孟亞鵬，李文鋒，謝正超

(1.泛亞汽車技術(shù)中心有限公司，上海 201201；2.華南理工大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院，廣東廣州 510640)

0 前言

作為汽車底盤中不可或缺的一部分，汽車懸架系統(tǒng)在提高乘坐舒適性、改善操縱穩(wěn)定性和優(yōu)化道路友好性方面起著非常重要的作用。懸架系統(tǒng)通常包含被動懸架系統(tǒng)、半主動懸架系統(tǒng)和主動懸架系統(tǒng)3種類型。由于主動懸架系統(tǒng)配備了一個獨立作動器,能夠有效改善懸架系統(tǒng)各性能間的矛盾關(guān)系，進而提升懸架系統(tǒng)的綜合性能，所以主動懸架系統(tǒng)已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點之一。近年來，大量的控制方法被開發(fā)應(yīng)用到主動懸架系統(tǒng)上來，例如自適應(yīng)控制、滑?？刂?、預(yù)瞄控制、最優(yōu)控制和H控制等。值得注意的是，H控制方法在主動懸架控制分析與設(shè)計中引起了較為廣泛的討論，尤其是在注重控制魯棒性和干擾抑制性能的背景下，更加引人關(guān)注。

在汽車懸架系統(tǒng)控制的分析與設(shè)計中，核心目標(biāo)是抑制路面干擾產(chǎn)生的振動，以提高汽車的乘坐舒適性。在現(xiàn)有的控制方法中，大多數(shù)都是針對全頻域的路面干擾進行分析。然而現(xiàn)實中路面激勵的頻率往往屬于一個特定頻率區(qū)間。此外，根據(jù)ISO-2631,人體對4～8 Hz的垂直振動更為敏感，甚至由于和人體器官的振動頻率相近，二者產(chǎn)生共振，對人體造成傷害。因此，針對有限頻域約束的主動懸架系統(tǒng)進行控制分析與設(shè)計顯得更有意義。為了解決有限頻域下的控制問題，文獻[11]提出了一種廣義KYP引理，搭建了頻域不等式與時域線性矩陣不等式等價轉(zhuǎn)換的橋梁?；趶V義KYP引理，大量的研究成果被發(fā)表并獲得了較好的工程應(yīng)用。其中，SUN等針對主動懸架系統(tǒng)提出了一種有限頻域控制方法，仿真結(jié)果驗證了所提的有限頻域控制方法在特定頻率段內(nèi)能夠進一步改善懸架的乘坐舒適性。值得指出的是，有限頻域控制能夠最大程度地抑制所關(guān)注頻域內(nèi)的擾動，而適當(dāng)放寬對其他頻域內(nèi)的擾動抑制效果。然而，上述有限頻域控制方法必須在所有懸架狀態(tài)信息均能在線獲得的情況下才能作用于懸架系統(tǒng)。在實際懸架系統(tǒng)中必然存在部分狀態(tài)變量無法通過商用傳感器獲得的情況，因此上述方法具有嚴(yán)峻的可行性問題。基于此考慮，輸出反饋控制的研究漸漸引起了學(xué)者們的注意。文獻[16]提出了一種基于單步法的有限頻域靜態(tài)輸出反饋控制，但是該方法需要一個正定矩陣來完成變量替換，在存在時滯、不確定性等情況下該條件不能得到滿足。

因此，本文作者針對汽車主動懸架系統(tǒng)提出了一種基于啟發(fā)式兩步法的有限頻域靜態(tài)輸出反饋控制方法。首先，提出一種特定頻域下的H性能指標(biāo)判據(jù)，針對性考慮了敏感頻域內(nèi)擾動的抑制性能，有助于進一步提升車輛的乘坐舒適性；其次，提出一種有限頻域靜態(tài)輸出反饋控制的設(shè)計與優(yōu)化算法，消除了對完整狀態(tài)信息的在線依賴，保證了控制器的工程可行性；最后，通過數(shù)值仿真和臺架試驗證實了該方法能很好地抑制外界擾動，從而有效地提高懸架系統(tǒng)的乘坐舒適性。

1 問題描述

文中考慮一種典型的二自由度1/4車主動懸架模型，如圖1所示。

圖1 1/4車主動懸架模型

其動力學(xué)方程如下：

(1)

其中：和分別代表簧上質(zhì)量和簧下質(zhì)量；()、()和()分別代表車身位移、輪胎位移及路面干擾不平度；和分別表示懸架剛度和阻尼系數(shù)；和分別代表輪胎剛度和阻尼系數(shù)；()表示作動器的主動力。選取狀態(tài)向量如下：

(2)

由于()-()含有路面不平度信息，無法通過低成本傳感器獲得，故文中的測量輸出向量選取如下：

(3)

(4)

其中：表示懸架行程的最大值。

(5)

其中：

文中考慮的靜態(tài)輸出反饋控制器形式如下：

()=()=()

(6)

綜上所述，可以得到主動懸架閉環(huán)系統(tǒng)表達式如下所示：

(7)

