武前煒

(安徽省合肥一六八陶沖湖中學(xué) 230601)

作為學(xué)科知識的重要載體，教材的重要作用和基礎(chǔ)地位不容置疑

.

在教學(xué)過程中，教師要正確使用教材，更要創(chuàng)造性地使用教材，在課本的基礎(chǔ)上適時、適當、適度地進行延伸與發(fā)散，重視課本的本源性

.

中考試卷中一些關(guān)鍵位置的題目具有較強的思維發(fā)散性，決定著整張試卷的區(qū)分度，但是發(fā)散的“源頭”往往來自課本，課本習(xí)題承擔(dān)著幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)基本技能的重要功能，特別是一些經(jīng)典例題、習(xí)題是十分有價值的教學(xué)資源，也是很多中考題源的根

.

重視經(jīng)典習(xí)題的探究學(xué)習(xí)、改編，能很好地幫助學(xué)生整合知識、探索規(guī)律、形成方法、獲得經(jīng)驗，從而發(fā)展思維，提升素養(yǎng)，達到“做一題、會一類、通一片”的高效追求

.

1 題目呈現(xiàn)

如圖1，

AB

是⊙

O

的直徑，

C

,

D

是⊙

O

上兩點，點

C

是的中點，過點

C

作

AD

的垂線

.

圖1

(1)求證：

CE

是⊙

O

的切線；(2)若求cos∠

ABD

的值．本題為2021年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)第21題

.

2 追根溯源

本題以滬科版數(shù)學(xué)九年級下冊第24章《圓》第69頁第14題題干為基礎(chǔ)，挖掘幾何關(guān)系，可謂“根”在課本

.

圖2

(課本原題)已知：如圖2，

AB

為⊙

O

的直徑，點

C

在⊙

O

上，

AD

與過點

C

的切線垂直，垂足為

D.

求證：

AC

平分∠

DAB.

題目蘊含豐富的幾何關(guān)系，比如圓周角定理、切線性質(zhì)、垂徑定理、角平分線性質(zhì)、弦切角定理、三角形相似、圓內(nèi)接四邊形等，這些內(nèi)容對鍛煉學(xué)生的識圖能力、辨析能力、推理能力以及轉(zhuǎn)化意識都有重要的作用

.

正如葉圣陶所說：“教材只是個例子

.

”作為教師在教學(xué)中要依托課本習(xí)題，從不同的角度、不同的層面、不同的條件進行拓展研究，挖掘問題本質(zhì)，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，強化知識理解與應(yīng)用，發(fā)揮習(xí)題最大功效，從而幫助學(xué)生跳出“題?！?p>.

3 解法探究

圖3

分析 (1)如圖3，連結(jié)

OC

交

BD

于點

G.

由

C

是的中點，可得

OC

⊥

BD

，且點

G

為

BD

中點

.

從而可得

OC

∥

AE

，于是

OC

⊥

EC

，即

CE

是⊙

O

的切線

.

(2)連結(jié)

BC

,由

C

是的中點，所以

CD

=

BC.

因為不妨設(shè)從而

解法1

(射影定理) 設(shè)

FG

=

a

，于是

BG

=

DG

=

a

+1

.

因為

AB

是⊙

O

的直徑，于是∠

BCF

=90°

.

在Rt△

BCF

中，

BC

=

BG

·

BF

，即解得

a

=1(負值舍去)

.

于是可證△

ADF

≌△

CGF

(AAS)，從而

AD

=

CG.

由點

O

,

G

分別為

AB

,

BD

的中點，可知即在Rt△

BOG

中，可知

解法2

(相似) 因為點

C

是的中點，根據(jù)圓周角定理可得∠

DAC

=∠

CDF

,于是△

CDF

∽△

CAD

，于是不妨設(shè)

圖4

如圖4，延長

AB

,

EC

交于點

H.

因為∠

ADC

=∠

ADB

+∠

BDC

=90°+∠

BDC

,∠

ACH

=∠

OCH

+∠

ACO

=90°+∠

ACO

,而∠

ACO

=∠

OAC

=∠

BDC

,于是∠

ADC

=∠

ACH

,所以△

ADC

∽△

ACH

，則

AC

=

AD

·

AH

，解得

AH

=6

.

設(shè)⊙

O

半徑為

r

，則

OA

=

OB

=

OC

=

r

，由△

ADB

∽△

OCH

,可得即解得(負值舍去)

.

