趙志偉，郭明龍，魏兆成，王敏杰，舒 鑫，雍建華

(1.大連理工大學(xué)精密與特種加工教育部重點實驗室，大連 116024；2.沈陽鼓風(fēng)機集團股份有限公司，沈陽 110869)

0 引言

球頭鼓錐形銑刀是一種可以高效高精度加工小曲率曲面的新型刀具，其側(cè)銑加工時可以實現(xiàn)與曲面的線接觸，能夠?qū)④壽E行距增大到2 mm，效率比球頭銑刀高6倍以上。另一方面，球頭鼓錐形銑刀刀刃可以設(shè)計成大螺旋角、大前角結(jié)構(gòu)，有利于減小切削力、降低切削沖擊，改善表面質(zhì)量。

切削區(qū)間分析的目的是確定實際參與材料去除的刀刃區(qū)間，其與刀具幾何、曲面幾何、切深、步距、刀軸矢量和刀具軌跡等有關(guān)，加工過程中獲得準確的刀具切削區(qū)間是力學(xué)與動力學(xué)研究的前提。目前，主要有實體建模法、離散法和解析法。

實體建模法是基于ACIS、UG、CATIA等軟件，通過布爾求交運算獲得切削幾何接觸，其計算精度極高，但仿真過程需要計算、保存和讀取大量數(shù)據(jù)，計算效率較低。YANG等[1]通過可行接觸面對去除材料體積進行修剪，不需要大量提取曲面及曲面交點就可獲得刀-工接觸面，提高了計算效率。BOZ等[2]將刀具沿軸向離散為一系列的切削層，通過建模軟件將刀-工接觸邊界和二維圓盤圖相交，獲得每個切削層的切入角和切出角。ARAS等[3]將刀具與工件實體相交獲得去除材料體積，將去除材料體積分解為面并與可行接觸面相交獲得刀-工接觸邊界。

離散法將工件和刀具幾何特征劃分為網(wǎng)格單元，進行離散化處理，計算效率高，但會造成計算精度的損失。LAZOGLU[4]離散工件和刀具為微小單元，對比切削刃離散點和工件網(wǎng)格節(jié)點的高度差判斷該切削刃離散點是否與切削，從而獲得刀刃接觸區(qū)間。WEI等[5]通過邏輯數(shù)組區(qū)分刀-工接觸區(qū)域和非接觸區(qū)域。張臣等[6]基于Z-Map離散法，將刀具和工件的瞬時接觸區(qū)域保存為數(shù)據(jù)點的格式，并將刀具刀刃進行離散，將離散的刀刃單元坐標與數(shù)據(jù)點進行比較判斷該刀刃微元是否參與切削，最終確定參與切削的所有刀刃微元。ZHU等[7]通過離散的點向量描述工件曲面幾何，比較刀刃微元點與點向量之間的距離以判斷是否參與切削。

解析法是用數(shù)學(xué)表達式解析切削幾何的接觸，在能保證精度的條件下具有較高的計算效率。SUN等[8]利用已加工表面和待加工表面，迭代求解出刀刃參與切削的邊界點。WANG、GENG等[9-10]沿刀軸矢量離散球頭銑刀為一系列切削層，獲得三軸加工中每一層的切入切出角，通過坐標旋轉(zhuǎn)求解五軸加工刀具接觸區(qū)域。WEI、GUO等[11-12]等針對曲面平頭刀和球頭刀五軸加工探索了基于降維映射的解析法分析切削幾何，定義五軸加工的空間位置關(guān)系，并以其為新基底構(gòu)建抽象二維空間，建立刀位點與空間點集的映射關(guān)系，進一步簡化研究對象的維度，顯著降低切削幾何的研究復(fù)雜度。

球頭鼓錐形銑刀作為一種非標刀具，沒有成熟的產(chǎn)品，一般根據(jù)實際的加工用途進行設(shè)計、制造，薛帥[13]提出一種以加工條件為約束的球頭鼓錐形銑刀輪廓數(shù)學(xué)模型。球頭鼓錐形銑刀作為一種新型高性能刀具，相關(guān)切削力學(xué)與動力學(xué)研究尚未開展，由于其復(fù)雜的幾何輪廓，刀刃接觸區(qū)間的算法相較于傳統(tǒng)的標準刀具如球頭銑刀和平頭銑刀等更為復(fù)雜。本文提出以空間約束條件確定刀刃切削區(qū)間的解析算法，可以準確快速的獲得球頭鼓錐形銑刀曲面五軸加工時的刀刃切削區(qū)間，為之后切削力學(xué)和動力學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)。

