李向軍,喻 鵬,劉伯成,袁凌利

(1.南昌大學(xué)軟件學(xué)院,江西 南昌 330046；2.南昌大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,江西 南昌 330031)

1 引言

當(dāng)前互聯(lián)網(wǎng)和多媒體系統(tǒng)的快速興起導(dǎo)致了文字、圖像和視頻等內(nèi)容快速激增，與此同時(shí)，海量數(shù)據(jù)的安全性卻受到極大挑戰(zhàn)。保護(hù)用戶隱私、提升數(shù)據(jù)安全性越來(lái)越受到各方重視。

圖像具有數(shù)據(jù)量大、信息冗余度高以及相鄰像素間相關(guān)性強(qiáng)等固有特點(diǎn)。傳統(tǒng)文本加密方式，例如數(shù)據(jù)加密標(biāo)準(zhǔn)DES、高級(jí)加密標(biāo)準(zhǔn)AES 、RSA和橢圓曲線加密ECC等[1 - 4]在保障數(shù)字圖像安全傳輸與存儲(chǔ)方面缺乏足夠的速度和能力，直接將現(xiàn)有加密體制用于圖像加密是不合適的。因此，大量基于不同技術(shù)的圖像加密算法被研究人員提出，以緩解上述問(wèn)題。

圖像置亂是實(shí)現(xiàn)圖像加密的一種重要手段，它能將一幅自然圖像通過(guò)特定數(shù)學(xué)規(guī)則改變像素位置關(guān)系或像素值，使其變得雜亂無(wú)章無(wú)法識(shí)別,從而掩蓋內(nèi)容。盡管研究人員提出了大量圖像置亂算法，但較少關(guān)注算法的變尺度置亂能力，在處理非等長(zhǎng)的矩形圖像時(shí)，這些算法并不能很好地發(fā)揮作用。

本文主要貢獻(xiàn)在于：采用基于四方定理的圖像分塊規(guī)則，有效解決了已有算法變尺度置亂能力不足的問(wèn)題。同時(shí)，引入分塊置亂、拼接、轉(zhuǎn)置以及改變形狀等操作，顯著降低了相鄰像素的相關(guān)性，置亂程度獲得了提高。仿真結(jié)果表明了本文算法的有效性和安全性，能對(duì)矩形圖像進(jìn)行置亂與恢復(fù)，置亂效果良好，具有一定的可擴(kuò)展性。

2 相關(guān)工作

研究人員提出了許多圖像加密算法[5 - 7]，主要分為7類，包括基于現(xiàn)代加密體制的圖像加密算法[8]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的圖像加密算法[9]、基于混沌的圖像加密算法[10]、基于壓縮的圖像加密算法[11]、基于盲源分離的圖像加密算法[12]、基于變換域的圖像加密算法[13]和基于置亂的圖像加密算法。

置亂以其研究的廣泛性、使用的靈活性及加解密的高效性在圖像加密應(yīng)用中受到青睞。置亂最早起源于經(jīng)典的加密理論和電視圖像應(yīng)用技術(shù)，主要用于加密圖像內(nèi)容和作為信息隱藏預(yù)處理。Arnold變換[14]、拼圖變換、灰度變換、斐波那契變換[15]、格雷碼、元胞自動(dòng)機(jī)、幻方變換[16，17]、約瑟夫環(huán)變換[18]、混沌映射[19]、騎士巡游[20 - 22]及面包師變換是圖像加密中比較常用的圖像置亂算法，都具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單和處理速度快等特點(diǎn)。其缺點(diǎn)亦較為明顯，變尺度置亂能力較差，通常受限于圖像固定的尺度空間，一般而言只能加密正方形圖像

