李思遠,葉 東,孫兆偉

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院衛(wèi)星技術(shù)研究所,哈爾濱 150001)

0 引 言

隨著通信技術(shù)與小型化技術(shù)的快速發(fā)展,由多顆小衛(wèi)星組成的衛(wèi)星集群能夠利用無線通信進行組網(wǎng)飛行,從而實現(xiàn)傳統(tǒng)大衛(wèi)星的復雜功能,并大幅度降低研制的成本和風險,顯著增強衛(wèi)星系統(tǒng)的靈活性和魯棒性。不同于星座與編隊飛行,衛(wèi)星集群不需要保持精確的空間構(gòu)型,只需要其成員衛(wèi)星在任務(wù)期間內(nèi)保持適當?shù)耐ㄐ啪嚯x即可。

衛(wèi)星集群在空間中會受到多種攝動的影響,如攝動、大氣阻力攝動、太陽光壓攝動和第三體引力攝動等。因此,衛(wèi)星在不采用主動控制的情況下會發(fā)生漂移,無法保證星群的穩(wěn)定。因此,對多攝動條件下的星群的動力學模型的建立是必不可少的。為簡化推導過程,獲得精確的相對運動模型,文獻[10]提出了一種基于參考衛(wèi)星軌道要素的動力學建模方法,利用拉格朗日方程推導了考慮攝動的衛(wèi)星相對運動模型。在此基礎(chǔ)之上,文獻[11]推導了攝動和大氣阻力攝動條件下的衛(wèi)星相對運動模型。

在某些空間任務(wù)中,可能需要衛(wèi)星集群從當前位置快速運動到指定的目標點。并且在運動過程中既要保證星群的完整性,還要保證成員衛(wèi)星之間不發(fā)生碰撞。針對上述空間任務(wù),首先需要對星群的運動軌跡進行快速規(guī)劃。形狀曲線逼近法是一種簡單的軌跡規(guī)劃方法,能夠快速地規(guī)劃出有約束連續(xù)推力條件下衛(wèi)星的轉(zhuǎn)移軌跡。文獻[14]以時間作為自變量,提出了一種基于解析形狀曲線的逼近方法,并利用該方法規(guī)劃了小推力航天器軌道轉(zhuǎn)移和軌道交會的安全軌跡。為增強對運動軌跡的擬合能力,文獻[15]采用傅里葉級數(shù)作為形狀曲線,實現(xiàn)了航天器三維運動軌跡的快速設(shè)計。雖然形狀曲線逼近法只能對衛(wèi)星運動軌跡進行初步的規(guī)劃,但由于星群不需要精確的空間構(gòu)型,所以該方法適用于星群運動軌跡的快速規(guī)劃。

蜂擁控制是一種基于仿生學的分布式控制策略,經(jīng)常應(yīng)用于群體運動控制中。文獻[20]采用分散的蜂擁控制策略實現(xiàn)了二階多智能體系統(tǒng)通信連通性的保持?？紤]系統(tǒng)收斂的速度,文獻[21]利用非光滑理論和固定時間穩(wěn)定理論設(shè)計了蜂擁控制器,使系統(tǒng)在固定時間內(nèi)形成穩(wěn)定的集群運動。然而在實際中,通信延遲是不可避免的。針對此問題,文獻[22-24]在考慮時變通信延遲的前提下設(shè)計了一種蜂擁控制器,并證明當通信延遲滿足一定的約束時,系統(tǒng)依然能夠到達穩(wěn)定。

在傳統(tǒng)的蜂擁控制中,通常認為集群中的成員能夠與其通信范圍內(nèi)的所有鄰居成員互相通信。但對于衛(wèi)星集群,成員衛(wèi)星的通信鏈路可能存在上限,即一個衛(wèi)星只能與其通信范圍內(nèi)固定數(shù)量的衛(wèi)星進行通信。針對這個問題,采用度約束生成樹作為通信拓撲是一種合理的解決方法。然而,以生成樹為通信拓撲雖然能減少每顆衛(wèi)星的通信鏈路,但是對兩顆不直接相連的衛(wèi)星,通信延遲可能會隨著通信跳數(shù)的增加而增加。因此,還需要對生成樹的半徑或直徑進行約束。