在Rt△

ABD

中，可知

解法3

(相似+勾股定理) 由

BD

∥

EC

，可知∠

ECD

=∠

CDB

,而點

C

是的中點，于是可得∠

ECD

=∠

EAC

，從而△

ECD

∽△

EAC

，于是

EC

=

ED

·

EA.

設(shè)

EC

=

a

,

ED

=

b

，則

a

=

b

·(

b

+1)

.

由解法2知不妨設(shè)

AD

=1，在Rt△

ACE

中，由勾股定理得

AC

=

AE

+

EC

,即解得于是

CG

=

ED

=1

.

由點

O

,

G

分別為

AB

,

BD

的中點，可知即在Rt△

BOG

中，可知

4 解后反思

本題源自一道有價值的課本習(xí)題

.

圖形中蘊含豐富的內(nèi)涵，如“題目中的三個論斷：①

CE

⊥

AD

；②

CE

是⊙

O

切線；③點

C

是的中點，可知二推一”、根據(jù)圓的性質(zhì)導(dǎo)出等角產(chǎn)生很多相似結(jié)構(gòu)、四邊形

ABCD

為對角互補且鄰邊

BC

=

CD

具有旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)、

AC

平分∠

DAB

具有對稱結(jié)構(gòu)

.

通過圖形結(jié)構(gòu)剖析，對培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性十分有益

.

備考階段，選取有價值的素材，展開全面研究，引導(dǎo)學(xué)生研究試題的“內(nèi)涵”、解法、變式以及推廣，構(gòu)建知識鏈條，形成知識體系，落實核心素養(yǎng)

.

本題求解中條件在使用中可以根據(jù)需要利用等線段或者相似比靈活轉(zhuǎn)化，而問題求解的余弦值實質(zhì)上也是比值關(guān)系，為了簡化運算假設(shè)這里條件的比值為什么是？能不能換成別的比值？

不妨設(shè)于是可得不妨設(shè)

AC

=

λ

,

AD

=1

.

設(shè)

EC

=

a

,

ED

=

b

，則

a

=

b

·(

b

+1)

.

在Rt△

ACE

中，由勾股定理得

AC

=

AE

+

EC

,即

λ

=(

b

+1)+

a

，整理可得2

b

+3

b

+1-

λ

=0，解得(負值舍去)

.

于是即

在Rt△

ABD

中，

若可知

若可知(即為本題結(jié)果)，

若可知

若可知

以上得出的值與sin∠

ABD

的一般關(guān)系，命題者命制該題時給出特殊比值使得sin∠

ABD

便于計算

.

這里在由比值推導(dǎo)三角函數(shù)值時，過程是可逆的，于是題目也可以改編為逆向考查：給出

sin∠

ABD

的值，求解的值

.

巧合的是，2021年四川自貢市中考數(shù)學(xué)第25題就是這樣的命題思路

.

圖5

(2021年四川自貢卷)如圖5，點

D

在以

AB

為直徑的⊙

O

上，過

D

作⊙

O

的切線交

AB

延長線于點

C

，

AE

⊥

CD

于點

E

，交⊙

O

于點

F

，連結(jié)

AD

,

FD

．(1)求證：∠

DAE

=∠

DAC

；(2)求證：

DF

·

AC

=

AD

·

DC

；(3)若求

EF

的長．

圖6

簡析

(3)如圖6，連結(jié)

BF

，可知

BF

∥

CE

，于是∠

ABF

=∠

C

，則sin∠

ABF

由上述推廣可知,于是由可知

AF

=4

.

從而可得從而

EF

=

DG

=

OD

-

OG

=6

.

具體解法留給讀者探索，這里從略

.

5 教學(xué)啟示

雙減背景下，切實減輕學(xué)生負擔(dān)要從教師“增壓”開始，教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的“根”，教材中的習(xí)題是編寫者精心設(shè)計的，值得教師深入研讀、研究

.

我們注意到，很多中考題都是課本經(jīng)典習(xí)題的改編和重組，也就是從課本的“根”生長出來的

.

用好教材、挖掘教材是教師專業(yè)基本功的重要體現(xiàn)，依托課本素材進行深入研究、變化，通過問題不同角度思考及變式訓(xùn)練培育學(xué)生核心素養(yǎng)

.

因此，要注重典型例題和習(xí)題延拓與發(fā)散，發(fā)展學(xué)生的思維、落實核心素養(yǎng)，積累活動經(jīng)驗，從而提高教學(xué)效率！