為克服上述算法變尺度置亂能力不足的缺點(diǎn)，研究人員進(jìn)行了大量改進(jìn)?？诐萚23]對(duì)矩形圖像填充部分行或者列，將其擴(kuò)充為正方形；陳曦等[24]通過(guò)插值調(diào)整圖像為正方形，但可能導(dǎo)致圖像內(nèi)容發(fā)生形變；胡薇薇等[25]將基于迭代函數(shù)系統(tǒng)的圖像置亂方法由2n×2n拓展為N×N。然而這些處理方法會(huì)增加計(jì)算量與存儲(chǔ)空間。上述研究從改變圖像形狀入手，還有一些研究從修改算法以適應(yīng)圖像角度展開(kāi)。Qi等[26]提出用多維等長(zhǎng)Arnold變換和Fibonacci-Q變換處理非等長(zhǎng)圖像，不需進(jìn)行擴(kuò)充等操作；Yang等[27]提出基于Arnold變換對(duì)稱性的數(shù)字圖像置亂技術(shù)，將L×H(L≥H)圖像劃分成多個(gè)H×H正方形圖像塊進(jìn)行置亂，之后再還原為原始圖像大??；邵利平等[28]提出二維非等長(zhǎng)的Arnold置亂算法，適用于矩形圖像；李永逵等[29]找到并證明了對(duì)任意高寬的數(shù)字圖像都存在置亂變換周期的變換矩陣，可廣泛應(yīng)用于對(duì)任意尺寸數(shù)字圖像的置亂變換過(guò)程；吳成茂[30]提出將二維非等長(zhǎng) Arnold 變換進(jìn)行非仿射化修改,獲得一種具有非線性變換特性的保面積且具有周期的置亂變換；Hu等[31]采用三維Hilbert曲線，將其基本單元擴(kuò)展后應(yīng)用于矩形圖像置亂，避免了圖像擴(kuò)展缺陷的同時(shí)增強(qiáng)了置亂效果。這些算法通?；贏rnold進(jìn)行改進(jìn)，雖然沒(méi)有增加傳輸加密圖像的負(fù)載，但算法實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，且推廣至其他算法存在困難。常用的解決方法是將圖像進(jìn)行分塊，然而問(wèn)題并未妥善解決。當(dāng)圖像長(zhǎng)與寬的比值不為整數(shù)時(shí)，如不加密剩余部分則可能會(huì)導(dǎo)致信息泄露，若在圖像邊緣填充零再加密，則會(huì)改變圖像大小，在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)容易被發(fā)現(xiàn)[21]。四方定理[32]為該問(wèn)題的解決提供了便利，它能對(duì)任意大小的矩形圖像分塊且圖像塊正好為正方形，而正方形圖像塊能被幻方、騎士巡游、Arnold等方法置亂。因此，本文結(jié)合四方定理和幻方置亂，對(duì)矩形圖像置亂的問(wèn)題進(jìn)行研究。

3 基于四方定理與幻方的矩形圖像置亂算法

基于四方定理與幻方的矩形圖像置亂算法的核心思路為：首先利用四方定理將矩形圖像分為4個(gè)正方形圖像塊，解決幻方置亂算法局限于固定尺度的問(wèn)題。再對(duì)各塊進(jìn)行幻方置亂、拼接，將圖像恢復(fù)為原始圖像大小。在整個(gè)算法中，采用轉(zhuǎn)置、改變形狀、多次置亂的方式，進(jìn)一步提高幻方置亂程度，增強(qiáng)置亂效果。

3.1 基于四方定理的圖像分塊方法

四方定理可將一個(gè)自然數(shù)分解為4個(gè)自然數(shù)的平方和，如下所示。

四方定理設(shè)有一個(gè)自然數(shù)N，存在4個(gè)正整數(shù)a,b,c,d，滿足式(1)：

N=a2+b2+c2+d2

(1)

四方定理的分解并不唯一，例如:

211=82+72+72+72=112+72+52+42

四方定理用于圖像分塊時(shí)，和其他預(yù)處理方法相比，優(yōu)勢(shì)在于能將圖像分為4個(gè)正方形圖像塊且復(fù)雜度較小。圖1為基于四方定理的圖像分塊方法示意圖。先對(duì)像素總數(shù)N進(jìn)行分解，再取對(duì)應(yīng)數(shù)量的像素，即可實(shí)現(xiàn)分塊。

