霍李，王媛，高洪飛，那光耀

(中國人民解放軍63853部隊，白城 137001)

火炮回轉(zhuǎn)部分繞回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動實現(xiàn)與下架(或車體)之間的相對轉(zhuǎn)動[1]?；剞D(zhuǎn)軸與火炮上的一些特殊點的相對位置，會對火炮技術(shù)狀態(tài)產(chǎn)生影響，比如：轉(zhuǎn)管炮主側(cè)滾輪與回轉(zhuǎn)軸的相對位置影響其受力[2-3]，火炮回轉(zhuǎn)質(zhì)心與回轉(zhuǎn)軸的水平距離對彈丸起始擾動影響較大[4-6]。在火炮試驗中，也需要測量火炮上的一些特定點與回轉(zhuǎn)軸的水平距離，比如：在方向射界[7]、火炮偏離角[8]、調(diào)炮精度[9-10]及炮身軸線偏移[11]等檢測中需要用瞄準鏡豎軸與回轉(zhuǎn)軸的水平距離對結(jié)果進行修正；在彈道修正[12]中用雷達轉(zhuǎn)軸與回轉(zhuǎn)軸的水平距離來參與坐標轉(zhuǎn)換；炮塔轉(zhuǎn)動阻尼系數(shù)測試[13]中需要彈簧在身管連接點距炮塔回轉(zhuǎn)軸的水平距離參與計算。因此，準確測量出火炮上給定的特定點與火炮回轉(zhuǎn)軸之間的水平距離，對火炮的試驗鑒定具有現(xiàn)實意義。

然而，對于具體的火炮來說，其回轉(zhuǎn)軸的位置通常是未知的?？尚械囊环N方法是，先在火炮上標記出回轉(zhuǎn)中心的位置[14]，再測量出目標點至回轉(zhuǎn)軸的水平距離。但是，這種方法不僅在標記回轉(zhuǎn)中心時操作復雜，而且由于標記點在炮塔頂部與火炮上的多數(shù)待測點不通視，在現(xiàn)場很難進行水平距離測量。

為此，在通過測邊網(wǎng)法實現(xiàn)火炮回轉(zhuǎn)中心相對坐標解算[15-17]的基礎上，將被測的特定點投影到水平面上，計算出特定點與火炮回轉(zhuǎn)軸的水平距離；采用蒙特卡洛方法對測量過程中的影響因素進行模擬，比較有無冗余測量數(shù)據(jù)對測量結(jié)果的差異，為現(xiàn)場實施提供了新思路，同時為國家軍用標準修訂提供了依據(jù)。

1 回轉(zhuǎn)圓三垂點

炮身水平時，火炮方向旋轉(zhuǎn)360°，炮身前端面中心在水平面上的投影圓稱為火炮回轉(zhuǎn)圓。在回轉(zhuǎn)圓上選取3個點進行測量的方式稱為“回轉(zhuǎn)圓三垂點”。在同一水平面上，通過其中的2個點采用距離交會的方式確定特定點的投影點坐標，無任何冗余測量數(shù)據(jù)，稱為非冗余測距法；通過其中的3個點采用距離交會的方式，存在1條冗余數(shù)據(jù)，稱為冗余測距法。

1.1 非冗余測距法

回轉(zhuǎn)圓三垂點法非冗余測距在解算火炮回轉(zhuǎn)圓參數(shù)時，根據(jù)文獻[15]提供的三邊法進行。如圖1所示，在現(xiàn)場是通過測量回轉(zhuǎn)圓上3個投影點A、B、C之間的距離l1、l2、l3作為邊長構(gòu)成三角形。該三角形的外接圓為回轉(zhuǎn)圓，其圓心為回轉(zhuǎn)中心O，其半徑為回轉(zhuǎn)圓半徑Razi，按式(1)計算。點T為特定點在水平面上的投影點，l4、l5分別為點T與點A、點B之間的距離。

圖1 三邊網(wǎng)Fig.1 Trilateration network

(1)

以點A為坐標原點，點B為x軸正方向上的點，右手準則確定y軸，建立平面相對坐標系。由于圖形的其余點均在x軸一側(cè)，令其余點在y軸正方向上。回轉(zhuǎn)中心O(xO,yO)的相對坐標計算公式為