1 曲面五軸加工參數(shù)化定義

曲面五軸加工過程中，刀具的軌跡復(fù)雜，刀具和工件間的空間位置多變。這一復(fù)雜的工況，會大大增加用解析法確定刀刃切削區(qū)間的復(fù)雜程度。為降低計算的復(fù)雜程度，基于微分離散的思想，將刀具軌跡離散為一系列的刀位點，每個刀位點處近似為微小的斜平面五軸加工，如圖1所示。

圖1 曲面五軸加工參數(shù)化分析

為了進一步簡化加工工況，準確描述加工時刀具與工件的空間位置關(guān)系，定義了工件坐標系、輔助坐標系和刀具坐標系以及進給方向角和刀軸傾斜角。

Ow-XwYwZw為工件坐標系，定義為刀具軌跡編程時的坐標系，在加工過程中保持不變。加工過程中的刀位點坐標、刀軸矢量和進給方向等信息都是基于該坐標系。

On-XnYnZn為輔助坐標系，定義原點On在球頭鼓錐形銑刀刀頭與刀桿分界面圓心位置，Zn軸為斜平面法向；Yn軸為刀具的瞬時進給方向，即一個刀位點和下一個刀位點的連線，位于斜平面內(nèi)；Xn軸用右手坐標系原則確定。在輔助坐標系的視角下，斜平面五軸加工轉(zhuǎn)換為平面五軸加工，進一步簡化了加工工況。

Oc-XcYcZc為刀具坐標系，定義原點Oc在球頭鼓錐形銑刀刀頭與刀桿分界面圓心位置，Zc軸為沿刀軸背離刀尖的方向；Xc軸由輔助坐標系Zn軸和刀具坐標系Zc軸叉乘獲得，因此Xc軸位于On-XnYn平面內(nèi)；Yc軸由右手坐標系原則確定。

進給方向角kf定義為刀具坐標系的Xc軸和輔助坐標系Yn軸之間的夾角，用于表示刀具相對于進給方向的偏轉(zhuǎn)角度。

刀軸傾斜角ka定義為刀具坐標系的Zc軸和輔助坐標系的Zn軸之間的夾角，用于表示刀具相對于工件法向的傾斜程度。

空間中的任意一點在輔助坐標系下的坐標(xn,yn,zn)和刀具坐標系下的坐標(xc,yc,zc)之間可以通過下式轉(zhuǎn)換：

(1)

式中，M1、M2為轉(zhuǎn)換矩陣，分別為：

2 球頭鼓錐形銑刀刀刃曲線表達式

建立刀刃曲線的數(shù)學(xué)表達式是通過解析法分析刀刃切削區(qū)間的基礎(chǔ)。球頭鼓錐形銑刀輪廓模型如圖2所示，其中包括球頭部分半徑r，mm；鼓錐形部分半徑R，mm；刀頭長度l，mm；刀頭頂部直徑d，mm；最大側(cè)傾角α同時定義刀具輪廓上任意一點與刀頭頂部圓心連線和刀具軸線之間的夾角為軸向位置角k，取值范圍為(0，90°)。

圖2 球頭鼓錐形銑刀刀頭部分輪廓參數(shù)

本文該輪廓模型基礎(chǔ)上，建立常見的等導(dǎo)程螺旋刃表達式。等導(dǎo)程螺旋刃是指在刀具旋轉(zhuǎn)一周時，刀刃上的任意一點沿軸向的移動距離相同。球頭鼓錐形銑刀從底部到頂部，回轉(zhuǎn)半徑逐漸增加。球頭鼓錐形銑刀的球頭部分和鼓錐形部分的回轉(zhuǎn)半徑變化規(guī)律不同，因此需要用不同的表達式分別表示。兩部分的分界點對應(yīng)的軸向位置角為k0，當k∈(0,k0)時，刀刃曲線位于球頭部分上，當k∈(k0,π/2)時，刀刃曲線位于鼓錐形部分上。