Figure 1 Image block based on the four-square theorem圖1 基于四方定理的圖像分塊

3.2 基于幻方的置亂規(guī)則

3.2.1 幻方定義與性質(zhì)

幻方性質(zhì)特殊，其數(shù)學(xué)定義為：n階幻方的各行、各列和對(duì)角線的數(shù)字之和正好相等[33]，其值S=n(n2+1)/2稱為幻和。

根據(jù)階數(shù)特點(diǎn)，若n為奇數(shù)，則稱該幻方為奇數(shù)階幻方；若n為偶數(shù)，則可分為單偶數(shù)階幻方和雙偶數(shù)階幻方2種情況，前者n=4k+2,k=0,1,2,…，后者n=4k,k=1,2,…。

3.2.2 幻方的生成

3種幻方生成方法[33]并不同。通常，奇數(shù)階幻方構(gòu)造算法有樓梯法[34]、loubere法、錯(cuò)位補(bǔ)角法及馬步法[35]；雙偶數(shù)階幻方構(gòu)造算法有Spring法[36]、環(huán)形平移補(bǔ)空法及Strachey法；單偶數(shù)階幻方構(gòu)造算法有Strachey法[37]。注意，不同幻方生成算法獲得的幻方存在差異，因而本文為確?；梅降奈ㄒ恍?，采用loubere法生成奇數(shù)階幻方，采用Strachey法生成單偶數(shù)階幻方，采用Spring法生成雙偶數(shù)階幻方。

3.2.3 基于幻方的圖像置亂規(guī)則

幻方置亂的缺陷在于：無(wú)法處理高與寬不等的矩形圖像；置亂參數(shù)較少，加密密鑰空間較小；經(jīng)過(guò)多次幻方變換迭代后的圖像，相鄰像素之間仍然存在較強(qiáng)的相關(guān)性，算法安全性明顯降低[17]。為增強(qiáng)置亂效果，有研究人員嘗試將幻方置亂與其他一些技術(shù)如分塊壓縮感知[17]、信息光學(xué)技術(shù)[38]和位運(yùn)算[39,40]結(jié)合。

假設(shè)灰度圖像大小為n×n，記為In×n。傳統(tǒng)幻方置亂算法[39]將圖像In×n與n階幻方A的行列一一對(duì)應(yīng)后，按照式(2)進(jìn)行變換。

(2)

即得到變換矩陣A1，將In×n中元素相應(yīng)移動(dòng)得到置亂一次的圖像。同理可得到Ai(i為迭代變換次數(shù))。不難發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)幻方置亂算法存在置亂周期，置亂n2次后恢復(fù)為原始圖像，此時(shí)置亂失效，算法安全性降低。

3.3 FMSS算法

本文提出了一種四分塊幻方置亂FMSS(Four-block Magic Square Scrambling) 算法，其思路如下：設(shè)原始圖像大小為H×W，像素總數(shù)可分解為a,b,c和d4個(gè)整數(shù)的平方和。根據(jù)排列組合共有4!=24種分塊方式，默認(rèn)使用(a2,b2,c2,d2)組合。接著生成所需幻方，對(duì)各個(gè)圖像塊進(jìn)行幻方置亂，再將塊拼接恢復(fù)成H×W的圖像。常用的多次置亂方法有2種:(1)直接在分塊的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行置亂再拼接；(2)在圖像塊置亂后，拼接成原始大小的圖像，將其轉(zhuǎn)置并改變形狀(reshape),使其恢復(fù)為原始大小，再進(jìn)行分塊置亂。由于方法(2)通過(guò)轉(zhuǎn)置和改變形狀使像素在多次置亂中被分配至不同圖像塊中，從而打破了圖像塊之間的壁壘，可充分進(jìn)行置亂，進(jìn)而消除塊效應(yīng)[41]。為增強(qiáng)安全性及置亂效果，本文采用方法(2)進(jìn)行多次置亂。最后重復(fù)上述過(guò)程直至達(dá)到置亂次數(shù)后輸出置亂圖像。需要注意的是，此時(shí)變化形狀得到的圖像與之前轉(zhuǎn)置獲得的圖像不同，形狀變化如下所示：

