安博 孟欣雨 桑為民,2)

* (西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

? (中國空氣動力研究與發(fā)展中心結(jié)冰與防除冰重點實驗室,四川綿陽 621000)

** (翼型、葉柵空氣動力學(xué)國家重點實驗室,西安 710072)

引言

過渡流臨界特性作為流體力學(xué)中的經(jīng)典問題長期受到學(xué)界的關(guān)注.Hof 等[1]在Science上撰文強調(diào),過渡流臨界特性的研究對揭示流動物理本質(zhì)起到了至關(guān)重要的作用,同時對流場演化模式起到了決定性的作用.他們認為,流場演化是個極為復(fù)雜的過程,需要細節(jié)化的分類探索來準確把握諸如湍流等復(fù)雜流場的物理特性.Avila 等[2]也在Science上撰文闡述,過渡流研究對認識流場的重要作用,對比經(jīng)典的Landau-Ruelle-Takens 流場演化模式,他們認為混沌的空間擴散是湍流特性的決定性過程和固有本質(zhì).同時Graham[3]在Nature上也介紹了過渡流的概念,文中再次強調(diào)了過渡流臨界特性研究的重要性,同時指出過渡流的相關(guān)研究為解釋更為復(fù)雜的流動現(xiàn)象鋪平了道路.此外諸多學(xué)者[4-13]在Annual Review of Fluid Mechanics和Journal of Fluid Mechanics上先后強調(diào)了過渡流臨界特性研究在流體力學(xué)研究中的應(yīng)用價值.雖然他們就不同視角從不同層面探討了不同的內(nèi)容,但是學(xué)者們一致肯定了過渡流研究的重要性和必要性,在正確認識物理本質(zhì)的同時不斷推進本學(xué)科的蓬勃發(fā)展,為解決更為復(fù)雜的流動問題打下了堅實的基礎(chǔ).

作為過渡流臨界特性的核心研究內(nèi)容,流動分岔點(flow bifurcations)表征的是流場不同流動狀態(tài)(定常流動、非定常周期性流動、非定常準周期性流動、湍流) 的物理特性臨界點.常見的流動分岔點,比如Hopf 流動分岔點,它的出現(xiàn)意味著此時的流動隨雷諾數(shù)增加已經(jīng)從定常狀態(tài)演化至非定常周期性狀態(tài),流動會隨時間產(chǎn)生周期的循環(huán)變化.根本原因是流場穩(wěn)定性被破壞了,取而代之的是流場周期性特征.隨著雷諾數(shù)進一步增加,流動的非定常周期特性也逐漸遭到破壞,此時的流動雖然繼承了部分周期性流動的物理特性,但逐漸出現(xiàn)了準周期性流動的典型特征,即基于龐加萊映射的雙環(huán)形結(jié)構(gòu).此時的流動不再以單一頻率振蕩,流動表現(xiàn)出長周期和短周期的雙頻振蕩.而Neimark-Sacker 流動分岔點正是非定常周期性流動和非定常準周期性流動的臨界點;Period-doubling 流動分岔點出現(xiàn)后,標志著流場從非定常周期性流動躍變至湍流;再比如定常狀態(tài)下,區(qū)別不同拓撲結(jié)構(gòu)流場解的Saddle-node流動分岔點和在研究流場拓撲結(jié)構(gòu)時捕捉到的Pitchfork 流動分岔點.這樣的基礎(chǔ)研究,對準確認識流場的物理特性意義巨大.

