馬 榮， 馬 駿， 肖曼玉

(西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710072)

1 引 言

2018年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)類三、四年級組微分幾何選考題目[1]：已知橢圓柱面S∶r(u,v)=(acosu,bsinu,v),-π≤u≤π,-∞0,b>0，求S上任意測地線的方程.

首先給出測地曲率定義.

Dv=(df1+f2ω21)e1+(df2+f1ω12)e2，

(1)

對于r求二階混合偏導(dǎo)有

由于測地曲率是曲線自身在曲面內(nèi)的彎曲程度，故應(yīng)只考慮rγ和rα，即測地曲率向量為

下面給出測地線定義及其所滿足的方程組.

定義2[2]曲面上測地曲率等于0的曲線稱為曲面的測地線.

由此定義，顯然可知當(dāng)曲面的參數(shù)表示為r=r(u1,u2)時(shí)，測地線應(yīng)滿足方程：

以下解決“已知橢圓柱面S∶r(u,v)=(acosu,bsinu,v),-π≤u≤π,-∞

2 參數(shù)變換法

2.1 求解橢圓柱面問題

首先給出曲面S的切向量ru和rv，ru=(-asinu,bcosu,0),rv=(0,0,1). 另外給出曲面S的單位法向量[1]

(2)

設(shè)γ是S上的任意測地線，其參數(shù)方程設(shè)為u=u(t),v=v(t),t∈.由于任意曲面上的直線(若存在)都是測地線，從而S上的直母線(u≡常數(shù))為測地線，于是，只需求u′(t)≠0的測地線，作γ的參數(shù)變換使得它以顯式函數(shù)v=f(u),u∈[-π,π]來表示，所以，測地線γ的向量式參數(shù)方程為

r(u)=(acosu,bsinu,f(u)),u∈[-π,π].

對參數(shù)u分別求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，可得

r′(u)=(-asinu,bcosu,f′(u)),

r″(u)=(-acosu,-bsinu,f″(u))，

(3)

則γ的單位切向量為

T(u)=|r′(u)|-1r′(u).

(4)

因此，曲線γ在曲面S上的測地曲率為

所以，γ是測地線當(dāng)且僅當(dāng)(r″,n,T)=0從而由(2),(3),(4)式可得

(5)

此式等價(jià)于

f″(a2sin2u+b2cos2u)=f′(a2-b2)sinucosu.

(6)

(i) 若f′=0，則v=f(u)≡常數(shù)，曲線γ是S上的正截線，即橢圓；

(ii) 若f′≠0，則(6)式等價(jià)于微分方程

再進(jìn)行積分可得

(7)

所以S上的測地線為如下三類曲線，

(a)S上的直母線(v≡常數(shù))；

(b)S上的橫截橢圓(u≡常數(shù))；

(c) 曲線由(7)式確定.

2.2 求解旋轉(zhuǎn)曲面問題

受到該問題的求解方法啟發(fā),下面針對旋轉(zhuǎn)軸為z軸，母線Γ的參數(shù)方程為(φ1(t),φ2(t),φ3(t)),a≤t≤b的旋轉(zhuǎn)曲面.以下給出該旋轉(zhuǎn)曲面的測地線方程.

則可以將旋轉(zhuǎn)曲面記為

其中-∞

和

其中φ′i,i=1,2,3表示φi關(guān)于u求導(dǎo),從而S的單位法向量為

仍然假設(shè)γ是S上的任意測地線，其參數(shù)方程設(shè)為

u=u(t),v=v(t),t∈.

同樣地，由于任意曲面上的直線(若存在)都是測地線，從而S上的直母線(u≡const)為測地線，于是只需求u′(t)≠0的測地線，作γ的參數(shù)變換使得它以顯式函數(shù)v=ω(u),-∞

r′(u)=(A1(ω,ω′,φ,φ′),B1(ω,ω′,φ,φ′),φ′3),

其中

C1(ω,ω′,φ,φ′)=-cosω(φ′)2-sinω(3φφ′ω′+2φ2ω″)-2cosω(φ2(ω′)2-φφ″)，

D1(ω,ω′,φ,φ′)=-sinω(φ′)2+cosω(3φφ′ω′+2φ2ω″)-2sinω(φ2(ω′)2-φφ″).

