楊鐸，陳添定，李鶴，饒成飛

(1.大連大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連 116622；2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110819)

0 前言

在機(jī)械加工過(guò)程中，工件的加工質(zhì)量與切削過(guò)程的穩(wěn)定性有關(guān)。當(dāng)過(guò)程參數(shù)選擇不當(dāng)時(shí)，會(huì)發(fā)生切削顫振，導(dǎo)致加工的零件質(zhì)量不滿足工藝要求。針對(duì)這一問(wèn)題，許多學(xué)者進(jìn)行了研究。

為抑制顫振，提高加工質(zhì)量，許多學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)研究。KONG等通過(guò)對(duì)主軸轉(zhuǎn)速進(jìn)行混沌攝動(dòng)，成功抑制了車削過(guò)程中的顫振。MORADIAN等采用自適應(yīng)滑?？刂埔种歧M削過(guò)程中的再生顫振。LI等采用變剛度的方法抑制深孔鏜削過(guò)程中的顫振。吳勝利等采用雙時(shí)間延遲動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)周期性改變砂輪和軋輥的轉(zhuǎn)速，抑制了軋輥磨削過(guò)程中的顫振。

以上研究中大多考慮的線性模型和切削力非線性模型，而在軋輥磨削中，砂輪相較于軋輥為弱剛度結(jié)構(gòu)。因此，本文作者引入Duffing振子作為砂輪結(jié)構(gòu)非線性，建立三自由度磨削系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究穩(wěn)態(tài)葉圖邊界曲線附近參數(shù)變化對(duì)磨削過(guò)程穩(wěn)定性的影響。為抑制邊界曲線附近的顫振，采用混沌攝動(dòng)方法抑制顫振。

1 磨削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

磨削系統(tǒng)通常由床身、頭架、尾架、磨頭、縱橫托板等部件組成。砂輪在水平和豎直方向產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，而工件只在水平方向擁有一個(gè)自由度，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)圖如圖1所示。圖中:、、分別為砂輪的質(zhì)量、阻尼、剛度；、、分別為工件的質(zhì)量、阻尼、剛度；、分別為砂輪和工件的轉(zhuǎn)速；、分別為砂輪和工件的位移。

圖1 磨削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)磨削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，建立磨削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

(2)

(3)

由于砂輪在豎直方向的運(yùn)動(dòng)，在磨削過(guò)程中，砂輪與工件表面會(huì)產(chǎn)生一個(gè)夾角，如圖2所示，但可以看出砂輪在豎直方向的位移遠(yuǎn)小于工件半徑與砂輪半徑之和，因此假設(shè)文中的角度為0。

圖2 砂輪豎直方向運(yùn)動(dòng)示意

(4)

()=+()-(-)-()+

(-)

(5)

式中：為砂輪與工件的磨削重疊率；和分別為磨削過(guò)程中砂輪和工件的旋轉(zhuǎn)周期，表達(dá)式為

(6)

砂輪與工件之間的法向磨削力為，為砂輪與工件之間的磨削系數(shù)，為有效磨削寬度。當(dāng)磨削深度為0時(shí)，即砂輪表面離開(kāi)工件表面，法向磨削力變成0，則：

(7)

為砂輪與工件之間的切向磨削力:

=sign()

(8)

由于砂輪在豎直方向的運(yùn)動(dòng)，砂輪表面與工件表面在接觸點(diǎn)的相對(duì)磨削速度為:

(9)

將公式(5)—(8)代入公式(1)(2)(3)，整理可得

(10)

(11)

(12)

2 磨削過(guò)程穩(wěn)態(tài)與分岔分析

根據(jù)實(shí)際工況選定軋輥磨削系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示。

表1 磨削系統(tǒng)參數(shù)

采用MATLAB中的數(shù)值分析工具箱DDEBIF-TOOL對(duì)軋輥磨削系統(tǒng)延遲微分方程進(jìn)行求解。當(dāng)磨削重疊率=1時(shí)，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)葉圖如圖3所示。可以看出，穩(wěn)態(tài)邊界曲線將參數(shù)平面劃分成兩部分，穩(wěn)態(tài)邊界以上為不穩(wěn)定磨削區(qū)域，穩(wěn)態(tài)邊界以下為穩(wěn)定磨削區(qū)域，其中穩(wěn)態(tài)邊界與極限磨削寬度之間的區(qū)域稱為條件穩(wěn)定區(qū)域，而極限磨削寬度之下的區(qū)域稱為無(wú)條件穩(wěn)定區(qū)域。