作者在之前的研究工作[14-15]中針對三角腔頂蓋驅(qū)動內(nèi)流,經(jīng)典方腔頂蓋驅(qū)動內(nèi)流以及上下邊雙驅(qū)動方腔內(nèi)流開展了全面的流場穩(wěn)定性分析研究.較為完整地揭示了以上流動問題的流場過渡流臨界特性.同時發(fā)現(xiàn)流場拓撲結(jié)構(gòu)的 π 旋轉(zhuǎn)對稱性與流場穩(wěn)定性密切相關(guān),對流場的演化也有較大影響.根據(jù)之前的研究經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)對稱驅(qū)動條件對于腔體內(nèi)流的過渡流臨界特性影響非常大.當驅(qū)動條件布置在相向的兩個邊界時,會導(dǎo)致流場內(nèi)的鏡像和 π 旋轉(zhuǎn)對稱性,而這些流場對稱性又與流場的穩(wěn)定性息息相關(guān),對更好地理解流場物理規(guī)律有重要意義.而單邊鏡像對稱驅(qū)動內(nèi)流的相對缺乏,沒有形成完整的體系化的研究.本文獨特的單邊鏡像驅(qū)動條件使得頂蓋的剪應(yīng)力分布相較于常規(guī)邊界驅(qū)動內(nèi)流發(fā)生了巨大變化,導(dǎo)致了流場具有更強的失穩(wěn)性,其流動機理也更為復(fù)雜.為了進一步明晰鏡像對稱性與流場穩(wěn)定性的關(guān)系及對流場演化的影響規(guī)律,針對鏡像對稱頂蓋驅(qū)動內(nèi)流開展過渡流臨界特性研究.

1 不可壓縮LBM 計算模型

本文的研究目的在于揭示鏡像對稱頂蓋驅(qū)動方腔內(nèi)流的過渡流臨界特性,數(shù)值模擬工作以低馬赫數(shù)和低雷諾數(shù)為主.所涉及馬赫數(shù)為Ma=0.173 2,雷諾數(shù)為Re≤20 000,因此選取傳統(tǒng)格子Boltzmann方法[16-19]中的經(jīng)典單松弛碰撞遷移模型作為本文數(shù)值模擬的計算模型,且使用了目前應(yīng)用最廣泛的LBGK D2Q9 模型[20].其中平衡態(tài)分布函數(shù)的構(gòu)造為

式中,ωi和ei分別對應(yīng)離散時空模型中不同離散方向的權(quán)系數(shù)和離散速度,即

其中,c=Δx/Δt=1 為格子速度,Δx為網(wǎng)格步長,Δt為時間步長.格子Boltzmann 控制方程為

其中,fi為碰撞遷移前的分布函數(shù),Fi為碰撞遷移前的分布函數(shù),τ 為松弛時間. ρ 和u為流體粒子的宏觀密度和速度,即

2 數(shù)值模擬背景

2.1 計算域構(gòu)建及參數(shù)設(shè)計

均勻直角網(wǎng)格具有網(wǎng)格質(zhì)量好,魯棒性高等特點,其網(wǎng)格結(jié)構(gòu)天然契合格子Boltzmann 方法的碰撞遷移理論,因此在LBM 數(shù)值模擬中得到了廣泛應(yīng)用.本文使用的均勻直角網(wǎng)格,網(wǎng)格分辨率為1024×1024,網(wǎng)格步長 Δx=1/1024,在之前的研究工作中[15]我們已經(jīng)開展了相關(guān)的網(wǎng)格獨立性驗證,研究結(jié)果表明這個網(wǎng)格尺度足以保證計算結(jié)果的精確性和可靠性.尤其對于腔體內(nèi)流流場在Re≤20 000 的計算狀態(tài)下,能夠保證y+＜0.5,具備捕捉邊界層流動信息的能力.如圖1 所示,計算域特征長度L=1.0 是方腔的邊長.頂蓋鏡像對稱驅(qū)動條件為

本文在過渡流臨界特性分析研究中設(shè)計了兩個數(shù)值模擬信息采集點(如圖1 所示)Plm(x=0.25,y=0.5)和Prm(x=0.75,y=0.5) 用于記錄流場中局部速度隨時間的變化曲線.同時,為了研究流場拓撲結(jié)構(gòu)的鏡像對稱性,設(shè)計了對稱性參數(shù) ξ,定義為

圖1 計算域Fig.1 Computational domain

其中,ulm和vlm是點Plm(x=L/4,y=L/2)水平和垂直速度分量,而urm和vrm是對應(yīng)的點Prm(x=3L/4,y=L/2)的水平和垂直速度分量.