其中：=+,=，=+，=0。

文中的目標(biāo)是提出一種形式如式(6)的控制器設(shè)計方法，使得下列條件成立：

(1)閉環(huán)系統(tǒng)(7)在干擾為零的情況下漸近穩(wěn)定；

(2)使得車身加速度在考慮頻率范圍內(nèi)滿足H性能，即

(8)

其中：(j)表示到的傳遞函數(shù)。

(3)主動懸架機械約束得到滿足，即

|[()]|≤1=1,2

(9)

2 控制設(shè)計

將提出一種基于啟發(fā)式兩步法的有限頻域靜態(tài)輸出反饋控制方法，以進一步提升主動懸架系統(tǒng)的綜合性能。首先，給出如下兩個引理。

引理1：針對任意線性狀態(tài)空間表達系統(tǒng)(,,,)和一個對稱矩陣，下面的兩個條件等價:

(1)頻域內(nèi)的不等式：

(10)

(2)存在對稱矩陣和正定矩陣>0，下式成立：

(11)

其中：

首先，容易得知式(10)可以寫成如下形式：

<0

(12)

其中：

然后，通過選取Lyapunov正定函數(shù)()=()()，閉環(huán)系統(tǒng)(7)可以通過下面的不等式來保證漸近穩(wěn)定性要求：

(13)

其中：

引理2：給定正標(biāo)量、及控制器形式如式(6)，閉環(huán)系統(tǒng)(7)滿足漸近穩(wěn)定性并且獲得期望性能(8)和(9)，若存在對稱矩陣、>0,>0和一般矩陣、及一個正標(biāo)量使得下式成立：

(14)

(15)

(16)

則有限頻域狀態(tài)反饋增益系數(shù)的求解算式為

=

(17)

其中：[]表示+。

2.1 系統(tǒng)控制分析

綜上所述，給出系統(tǒng)控制分析的定理如下：

定理1：給定正標(biāo)量、及控制器形式如式(6)，閉環(huán)系統(tǒng)(7)滿足漸近穩(wěn)定性并且獲得期望性能(8)和(9)，如果存在對稱矩陣、>0,>0和一般矩陣和使得下式成立：

++<0

(18)

(19)

(20)

其中：如式(12)所示，如式(13)所示，且

對于上述定義的矩陣、、和，下列關(guān)系成立：

(21)

接下來討論的是主動懸架系統(tǒng)的機械約束?；谏鲜鲇懻摚韵虏坏仁匠闪ⅲ?/p>

(22)

對式(18)兩端同時進行0到的積分，則以下不等式成立：

(23)

(24)

其中：(·)表示的是矩陣的最大特征值。因此，系統(tǒng)的機械約束(9)可以通過下式得到保證：

(25)

其中，基于舒爾補定理，式(25)可以改寫為式(20)。

至此，證明完成。

在定理1的基礎(chǔ)上，接下來提出一個用于控制器反饋系數(shù)求解的新定理，如下：

定理2：給定正標(biāo)量、及控制器形式如式(6)，閉環(huán)系統(tǒng)(7)滿足漸近穩(wěn)定性并且獲得期望性能(8)和(9)，如果存在對稱矩陣、>0,>0和一般矩陣、和使得下式成立：

++<0

(26)

(27)

(28)

進一步，靜態(tài)輸出反饋系數(shù)的求解算式為

=

(29)

其中，，和的定義與前文一致，且

證明：根據(jù)式(19)容易得知+<0，即矩陣是可逆矩陣。接著作如下矩陣替換：

=，=()

(30)

因此，在定理1的基礎(chǔ)上，式(26)—式(28)成立。

至此，證明完成。

2.2 系統(tǒng)控制求解

定理2給出了一個求解靜態(tài)輸出反饋系數(shù)的充分條件，然而矩陣不等式中存在未知矩陣和的耦合。換言之，定理2的條件不再是線性矩陣不等式的形式了，無法直接求解。在文獻[17]的啟發(fā)下，未知矩陣可以提前設(shè)定為一個有限頻域狀態(tài)反饋增益，從而使得定理2中的矩陣不等式可以直接求解。由引理2得到一個有限頻域狀態(tài)反饋增益是可行的，在此基礎(chǔ)上，有限頻域靜態(tài)輸出反饋控制器可以通過求解下列優(yōu)化問題獲得：

(31)

進一步，文中提出的基于啟發(fā)式兩步法的主動懸架系統(tǒng)有限頻域控制器求解步驟總結(jié)如下：

步驟 1，通過運行引理2尋求一個合適的有限頻域狀態(tài)反饋增益系數(shù)；

步驟 2，求解最優(yōu)化問題(31)并獲得期望的有限頻域靜態(tài)輸出反饋增益系數(shù)。

3 仿真分析與試驗驗證

為了評估和驗證文中所提控制方法的有效性，采用圖2所示的主動懸架設(shè)備進行數(shù)值仿真和臺架試驗。主動懸架設(shè)備主要部件的介紹如圖2所示，懸架參數(shù)如表1所示。與控制求解相關(guān)的參數(shù)選取為=4 Hz,=8 Hz,=500及=0.9。通過MATLAB LMI工具箱的MINCX函數(shù)，按照啟發(fā)式兩步法可以求解得到有限頻域輸出反饋控制的性能指標(biāo)為=4.290 2，其反饋增益系數(shù)為=[591.300 5 -66.097 3 -0.589 4]。

