陳生昌 劉亞楠 李代光
(浙江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院,浙江杭州 310027)
隨著油氣勘探開發(fā)目標(biāo)由構(gòu)造型油氣藏轉(zhuǎn)化為巖性油氣藏、構(gòu)造巖性復(fù)合型油氣藏和非常規(guī)油氣藏,對(duì)地震數(shù)據(jù)反演成像技術(shù)的要求越來越高,不僅對(duì)地震數(shù)據(jù)全波形反演技術(shù)實(shí)用化的呼聲越來越強(qiáng)烈,而且要求以地下構(gòu)造成像為目標(biāo)的波動(dòng)方程偏移方法應(yīng)保幅、保真,還希望地震數(shù)據(jù)反演結(jié)果能直接反映地層的物性變化。
以獲取地下波阻抗空間變化的地層物性反演成像技術(shù)自20世紀(jì)70年代以來得到了很大的發(fā)展,如疊后地震波阻抗反演[1-6]、基于Zoeppritz方程及其近似的彈性阻抗反演[7-13]和全波形反演[14-16]。疊后波阻抗反演雖然具有計(jì)算效率高的優(yōu)勢(shì),也是當(dāng)前生產(chǎn)中比較常用的技術(shù),但由于地震數(shù)據(jù)水平疊加處理固有的不足,因此疊后波阻抗反演方法在復(fù)雜地區(qū)的應(yīng)用受到限制。基于Zoeppritz方程及其近似的AVO和AVA反演方法直接在疊前數(shù)據(jù)道集上進(jìn)行,可有效地利用地震振幅隨炮檢距或入射角變化的信息,能用于多種物性和巖性參數(shù)的反演。由于Zoeppritz方程是一種描述平面波入射到無窮大平界面的反射、透射和波型轉(zhuǎn)換的理論[17],因此該方程對(duì)于實(shí)際地震勘探中常見的非平面波和非平界面可能會(huì)不適應(yīng)。利用基于物性參數(shù)(如波阻抗)的波動(dòng)方程全波形反演,數(shù)理嚴(yán)謹(jǐn),可完整地利用地震波場(chǎng)的時(shí)空變化信息,但計(jì)算量大,對(duì)地震數(shù)據(jù)要求高(如要求數(shù)據(jù)有盡可能低的低頻信息和大炮檢距數(shù)據(jù))[18],是油氣地震勘探近30年的研究熱點(diǎn)和亟待突破的技術(shù)。
給定一個(gè)具有地震波運(yùn)動(dòng)學(xué)特征準(zhǔn)確的地下介質(zhì)光滑模型,得到以地下反射率為模型參數(shù)的地震數(shù)據(jù)線性正演公式,地震偏移可視為一種有關(guān)地下反射率的線性反演[19-20]。Zhang等[21-22]基于真振幅逆時(shí)偏移提出了一種速度和波阻抗反演方法,并認(rèn)為角度域共成像點(diǎn)道集的小角度成像結(jié)果主要反映波阻抗的變化,大角度成像結(jié)果主要反映速度的變化,為利用波動(dòng)方程偏移實(shí)現(xiàn)地下波阻抗反演提供了思路。但是該方法所用的真振幅逆時(shí)偏移中的成像條件是源于Bleistein等[19,23]利用Kirchhoff近似導(dǎo)出的成像公式。而Kirchhoff近似中反射波與入射波間的關(guān)系僅適合平面波小于臨界角入射到無窮大平界面的特殊情況,而不適合實(shí)際地震勘探中常見的非平面波和非平界面。陳生昌等[24-26]曾利用推導(dǎo)出的反射波線性依賴于阻抗相對(duì)擾動(dòng)的反射波方程,開展了有關(guān)波阻抗相對(duì)變化成像、波阻抗擾動(dòng)的近似反演和最小二乘反演方法的初步研究,為利用反射地震數(shù)據(jù)進(jìn)行地層成像打下了基礎(chǔ)。
針對(duì)以上有關(guān)波阻抗或地層物性參數(shù)反演成像存在的問題和關(guān)于地震數(shù)據(jù)波動(dòng)方程偏移成像的認(rèn)識(shí),以及對(duì)不同模型參數(shù)的地震數(shù)據(jù)正演公式會(huì)產(chǎn)生不同的反演目標(biāo)和反演算法的認(rèn)知[27],本文基于波動(dòng)方程偏移的概念,利用用于地震數(shù)據(jù)偏移的光滑介質(zhì)模型,根據(jù)地震波傳播理論導(dǎo)出了基于地下反射體波阻抗相對(duì)擾動(dòng)的地震數(shù)據(jù)線性正演公式; 然后在此基礎(chǔ)上結(jié)合線性反演理論,研究利用地震數(shù)據(jù)對(duì)地下反射體的波阻抗相對(duì)擾動(dòng)的近似反演,構(gòu)建以波阻抗變化為主要目標(biāo)的地震數(shù)據(jù)地層成像方法。將提出的地震數(shù)據(jù)地層成像方法分別應(yīng)用于標(biāo)量波方程描述的地震數(shù)據(jù)和聲波方程描述的地震數(shù)據(jù),均取得了理想的成像結(jié)果。