2.2 邊界條件處理

本文數(shù)值模擬的邊界條件均為平直邊界(方腔四個邊).其中頂蓋為驅(qū)動邊界,其余三邊均為物面邊界.為此本文采用了經(jīng)典的非平衡態(tài)外推格式[21].該格式的基本思想是,將邊界節(jié)點上的分布函數(shù)分為平衡態(tài)和非平衡態(tài)兩部分.其中,平衡態(tài)部分由平衡態(tài)分布函數(shù)的定義近似獲得,而非平衡態(tài)部分則用非平衡態(tài)外推法求解.

如圖2 所示點D,E和F為遠場邊界點,根據(jù)LBM 的演化(碰撞遷移)原理可知,在每次演化之前需要求解每個點的分布函數(shù),對于E點其分布函數(shù)可看作兩部分: 平衡態(tài)分布函數(shù)和非平衡態(tài)分布函數(shù),即

圖2 平直物面邊界Fig.2 Straight wall boundary

因此,可以近似求解E點的分布函數(shù)

若考慮邊界點的碰撞過程,則邊界點E的分布函數(shù)為

綜上,可以確定壁面邊界和驅(qū)動邊界點的分布函數(shù),各邊界點宏觀物理量構(gòu)造如下

3 計算結(jié)果與分析討論

3.1 定常流動

根據(jù)流動的演化機理,隨著雷諾數(shù)的增加流動會從定常狀態(tài)演化為非定常狀態(tài)[22-23].本文選取Re=1000時的數(shù)值模擬結(jié)果作為鏡像對稱頂蓋驅(qū)動內(nèi)流定常結(jié)果的代表.如圖3(a)和圖3(b)所示,分別介紹了該雷諾數(shù)下的流線圖和渦量圖.由流場拓撲結(jié)構(gòu)可見,由于對稱驅(qū)動的作用,流動在此時保持了非常好的對稱性,兩個對稱主渦幾乎占據(jù)了整個計算域,主渦的周邊存在著兩對對稱次級渦.從主渦和次級渦的演化和分布規(guī)律可以觀察到腔體內(nèi)流的典型特征.此外,本文數(shù)值模擬結(jié)果中其余的所有渦量圖都使用了如圖3(b)所示的統(tǒng)一色條.

圖3(c)描繪了信息采集點Plm和Prm的水平速度分量及對稱性參數(shù)隨時間的變化曲線,其中t是無量綱流場演化步數(shù).從三個曲線中可以看出此時的流動收斂于一個定常狀態(tài)且進一步從數(shù)值方面證明,此時的流動是嚴格對稱的(ξ ≡0).相較于之前的研究工作[14-15],沒有發(fā)現(xiàn)類似三角腔頂蓋驅(qū)動內(nèi)流的Saddle-node 流動分岔點,說明對于定常流動,只存在一種流場解,這與經(jīng)典的頂蓋驅(qū)動方腔內(nèi)流研究結(jié)論一致.

圖3 Re=1000 時的定常計算結(jié)果Fig.3 Steady state atRe=1000

3.2 非定常流動

本文選取了三個計算狀態(tài)分別揭示周期性流動(Re=1700)、準周期性流動(Re=1735) 和湍流(Re=20 000)的流場特性.

圖4 展示了不同雷諾數(shù)信息采集點Prm的水平速度分量及通過傅里葉變換之后的速度頻譜曲線.可以看出當雷諾數(shù)增加至1700 時流動已經(jīng)演化為非定常周期性流動,此時流場穩(wěn)定性已被破壞,取而代之的是以頻率為f=1/T=0.343 的周期性振蕩.當雷諾數(shù)進一步增加至1735 時,流動演化為非定常準周期性流動,雖然保留了周期性流動的部分特征,但是此時的流動不在以周期性單一頻率振蕩演化.從圖中可以看到代表準周期性流動典型特征的雙頻率,其中f1=0.338 是從周期性流動繼承而來的基本頻率,而f2=0.169 是伴隨周期性流動出現(xiàn)的調(diào)制頻率,其他頻峰則是基本頻率和調(diào)制頻率的線性組合.當雷諾數(shù)增加至20 000 時,流場已完全被湍流取代,但是從速度頻譜圖中仍可以觀察到之前準周期性流動的雙頻率,而圍繞雙頻率頻峰的基本都是寬帶噪音.此時從速度曲線圖也可以看到流動演化的無序性和隨機性.圖5 給出了對應(yīng)雷諾數(shù)的速度相圖,其中閉合的單一曲線代表了周期性流動.而準周期性流動的相圖不再是單一閉合的曲線,也不是混沌狀態(tài)的一團亂麻(湍流),而是介于二者之間的過渡狀態(tài),其物理特性既繼承了周期性流動的部分特征同時預(yù)示了可能出現(xiàn)的湍流.