圖2給出了FMSS算法流程，具體描述如算法1所示：

算法1四分塊幻方置亂FMSS算法

輸入：灰度明文圖像大小為H×W，置亂次數(shù)t，圖像塊的分解方式及排列組合順序，如：a,b,c,d。

輸出：灰度置亂圖像大小為H×W。

步驟1根據(jù)輸入圖像尺寸，采用四方定理將圖像分為4個(gè)正方形塊(I1,I2,I3，I4)。

步驟2根據(jù)正方形圖像塊尺寸，使用幻方生成算法生成幻方矩陣組合(M1,M2,M3,M4)。

步驟3使用(M1,M2,M3,M4)依次對(duì)每個(gè)圖像塊執(zhí)行幻方置亂，獲得置亂圖像塊(I′1,I′2,I′3，I′4)。

步驟5若當(dāng)前置亂次數(shù)小于t，則繼續(xù)對(duì)S3執(zhí)行步驟3和步驟4。

步驟6輸出置亂圖像S。

Figure 2 Flow chart of FMSS algorithm圖2 FMSS算法流程圖

Figure 3 Flow chart of FMSS recovery圖3 FMSS恢復(fù)流程圖

Figure 4 Image scrambling and recovery results圖4 置亂與恢復(fù)結(jié)果

在FMSS算法中，置亂、分塊、拼接、轉(zhuǎn)置及形狀變化均可逆，因而置亂圖像可被恢復(fù)為原始圖像，且恢復(fù)過(guò)程與置亂過(guò)程相反。圖3給出了置亂圖像恢復(fù)的流程圖，因篇幅限制不再贅述。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為測(cè)試FMSS的有效性，本節(jié)進(jìn)行了多組仿真實(shí)驗(yàn)，以檢驗(yàn)置亂圖像相鄰像素間的相關(guān)性、抵抗各種攻擊的魯棒性以及置亂和恢復(fù)的速度。

實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境：64位Windows 10操作系統(tǒng)，平臺(tái)為Matlab 2014a，16 GB內(nèi)存，CPU為Intel 酷睿i7-8750H 2.2 GHz。仿真實(shí)驗(yàn)所用圖像為USC-SIPI圖像數(shù)據(jù)集[42]以及Matlab圖像處理標(biāo)準(zhǔn)圖像庫(kù)中的Green(500×300)、Football(320×256)和Lena(256×256)圖像，均為bmp格式的圖像文件。

4.1 置亂圖像結(jié)果

四方定理有效解決了幻方置亂的變尺度置亂能力不足問(wèn)題，使得待置亂圖像不再局限于方形圖像。為檢驗(yàn)實(shí)際效果，本節(jié)利用Football和Green等矩形圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。設(shè)置亂次數(shù)t∈[1,100]，將FMSS算法置亂后的圖像保存。圖4展示了矩形圖像置亂1次和100次的結(jié)果?？梢钥吹?，使用FMSS算法置亂1次后的圖像出現(xiàn)明顯的條痕現(xiàn)象。這是因?yàn)閳D像分塊置亂次數(shù)不足導(dǎo)致塊與塊之間差異明顯。然而，隨著置亂次數(shù)的增加，該現(xiàn)象徹底消失。置亂100次時(shí)，圖像充滿隨機(jī)的噪點(diǎn)，無(wú)法從直觀上觀察到該圖像與原始圖像存在任何聯(lián)系。此時(shí)置亂圖像完全掩蓋了原始圖像，且又能恢復(fù)為原始圖像。由此可知FMSS算法可對(duì)非等長(zhǎng)圖像進(jìn)行置亂，突破了幻方置亂的局限，增強(qiáng)了幻方置亂算法的變尺度置亂能力，置亂圖像具有不可識(shí)別性和噪聲性，這表明該算法具有良好的置亂和恢復(fù)效果。

