楊新蕓 王 超

(鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 224002) (南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 210024)

近年來，高階思維成為基礎(chǔ)教育研究的熱點(diǎn)．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》再一次強(qiáng)調(diào)了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而高階思維正是落實(shí)核心素養(yǎng)的重要途徑．同時(shí)，數(shù)學(xué)解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，本文試圖以一道中考數(shù)學(xué)題為例探究如何更好地開展指向高階思維的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)．

1 高階思維的內(nèi)涵

所謂高階思維，Resnick指出高階思維是非算法的、復(fù)雜的，可能會產(chǎn)生多種解決方案，需要應(yīng)用多種標(biāo)準(zhǔn)，自我調(diào)節(jié)，而且往往具有不確定性．鐘志賢認(rèn)為高階思維就是發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或較高層次的認(rèn)知能力．布魯姆的教育目標(biāo)分類理論將認(rèn)知領(lǐng)域分為知識、領(lǐng)會、運(yùn)用、分析、綜合和評價(jià)，而高階思維在教學(xué)目標(biāo)分類中表現(xiàn)為分析、綜合、評價(jià)．段茂君、鄭鴻穎等人認(rèn)為高階思維是指能夠批判性、創(chuàng)造性地解決復(fù)雜問題并體現(xiàn)不規(guī)則性、復(fù)雜性、多樣性、不確定性、自我調(diào)節(jié)性等特征的高水平心智活動(dòng)．Hwang等人認(rèn)為高階思維包括批判性思維、創(chuàng)造性思維及問題解決能力三部分．Lewis等人認(rèn)為高階思維包括批判性思維、問題解決、決策、創(chuàng)造性思維等．另外，還有周瑩等人認(rèn)為數(shù)學(xué)高階思維包括數(shù)學(xué)批判性思維、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維、數(shù)學(xué)問題解決能力和數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力等．

下面，本文將從解題能力、創(chuàng)新性思維以及批判性思維等方面來探討如何在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，希望能對初中數(shù)學(xué)教學(xué)有所裨益．

2 指向高階思維的解題教學(xué)活動(dòng)

例題

(2021年蘇州中考第18題)如圖1，射線

OM

,

ON

互相垂直，

OA

=8，點(diǎn)

B

位于射線

OM

的上方，且在線段

OA

的垂直平分線

l

上，連結(jié)

AB

，

AB

=5，將線段

AB

繞點(diǎn)

O

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段

A

′

B

′，若點(diǎn)

B

′恰好落在射線

ON

上，則點(diǎn)

A

′到射線

ON

的距離

d

=

．

圖1

2

.

1 搭橋建路 提高學(xué)生問題解決能力

學(xué)生在解決問題時(shí)常常會遇到思維障礙，教師自然不能直接呈現(xiàn)答案，而是應(yīng)該建立起從問題到結(jié)論的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生自己突破思維障礙，從題設(shè)條件走到解決問題的終點(diǎn)，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

問題1 旋轉(zhuǎn)具有哪些性質(zhì)？結(jié)合題圖，我們可以得到哪些條件呢？(可以適當(dāng)添加輔助線)

圖2

分析 旋轉(zhuǎn)不改變形狀，故有

AB

=

A

′

B

′=5，由對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等可知

OA

=

OA

′=8，

OB

=

OB

′，由任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等可知∠

AOA

′=∠

BOB

′，等等

.

于是學(xué)生就自然而然地連結(jié)線段

OB

,

OA

′，這就構(gòu)成兩個(gè)新的三角形△

OAB

和△

OA

′

B

′(圖2)．

問題2 我們最終要求的是什么，在圖中又可以怎樣表示？

分析 題目要求的是點(diǎn)

A

′到射線

ON

的距離

d

．過點(diǎn)

A

′作

A

′

G

⊥

ON

，垂足為

G

，要求的距離

d

即為線段

A

′

G

的長度．

問題3 這時(shí)候圖上有哪些特殊的圖形，哪些又是與我們最終要求的結(jié)果相關(guān)的？

分析 其實(shí)圖中的特殊圖形很多：△

OA

′

B

′也可以通過△

OAB

旋轉(zhuǎn)得到，所以二者全等；圖中還有一系列直角三角形，進(jìn)一步分析就可以發(fā)現(xiàn)這些直角三角形的對應(yīng)角分別相等．結(jié)合我們要求的

A

′

G

的長度，可以發(fā)現(xiàn)

A

′

G

既可以看做Rt△

OA

′

G

的一條直角邊也可以看做△

OA

′

B

′里邊

OB

′上的高．

這三個(gè)問題的目的在于引導(dǎo)學(xué)生從題目所給的條件出發(fā)進(jìn)行分析，然后從所要求的結(jié)果出發(fā)進(jìn)行分析，最后綜合對條件和結(jié)論的分析，建構(gòu)從條件到結(jié)論的橋梁．這些問題也是一些比較通用的問題，對于其他問題的求解也具有一定的適應(yīng)性，長期如此提問，學(xué)生可以逐漸內(nèi)化問題串為自己的解題策略，在解決其他問題過程中能夠?qū)ψ约禾岢鲞@類問題，從而自己搭建解題的橋梁，逐步提高自己解決問題的能力．

2

.