圖2 主動懸架設(shè)備

表1 主動懸架試驗臺參數(shù)

同樣地，根據(jù)所提有限頻域輸出反饋控制器設(shè)計的基本思路，可以獲得一個全頻域輸出反饋的性能指標(biāo)為=14.356 6，其反饋增益系數(shù)為=[460.166 7 -61.694 6 1.217 1]。

基于得到的控制器參數(shù)，通過Bode函數(shù)可以得到如圖3所示的車身加速度頻域響應(yīng)曲線。可以看出：相比較無控制器的被動懸架系統(tǒng)，搭載有限頻域輸出反饋控制器和全頻域輸出反饋控制器的主動懸架系統(tǒng)能夠產(chǎn)生較低的車身加速度，這說明兩種控制器均具有良好的干擾抑制性能；其次可以看出與全頻域輸出反饋控制器相比，有限頻域輸出反饋控制器在干擾抑制方面更具優(yōu)越性，這說明有限頻域控制器比全頻域控制器能更好地抑制路面擾動，從而獲得更好的乘坐舒適。換句話說，車身加速度頻域響應(yīng)驗證了所提有限頻域輸出反饋控制方法的優(yōu)越性。

圖3 車身加速度頻域響應(yīng)

為了進一步評估主動懸架控制系統(tǒng)在時域內(nèi)的性能，采用如圖4所示的主動懸架試驗臺進行實驗分析與驗證?？紤]到在控制設(shè)計過程中面向的是一般路面激勵，選取兩種典型路面形式開展實驗和仿真研究。首先給出如下脈沖路面激勵：

圖4 主動懸架系統(tǒng)試驗圖

=3 s

(32)

圖5為懸架系統(tǒng)在脈沖路面干擾下的響應(yīng)曲線。從圖5(a1)(b1)中可以看出有限頻域控制器比全頻域控制器產(chǎn)生更小的車身加速度值，這顯示著有限頻域控制器能更好地抑制振動，從而提高車輛的乘坐舒適性。從圖5(a2)(b2)(a3)(b3)中可以看出相對懸架動行程和相對輪胎動載荷均小于1，這說明了有限頻域控制器和全頻域控制器均可使懸架系統(tǒng)滿足機械硬約束，處于穩(wěn)定的工況。從圖5(a4)(b4)中可以看出兩種控制器的主動力輸入均小于20 N，其中有限頻域的主動力略大，這也是產(chǎn)生更好振動抑制性能的支撐。綜上所述，脈沖路面激勵的實驗和仿真結(jié)果驗證了有限頻域控制器的有效性和優(yōu)越性。

圖5 脈沖激勵下系統(tǒng)響應(yīng)

其次，給出頻率為4 Hz的正弦路面激勵進行實驗和仿真，如下：

()=001sin(2π)

(33)

其中：=4 Hz。

從圖6(a1) (b1)中可以看出所提出的有限頻域控制器相較于全頻域控制器能更好地抑制振動。這說明了有限頻域輸出反饋控制方法在提升懸架系統(tǒng)乘坐舒適性具有良好的效果。從圖6(a2)(b2)(a3)(b3)可以看出懸架系統(tǒng)的機械約束包括相對懸架動力行程和相對輪胎動載荷均在規(guī)定范圍內(nèi)，這說明了懸架系統(tǒng)處于一個穩(wěn)定的工況。從圖6(a4)(b4)可以看出執(zhí)行器主動力幾乎限制在15 N之內(nèi)，這顯示了執(zhí)行器的輸出是可行的。綜合所述，文中提出的有限頻域輸出反饋器在提升車輛乘坐舒適性方面具有較好的優(yōu)越性。

圖6 正弦激勵下系統(tǒng)響應(yīng)

總而言之，實驗和仿真結(jié)果說明了所提有限頻域控制方法能更好地提升車輛乘坐舒適，同時保證了懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

針對有限頻域干擾下的主動懸架系統(tǒng)，以提升懸架系統(tǒng)乘坐舒適性和滿足其機械硬約束為目標(biāo)，提出一種基于啟發(fā)式兩步法的輸出反饋控制算法。首先，給出了一種有限頻域性能指標(biāo)判據(jù)，通過引入合適的乘子矩陣推導(dǎo)出了懸架系統(tǒng)性能分析的充分條件。其次，通過應(yīng)用矩陣變換分離了充分條件中的矩陣耦合項，進一步得到了用于有限頻域控制器設(shè)計的可求解充分條件?；趩l(fā)式算法，提出一種具有兩步的有限頻域輸出反饋控制的新方法。與全頻域控制方法相比，文中提出的基于啟發(fā)式兩步法的有限頻域輸出反饋控制方法體現(xiàn)了更好的擾動抑制性能。最后，仿真分析和試驗結(jié)果證明了文中提出的新方法比傳統(tǒng)的全頻域控制方法具有更好的控制效果，能更好地提升懸架系統(tǒng)的綜合性能。