬控制律、控制律和自適應(yīng)律如式(40)～式(43)所示。

為了模擬海況，擾動(dòng)采用式(44)：

在模型參數(shù)未知的條件下，設(shè)置參數(shù)k11=0.1，k12=0.1，k21=0.2 ，k22=0.1，k31=0.2，k32=0.05，k41=0.4，k42=0.05，γdu=0.1， γdr=1，λdr=1，γwu=γwr=200 ，λwu=λwr=0.002 5。仿真試驗(yàn)采用圓形軌跡方程，如式(45)所示。

在圓形軌跡下，船舶的初始位置和初始速度為(x0;y0;ψ0;u0;v0;r0)=(0;10;0;0;0;0)。圖2～圖9 所示為圓形軌跡下的仿真結(jié)果。其中，圖2 所示為控制律1 和控制律2 的實(shí)際軌跡與參考軌跡的軌跡跟蹤對(duì)比，從中可以看出，本文控制方案下的實(shí)際軌跡在有限時(shí)間內(nèi)更接近于參考軌跡。

圖2 船舶在平面內(nèi)的實(shí)際軌跡和參考軌跡Fig. 2 Actual and reference trajectories in ( x,y) plane

圖3～圖6 給出了船舶在不同控制律下的位置跟蹤、航向角跟蹤以及速度跟蹤的對(duì)比。從中可以看出，本文設(shè)計(jì)的控制器可以保證在有限的時(shí)間內(nèi)更接近于期望軌跡。

圖3 實(shí)際位置和參考位置Fig. 3 Actual and reference positions

圖4 實(shí)際航向角和期望航向角Fig. 4 Actual and reference yaw angles

圖5 推進(jìn)速度uFig. 5 Surge velocityu

圖6 轉(zhuǎn)艏角速度rFig. 6 Yaw angle rate r

圖7 所示為位姿誤差時(shí)歷曲線。從中可以看出，本文所設(shè)計(jì)控制方案誤差的上、下界更小，并且在本文設(shè)計(jì)的有限時(shí)間控制方案下，xe和ye約在第29 s 處實(shí)現(xiàn)收斂， ψe約在第10 s 處實(shí)現(xiàn)收斂，而對(duì)比方案的位姿誤差則分別約在第50，55 和28 s處實(shí)現(xiàn)收斂，可見(jiàn)本文控制方案的收斂速度更快。

圖7 位姿誤差的時(shí)歷曲線Fig. 7 Time history curves of the attitude error

由圖8 所示的速度誤差時(shí)歷曲線可以看出，本文所設(shè)計(jì)控制方案速度誤差的收斂性得到了一定程度的提高，其上、下界同樣也更小。

圖8 速度誤差的時(shí)歷曲線Fig. 8 Time history curves of the velocity error

圖9 所示為控制輸入隨時(shí)間變化的曲線。從中可以看出，本文設(shè)計(jì)的控制律輸入與對(duì)比控制律相比，沒(méi)有明顯的增加。

圖9 控制輸入τu，τrFig. 9 Control input of τu，τr

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間軌跡跟蹤控制方案解決了欠驅(qū)動(dòng)船舶在軌跡跟蹤中存在的未知干擾和動(dòng)態(tài)不確定問(wèn)題，提高了系統(tǒng)的控制精度以及系統(tǒng)誤差的收斂速度。利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)未知?jiǎng)討B(tài)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律逼近外部干擾的上界。通過(guò)Lyapunov 理論，證明欠驅(qū)動(dòng)船舶系統(tǒng)所有的信號(hào)都是有界的。經(jīng)與未采用有限時(shí)間的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制律進(jìn)行仿真對(duì)比，表明本文設(shè)計(jì)控制方案的跟蹤性能更好。下一步，將就如何在提高跟蹤精度的同時(shí)簡(jiǎn)化算法的復(fù)雜程度方面進(jìn)行研究。