綜合前文所述,本文針對衛(wèi)星集群的協(xié)同運動問題,首先利用Prim算法和廣度優(yōu)先算法設(shè)計了一種度、半徑約束生成樹的計算方法,并將優(yōu)化后的結(jié)果作為星群的通信拓撲。另一方面,利用基于傅里葉級數(shù)的形狀曲線逼近法對主星參考軌跡進行快速規(guī)劃?；诘玫降耐ㄐ磐負渑c參考軌跡,設(shè)計了改進的蜂擁控制器,并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明。

1 相關(guān)基礎(chǔ)

1.1 相對運動動力學模型

航天器相對運動方程用于描述軌道上兩顆近距離飛行的航天器之間的相對運動。為描述問題方便,一般將其中一個航天器稱作主星,另一個航天器稱作從星。

建立衛(wèi)星集群相對運動模型時,常采用地心慣性坐標系(ECI)與當?shù)厮疆數(shù)卮怪弊鴺讼?LVLH)。其中,地心慣性坐標系的坐標原點位于地心,軸位于赤道平面內(nèi),指向春分點,軸指向地球北極,軸位于赤道平面內(nèi),與軸垂直,且與,軸構(gòu)成笛卡兒直角坐標系。對于LVLH坐標系,其原點位于主星的質(zhì)心,軸方向由地球質(zhì)心沿徑向指向主星,軸垂直主星軌道面并指向軌道角動量方向,軸與另外兩軸垂直并構(gòu)成右手直角坐標系。ECI坐標系與LVLH坐標系如圖1所示。

圖1 ECI與LVLH坐標系Fig.1 ECI and LVLH coordinate systems

由于衛(wèi)星的相對運動會受到各種空間擾動的影響,本文考慮項攝動,大氣阻力和第三體引力攝動。首先,中心質(zhì)點引力和項攝動的引力勢函數(shù)表達式為：

(1)

式中：為引力常數(shù)；為二階帶諧項系數(shù)；為地球的平均半徑；為衛(wèi)星在ECI坐標系下位置矢量的模；為衛(wèi)星所處的地理緯度。

大氣阻力也是一種不可忽視的空間擾動,衛(wèi)星受大氣阻力而產(chǎn)生的加速度表達式如下：

(2)

式中：為大氣阻力系數(shù)；為衛(wèi)星有效迎風面積；為衛(wèi)星質(zhì)量；為大氣密度；為衛(wèi)星相對于大氣的速度,可由下式求得：

(3)

式中：為衛(wèi)星在地心慣性坐標系下的位置矢量,為地球自轉(zhuǎn)角速度,方向是沿軸正方向,大小為7.29211515×10rad·s。

第三體引力攝動是指影響衛(wèi)星的攝動來自第三個天體的牛頓引力,而對于地球衛(wèi)星來說,第三體引力攝動來自于日、月引力。太陽和月球引力產(chǎn)生的加速度的計算公式如下：

(4)

式中：和分別是太陽和月球的引力常量；和分別為衛(wèi)星指向太陽和月球的矢量,和為對應(yīng)矢量的模；和分別是地球指向太陽和月球的矢量,和為對應(yīng)矢量的模。

(5)

式中：=32;為衛(wèi)星的徑向速度。

(6)

式中：,和為衛(wèi)星在LVLH坐標系下三個坐標軸方向上的推力,其他參數(shù)如下：

(7)

1.2 圖論

衛(wèi)星集群的網(wǎng)絡(luò)拓撲可以采用圖論來描述,當星群中衛(wèi)星能夠雙向通信時,采用無向圖進行拓撲建模。因此,衛(wèi)星集群通信拓撲可以看成是由個節(jié)點和條邊構(gòu)成的無向圖=(V, E),其中節(jié)點集為V={,,…,},邊集E={,,…,}表示衛(wèi)星之間的通信鏈路。若是無向圖中連接頂點,的邊,則稱和為的兩個端點,稱頂點,相互鄰接,所有與頂點相關(guān)聯(lián)的邊數(shù)稱為頂點的度,記為()。無向圖的度矩陣可用一個對角陣表示,記為=diag((),(),…,())。用表示頂點與之間的連接關(guān)系,若頂點與之間存在邊則=1,否則=0,=[]∈×定義為無向圖的鄰接矩陣。若無向圖無環(huán),則矩陣中第行(列)的元素之和等于頂點的度數(shù)。顯然鄰接矩陣是一個對稱矩陣,同時也是一個非負矩陣。