(1)球頭部分刀刃曲線。球頭部分第j條刀刃曲線的表達式為：

(2)

式中，β為該刀刃微元點與球心的連線和刀軸之間的夾角，其表達式為：

(3)

θz為該點的徑向位置角θ相對于刀刃起點處的徑向位置角θ0的滯后角度，其表達式為：

(4)

式中，N為刀具的刀刃數(shù)量；η為刀刃曲線的螺旋角。

(2)鼓錐形部分刀刃曲線。以鼓錐形部分刀刃曲線上任意一點P和刀軸為平面建立圖3所示的平面坐標系O-XY，L為鼓錐形曲線在P點處的切線，則該點滿足的幾何關(guān)系為：

(5)

圖3 球頭鼓錐形銑刀刀刃曲線幾何分析

式中，(x0,y0)為鼓錐形輪廓曲線的圓心坐標。

式(5)可以求出該點在平面坐標系O-XY下的坐標(x1,y1)，則該點在刀具坐標系下坐標為(x1sinθz,x1cosθz,y1)。整理可得鼓形部分第j條刀刃曲線的表達式為：

(6)

式中，

(7)

3 刀刃切削區(qū)間分析

刀刃的切削區(qū)間是指切削過程中實際參與材料去除的刀刃范圍。本文提出一種名為空間約束法的解析算法，可以直接計算刀刃切削區(qū)間，不需要計算刀具和工件的接觸區(qū)間，因此算法簡潔清晰，計算效率高。圖4為球頭鼓錐形銑刀平面五軸加工。

圖4 平面五軸加工的空間約束條件

將刀刃曲線離散化，則刀刃微元參與切削時應(yīng)滿足3個空間約束條件：進給方向下，刀刃微元應(yīng)在已加工面和待加工面交線ABC之前；刀刃微元應(yīng)該在前一條刀具軌跡掃掠面aa1之外；刀刃微元應(yīng)在待加工平面aa2之下。

遍歷刀刃的所有刀刃微元，可準確的計算出刀刃的切削區(qū)間的上界點對應(yīng)的軸向位置角ku和下界點對應(yīng)的軸向位置角kd。

(1)空間曲線ABC。將空間曲線ABC視為一系列的點組成，則每個點應(yīng)滿足的條件為：在輔助坐標系下，刀具輪廓上所有Xn軸坐標值相同的點中Zn軸坐標值最小的點，所以空間曲線ABC可以通過極值定理計算。

假設(shè)xn=a，其對應(yīng)的刀具輪廓上的極小值點可以通過拉格朗日乘子法求出：

minF(x,y,z)=-ysinka+zcoska

(8)

約束條件為：

①該點應(yīng)該在刀具輪廓上，其中位于球頭部分輪廓上表達式為：

x2+y2=r2-(r-z-l)2

(9)

位于鼓錐形部分輪廓上表達式為：

(10)

②刀具坐標系下刀具輪廓上的點轉(zhuǎn)換到輔助坐標系下應(yīng)滿足xn=a，表達式為：

(11)

輔助坐標系下刀刃微元點坐標(xn,yn,zn)，通過式(5)求出該點對應(yīng)的空間曲線ABC上的點(xn,ymin,zmin)，該點參與切削時必須滿足的條件為：

yn≥ymin

(12)

(13)

(3)待加工平面aa2。如圖5所示，在輔助坐標系下，待加工平面aa2距輔助坐標系原點的距離為h，有幾何關(guān)系可知：

h=(l-r)coska+r-dn

(14)

圖5 平面切削時幾何關(guān)系示意圖

式中，dn為切削厚度。

刀刃微元參與切削時，必須滿足的關(guān)系式為：

zn≤-h

(15)

綜上所述，刀刃微元點參與切削時，必須滿足的3個關(guān)系式為：

(16)