由2.1節(jié)可知，γ是測地線當(dāng)且僅當(dāng)(r″,n,T)=0,從而可得

由此微分方程可以確定v=ω(u),從而可以給出旋轉(zhuǎn)曲面測地線的方程.

2.3 求解二次曲面問題

由于二次曲面F(x,y,z)=0可以通過轉(zhuǎn)軸變換消去交叉項(xiàng)，所以二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程可以寫為F1(x,y)+F2(z)=0,那么設(shè)F1(x,y)=α(k)[5]，其中k為參數(shù)，由二次曲面標(biāo)準(zhǔn)方程有F2(z)+α(k)=0，則有

其中u,v為參數(shù)從而可以得到

則可將旋轉(zhuǎn)曲面記為

S∶r(u,v)=(f1(u,f3(v)),f2(u,f3(v)),f4(v)).

其中u,v為參數(shù).此時(shí)計(jì)算其切向量，有

仍令v=ω(u)，測地線γ的向量式參數(shù)方程化為

r(u)=(f1(u,f3(ω(u))),f2(u,f3(ω(u))),f4(ω(u))).

可以計(jì)算得到

其中

仍然利用γ是測地線當(dāng)且僅當(dāng)(r″,n,T)=0,從而可得

由此微分方程可以確定v=ω(u),從而可以給出二次曲面測地線的方程.

3 微分方程法

3.1 求解橢圓柱面問題[3]

定理1(Liouville定理)[2]設(shè)(u,v)是曲面S的正交參數(shù)，I=Edudu+Gdvdv，C∶u=u(s),v=v(s)是曲面上一條弧長參數(shù)曲線，設(shè)C與u線的夾角為θ，則C的測地曲率為

那么利用該公式和正交參數(shù)的性質(zhì)，可得測地線的微分方程組[2]為

對于橢圓柱面，消去參數(shù)θ，并將第一基本量E=1,G=a2sin2u+b2cos2u代入可得

(8)

首先利用(8)式解出θ和u關(guān)系

(9)

將(9)式代入(8)式可以解出v和u關(guān)系, 從而可以解得橢圓柱面的測地線方程.

3.2 求解二次曲面問題

設(shè)二次曲面S由隱式方程F(x,y,z)=0確定，?！胷=r(s)是曲面S的一條曲線，由于曲線Γ在點(diǎn)P(x,y,z)的測地曲率

其中

于是曲面S上的曲線Γ在點(diǎn)P的測地曲率為

也就是說由隱式方程F(x,y,z)=0確定的曲面上的測地線的微分方程

(d2yFz-d2zFy)dx+(d2zFx-d2xFz)dy+(d2xFy-d2yFx)dz=0.

若曲面S可以由方程z=f(x,y)給出，那么可以給出測地線微分方程為

事實(shí)上，該方法的推導(dǎo)并未用到二次曲面的信息，也即是說該方程對任意正則曲面都成立.

4 變分法

4.1 求解橢圓柱面問題

利用此定理將原問題轉(zhuǎn)化為求泛函

最小化時(shí)對應(yīng)的曲線方程.利用Euler-Lagrange方程則有[3]

即

積分前兩式可得

(10)

(11)

(12)

將(12)式代入(10)式有

可得

從而得到以弧長為參數(shù)的測地線方程

其中c,d,e,f均為積分常數(shù)，由起始點(diǎn)和終止點(diǎn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)確定.