(2)

則特定點在水平面上的投影點T(xT,yT)的相對坐標計算公式為

(3)

點T與回轉(zhuǎn)中心O之間的距離dOT的計算公式為

(4)

該方法，無任何冗余測量數(shù)據(jù)，測量結(jié)果的精度完全取決于現(xiàn)場各邊長(距離)的測量精度。

1.2 冗余測距法

在圖1的基礎上，再測量測點C與點T之間的距離l6，便得到圖2所示的冗余測邊網(wǎng)。

圖2 回轉(zhuǎn)圓三垂點冗余測邊網(wǎng)Fig.2 Redundant trilateration network for three vertical points of artillery slewing circle

在圖2中，由觀測邊長li(i=1,2,…,6)可按三角形邊角關(guān)系計算得到角度值βj(j=1,2,…,9)；通過平差處理后的邊長為l′i(i=1,2,…,6)，也可計算得到平差后的角度值β′j(j=1,2,…,9)。

則角度改正數(shù)vβj及邊長改正數(shù)vli的計算公式分別為

vβj=β′j-βj

(5)

vli=l′i-li

(6)

在圖2中，可以列出平差值條件方程為

β′1+β′2+β′3=360°

(7)

由式(5)和式(7)得到以角度改正數(shù)表示的圖形條件，可表示為

vβ1+vβ2+vβ3+ω=0

(8)

式(8)中：ω為角度閉合差，其計算公式為

ω=β1+β2+β3-360°

(9)

在圖2中，β1的計算公式為

(10)

在圖2中，β1至其對邊的高h1的計算公式為

h1=l4sinβ4=l5sinβ5

(11)

β1的角度改正數(shù)vβ1與邊長改正數(shù)的關(guān)系式為[16]

(12)

式(12)中：ρ≈206 264.8″為弧度與角秒的換算系數(shù)。

按式(12)的規(guī)律寫出圖2中β2、β3的角度改正數(shù)方程vβ2、vβ3，代入式(8)整理可得到條件方程為

a1vl1+a2vl2+…+a6vl6+ω=0

(13)

令A=[a1a2…a6]，Vl=[vl1vl2…vl6]T，則式(13)變換為AVl+ω=0。設聯(lián)系數(shù)ka，則等精度測量時按最小二乘原理得到的法方程為

AATka+ω=0

(14)

則有

ka=-(AAT)-1ω

(15)

有

Vl=ATka=-AT(AAT)-1ω

(16)

各邊長平差值l′i的計算公式為

l′i=li+vli，i=1,2,…,6

(17)

由邊長平差值l′i，分別按式(2)和式(3)計算回轉(zhuǎn)中心O′(x′O,y′O)和特定點T′(x′T,y′T)的相對坐標。再按式(4)計算出兩點在水平面上的距離d′OT。

2 回轉(zhuǎn)圓四垂點冗余測距法

在回轉(zhuǎn)圓上選取4個點進行測量的方式稱為回轉(zhuǎn)圓四垂點。由于在現(xiàn)場點間距的測量，相比垂點的投影標記，其工作量較小。因此，通常都會采集所有的點間距，構(gòu)成3條冗余數(shù)據(jù)的冗余測邊網(wǎng)，如圖3所示。

圖3 回轉(zhuǎn)圓四垂點冗余測邊網(wǎng)Fig.3 Redundant trilateration network for four vertical points of artillery slewing circle

在圖3中，點A、點B、點C和點D為回轉(zhuǎn)圓上選取的4個點，由觀測邊長li(i=1,2,…,10)可按按式(10)的規(guī)律計算得到角度值βj(j=1,2,…,24)；βj至其對邊的高hj可按式(11)計算。通過平差處理后的邊長為l′i(i=1,2,…,10)，也可計算得到平差后的角度值β′j(j=1,2,…,24)。平差值條件方程為

(18)

式(18)按式(5)的規(guī)律得到以角度改正數(shù)表示的圖形條件為

(19)

式(19)中：ω1、ω2、ω3為角度閉合差，其計算公式為

(20)

按式 (12)的規(guī)律，得到式(19)中的角度改正數(shù)vβj與邊長改正數(shù)vli的關(guān)系式為

(21)