圖4 速度頻譜圖Fig.4 Velocity spectrum

圖5 速度相圖Fig.5 Velocity phase map

結(jié)合圖6,展示了周期性流動在一個完整周期內(nèi)不同時刻的流場拓撲結(jié)構(gòu).圖6(a) 給出了周期性流動完整周期內(nèi)水平速度隨時間的變化曲線以及不同時刻的選取方式.此時,流動仍舊繼承了流動定常解拓撲結(jié)構(gòu)的主要特征,可以觀察到兩個主渦及其附近的次級渦依舊存在,只不過整個流場以f=0.343的頻率循環(huán)振蕩.

圖6 完整周期內(nèi)不同時刻渦量圖(Re=1700)Fig.6 Vorticity snapshots at different time steps within a full period T (Re=1700)

圖7 描述了準周期性流動(Re=1735)在不同龐加萊交叉點的流場拓撲結(jié)構(gòu),給出了準周期性流動龐加萊交叉點的選取方式.圖中urm代表準周期性解信息采集點Prm處沿x方向的速度分量代表準周期性解調(diào)制頻率f2對應(yīng)的長周期在一個整周期內(nèi)的速度隨時間t的曲線.龐加萊交叉點的選取滿足urm=-0.003 46 和的條件.圖7(b)～圖7(d)分別展示了準周期性解在不同時刻(龐加萊交叉點)的瞬時渦量圖,雖然整體流動趨勢基本一致,但是流動細節(jié)有不同的呈現(xiàn)(見圖7(d)所示的對應(yīng)不同時刻的流函數(shù)).這是因為此時流場已經(jīng)演化為準周期性流動,盡管龐加萊交叉點的選取方式一致,但是對應(yīng)的是準周期性解調(diào)制頻率f2所對應(yīng)的長周期在不同時刻的瞬時渦量圖.可以想象,如果此時的流動仍為周期性流動,那么這三個時刻對應(yīng)的計算結(jié)果將完全一致.這也進一步證實了流動此時已經(jīng)演化為準周期性流動的事實.從流場拓撲結(jié)構(gòu)來看,此時的準周期性解與周期性解的差別不是特別明顯,需要從流動細節(jié)觀察區(qū)分.因為流動剛從周期性演化至準周期性不久,其準周期性特征不是特別明顯,單從流場拓撲結(jié)構(gòu)很難區(qū)分.

圖7 準周期性解(Re=1735)Fig.7 A quasi-periodic solution (Re=1735)

結(jié)合圖8 分析了湍流流動狀態(tài)的流場特性,圖8(a)揭示了湍流狀態(tài)下的能量頻譜圖,可以看到湍流慣性子區(qū)的斜率為 -5/3,跟文獻[24-26]的結(jié)論一致.伴隨能量級串現(xiàn)象的出現(xiàn),大尺度的渦結(jié)構(gòu)已破碎變成細小的渦結(jié)構(gòu),而能量也依次傳遞至小尺度的渦結(jié)構(gòu)直至Kolmogorov 尺度的能量耗散現(xiàn)象.