2 一題多解 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維

教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度多方位思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維．根據(jù)上面對題目的分析，可以從兩個(gè)方向去思考：一是將

A

′

G

看做Rt△

OA

′

G

的一條直角邊，二是將其看做△

OA

′

B

′中邊

OB

′上的高

.

由此可以得到以下三種不同解法．解法1 (三角形相似)設(shè)

OA

的垂直平分線

l

交射線

OM

于點(diǎn)

F

．有

OB

=

AB

=5，

OF

=

FA

=4．由勾股定理可得

BF

=3．由于

A

′

B

′是由

AB

繞點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)所得，故有

OA

=

OA

′=8，∠

AOB

=∠

A

′

OB

′．又由∠

OG

′

A

=∠

OFB

=90°，所以△

OA

′

G

∽△

OBF

．故有代入可得解法2 (三角函數(shù))設(shè)

OA

的垂直平分線

l

交射線

OM

于點(diǎn)

F

，有

OB

=

AB

=5，

OF

=

FA

=4．由勾股定理可得

BF

=3．由于旋轉(zhuǎn)，有

OA

=

OA

′=8，∠

AOB

=∠

A

′

OB

′，也就有sin∠

AOB

=sin∠

A

′

OB

′，即代入可得解法3 (等積法)設(shè)

OA

的垂直平分線

l

交射線

OM

于點(diǎn)

F

，則

OB

=

AB

=5，

OF

=

FA

=4．由勾股定理可得

BF

=3．由旋轉(zhuǎn)易證得 △

OA

′

B

′≌△

OAB

，故

S

△′′=

S

△，即代入可得

圖3

一方面教師通過展示不同解法，鼓勵(lì)學(xué)生不局限于一種方法解題，從多方面、多角度去看待問題，讓學(xué)生發(fā)散思維．但另一方面要讓學(xué)生明白這些不同解法之間并不是完全沒有聯(lián)系的，它們在本質(zhì)上具有一致性．這道題的三種解法都?xì)w結(jié)于通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)尋找相等條件，構(gòu)造全等三角形．同時(shí)我們也要用批判性的思維去看待各種解法．例如，有學(xué)生構(gòu)造了線段

BF

旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段

B

′

H

，通過射影定理或等積法求出點(diǎn)

H

到射線

ON

的距離

HE

，再通過中位線定理求得點(diǎn)

A

′到射線

ON

的距離(圖3)．不得不表揚(yáng)學(xué)生是細(xì)致且全面地分析了題目中的條件的，但是對于條件與結(jié)論之間的本質(zhì)聯(lián)系還是理解得不夠透徹，所以迂回地先去求了點(diǎn)

H

到射線

ON

的距離．

2

.

3 變式訓(xùn)練 促進(jìn)學(xué)生的深層理解

通過一道題目的講解讓學(xué)生透徹領(lǐng)悟一個(gè)類型的題目往往很難．為了讓學(xué)生更加深刻地感受線段繞線段外一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問題，就補(bǔ)充了變式1．

變式1 如圖4，射線

OM

,

ON

互相垂直，

OA

=6，點(diǎn)

B

位于射線

OM

的上方，且在線段

OA

的垂直平分線

l

上，連結(jié)將線段

AB

繞點(diǎn)

O

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段

A

′

B

′

.

若點(diǎn)

B

′恰好落在射線

ON

上，那么線段

AB

旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過的面積為

．

圖4 圖5

根據(jù)旋轉(zhuǎn)添加輔助線

OA

′,

OB

，這樣我們就又構(gòu)成了兩個(gè)全等三角形△

OAB

和△

OA

′

B

′．要求線段

AB

旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過的面積，也就是求圖5中陰影部分的面積．通過割補(bǔ)可得到

S

=

S

扇形′-

S

△+

S

△′′-

S

扇形′=

S

扇形′-

S

扇形′，從而由扇形面積公式就可計(jì)算出結(jié)果．但是這樣的割補(bǔ)稍有一些復(fù)雜，學(xué)生可能會出現(xiàn)一些小問題．實(shí)際上我們可以把思路稍加轉(zhuǎn)換：由于△

OA

′

B

′可以由△

OAB

得到，我們就可以將左上角的一小塊陰影部分旋轉(zhuǎn)到右下角(圖6)，這時(shí)候就很容易得到陰影部分的面積

S

=

S

扇形′-

S

扇形．

圖6

變式2 在直角坐標(biāo)系

xOy

中，

A

(3,4),

B

(6,-2)，線段

AB

繞點(diǎn)

O

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段

A

′

B

′，使一端點(diǎn)正好落在

y

軸上，試求另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)．變式3 在直角坐標(biāo)系

xOy

中，

A

(

a

,

b

),

B

(

a

,

b

)，線段

AB

繞點(diǎn)

O

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段

A

′

B

′，使一端點(diǎn)正好落在

y

軸上，試用

a

,

b

,

a

,

b

的代數(shù)式表示另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)．變式2和變式3是在直角坐標(biāo)系的情境下考慮原題的一般化，題目中沒有明確指出旋轉(zhuǎn)之后哪個(gè)端點(diǎn)落在

y

軸上，需要分類討論．變式2探究的是線段

AB

與

x

軸相交的情況，變式3則是將線段

AB

更加一般化為任意的線段，解題所需的思維層次也更高．在這樣的情況下，我們依然可以類比之前的方法，將

A

′

G

看做△

OA

′

B

′中邊

OB

′上的高，通過等積法進(jìn)行求解．

2

.