1.3 問題描述

本文的主要研究內(nèi)容是考慮通信延遲的衛(wèi)星集群的群體運動控制策略。考慮由式(6)描述的衛(wèi)星集群,假設(shè)星群中只有一顆主星,星群在初始時刻的通信網(wǎng)絡(luò)是連通的,并且星群中的衛(wèi)星能夠通過通信鏈路傳遞信息,則設(shè)計星群運動策略如下：

(1)在初始時刻,結(jié)合Prim算法和廣度優(yōu)先算法計算當前通信拓撲的度、半徑約束最小生成樹,并作為星群的通信拓撲。

(2)主星采用基于傅里葉級數(shù)的形狀曲線逼近法快速生成滿足任務(wù)需求的主星參考軌跡,并將參考軌跡的信息傳給星群中的其他從星。

(3)基于規(guī)劃出的參考軌跡設(shè)計改進的蜂擁控制器,實現(xiàn)主星對參考軌跡的快速跟蹤,同時使從星能夠根據(jù)通信連接關(guān)系保持合適的相對距離,并且在不發(fā)生碰撞的前提下維持通信拓撲的連通性。最終,所有衛(wèi)星的速度最終與參考速度一致,即形成穩(wěn)定的蜂擁運動。

2 星群控制策略

2.1 星群通信拓撲生成算法

考慮星群中的衛(wèi)星裝載簡單的通信設(shè)備,單顆衛(wèi)星上的通信鏈路存在上限。因此,即使在通信范圍內(nèi)還有其他衛(wèi)星,任何衛(wèi)星在同一時間也只能與固定數(shù)量的鄰居衛(wèi)星通信。對于衛(wèi)星集群的通信拓撲,上述問題意味著每個通信節(jié)點的度有上界。另外,若任何兩個節(jié)點之間都存在通信延遲,則通信延遲將會隨著通信跳數(shù)的增加而增加。為保證拓撲連通性,并且能節(jié)省部分通信資源,本文采用度、半徑約束最小生成樹作為星群通信拓撲。

假設(shè)衛(wèi)星集群衛(wèi)星的初始通信拓撲為無向圖=(V, E)。其中,在節(jié)點集合V中,定義為根節(jié)點。定義邊權(quán)矩陣={|(,)∈E},其中,表示第個衛(wèi)星與第個衛(wèi)星之間的相對距離與期望距離的差值。對于節(jié)點,定義節(jié)點度約束()。設(shè)是無向圖的一棵樹,()是一條從根節(jié)點到的路徑,而(())為這條路徑上的邊數(shù)。定義樹的半徑為()=max(()),為半徑的約束值。定義()為生成樹所有的邊權(quán)值得總和,則無向圖的度、半徑約束最小生成樹算法表示如下：

(8)

算法的核心思想是,根據(jù)任務(wù)要求選擇一顆衛(wèi)星作為根節(jié)點,再利用Prim算法和廣度優(yōu)先算法在度約束下不斷擴展其他節(jié)點,直到得到最優(yōu)生成樹。算法的具體步驟如下：

1) 定義一個根節(jié)點集合={}和一個候選節(jié)點集合。選擇一個根節(jié)點,定義剩余度標記為()=(),定義當前節(jié)點與根節(jié)點的跳數(shù)為()=0,定義生成樹的邊集。

2) 從邊集E中篩選出與根節(jié)點相連接的邊,并將這些邊按權(quán)值從小到大排列放入集合中。

3) 從集合中的第一條邊開始搜索連接的節(jié)點,滿足()>0和()≤,其中()←()+1。然后,將(,)存入集合。

4) 將滿足約束的節(jié)點加入到集合中,并更新與的剩余度標號,即()←()-1和()←()-1。

5) 判斷集合中節(jié)點的剩余度標號,若()=0,則將節(jié)點從集合中刪除。

6) 判斷集合中的邊數(shù),若邊數(shù)小于-1,則返回2)。若邊數(shù)等于-1,則集合中的邊即為無向圖的度、半徑約束最小生成樹。

將計算得到的度、半徑約束最小生成樹作為衛(wèi)星集群通信拓撲,能夠在滿足通信約束的條件下,用最少的通信鏈路保證通信拓撲的連通性,并實現(xiàn)邊權(quán)值最優(yōu),能夠為控制器提高收斂的速度,從而在一定程度上減少燃料消耗。