圖8 湍流狀態(tài)計算結(jié)果Fig.8 Results for chaos

圖8(b)給出了某一特定時刻的流場拓撲結(jié)構(gòu),其中實線代表逆時針旋轉(zhuǎn)的渦,虛線代表順時針旋轉(zhuǎn)的渦,雖然此時流場已演化至湍流,流動已變得隨機和無序,但是部分特征仍舊明顯,如流場內(nèi)大尺度的渦結(jié)構(gòu)都發(fā)生了破壞,此時主導(dǎo)流場拓撲結(jié)構(gòu)的基本都是小尺度的細碎渦結(jié)構(gòu).并且每個尺度的渦結(jié)構(gòu)都有對應(yīng)的振蕩頻率,如圖8(b)所示,頻峰f1所對應(yīng)的頻率為主渦的振蕩頻率,相較于定常結(jié)果(見圖3),主渦的結(jié)構(gòu)發(fā)生了明顯破壞,且尺度變小.頻峰f2,f3,和f4分別對應(yīng)不同位置的次級渦的振蕩頻率.頻峰f5和f6對應(yīng)邊角處次級渦的振蕩頻率.除了這些較大尺度的渦系結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的振蕩頻率,從能量頻譜曲線中還可以觀察到其他頻峰對應(yīng)的附著在主渦和次級渦周圍的細碎渦的頻率.

3.3 Hopf 流動分岔點

隨著雷諾數(shù)的增加,流動會從定常狀態(tài)演化至非定常狀態(tài),本文針對鏡像對稱頂蓋驅(qū)動方腔內(nèi)流,根據(jù)研究不同雷諾數(shù)下的擾動衰減系數(shù)(Lyapunov指數(shù)) ε=ln(urm-Uˉ),發(fā)現(xiàn)流場穩(wěn)定性最初的破壞伴隨Hopf 流動分岔點的出現(xiàn)而發(fā)生,這與我們之前研究工作[14-15]中的結(jié)論一致.如圖9 所示,當雷諾數(shù)從1500 增至1692 時,擾動衰減系數(shù)的斜率不斷增大,從一個負值逐漸趨向于0.當擾動衰減系數(shù)的斜率變?yōu)? 時,說明此時流動已經(jīng)演化為非定常周期性流動,意味著Hopf 流動分岔點出現(xiàn)在雷諾數(shù)等于1691 和1692 之間.對比經(jīng)典的頂蓋驅(qū)動方腔內(nèi)流[14-15,27-28](ReH=8025±25),我們發(fā)現(xiàn),該流場的穩(wěn)定性非常差,很容易失穩(wěn).說明頂蓋鏡像驅(qū)動對于腔體內(nèi)流有很強的失穩(wěn)作用.

圖9 擾動衰減系數(shù)Fig.9 Perturbation decay rate

3.4 Neimark-Sacker 流動分岔點

隨著雷諾數(shù)的進一步增加,從1725 增至1735,流動由非定常周期性流動演化為非定常準周期性流動.說明Neimark-Sacker 流動分岔點出現(xiàn)在雷諾數(shù)等于1725 和1735 之間.圖10(a)和圖10(b)分別展示了速度頻譜圖和相圖,其中黑色和紅色曲線分別代表雷諾數(shù)為1725 和1735 的計算結(jié)果.結(jié)合圖10(a),可以觀察到周期性解的振蕩頻率為f=0.338,其他頻峰均為f的整數(shù)倍,為基本頻率的諧振頻率.而準周期性解則有兩個頻率,分別為基本頻率f1=0.333,調(diào)制頻率f2=0.169,其他頻峰則是f1和f2的線性組合,如f3=f1+f2=0.502 ,f4=f1+2f2=0.671.如圖10(b)所示,周期性解的相圖是一個閉合的單一曲線,而準周期性解的相圖則由一組曲線族構(gòu)成.類似頂蓋驅(qū)動和頂?shù)纂p邊驅(qū)動方腔內(nèi)流[14-15],研究發(fā)現(xiàn)流動非定常周期性的破壞通常都是伴隨Neimark-Sacker 流動分岔點的出現(xiàn)而發(fā)生.沒有發(fā)現(xiàn)類似三角腔頂蓋驅(qū)動和四邊驅(qū)動方腔內(nèi)流時所出現(xiàn)的Period-doubling流動分岔點.并且類似其他腔體內(nèi)流流動,流動的非定常周期性并不能長期保持,隨著雷諾數(shù)增加,伴隨準周期性流動典型雙環(huán)形結(jié)構(gòu)的出現(xiàn),流動很快會進一步演化為準周期性流動.