(4)算法流程?；谖⒎蛛x散的思想，將刀刃曲線的軸向位置角k為等分為n份，每一個刀刃微元對應(yīng)的軸向位置角為ki(i=1,2…n)，獲得每個ki對應(yīng)的刀具坐標系Oc-XcYcZc下的坐標(xci,yci,zci)，再由式(1)進行空間旋轉(zhuǎn)變換，得到輔助坐標系On-XnYnZn下的坐標(xni,yni,zni)，利用式(16)的判斷條件判斷刀刃微元是否參與切削。

從刀刃起點處(i=1)開始，沿刀刃曲線逐個判斷每個刀刃微元點是否參與切削，直到找到兩個連續(xù)的刀刃微元點，ki參與切削且ki-1不參與切削，則切削區(qū)間的下界點kd就位于這兩個刀刃微元點之間。沿著刀刃曲線繼續(xù)尋找，直到找到兩個連續(xù)的刀刃微元點，ki不參與切削且ki-1參與切削，則切削區(qū)間的上界點ku就位于這兩個刀刃微元點之間。具體流程如圖6所示。

圖6 空間約束法算法流程圖

為了提高計算效率，刀刃曲線的軸向位置角k離散的步距Δk較大，獲得的連續(xù)的兩個刀刃微元點ki和ki-1之間的差值較大。對于獲得的刀刃上界點區(qū)間和下界點區(qū)間，需要通過黃金分割法進行精確計算，以獲得準確的上界點和下界點。通過設(shè)置的允許誤差Δe，可以控制求解精度，Δe值越小，求解精度越高。以尋找刀刃切削區(qū)間下界點kd為例，算法流程如圖7所示。

圖7 黃金分割法算法流程圖

將刀具的徑向位置角依次增加2jπ/N，可以計算出刀具所有刀刃的切削區(qū)間。將旋轉(zhuǎn)位置角按[0,2π]離散，重復(fù)進行上述的算法流程，可以求出刀具旋轉(zhuǎn)一圈時，一條刀刃在各個旋轉(zhuǎn)角下的切削區(qū)間。

4 刀刃切削區(qū)間仿真

實體建模法作為計算切削區(qū)間的一種方法，雖然效率比較低，但可以認為是絕對精確的，因此將實體建模法作為驗證空間約束法求解精度的標準。利用Unigraphics NX建模軟件分別仿真了斜平面和葉片曲面五軸加工時的刀刃切削區(qū)間，并與空間約束法求出的刀刃切削區(qū)間進行了對比驗證。

(1)斜平面五軸加工。設(shè)置的刀具參數(shù)和加工參數(shù)如表1和表2所示。

表1 平面五軸加工中刀具參數(shù)和切削參數(shù)

表2 平面五軸加工中切削參數(shù)

在Unigraphics NX中建立斜平面模型，并通過布爾運算減去前一條刀具軌跡切除的體積。隨機選取1個刀位點，在刀位點處按照刀具參數(shù)生成刀具模型。工件模型和刀具模型布爾運算求交可以獲得刀具和工件的接觸區(qū)域?；诳臻g約束法，計算出刀具旋轉(zhuǎn)一周時，刀刃切削區(qū)間的上界點和下界點，并且導(dǎo)入到工件模型中，刀刃切削區(qū)間的上下界點全部位于刀具-工件接觸區(qū)域的邊界線上，其中紅點為上界點，藍點為下界點，如圖8所示。

同時在刀具旋轉(zhuǎn)位置角20°、70°、100°、130°、180°、220°、255°、280°、320°、350°處添加刀刃曲線，即獲得實體建模法求出的刀刃切削區(qū)間的上下界點。兩種方法的求解結(jié)果對比如圖9所示，其中k0線為球頭和鼓錐形部分刀刃微元點徑向位置角分界線。兩種方法獲得的切削區(qū)間上下界點完全相同，證明了空間約束法計算的斜平面五軸加工刀刃切削區(qū)間具有絕對的精度。

圖8 空間約束法求得的切削區(qū)間上下界點驗證 圖9 斜平面五軸加工刀刃切削區(qū)間仿真結(jié)果對比

使用實體建模法獲得刀刃切削區(qū)間時，運算過程中需要進行大量的建模和布爾運算，效率十分低下。并且獲得刀具旋轉(zhuǎn)一周時，各個旋轉(zhuǎn)位置角下的刀刃切削區(qū)間則需要進行大量的重復(fù)操作或者對軟件進行二次開發(fā)。而本文提出的空間約束法，在個人的i5處理器、8 G運行內(nèi)存的計算機上進行計算上述實例時，僅僅花費5.4 s，便可獲得刀具各個旋轉(zhuǎn)位置角下的刀刃切削區(qū)間，在效率上比實體建模法有顯著的優(yōu)勢。