此外，為驗(yàn)證FMSS算法與其他針對(duì)正方形圖像的置亂算法相比在圖像置亂上效果的優(yōu)勢(shì)，本節(jié)還使用FMSS算法對(duì)正方形圖像進(jìn)行了測(cè)試。對(duì)比實(shí)驗(yàn)采用了騎士巡游置亂[20]和幻方置亂[39]。原始圖像采用Lena圖像，所有算法置亂次數(shù)均設(shè)置為100，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。圖5a表明，在提升置亂效果方面，F(xiàn)MSS算法的優(yōu)勢(shì)更加明顯；圖5b和圖5c表明，使用騎士巡游置亂和幻方置亂的結(jié)果保留了一定的原始圖像細(xì)節(jié)信息，未充分置亂，置亂效果不滿足加密要求。

Figure 5 Scrambling results of square images圖5 正方形圖像置亂結(jié)果

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,FMSS算法對(duì)矩形圖像置亂是有效的，增強(qiáng)了幻方置亂算法變尺度能力，且圖像置亂效果良好，顯示了FMSS算法的可行性與優(yōu)勢(shì)。

4.2圖像分塊對(duì)置亂的影響

毫無(wú)疑問(wèn)，分塊的方式、數(shù)量將對(duì)置亂圖像產(chǎn)生一定的影響。原始圖像采用Lena，利用經(jīng)典幻方置亂算法[39]進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，置亂次數(shù)t∈[1,100]。圖6給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

相比于幻方置亂算法，F(xiàn)MSS算法采用的分塊方法明顯提升了圖像置亂效果。原始幻方置亂算法置亂不充分，大量原始圖像細(xì)節(jié)信息被保留,增加置亂次數(shù)也未能緩解該不足。在置亂次數(shù)較少時(shí)FMSS算法置亂圖像出現(xiàn)明顯條紋，隨著置亂次數(shù)t的增加，圖像充滿隨機(jī)噪點(diǎn)，整體趨于混亂。這是因?yàn)槭状沃脕y之后再拼接會(huì)存在較為明顯的痕跡，分塊作用隨著置亂次數(shù)的增加逐漸顯現(xiàn)，塊之間的像素充分交換，圖像混亂程度加深。

Figure 6 Effect of block on image scrambling圖6 分塊對(duì)圖像置亂的影響

另外，F(xiàn)MSS算法的分塊過(guò)程可繼續(xù)遞歸進(jìn)行，例如將圖像進(jìn)一步劃分為16塊、64塊，甚至更多。為檢驗(yàn)FMSS算法分塊數(shù)量對(duì)圖像置亂的影響，依舊采用Lena圖像，將圖像分為數(shù)量不同的塊，依次設(shè)分塊數(shù)量bn為4,16,64，設(shè)置置亂次數(shù)t∈[1,100]。圖7給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn)，在置亂次數(shù)t較低的情況下，不同分塊數(shù)量的置亂圖像存在明顯差異。置亂次數(shù)t為1時(shí)，分塊數(shù)量bn越多，條紋越明顯；t為5時(shí)，該現(xiàn)象得到一定程度緩解；t為10時(shí)，條紋基本消失，分塊數(shù)量的影響幾乎相同；t為100時(shí)，基本無(wú)區(qū)別。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，分塊一方面增強(qiáng)了幻方置亂變尺度置亂能力，同時(shí)也獲得了更好的置亂效果。圖像分塊的數(shù)量?jī)H在置亂次數(shù)較少時(shí)有顯著作用，當(dāng)置亂次數(shù)增多時(shí)，置亂效果互相接近。因此，可將分塊數(shù)量合理地設(shè)置為4，在不影響置亂效果的前提下加快FMSS算法置亂與恢復(fù)的速度，降低時(shí)間復(fù)雜度。

4.3 相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性分析

自然圖像在水平、垂直及對(duì)角線方向上的相鄰像素通常具有較高的相關(guān)性。研究人員常利用該統(tǒng)計(jì)特性分析加密圖像的算法，所以在一定程度上，相關(guān)性代表著加密算法的安全性。安全性高的加密算法能夠有效降低圖像相鄰像素的相關(guān)性。