圖10 周期性和準周期性計算結(jié)果對比Fig.10 Comparison between periodic and quasi-periodic solutions

3.5 湍流始現(xiàn)

經(jīng)歷了Neimark-Sacker 流動分岔點之后,當雷雷諾數(shù)增加至1750 時,流場演化逐漸表現(xiàn)出無序性和隨機性,說明湍流出現(xiàn)在雷諾數(shù)等于1735 和1750之間.圖11(a)和圖11(b)分別展示了速度頻譜圖和速度相圖,其中黑色和紅色曲線分別代表雷諾數(shù)為1735和1750 的計算結(jié)果.從速度頻譜圖(圖11(a))可以明顯觀察到準周期性解的兩個頻率,分別為基本頻率f1=0.333,調(diào)制頻率f2=0.169.當雷諾數(shù)增加至1750 時,雖然仍舊可以觀察到從準周期性流動中繼承來的兩個振蕩頻率,但是被一系列寬頻噪音所包圍,說明此時流動已然變?yōu)橥牧?如圖11(b)所示,準周期性解的速度相圖是閉合的曲線族(圖11(b)局部放大圖),而湍流的速度相圖明顯是一個無序、隨機的混亂系統(tǒng),更進一步證實此時流動特性主要表現(xiàn)為湍流.至此,流動的演化路徑已基本明晰,這與頂蓋和頂?shù)纂p邊驅(qū)動內(nèi)流的研究結(jié)論保持一致,即流動先從定常演化為非定常周期性,再演化為準周期性流動,最終演化為湍流.

圖11 準周期性和湍流計算結(jié)果對比Fig.11 Comparison between quasi-periodic and chaotic solutions

3.6 流場鏡像對稱性

由于本文的驅(qū)動條件為嚴格的頂蓋鏡像對稱,所以流動在初期表現(xiàn)出了嚴格的對稱性,且對稱性參數(shù)一直為0(見圖3).但是當我們觀察對稱性參數(shù)(圖12)時,可以看到當Hopf 流動分岔點出現(xiàn)時,對稱性參數(shù)不再是0,且隨著雷諾數(shù)增大而逐漸增加.這就說明當Hopf 流動分岔點出現(xiàn)時,伴隨著流場穩(wěn)定性的破壞,流場鏡像對稱性也發(fā)生了破壞,這與我們之前研究[15]中觀察到的結(jié)論類似,即流場 π 旋轉(zhuǎn)對稱性與流場穩(wěn)定性同時喪失.同時對比與該流動較為類似的Taylor-Couette 流動,我們發(fā)現(xiàn)了相同的結(jié)論,鏡像對稱性的破壞往往伴隨著流場穩(wěn)定性的喪失,流動不可能不經(jīng)歷對稱性破壞而直接演化為湍流[29-30].

圖12 不同雷諾數(shù)的對稱性參數(shù)Fig.12 Symmetry at different Re

雖然此時對稱參數(shù)在數(shù)量級上非常小,但是足以說明流場對稱性在逐漸喪失,這樣的微小差別在肉眼觀察流場拓撲結(jié)構(gòu)時很難發(fā)現(xiàn).但隨著雷諾數(shù)進一步增加,流場非對稱性就可以直觀地顯現(xiàn)出來(見圖6).圖13 展示了流場演化之標準周期性流動時的速度曲線和對稱性參數(shù)曲線.可以清晰地看到此時的對稱參數(shù)以0.015 左右的振幅周期性振蕩.

圖13 水平速度分量及對稱性參數(shù)(Re=1700)Fig.13 Velocity and symmetry series (Re=1700)

3.7 流動滯后

在本文之前的研究工作中,我們發(fā)現(xiàn)對于頂蓋鏡像對稱驅(qū)動方腔內(nèi)流這一特定流場,Hopf 流動分岔點出現(xiàn)在雷諾數(shù)等于1691 和1692 之間.這個結(jié)論從圖14 中也可進一步證實,當雷諾數(shù)增加至1700 時,流動從定常狀態(tài)演化至非定常周期性流動.如圖所示,紅色符號代表由初始狀態(tài)計算得到的結(jié)果,而黑色符號意味著,首先基于初始狀態(tài)計算得到周期性結(jié)果(Re=1700),然后在此基礎(chǔ)上計算雷諾數(shù)小于1700 的流動.其中×代表定常結(jié)果,△,□ 和 ○ 分別代表非定常周期性流動的最小值、平均值和最大值.