圖3 穩(wěn)態(tài)圖

根據(jù)圖3，當(dāng)減少磨削寬度到無(wú)條件穩(wěn)態(tài)區(qū)域時(shí)，可以提高磨削過(guò)程的穩(wěn)定性，從而提高磨削工件的質(zhì)量。但是，當(dāng)磨削寬度較大時(shí)，要選擇合適的工件轉(zhuǎn)速才能使得磨削過(guò)程保持穩(wěn)定，即過(guò)程參數(shù)要位于條件穩(wěn)定區(qū)域。而在實(shí)際的軋輥磨削加工過(guò)程中，為提高加工過(guò)程的穩(wěn)定性，通常參數(shù)值都選在遠(yuǎn)離穩(wěn)態(tài)邊界區(qū)域，甚至選在無(wú)條件穩(wěn)態(tài)區(qū)域，這不僅限制了軋輥磨削效率，而且增加了企業(yè)的成本。因此，本文作者對(duì)穩(wěn)態(tài)邊界附近過(guò)程參數(shù)變化對(duì)磨削過(guò)程穩(wěn)定性的影響進(jìn)行研究。

選擇特定的工件旋轉(zhuǎn)周期區(qū)間，畫出磨削系統(tǒng)關(guān)于工件旋轉(zhuǎn)周期的分岔圖，如圖4所示。可以看出：系統(tǒng)關(guān)于工件旋轉(zhuǎn)周期發(fā)生亞臨界分岔，當(dāng)工件旋轉(zhuǎn)周期從較小值逐漸增大到較大值時(shí)，系統(tǒng)幅值首先保持不變，然后突然跳躍到一個(gè)較大的值，此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)極限環(huán)；而當(dāng)工件旋轉(zhuǎn)周期從較大值逐漸減小時(shí)，系統(tǒng)幅值首先逐漸減小，到達(dá)鞍-結(jié)分岔點(diǎn)時(shí)，突然減小為0，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的極限環(huán)也隨之消失。上述過(guò)程中系統(tǒng)幅值的突變會(huì)對(duì)工件表面產(chǎn)生不可挽回的損害，嚴(yán)重的甚至?xí)l(fā)生砂輪表面與工件表面分離的現(xiàn)象，從而產(chǎn)生砂輪與工件之間的嚴(yán)重碰撞。這種情形是非線性磨削模型所特有的，因此研究磨削中的非線性對(duì)于優(yōu)化磨削過(guò)程參數(shù)具有重要意義。

圖4 分岔圖

為更加直觀地分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)與分岔，對(duì)于圖4中的區(qū)域A，當(dāng)初始進(jìn)給量取較小值時(shí)，作出系統(tǒng)時(shí)間歷程曲線。如圖5(a)所示，此時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)磨削過(guò)程；而當(dāng)初始進(jìn)給量取較大值時(shí)，系統(tǒng)時(shí)間歷程曲線如圖5(b)所示，此時(shí)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定磨削狀態(tài)，即發(fā)生磨削顫振。

圖5 圖4中區(qū)域A的時(shí)間歷程曲線

3 磨削顫振抑制

在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，磨削顫振的發(fā)生不僅會(huì)降低工件加工的表面質(zhì)量，加劇機(jī)床的磨損，而且還會(huì)縮短刀具與機(jī)床的壽命，增加加工成本。因此，抑制顫振從而提高工件質(zhì)量和降低加工成本對(duì)于企業(yè)具有重要意義。

對(duì)于大多數(shù)主動(dòng)控制、半主動(dòng)控制和被動(dòng)控制方法而言，為抑制顫振，需要在機(jī)床上添加額外的輔助部件或者改動(dòng)機(jī)床結(jié)構(gòu)，這樣不僅增加了成本，而且所添加的輔助部件可能會(huì)降低機(jī)床的磨削剛度。而變主軸轉(zhuǎn)速簡(jiǎn)單易操作，且不需要額外的部件，因此本文作者采用變主軸轉(zhuǎn)速的方法來(lái)抑制軋輥磨削加工過(guò)程中的顫振。該方法的基本原理是在磨削加工過(guò)程中，使主軸轉(zhuǎn)速在所設(shè)定的名義轉(zhuǎn)速附近連續(xù)或離散地變化，從而破壞顫振產(chǎn)生的條件，達(dá)到抑制磨削顫振的目的。連續(xù)變主軸轉(zhuǎn)速的公式為