2.2 衛(wèi)星集群參考軌跡設(shè)計

由于星群對具體空間構(gòu)型的要求并不嚴格,且衛(wèi)星之間只需要保持在通信范圍內(nèi)就可以正常工作。因此,相對于計算量大的精確軌跡規(guī)劃,在任務(wù)初始階段對主星進行簡單快速的軌跡規(guī)劃更適合星群的群體運動。

(9)

式中：表示主星運動的時間；,和為傅里葉級數(shù)的階次；,,,2-1,2-1,2-1,2,2和2為傅里葉級數(shù)的系數(shù)。對式(9)關(guān)于時間求一階導數(shù)可得

(10)

對式(9)關(guān)于時間求二階導數(shù)可得

(11)

傅里葉級數(shù)中的系數(shù)確定以后,將式(9-11)代入式(6)能夠計算出衛(wèi)星三軸方向上的推力值。假設(shè),衛(wèi)星推進器能提供的最大推力值為,則推力約束方程為：

(12)

當主星初始狀態(tài)(位置、速度)、末端狀態(tài)和運動時間已知的情況下,能夠確定12個約束方程。同時,為了保證擬合曲線的精度,傅里葉級數(shù)階次的取值不能太小,但取值過大也會增加計算的復雜程度,并且對精度的提升不大,因此一般選取的階次為大于等于3。這將使約束方程的個數(shù)少于未知系數(shù),所以將未知系數(shù)分成兩個部分,其中一部分由約束方程直接求得,具體表達式如下：

(13)

式中：,和為衛(wèi)星的初始位置坐標；,和為衛(wèi)星的末端位置坐標;另一部分系數(shù)由優(yōu)化算法求得。本文以燃料消耗作為優(yōu)化指標,具體形式為：

(14)

式中：()表示主星在時刻的狀態(tài)；0和f為邊界條件；表示三個坐標方向。本文采用序列二次規(guī)劃(SQP)算法,根據(jù)待優(yōu)化的性能指標求解滿足約束條件的優(yōu)化解,即為傅里葉級數(shù)的全部系數(shù),進而得主星在推力約束下的優(yōu)化軌跡,將該軌跡作為主星的參考軌跡,用于后續(xù)的控制器設(shè)計。

2.3 考慮通信延遲的改進蜂擁控制器設(shè)計

在前文得到的優(yōu)化拓撲和參考軌跡的基礎(chǔ)上設(shè)計改進蜂擁控制器,使主星跟蹤參考軌跡,且存在直接通信的衛(wèi)星之間保持一個特定的期望通信距離,而其他衛(wèi)星僅需要保證不發(fā)生碰撞即可。盡管星群沒有具體的空間構(gòu)型,但依然能夠在不發(fā)生碰撞的前提下維持星群的通信連通性。

假設(shè),衛(wèi)星集群由1顆虛擬參考衛(wèi)星與顆質(zhì)量均為的真實衛(wèi)星構(gòu)成。衛(wèi)星之間能夠通過無線通信實現(xiàn)信息的傳遞,不直接通信的衛(wèi)星,也可以通過通信鏈路獲取彼此的狀態(tài)信息。然而通信延遲普遍存在于衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)中,針對此問題,本文考慮任意兩顆直接通信的衛(wèi)星之間的通信延遲相同,以()表示,不直接通信的衛(wèi)星之間的通信延遲為最短通信鏈路上所有延遲的總和。

(15)

(16)

在1中,為星群通信拓撲鄰接矩陣的元素；為正數(shù)；為蜂擁控制的勢函數(shù),其表達式為：

(17)

(18)

式中：∈(0, 1)。顯然,1的作用只存在于直接通信的衛(wèi)星,并且會使直接通信的衛(wèi)星間距離趨向于期望距離。

由于不直接通信的衛(wèi)星之間可能會發(fā)生碰撞,因此設(shè)計了2,若任意兩顆衛(wèi)星之間通過通信鏈路可以得知彼此的運動狀態(tài),則實現(xiàn)碰撞規(guī)避,2采用人工勢場法,()表達式如下