在常規(guī)油氣地震勘探中,地表激發(fā)的地震波向地下傳播,當(dāng)?shù)卣鸩ㄓ龅椒蔷鶆蝮w或地層分界面時(shí)會(huì)產(chǎn)生散射或反射等次生波,再向上傳播到地表被檢波器接收。地震波在地下的傳播和散射(或反射)可用波動(dòng)方程描述,如變密度聲波方程
=s(t)δ(x-xs)
(1)
式中:u(x,t;xs)為壓力波場(chǎng);ρ(x)為密度場(chǎng);v(x)為速度場(chǎng);s(t)為震源函數(shù);x=(x,y,z),為空間坐標(biāo);xs為震源位置。
式(1)中,波場(chǎng)u(x,t;xs)與右端震源項(xiàng)呈線性關(guān)系(震源項(xiàng)不包含波場(chǎng)u(x,t;xs)),與地下介質(zhì)密度ρ(x)和速度v(x)呈非線性關(guān)系,這種非線性關(guān)系可表示為
u=F(ρ,v)
(2)
式中F是關(guān)于ρ和v的非線性函數(shù)。將隨空間變化的密度ρ(x)和速度v(x)用背景模型和擾動(dòng)模型表示,即
(3)
式中:ρb(x)和vb(x)分別為介質(zhì)的背景密度和背景速度; Δρ(x)和Δv(x)分別為相對(duì)于背景密度和背景速度的擾動(dòng)。本文不僅要求ρb(x)和vb(x)光滑變化,還要求在背景密度和背景速度下地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征與真實(shí)介質(zhì)中地震波一致。
如果取式(1)中的密度和速度為背景密度和背景速度,有
=s(t)δ(x-xs)
(4)
式中ub(x,t;xs)為背景密度和背景速度下的壓力波場(chǎng),也稱為背景波場(chǎng)。如果式(4)右端的震源函數(shù)s(t)為脈沖函數(shù),則該方程對(duì)應(yīng)的解即為背景密度和背景速度下的Green函數(shù)g(x,t;xs)。利用背景波場(chǎng)ub(x,t;xs)和Green函數(shù)g(x,t;xs),并根據(jù)Lippmann-Schwinger方程的級(jí)數(shù)展開式和一階Born近似,式(2)可近似為
u=ub+gpub
(5)
式中p為式(1)中的波動(dòng)算子與式(4)中的波動(dòng)算子之差,即
(6)
式(5)右端第二項(xiàng)稱為由速度和密度擾動(dòng)產(chǎn)生的一階Born近似擾動(dòng)波場(chǎng),有
up=u-ub=gpub
(7)
與式(5)所對(duì)應(yīng)的波動(dòng)方程為
(8)
式中av和aρ分別為速度和密度的相對(duì)擾動(dòng),即
(9)
由于ρb(x)和vb(x)的光滑性,ub(x,t;xs)不包含散射波和反射波,因此在地表觀測(cè)情況下,有ub(xr,t;xs)=0,其中xr為檢波點(diǎn)坐標(biāo)。對(duì)于式(7)中一階Born近似的擾動(dòng)波場(chǎng),有
(10)
式中:Ω表示av和aρ的空間分布范圍; “*t”表示時(shí)間方向的褶積。利用分部積分法,式(10)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為[11]
(11)
對(duì)于非均勻體產(chǎn)生的擾動(dòng)波場(chǎng),陳生昌等[20]根據(jù)非均勻體分布范圍Ω的尺寸與地震波長(zhǎng)之間的相對(duì)大小關(guān)系,把相對(duì)于地震波長(zhǎng)為小尺度的非均勻體產(chǎn)生的擾動(dòng)波場(chǎng)稱為散射波場(chǎng),相應(yīng)的非均勻體稱為散射體; 而把相對(duì)于地震波長(zhǎng)為大尺度的非均勻體產(chǎn)生的擾動(dòng)波場(chǎng)稱為反射波場(chǎng),相應(yīng)的非均勻體稱為反射體。為了得到基于反射體波阻抗擾動(dòng)的反射波場(chǎng),根據(jù)文獻(xiàn)[26,28],式(11)可表示為
(12)
式中:uR(xr,t;xs)為采集到的反射波場(chǎng);σ為反射波傳播方向與入射波傳播方向間的反射開角;IR(x,σ)稱為波阻抗相對(duì)擾動(dòng),有IR(x,σ)=av+aρ×(1+cosσ)。對(duì)于沿反射面法向的入射及其反射,有σ=0,則
IR(x,σ=0)=av+2aρ
(13)