把式(21)代入式(19)整理可得條件方程為

(22)

式(22)中：a1～a10、b1～b10、c1～c10分別為合并后vl1～vl10的系數(shù)。

按式(14)～式(16)的規(guī)律，有

(23)

各邊長平差值l′i的計算公式為

l′i=li+vli，i=1,2,…,10

(24)

由邊長平差值l′i，按式(3)的規(guī)律計算出點A′(x1,y1)、點B′(x2,y2)、點C′(x3,y3)、點D′(x4,y4)及點T′(x′T,y′T)的相對坐標。將點A′、B′、C′及D′的相對坐標代入式(25)，求出參數(shù)a、b和c。

(25)

將參數(shù)a和b代入式(26)得到圓心O′(x′O,y′O)相對坐標。再按式(4)計算出兩點在水平面上的距離d′OT。

(26)

3 模擬分析

3.1 測量誤差

在檢測現(xiàn)場，是直接測量水平地面上垂點之間的距離，不可避免地存在測量誤差，稱之為點間距測量誤差，其測量標準差記為σl。

水平地面上的垂點，是通過鉛垂將火炮上預設標記點投影到水平地面上標記得到。在標記垂點的過程中，鉛垂很難做到絕對靜止，往往會繞投影點進行輕微擺動；另外，所做的標記點也不完全和鉛垂點重合。上述各種原因?qū)е聵擞浀拇裹c與投影點位置的差異稱為垂點位置標記誤差，其測量標準差記為σr。

通常情況下，即便進行火炮調(diào)平操作，火炮的回轉(zhuǎn)面也不一定絕對水平?；鹋谡{(diào)平后，回轉(zhuǎn)面與水平面之間的夾角，稱為火炮調(diào)平誤差，其測量標準差記為σα。

在現(xiàn)場實施時，應當考慮構(gòu)形對測量精度的影響，盡量做到回轉(zhuǎn)圓上的點分布均勻。但在實際標記點時可能會與預設出現(xiàn)偏差，稱為標記點位置分布不均勻，對應的圓心角標準差記為ση。

3.2 蒙特卡洛方法的實施步驟

步驟1構(gòu)建火炮回轉(zhuǎn)半徑R，以及特定點至火炮回轉(zhuǎn)軸的水平距離d。

步驟2以各測量誤差ε在概率上符合正態(tài)分布特征，即ε∈N(0,σ2)，選取合適的測量標準差σl、σr、σα、ση，仿真出測量過程中的1組偽隨機數(shù)(εl,εr,εα,εη)。

步驟3由給定值R、d與偽隨機數(shù)εη，解算出火炮回轉(zhuǎn)圓上各標記點坐標和特定點坐標。

步驟4由偽隨機數(shù)εα，通過坐標轉(zhuǎn)換，得到回轉(zhuǎn)圓上各標記點在水平面上的投影點坐標和特定點投影坐標。

步驟5由偽隨機數(shù)εr，解算出垂點在水平坐標系上的坐標。

步驟6由偽隨機數(shù)εl計算出各邊的模擬值li。

步驟7計算水平面上回轉(zhuǎn)中心和特定點的相對坐標。

回轉(zhuǎn)圓三垂點非冗余測距法，由邊長模擬值li按式(2)和式(3)分別計算O(xO,yO)和T(xT,yT)。

冗余測距法：先由各邊的模擬值li通過測邊網(wǎng)平差處理得到各邊的平差值l′i，按式(3)的規(guī)律計算出點A′、B′、C′、D′及點T′(x′T,y′T)的相對坐標，再按式(26)計算回轉(zhuǎn)中心O′(x′O,y′O)的相對坐標。

步驟8按式(4)計算幾種方法的特定點與火炮回轉(zhuǎn)中心的距離dc。

步驟9重復步驟2～步驟8的過程m次，計算得到幾種方法各m個距離模擬樣本(dc1,dc2,…,dcm)。對樣本進行統(tǒng)計，得到特定點與火炮回轉(zhuǎn)中心距離的測量結(jié)果標準差δd，其計算公式為

(27)