Figure 7 Influence of block numbers on image scrambling圖7 分塊數(shù)量對(duì)圖像置亂的影響

嚴(yán)格的相關(guān)系數(shù)定義如式(3)～式(5)所示：

(3)

(4)

(5)

其中，x和y表示選中的相鄰像素序列，xi和yi表示x,y中的第i個(gè)像素的像素值，樣本數(shù)量為K，x的期望和方差分別為E(x)和D(x)。一般而言，當(dāng)相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值大于0.8時(shí)，相鄰像素間存在較強(qiáng)的相關(guān)性;當(dāng)相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值小于0.3時(shí)，相鄰像素間的相關(guān)性較弱。

FMSS算法引入了圖像拼接、分塊、轉(zhuǎn)置與改變形狀等操作，所有像素在多次的分塊、拼接過(guò)程中被充分打亂，有效破壞了相鄰像素的位置關(guān)系。為驗(yàn)證上述操作在降低圖像相鄰像素相關(guān)性和提升安全性上的表現(xiàn)，本節(jié)采用Green圖像作為明文圖像，設(shè)置不同的置亂次數(shù)，分別從水平、垂直和對(duì)角線方向隨機(jī)選取200行200列進(jìn)行仿真分析，進(jìn)行200次相同操作，取200次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值，結(jié)果如表1所示。

Table 1 Correlation coefficient between adjacent pixels of plain image and scrambling image

在水平和垂直方向上，明文圖像相鄰像素相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值在0.88附近，而對(duì)角線方向?yàn)?.78左右，表明相關(guān)性較強(qiáng)。當(dāng)置亂次數(shù)t從1增加到100時(shí)，置亂圖像相鄰像素相關(guān)系數(shù)接近0，與原始圖像相比下降約80%，表明FMSS算法具有較好的安全性，可有效抵抗統(tǒng)計(jì)分析。

為進(jìn)一步分析FMSS算法的安全性，從Green置亂圖像中隨機(jī)選取1 000個(gè)點(diǎn)，分別繪制了3個(gè)方向的相關(guān)性圖，如圖8所示。從圖8a～圖8c可看到，明文圖像樣本均分布于對(duì)角線兩側(cè)，表明相關(guān)性較強(qiáng)，而置亂圖像圖8d～圖8f的樣本則隨機(jī)散布在整個(gè)空間中，相鄰像素間相關(guān)性顯著降低，說(shuō)明置亂100次后圖像像素之間關(guān)聯(lián)非常小。同時(shí)這也表明置亂圖像具有較高的混亂程度和較好的安全性。

Figure 8 Experimental results of image correlation analysis圖8圖像相關(guān)性分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由此可知，F(xiàn)MSS算法顯著降低了相鄰像素間的相關(guān)性，能夠抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊，具有較好的安全性?？紤]到FMSS算法的分塊、拼接、轉(zhuǎn)置、改變形狀及置亂并未改動(dòng)任意像素的像素值，因此不會(huì)對(duì)圖像直方圖做出任何改變。

4.4 魯棒性分析

數(shù)據(jù)在傳輸過(guò)程中可能會(huì)有噪聲，因此置亂要求能抵抗一定的攻擊和分析，包括壓縮圖像、裁剪圖像及添加噪聲等攻擊。由于置亂圖像經(jīng)過(guò)了拼接、分塊和轉(zhuǎn)置，所以鄰域相關(guān)像素分散比較均勻，因而可以抵御剪切、擦除等常規(guī)圖像攻擊。

峰值信噪比PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)和歸一化相似度NC(Normalized Correlation)等評(píng)價(jià)指標(biāo)能夠客觀反映被攻擊后的圖像質(zhì)量，常被用于評(píng)價(jià)魯棒性，其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義如式(6)～式(8)所示：

(6)

(7)

(8)