4 解題反思 培養(yǎng)學(xué)生批判性思維

解題后進(jìn)行反思，這是學(xué)生應(yīng)該養(yǎng)成的好習(xí)慣，所以在解題教學(xué)的最后也要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行批判性的反思．一方面是要讓學(xué)生對自己、對他人進(jìn)行批判，也就是用批判性的眼光對自己以及同學(xué)的解題過程進(jìn)行思考；另一方面也是引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度、多個(gè)方面對整節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行反思總結(jié)，促進(jìn)學(xué)生更好地完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．下面是針對例題的教學(xué)提出的一系列的反思型問題：

問題1 解決上面一系列問題的過程中我們運(yùn)用到了哪些知識和解題方法？

問題2 我們是怎樣對題目進(jìn)行思考分析的？

問題3 在解決問題的過程中大家都出現(xiàn)了哪些錯(cuò)誤？如何避免出現(xiàn)這些錯(cuò)誤？

問題4 在自己解題的過程中你遇到了怎樣的障礙？又該如何突破這樣的障礙？

其中問題1和問題2是對這節(jié)課內(nèi)容的總結(jié)與反思，加深對所涉及的旋轉(zhuǎn)、全等和相似、三角函數(shù)等知識以及這些知識之間聯(lián)系的印象，對等積法、割補(bǔ)法等解題方法以及解題策略進(jìn)一步回憶、整合，使學(xué)生能夠較好地將知識串聯(lián)起來，完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．問題3和問題4則是對自己以及對他人的批判，批判性地反思在解題過程中出現(xiàn)的問題和困難，進(jìn)一步梳理如何在下次解題的過程中避免出現(xiàn)這樣的問題，突破這樣的障礙．

3 指向高階思維的解題教學(xué)的幾個(gè)注意點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握知識與技能，更重要的是要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中增長智慧．所以在指向高階思維的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中還有以下一些要注意的問題．

3

.

1 教學(xué)內(nèi)容重構(gòu)

數(shù)學(xué)解題教學(xué)不應(yīng)該只是簡單地將學(xué)生需要講解的題目按序號一一進(jìn)行講解，教師應(yīng)當(dāng)在解題教學(xué)前做好充足的準(zhǔn)備工作

.

一方面，要將所要講解的題目進(jìn)行深入的剖析

.

同一章節(jié)的題目會側(cè)重不同的知識點(diǎn)，同一知識點(diǎn)下的題目會涉及不同的解法，不同章節(jié)的題目也可能具有相同的解題思路．教師要做的就是將這些題目分類以及串聯(lián)，將同一類型的題目放在一起講解．另一方面，要適當(dāng)拓展題目

.

有時(shí)僅憑一兩道例題難以使學(xué)生真正領(lǐng)悟某一類題型或者某一種思想方法的本質(zhì)，需要適當(dāng)增加一些不同情境、不同思維層次的變式練習(xí)，這樣才能使學(xué)生得到能力上的鍛煉．

3

.

2 課堂需要通過開放性問題串聯(lián)

傳統(tǒng)的課堂提問更傾向于采用封閉的、單一的、指向性明確的問題．在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的課堂中，很多教師也都習(xí)慣性地把解題過程拆成細(xì)碎的小問題，例如“題目中已知

AB

=

OB

，那么△

OAB

是什么特殊三角形呢？”這種問題學(xué)生不需要多加思索就能脫口回答，于是整道題的教學(xué)過程無比順暢，學(xué)生對每一個(gè)問題都能輕松回答，但再次遇到這一類的問題時(shí)學(xué)生還是束手無策．所以指向高階思維的數(shù)學(xué)解題課堂需要用開放性問題代替封閉式問題．開放性問題不是學(xué)生用一個(gè)字、一個(gè)詞就能簡單回答的，它需要學(xué)生經(jīng)歷一定的思考、推理．并且部分問題應(yīng)該具有一般性，能夠使學(xué)生將其逐漸內(nèi)化為自己的解題策略或者一種解題思路．

3.3 教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生自我分析評價(jià)的能力

在進(jìn)行解題教學(xué)前，教師可以先制作一張錯(cuò)題分析表，大致如表1所示．

表1 錯(cuò)題分析表

錯(cuò)題題號錯(cuò)誤原因分析解題方法主要涉及的知識點(diǎn)涉及的其他知識點(diǎn)

讓學(xué)生在課前進(jìn)行自我分析評價(jià)、嘗試完成此表．經(jīng)過教師的講解后，進(jìn)一步補(bǔ)充、完善此表．通過此表，學(xué)生可以更加清晰地了解自己欠缺的知識以及未能完全掌握的方法．