4.2 求解二次曲面問題

(13)

由(13)式以及隱函數(shù)定理知

從而有

(14)

利用關(guān)系ds2=dx2+dy2+dz2.則有

比較系數(shù)知

解得

(15)

將(15)式代入(14)式可知

從而可以確定

其中s為弧長參數(shù)，c1,c2,c3,c4,c5均為積分常數(shù)[7].事實(shí)上，該方法的推導(dǎo)并未用到二次曲面的信息，同2.3節(jié)相同，該測地線方程對任意正則曲面都成立.

5 曲面展開法

5.1 求解橢圓柱面問題

將橢圓柱面[1]沿其中一條直母線剪開后展為平面上的一個(gè)無限長帶形區(qū)域：s1

可得

(a) 若A=0,則有v≡常數(shù).對應(yīng)橢圓柱面上的橫截橢圓；

5.2 求解可展曲面問題

由于使用該曲面展開法需要找到和平面的等距對應(yīng)，可展曲面在局部上可以和平面建立保長對應(yīng)，從而利用該方法來解決可展區(qū)面的測地線問題.容易知道一個(gè)曲面是可展曲面的充分必要條件是它的高斯曲率為0. 可展曲面分三類：柱面、錐面和切線面[2]. 下面針對這三種曲面各給出一個(gè)求其上的測地線的例子.

例1仍將雙曲柱面沿一條直母線剪開后展為平面上的一個(gè)帶形區(qū)域：

s1

As+Bv+c=0.

另一方面

故得

所以，已知橢圓柱面上所求的測地線方程為

其中A,B不全為0，從而S上的測地線為如下三類曲線：

(a) 若A=0,則有v≡常數(shù).對應(yīng)雙曲柱面上的雙曲線；

例2同例1的方法，將二次錐面沿一條直母線剪開后展為平面上的一個(gè)扇形區(qū)域，可將該區(qū)域用延拓成一個(gè)帶形區(qū)域:s1

r(u)=(acosu,bsinu,0), -π

的弧長函數(shù)，可以求得測地線方程為

A,B,C的討論類似4.1節(jié)橢圓柱面的展開.

例3對于圓柱螺線r(t)=(acost,asint,bt)，t為參數(shù)，并以k0和τ0表示其曲率與撓率，則其以弧長為參數(shù)的曲線方程為

其中s為弧長參數(shù)，根據(jù)切線面的定義r(s,t)=r(s)+tr′(s)，其中t為參數(shù)，則可知

下同例1的方法，將該圓柱螺線的切線面展開成一個(gè)帶形區(qū)域s1

6 結(jié) 論

本文由一道大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題出發(fā)，通過對題目的分析，運(yùn)用四種方法求解橢圓柱面的測地線問題，并由此推廣到旋轉(zhuǎn)曲面、二次曲面或可展曲面的測地線求解，這四種方法各有特點(diǎn)和優(yōu)劣，因此對于不同問題選用不同的方法是非常有必要的.

例如參數(shù)變換法將v看作f(u),導(dǎo)出微分方程[8]，它能夠給出具體的曲面分類, 比較清楚和直觀.另外它可以給出旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面的一般方法，通用性較強(qiáng).微分方程法利用Liouville公式導(dǎo)出測地線微分方程組,它不容易給出具體的曲面分類，不夠直觀，但是相對來說表述較為簡潔，它也可以給出旋轉(zhuǎn)曲面、二次曲面和一般正則曲面的一般求解測地線方程方法，通用性也較強(qiáng).變分法利用測地線的極小性質(zhì)考慮變分問題，借助Lagrange乘子法得到歐拉方程，引入弧長參數(shù)同樣可以給出測地線微分方程，類似于微分方程法，它不容易給出具體的曲面分類，它可以給出一般曲面求解測地線方程方法，通用性同樣較強(qiáng).曲面展開法利用等距對應(yīng)將曲面上的問題轉(zhuǎn)化為平面問題，方法簡單巧妙，形象直觀.但是該方法需要找到可展曲面才能使用，通用性不夠強(qiáng).

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.