()=+()

(13)

式中：為名義轉(zhuǎn)速；為攝動(dòng)幅值；()為攝動(dòng)時(shí)間序列。

文中采用混動(dòng)控制策略來(lái)攝動(dòng)砂輪轉(zhuǎn)速，從而破壞顫振產(chǎn)生的條件，達(dá)到抑制磨削顫振的目的。采用洛倫茲方程(Lorez Equations)和若斯勒方程(Rossler Equations)作為混動(dòng)控制策略的攝動(dòng)方程。洛倫茲方程為

(14)

為使洛倫茲方程產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，普朗特?cái)?shù)取10，瑞利數(shù)取30，取8/3。

若斯勒方程如式(15)所示，同理，為產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，其參數(shù)、、取值分別為02、02、57。

(15)

基于MATLAB中的Simulink模塊，采用4階龍格-庫(kù)塔法求解洛倫茲方程和若斯勒方程，仿真時(shí)間為10 s，將方程解的時(shí)間序列作為變時(shí)間延遲模塊的輸入，從而攝動(dòng)主軸轉(zhuǎn)速，在=5 s時(shí)施加混沌控制，混沌控制仿真結(jié)果如圖6所示。由圖6(a)可知，在沒(méi)有施加混沌控制時(shí)，磨削系統(tǒng)擁有較大的幅值，處于顫振磨削狀態(tài)。而在圖6(b)和(c)中，施加混沌控制后，系統(tǒng)的幅值在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定值，處于穩(wěn)定磨削狀態(tài)。從圖6可以看出:文中所采用的洛倫茲方程和若斯勒方程混沌控制策略對(duì)于抑制磨削過(guò)程中的顫振均有良好的效果，可以提高磨削工件的質(zhì)量，延長(zhǎng)砂輪壽命，降低機(jī)床磨損，從而降低成本。

圖6 混沌控制仿真時(shí)間歷程曲線

4 結(jié)論

針對(duì)穩(wěn)態(tài)葉圖邊界曲線附近軋輥磨削顫振問(wèn)題，本文作者通過(guò)引入Duffing振子，建立了三自由度非線性磨削動(dòng)力學(xué)模型。基于MATLAB 延遲微分方程工具箱DDEBIF-TOOL，通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法，作出了非線性系統(tǒng)的分岔圖，分析了穩(wěn)態(tài)葉圖邊界曲線附近參數(shù)變化對(duì)軋輥磨削穩(wěn)定性的影響。結(jié)果表明：當(dāng)軋輥磨削寬度保持不變時(shí)，對(duì)于指定區(qū)間的工件旋轉(zhuǎn)周期，當(dāng)它從條件穩(wěn)態(tài)區(qū)域進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)顫振區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生亞臨界Hopf分岔，出現(xiàn)系統(tǒng)幅值跳躍現(xiàn)象，不穩(wěn)定磨削顫振發(fā)生，而對(duì)于工件旋轉(zhuǎn)周期位于鞍-結(jié)點(diǎn)左邊的情形，系統(tǒng)沒(méi)有發(fā)生顫振，說(shuō)明這一區(qū)間的參數(shù)可以被用于穩(wěn)定的軋輥磨削，從而增加了過(guò)程參數(shù)的選擇范圍，為實(shí)際軋輥磨削加工過(guò)程中參數(shù)選擇提供了參考。為抑制穩(wěn)態(tài)邊界曲線附近軋輥磨削中產(chǎn)生的顫振，提出了一種混沌攝動(dòng)的變主軸轉(zhuǎn)速抑制方法來(lái)抑制顫振。時(shí)間歷程曲線表明，當(dāng)軋輥磨削系統(tǒng)被施加混沌攝動(dòng)后，系統(tǒng)的幅值在較短的時(shí)間內(nèi)極大地減小，說(shuō)明該方法有良好的顫振抑制效果。研究結(jié)果為實(shí)際加工過(guò)程中軋輥磨削顫振抑制提供了一種新的思路。