(19)

式中：為增益系數(shù)；為安全距離；為人工勢場的作用距離。

在3中,和為控制增益,定義為主星標號,若第顆衛(wèi)星為主星時=1,否則=0。這意味著只有主星跟蹤參考軌跡,而其他的衛(wèi)星只跟蹤參考速度使星群實現(xiàn)速度一致。最后在4中,為正數(shù),實現(xiàn)對未建模擾動的補償。

定義(),()和()分別是在控制器作用下第顆、第顆衛(wèi)星和參考衛(wèi)星在時刻的期望位置,則當→∞時有

(20)

因此,控制器可以表示為：

(--(-))-(-)-

(21)

令

(22)

(23)

并且,定義第顆衛(wèi)星與第顆衛(wèi)星之間的通信延遲為(),則控制器可以表示為

())]-(()-())-(()-

(24)

將衛(wèi)星之間的通信延遲定義成一個集合(),其表達式如下

()∈{():,=1,2,…,},=1,2,…,

(25)

(26)

將星群控制器寫成如下的矩陣形式：

(27)

式中：?表示克羅內(nèi)克積；為階方陣,且對角線上主星對應(yīng)序號的元素為1,其余元素為0；為階單位陣；×為包含×個元素的列向量,其中,=3,且每個元素均為1。根據(jù)式(15)和參考軌跡的差值,可得系統(tǒng)的誤差模型如下：

(28)

(29)

式中:

(30)

假設(shè)對稱矩陣可分解為：

(31)

定義函數(shù):([-,0],)→,且滿足如下微分方程

(32)

式中：()=(+), ?∈[-,0],且(0)=0。定義連續(xù)非減函數(shù)(),()和(),當>0時,有()>0,()>0,()>0。并且,(0)=0,(0)=0,當→∞時,()→∞。若存在一個連續(xù)的函數(shù)(,):×→,一個連續(xù)非減的函數(shù)():→,當>0,()>,和一個常數(shù),使得

(1)(==)≤(,)≤(==),∈,∈。

則微分方程(32)的零解是一致有界的,而當=0時,該零解是一致漸近穩(wěn)定的。

考慮衛(wèi)星集群包含顆衛(wèi)星,其相對運動模型如式(15),若存在控制增益,使得

(33)

并且通信延遲=max(())滿足

(34)

式中：(·)表示矩陣的最小特征值；>1；其他參數(shù)為

(35)

則,誤差系統(tǒng)(29)是穩(wěn)定的。

定義李雅普諾夫函數(shù)如下：

(36)

顯然,

(37)

對李亞普法諾夫函數(shù)()求導可得

(38)

根據(jù)式(29)可得

(39)

式中:

(40)

將式(39)代入式(38)可得

(41)

(42)

另外,根據(jù)引理2,令()=,>1,可得

(43)

代入式(42)和(43),式(41)可化簡為：

(44)

(45)

(46)

可得

(47)

根據(jù)引理2可知

(48)

因此,在改進蜂擁控制器的作用下,星群中的主星能夠跟蹤參考軌跡,所有衛(wèi)星能夠根據(jù)通信拓撲的連接關(guān)系維持期望的通信距離且不發(fā)生碰撞。最終,星群中衛(wèi)星的速度將趨于參考速度,形成穩(wěn)定的蜂擁運動。

3 仿真校驗

本文以10顆衛(wèi)星組成的衛(wèi)星集群為例,虛擬的參考衛(wèi)星軌道根數(shù)為=687814 km,=005,=π6, Ω=π3,=π6,=π4。下文中,集群衛(wèi)星位置矢量的單位為m,速度矢量的單位為m·s,集群中主星的期望位置矢量為=[200 200200],期望速度矢量為=[000]。集群中衛(wèi)星的初始位置矢量如下：

(49)

集群中衛(wèi)星的初始速度矢量如下：

(50)