圖14 流動滯后現(xiàn)象Fig.14 Flow hysteresis

如圖所示,基于Re=1700 的周期性結(jié)果將雷諾數(shù)分別降至1600,1500 和1400,流動仍然保持周期性特性,并非之前觀察到的定常結(jié)果(由初始態(tài)計算得到),說明存在流動滯后(flow hysteresis)現(xiàn)象.進一步降低雷諾數(shù)至1350,此時流動才回落至定常狀態(tài),說明流動滯后現(xiàn)象發(fā)生在 1350 ＜Re＜1700 這個區(qū)間.同時也說明此前捕捉到的Hopf 流動分岔點為亞臨界(subcritical)形式.流動滯后現(xiàn)象的出現(xiàn)意味著在 1350 ＜Re＜1700 這個區(qū)間,對應(yīng)的每個雷諾數(shù)會有兩種解的可能性,一種是定常狀態(tài),另一種是周期性狀態(tài).并且,根據(jù)觀察得到,此周期性流動的基本規(guī)律與之前基于初始狀態(tài)計算得到的周期性解特性基本一致.如圖15 所示,展示了Re=1600 時的周期性解在一個完整周期內(nèi)不同時刻的渦量圖.

圖15 完整周期內(nèi)不同時刻渦量圖(Re=1600)Fig.15 Vorticity snapshots at different time steps within a full period T (Re=1600)

4 結(jié)論

針對鏡像對稱頂蓋驅(qū)動方腔內(nèi)流,本文開展了流動從定常流動到湍流的數(shù)值模擬和流場穩(wěn)定性分析研究,捕捉并解釋各種流動現(xiàn)象,從物理層面揭示該流場的流動機理,具體結(jié)論如下.

(1) 流場穩(wěn)定性的破壞是以Hopf 流動分岔點的出現(xiàn)而開始.

(2) 相較于經(jīng)典頂蓋方腔驅(qū)動內(nèi)流,流場穩(wěn)定性更容易喪失,Hopf 流動分岔點的臨界雷諾數(shù)為ReH=1691.5±0.5.

(3) 流場穩(wěn)定性被破壞的同時,也喪失了流場鏡像對稱性.

(4) 流動喪失穩(wěn)定性后會迅速從非定常周期性流動演化為非定常準周期性流動,Neimark-Sacker 流動分岔點出現(xiàn)在ReNS=1712.5±12.5.

(5) 當雷諾數(shù)增至ReC=1762.5±12.5,湍流出現(xiàn),流動變得無序隨機.

(6) 當流動進一步演化后,隨著雷諾數(shù)增大,大尺度的渦結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞變成小尺度的細碎渦結(jié)構(gòu),同時能量從大尺度的渦結(jié)構(gòu)傳遞至小尺度的渦結(jié)構(gòu)直至Kolmogorov 尺度的能量耗散.

(7) 流場演化遵循經(jīng)典的Ruelle-Takens 模式,從定常演化為非定常周期性流動,再到準周期性流動,最后演化為湍流.

(8) 在 1350 ＜Re＜1700 這個區(qū)間存在流動滯后現(xiàn)象,對于同一個雷諾數(shù)有兩種可能的解,一種是定常流動,另一種是非定常周期性流動.并且發(fā)現(xiàn)Hopf流動分岔點為亞臨界型.

為了更好地分析上文介紹的三種典型流動狀態(tài)(非定常周期性流動、非定常準周期性流動和湍流)的流場拓撲結(jié)構(gòu)特征,本文準備了相關(guān)視頻動畫進一步展示了流場細節(jié).同時對應(yīng)流動滯后現(xiàn)象,還準備了對應(yīng)同一個雷諾數(shù)可能的非定常周期性解的流動特性.