(2)葉片曲面五軸加工。為檢驗提出的空間約束法在曲面五軸加工中的精度，安排了葉片曲面五軸加工仿真，安排的刀具參數(shù)同表1，切削參數(shù)如表3所示。

表3 葉片曲面五軸加工中切削參數(shù)

圖10 葉片曲面五軸加工三維建模

在Unigraphics NX建立葉片模型，刀具軌跡通過葉片的邊界曲線生成。布爾運算減去前一條刀具軌跡切除的體積。沿刀具軌跡選取4個刀位點，在每個刀位點處按照刀具參數(shù)生成刀具模型，葉片模型和刀具模型布爾運算求交可以獲得刀具和工件的接觸區(qū)域。

在刀位點1處按照刀具旋轉(zhuǎn)角度30°、45°、60°、75°、140°、155°、170°、185°、295°、310°、325°、340°生成刀刃曲線，刀刃曲線與刀具-工件接觸區(qū)域邊界的交點即為刀刃切削區(qū)間的上下界點，通過測量角度工具即可獲得上下界點的軸向位置角?；谇懊嫣岢龅目臻g約束法，求解出刀具旋轉(zhuǎn)一周時，三條刀刃切削區(qū)間的上下界點。刀位點1處葉片曲面五軸加工刀刃切削區(qū)間仿真結(jié)果的對比如圖11所示。

圖11 刀位點1處葉片曲面五軸刀刃切削區(qū)間仿真結(jié)果對比

分別求出4個刀位點處，刀具旋轉(zhuǎn)角度為30°、45°、50°、75°時刀刃切削區(qū)間的上下界點，空間約束法的求解精度如表4所示。

表4 空間約束法在葉片曲面五軸加工中的求解精度

空間約束法在求解葉片曲面五軸加工時存在誤差，其主要原因是該方法基于微分離散的思想將曲面近似為斜平面加工，但實際上刀位點處的曲面并不是絕對的斜平面，曲率增大會降低計算精度。但球頭鼓錐形銑刀主要用于加工小曲率曲面，因此誤差不超過3%，對于切削力學(xué)以及切削動力學(xué)建模的影響較小，幾乎可以忽略不計，同時可以提高徑向位置角的離散精度、降低允許誤差的值等方法提高計算精度?？傊抡娴慕Y(jié)果證明了空間約束法在計算曲面五軸加工切削區(qū)間上的應(yīng)用是完全可行的。

5 結(jié)束語

根據(jù)新型球頭鼓錐形銑刀輪廓模型，建立等導(dǎo)程螺旋刀刃曲線的表達式。針對小曲率曲面加工中復(fù)雜的工況，基于微分離散的思想，將曲面加工離散為一系列的斜平面加工。對斜平面加工參數(shù)化定義，通過輔助坐標系將斜平面加工轉(zhuǎn)換為平面加工，通過刀軸傾斜角和進給方向角表示刀具與工件和進給方向的位置關(guān)系，降低了曲面五軸加工切削區(qū)間分析的復(fù)雜程度。

基于空間幾何，提出一種解析計算刀刃切削區(qū)間的算法。構(gòu)建出空間約束條件對所有刀刃微元逐一判斷是否參與切削，以確定整個刀刃切削區(qū)間的上下界點。安排了實體建模法的斜平面和葉片曲面五軸加工仿真，對比結(jié)果表明：空間約束法在平面五軸加工切削幾何分析中具有絕對的精度，在葉片曲面五軸加工切削幾何分析中雖然有一定的誤差，但最大誤差不超過3%，對于切削力學(xué)和動力學(xué)建模的影響是在可接受的范圍內(nèi)。并且空間約束法的計算效率比實體建模法大大提高，能同時兼顧效率和精度，并且可以降低生產(chǎn)成本。