圖2 優(yōu)化后的通信拓撲Fig.2 Optimized communication topology

從圖2中可以看出,每顆衛(wèi)星均與不超過3顆衛(wèi)星互相通信,每顆衛(wèi)星與主星衛(wèi)星的通信距離不超過3跳。此外,根據(jù)優(yōu)化算法的原理,直接通信的衛(wèi)星間距在優(yōu)化之后更接近期望的通信距離,這可以在一定程度上減少控制距離和穩(wěn)定時間,從而減少燃料消耗。

進而,利用基于傅里葉級數(shù)的形狀曲線逼近法取===4,推力約束為1 N的條件下,根據(jù)主星的初始狀態(tài)、期望狀態(tài)以及運動時間對主星的運動軌跡進行規(guī)劃,傅里葉級數(shù)的系數(shù)如下：

式中：=1,2,…,9。同時,在改進蜂擁控制器的作用下,主星將跟蹤規(guī)劃的參考軌跡,從星跟隨主星運動,如圖3所示。主星與參考軌跡之間的位置誤差如圖4所示。

圖3 衛(wèi)星集群運動軌跡Fig.3 Trajectories of the satellite cluster

圖4 主星的位置誤差Fig.4 Position errors of the leader satellite

在圖3中可以看出,星群能夠沿著參考軌跡實現(xiàn)穩(wěn)定的群體運動,并且在運動過程中始終保持優(yōu)化的通信拓撲。根據(jù)圖4中的主星位置誤差曲線,可以看出在控制器的作用下,主星跟蹤參考軌跡的位置誤差小于0.2 m,這說明主星能夠精確地跟蹤所設(shè)計的參考軌跡。

由控制器的形式可知,星群通信拓撲中存在直接通信的衛(wèi)星之間將保持期望通信距離400 m,并且在整個運動過程中,任意兩顆衛(wèi)星將保持在安全距離以外,而星群中所有衛(wèi)星的速度將會趨于一致,并收斂到期望的速度。星群中直接通信的衛(wèi)星之間的相對距離如圖5所示,所有衛(wèi)星之間的相對距離如圖6所示。

圖5 直接通信衛(wèi)星之間的相對距離Fig.5 Relative distance between satellites with direct communication

圖6 集群衛(wèi)星之間的相對距離Fig.6 Relative distance between satellites in a cluster

從圖5中可以看出,直接通信的衛(wèi)星之間的距離能夠快速收斂,并在640 s時到達穩(wěn)定,最終的跟蹤誤差小于0.4 m。而在圖6中能夠發(fā)現(xiàn),星群中的衛(wèi)星在整個的運動過程中,星間距離始終保持在安全距離之外。雖然在初始時刻存在衛(wèi)星間距小于安全距離的情況,但是在控制器的作用下,衛(wèi)星彼此快速分離,滿足碰撞規(guī)避的要求。

另外,所有衛(wèi)星的相對速度將在運動中趨于一致,并且最終收斂到參考軌跡的速度。星群衛(wèi)星與參考軌跡的速度跟蹤誤差如圖7所示。從圖7中的誤差曲線可以看出,當直接相連的衛(wèi)星收斂于期望距離后,衛(wèi)星的速度也開始收斂于參考速度,最后達到0.02 m/s的控制精度。值得注意的是,相對速度趨于一致是保證星群整體穩(wěn)定運動的關(guān)鍵。

圖7 星群中每顆衛(wèi)星的速度誤差Fig.7 Velocity errors of each satellite in a cluster

4 結(jié) 論

本文提出了一種改進的蜂擁衛(wèi)星集群控制策略。為了得到滿足通信約束的星群通信拓撲,利用基于Prim算法和廣度優(yōu)先算法計算出星群通信網(wǎng)絡(luò)的度、半徑約束生成樹。進而,根據(jù)任務(wù)需求采用基于傅里葉級數(shù)的形狀曲線逼近法對主星的參考運動軌跡進行了快速規(guī)劃。最后,考慮衛(wèi)星間通信時延、多擾動和推力約束,設(shè)計了結(jié)合傳統(tǒng)蜂擁控制與人工勢場法的改進蜂擁控制器,實現(xiàn)星群的無碰撞群體運動。數(shù)值仿真表明,本文設(shè)計的控制策略能夠在滿足各種約束的前提下,使星群以較高的控制精度快速安全地跟蹤參考軌跡,從而保證空間任務(wù)的順利實施。