王 峰

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鹽城機(jī)電分院基礎(chǔ)部, 江蘇 鹽城 224005)

0 引言

邊值問題來源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理的多個分支,是目前分析數(shù)學(xué)中研究最為活躍的領(lǐng)域之一.近年來,關(guān)于非線性多點(diǎn)邊值問題正解的存在性,已有很多學(xué)者做了研究[1-4].特別地,對于高階奇異多點(diǎn)邊值問題正解的存在性,產(chǎn)生了很多有意義的研究成果,如張國偉等人[5]利用不動點(diǎn)指數(shù)理論,在與相應(yīng)線性算子本征值有關(guān)的條件下得到了非線性奇異(k,n-k)多點(diǎn)邊值問題至少存在一個正解的結(jié)論.Li[6]研究了懸臂梁方程在非線性項(xiàng)滿足超線性和次線性增長的條件下解的存在性問題.Dang[7]運(yùn)用單調(diào)迭代法,獲得了一類四階邊值問題解的存在性結(jié)論.綜合眾多研究結(jié)果,多采用錐上的不動點(diǎn)定理、迭代法等.

不同于以往的方法,本文構(gòu)造了一個合適的錐和凸泛函, 利用推廣的錐拉伸與錐壓縮不動點(diǎn)定理,研究了一類高階奇異(k,n-k)多點(diǎn)共軛邊值問題

(1)

正解的存在性,其中0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1,ai∈[0, +∞),λ≠0并且允許q(t)在t=0和t=1奇異.有關(guān)錐的概念及性質(zhì)見文獻(xiàn)[8].

1 預(yù)備知識

引理1[10,11]設(shè)k(t,s)由式(2)定義,則

α(t)g(s)≤k(t,s)≤β(t)g(s), ?(t,s)∈[0, 1]×[0, 1],

其中

(2)

引理2[5]設(shè)x∈Cn[0, 1]滿足

令

(3)

(4)

由式(3)易知Φ(t)≥0,t∈[0, 1],且根據(jù)Euler積分的性質(zhì)知Φ(0)=1,Φ(1)=0.由式(4)易知K(t,s)在[0, 1]×[0, 1]連續(xù),并且K(t,s)≥0,0≤t,s≤1.

假設(shè)如下條件成立，

(Η3)f:[0, +∞)→[0, +∞)連續(xù).

定義算子

(5)

引理3 若條件(Η1),(Η2)和(Η3)滿足,則A:P→P全連續(xù).

證明記

于是A=A1+A2.由文[4]可知A1:P→P全連續(xù),易見A2:P→P全連續(xù),所以A:P→P全連續(xù).

稱x(t)為邊值問題(1)的正解,如果對任x(t)∈C[0, 1]∩Cn(0, 1),均有x(t)>0,t∈(0, 1),并且滿足邊值問題(1).

引理4 假設(shè)條件(Η1),(Η2)和(Η3)滿足,若A有不動點(diǎn)x≠θ,則x是邊值問題(1)的正解.

證明設(shè)x是A的不動點(diǎn),那么x∈P.顯然x∈C[0, 1]∩Cn(0, 1).

(6)

又Φ(n)(t)=0,t∈(0, 1), 所以x(t)滿足(-1)n-kx(n)(t)=λq(t)f(x(t)).

2 主要結(jié)論

定理2 假設(shè)條件(Η1),(Η2)和(Η3)滿足,若存在常數(shù)m,n(0

則邊值問題(1)至少有一正解.

證明定義

P1={x∈P|x(t)≥M‖x‖,ζ≤t≤1-ζ}

(7)

則A:P1→P1.事實(shí)上,容易驗(yàn)證P1是C[0, 1]中的錐,并且P1?P.

?t∈[ζ, 1-ζ],?s,z∈[0, 1],由引理 1知

由此可知，對?x∈P1,ζ≤t≤1-ζ,z∈[0, 1]，有

所以(Ax)(t)≥M‖Ax‖,ζ≤t≤1-ζ.因而A(P1)?P1, 所以A:P1→P1.

定義

(8)

由文[12]知ρ是凸泛函,綜上ρ:P1→[0, +∞)是一致連續(xù)的凸泛函,ρ(θ)=0并且ρ(x)>0,x∈P{θ}.

令

Ω1={x∈C[0, 1]|ρ(x)

由文[12]易知P1∩Ω1與P1∩Ω2均是有界的.

類似地,可得如下定理.

定理3 假設(shè)條件(Η1),(Η2)和(Η3)滿足,若存在常數(shù)m,n且0

則邊值問題(1)至少有一正解.