3.3 蒙特卡洛模擬分析

3.3.1 測量實施的基本條件

設定測量實施的基本條件為：σl=1 mm、σr=1 mm、σα=1°、ση=1°；取火炮回轉(zhuǎn)半徑R=5 000 mm，特定點至火炮回轉(zhuǎn)軸的水平距離d=1 000 mm；Monte Carlo方法模擬抽樣m=105次。

得到回轉(zhuǎn)圓三垂點非冗余測距法、冗余測距法以及回轉(zhuǎn)圓四垂點冗余測距法的特定點與火炮回轉(zhuǎn)中心距離的測量結(jié)果標準差δd分別為1.72、1.56、1.27 mm。

3.3.2 點間距測量誤差

在基本條件的基礎上，分別取點間距測量標準差σl為不同值時得到的特定點與火炮回轉(zhuǎn)中心距離的測量結(jié)果標準差δd，結(jié)果如表1所示。

表1的結(jié)果表明：隨著點間距測量標準差σl的增加，3種測量方法的測量結(jié)果標準差都呈顯著的上升趨勢；在σl≤5 mm 范圍內(nèi)，冗余測距法始終比非冗余測距法的測量誤差?。辉谌哂鄿y距法中，回轉(zhuǎn)圓四垂點明顯優(yōu)于回轉(zhuǎn)圓三垂點。

3.3.3 垂點位置標記誤差

在基本條件的基礎上，分別取垂點位置標記誤差測量標準差σr為不同值時得到的“特定點與火炮回轉(zhuǎn)中心距離”的測量標準差，結(jié)果如表2所示。

表2 垂點位置標記誤差對結(jié)果的影響Table 2 Influence of vertical point position marking error on results

表2的結(jié)果表明：隨著σr的增加，3種測量方法的測量結(jié)果標準差都呈上升趨勢；在σr≤5 mm 范圍內(nèi)，冗余測距法始終比非冗余測距法的測量誤差??；在冗余測距法中，回轉(zhuǎn)圓四垂點相對回轉(zhuǎn)圓三垂點具有優(yōu)勢。

3.3.4 火炮調(diào)平誤差

在基本條件的基礎上，分別取火炮調(diào)平誤差測量標準差σα為不同值時得到的“特定點與火炮回轉(zhuǎn)中心距離”的測量標準差，結(jié)果如表3所示。

從表3可以看出：隨著火炮調(diào)平誤差σα的增加，幾種測量方法的測量結(jié)果標準差都呈顯著的上升趨勢；在σα≤5°范圍內(nèi)，冗余測距法始終比非冗余測距法的測量誤差小；特別是當σα接近5°時，回轉(zhuǎn)圓四垂點冗余測距法的測量結(jié)果受σα的影響明顯比其他兩種小，優(yōu)勢顯著。

表3 火炮調(diào)平誤差對結(jié)果的影響Table 3 Influence of gun leveling error on results

3.3.5 標記點位置分布不均勻

在基本條件的基礎上，分別取標記點位置分布不均勻?qū)膱A心角標準差ση為不同值時得到的“特定點與火炮回轉(zhuǎn)中心距離”的測量標準差，結(jié)果如表4所示。

表4 標記點位置分布不均勻?qū)Y(jié)果的影響Table 4 Influence of uneven distribution of marker points on results

從表4可以看出：在ση≤5°范圍內(nèi)，標記點位置分布不均勻?qū)追N測量方法的測量結(jié)果影響都不大，冗余測距法始終比非冗余測距法的測量誤差??；在冗余測距法中，“回轉(zhuǎn)圓四垂點”明顯優(yōu)于“回轉(zhuǎn)圓三垂點”。

4 結(jié)論

在測邊網(wǎng)法測量火炮回轉(zhuǎn)圓參數(shù)的基礎上，本文提出系列測量火炮上特定點與火炮回轉(zhuǎn)軸的水平距離的方法。

(1)在檢測現(xiàn)場可實現(xiàn)的測量條件下，3種方式得到的測量誤差都小于2 mm。

(2)隨著測量條件的改變，冗余測距法始終比非冗余測距法的測量誤差小。

(3)在條件許可的情況下，建議采用回轉(zhuǎn)圓四垂點冗余測距法。