其中,明文圖像(i,j)位置的像素值為W(i,j)，恢復(fù)后該位置的像素值為W′(i,j)，MAX=255，H和W分別為圖像的高和寬。NC取值為[0,1]，越接近1，表明恢復(fù)圖像越接近明文圖像；PSNR值越大，說(shuō)明恢復(fù)圖像質(zhì)量越高。通常PSNR低于30 db表示恢復(fù)圖像劣化嚴(yán)重。

為檢驗(yàn)抗噪聲攻擊及剪切的魯棒性，本節(jié)采用Green和Lena圖像，對(duì)圖像添加椒鹽噪聲和進(jìn)行剪切攻擊。部分Lena被攻擊圖像與恢復(fù)圖像如圖9所示，表2給出了所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

不難發(fā)現(xiàn)，在添加少量椒鹽噪聲時(shí)，圖9a和圖9b的圖像恢復(fù)受到了輕微影響;圖9c和圖9d的恢復(fù)圖像中噪點(diǎn)充滿整幅圖像;圖9e～圖9g能獲得圖像大部分信息，NC值高于0.9;而圖9h則嚴(yán)重劣化，PSNR值很低，NC值下降至0.8附近。

剪切攻擊圖像(圖9i～圖9p)表明，圖像質(zhì)量劣化程度隨著剪切比例的增大而加深。剪切左上角1/16(6.25%)圖像時(shí)，剪切攻擊造成的影響被FMSS算法均勻分散，圖像質(zhì)量輕微劣化，可通過(guò)濾波去噪技術(shù)將噪點(diǎn)濾除，進(jìn)而提高恢復(fù)圖像質(zhì)量。而圖9j和圖9k的NC值和PSNR值接近，這表明裁剪程度一定時(shí)，裁剪位置產(chǎn)生的影響較小，有損攻擊被均勻分散到圖像各個(gè)位置。不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)恢復(fù)圖像質(zhì)量劣化程度進(jìn)一步加深，仍可以觀察到圖像輪廓信息。當(dāng)裁剪一半圖像時(shí)，恢復(fù)圖像丟失大部分信息，圖像質(zhì)量存在非常嚴(yán)重的劣化，視覺(jué)感官上難以接受。

Table 2 Experimental results of salt & pepper noise and shear attack

表2數(shù)據(jù)表明，受到噪聲攻擊時(shí)，不同圖像的恢復(fù)圖像質(zhì)量接近。面對(duì)噪聲攻擊，Lena圖像與Green圖像的PSNR值接近但后者略低(Green圖像未在圖9中展示)。NC值在噪聲較少時(shí)接近，差距隨著椒鹽噪聲量增大而逐漸增大。面對(duì)剪切攻擊，Lena圖像與Green圖像的PSNR值差距較小，但Green圖像的略高，NC值基本一致。由此可知，與經(jīng)典的幻方置亂算法相比，F(xiàn)MSS算法具有較好的魯棒性，有損攻擊被均勻分散，抗噪聲和裁剪能力得到顯著提高。

Figure 9 Experimental results of salt & pepper noise and shear attack圖9 椒鹽噪聲與剪切攻擊實(shí)驗(yàn)結(jié)果

此外，由于JPEG格式圖像在互聯(lián)網(wǎng)上傳輸使用相對(duì)更為廣泛，而仿真實(shí)驗(yàn)采用BMP格式圖像，為了檢驗(yàn)和擴(kuò)展FMSS算法的實(shí)用性，本節(jié)還進(jìn)行了JPEG有損壓縮攻擊實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)使用Green圖像，設(shè)FMSS置亂次數(shù)t為100，表3給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

顯然，PSNR值和NC值隨著壓縮因子遞增而增大，恢復(fù)圖像質(zhì)量越來(lái)越高。壓縮因子較低時(shí)，恢復(fù)圖像與原始圖像的NC值仍然較大。這表明即使是受到一定程度的JPEG壓縮，存在一定的失真情況，恢復(fù)圖像質(zhì)量仍然較高，圖像輪廓依然清晰可見(jiàn)?？傮w而言,JPEG壓縮并不會(huì)影響置亂圖像質(zhì)量，這說(shuō)明FMSS算法具有較強(qiáng)的抗JPEG有損壓縮的能力，滿足實(shí)際應(yīng)用要求。

由前述實(shí)驗(yàn)結(jié)果不難得知，F(xiàn)MSS算法通過(guò)位置置亂有效分散了錯(cuò)誤像素，椒鹽噪聲、剪切和JPEG壓縮等攻擊對(duì)FMSS算法影響有限。因此，F(xiàn)MSS算法具有良好的魯棒性，較之傳統(tǒng)幻方置亂算法有所增強(qiáng)，可在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中應(yīng)用。

Table 3 Experimental results of JPEG compression attack

4.5 運(yùn)行時(shí)間分析

因?yàn)閳D像置亂和恢復(fù)過(guò)程互為逆向，因而在理論上置亂和恢復(fù)的時(shí)間開(kāi)銷基本一致。為檢驗(yàn)算法置亂和恢復(fù)時(shí)間，對(duì)Lena、Football和Green圖像采用FMSS算法分別進(jìn)行10次置亂，表4給出了置亂20次和恢復(fù)所用的時(shí)間平均值、最大值和最小值。從表4可以看出，F(xiàn)MSS算法置亂與恢復(fù)所用時(shí)間相差無(wú)幾，且置亂所用時(shí)間與圖像像素總數(shù)成正相關(guān)。還可以看出，F(xiàn)MSS算法具有較快的置亂和恢復(fù)速度，其原因在于，幻方生成算法判斷、循環(huán)語(yǔ)句及移動(dòng)元素操作較少，時(shí)間復(fù)雜度相對(duì)較低，因而FMSS算法置亂與恢復(fù)較快。

Table 4 Image scrambling and recovery time

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于四方定理和幻方置亂，提出了一種新的矩形圖像置亂算法FMSS。首先，該算法根據(jù)明文圖像的尺寸使用四方定理將圖像劃分成4個(gè)正方形圖像塊;其次，利用幻方生成算法生成所需大小的幻方，并按約定的順序?qū)γ總€(gè)圖像塊分別進(jìn)行幻方置亂；最后，將置亂后的圖像塊按順序拼接成圖像，恢復(fù)為原始圖像大小。在整個(gè)算法中，采用多次置亂處理以增強(qiáng)置亂效果?；謴?fù)圖像過(guò)程為上述過(guò)程的逆過(guò)程。FMSS算法能夠快速處理矩形圖像，具有良好的置亂效果。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，分塊、拼接、轉(zhuǎn)置及變換形狀等操作顯著消除了圖像相鄰像素間的相關(guān)性，相比傳統(tǒng)幻方置亂算法，密鑰空間較大，還增強(qiáng)了變尺度置亂能力、魯棒性與安全性。本文的工作拓展了幻方置亂算法的應(yīng)用范圍，為數(shù)字圖像置亂研究提供了一條新途徑。在本文工作基礎(chǔ)上，值得進(jìn)一步拓展研究之處包括：

(1) 測(cè)試所提置亂算法周期性。FMSS算法引入了分塊、拼接、轉(zhuǎn)置和變化形狀等操作，同一像素點(diǎn)每次所在圖像塊不固定，從而使得置亂圖像周期性出現(xiàn)的可能性大大減小，一定程度上提高了安全性。當(dāng)前仍需要足夠的測(cè)試驗(yàn)證并完善算法的安全性。

(2)將FMSS算法擴(kuò)展應(yīng)用于局部圖像置亂。 在某些應(yīng)用場(chǎng)景下，僅需要對(duì)局部圖像進(jìn)行處理。因此，可對(duì)FMSS算法進(jìn)一步完善，即可用于實(shí)際局部圖像置亂，提高其實(shí)用性。

(3)將FMSS算法擴(kuò)展應(yīng)用于要求明文圖像為正方形的置亂處理中，與Arnold置亂算法、斐波那契置亂算法、騎士周游置亂算法等融合研究，并應(yīng)用于視頻、音頻加密處理。