式中:Ib(x)=vb(x)ρb(x),為背景介質(zhì)波阻抗; ΔI(x)=Δ[v(x)ρ(x)]=ρ(x)Δv(x)+v(x)Δρ(x),為波阻抗擾動(dòng)。式(12)即為基于波阻抗相對(duì)擾動(dòng)的地震反射波場(chǎng)線性正演表示,對(duì)應(yīng)的波動(dòng)方程為
(14)
在式(14)中,波場(chǎng)uR(x,t;xs)與右端源項(xiàng)成線性關(guān)系。
上述線性關(guān)系依賴于反射體波阻抗相對(duì)擾動(dòng)的地震反射波場(chǎng)表達(dá)式(式(12))和式(14),是本文利用反射地震數(shù)據(jù)獲取地下波阻抗空間變化的地層成像方法的理論基礎(chǔ)。
地震數(shù)據(jù)的正演是地震數(shù)據(jù)反演的基礎(chǔ)。利用上述基于波阻抗相對(duì)擾動(dòng)的地震數(shù)據(jù)線性正演公式,結(jié)合線性反演理論,可構(gòu)建以波阻抗擾動(dòng)為目標(biāo)的地震數(shù)據(jù)地層成像方法。
式(12)兩邊對(duì)時(shí)間做Fourier變換,有
(15)
式中:上劃“~”表示在頻率域;ω表示圓頻率。令
(16)
則式(15)可寫為
(17)
將式(17)寫為矩陣形式,有
d=Lm
(18)
由式(18)中各個(gè)矩陣的數(shù)學(xué)物理性質(zhì)可知,求解式(18)中的m相當(dāng)于反演源(產(chǎn)生反射波場(chǎng)的虛源)[29]。根據(jù)線性最小二乘反演理論,式(18)的最小二乘解為
m=L-1d=(L*L)-1L*d
(19)
式中L-1、L*分別為傳播矩陣L的最小二乘逆和伴隨矩陣。在地震數(shù)據(jù)的反演中,特別是三維地震數(shù)據(jù)的反演中,矩陣L的規(guī)模通常非常大,(L*L)-1的計(jì)算在當(dāng)前的計(jì)算機(jī)條件下難以直接實(shí)現(xiàn)。因此,在地震數(shù)據(jù)的反演中通常把式(19)近似(即用L*代替L-1)為
ma=L*d
(20)
式中ma為m的近似結(jié)果。
式(20)相比于式(19),不僅計(jì)算量大為減少,而且計(jì)算更穩(wěn)定。式(19)通常被稱為對(duì)m的最小二乘反演,式(20)為對(duì)m的近似反演或成像。地震數(shù)據(jù)的逆時(shí)偏移就是采用類似式(20)的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)對(duì)地下反射率的成像。式(20)中L*對(duì)波場(chǎng)d的運(yùn)算表示波場(chǎng)d的伴隨傳播。這種波場(chǎng)的伴隨傳播,在地震數(shù)據(jù)的反演成像中,是通過波場(chǎng)的逆時(shí)傳播實(shí)現(xiàn)的[16]。
由于矩陣m中各個(gè)元素的組成不僅包含有x處待成像的波阻抗相對(duì)擾動(dòng),還含有頻率域的二階導(dǎo)數(shù)和x處已知的背景波場(chǎng)以及背景密度與背景速度,因此需要從ma中消除背景波場(chǎng)、背景密度和背景速度,并處理好頻率域的二階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,才能得到x處波阻抗相對(duì)擾動(dòng)的成像結(jié)果。
根據(jù)上述的推導(dǎo)和論述,關(guān)于IR(x,σ)成像的計(jì)算步驟歸納如下:
(1)應(yīng)用式(3)計(jì)算背景波場(chǎng)ub(x,t;xs);
(2)利用伴隨傳播對(duì)式(14)右端虛源項(xiàng)成像,即地表波場(chǎng)uR(xr,t;xs)的逆時(shí)傳播
(21)
(22)
式中Tmax為地震數(shù)據(jù)的記錄長(zhǎng)度。
上述波阻抗相對(duì)擾動(dòng)成像的計(jì)算步驟與地震數(shù)據(jù)逆時(shí)偏移基本相同,僅在第(3)步的成像公式存在差別。本文的成像公式(式(22))是根據(jù)本文的地震反射波場(chǎng)線性正演公式(式(12))和反射波動(dòng)方程(式(14))得到的。
為了得到反射開角σ域的成像結(jié)果IR(x,σ),在應(yīng)用成像公式(式(22))之前,需要先對(duì)x處的波場(chǎng)uR(x,t;xs)和ub(x,t;xs)進(jìn)行角度分解[30-31],得到角度域的波場(chǎng)uR(x,t,θR;xs)和ub(x,t,θI;xs),其中θR為反射角(即z軸方向沿逆時(shí)針與反射波傳播方向間的夾角),θI為入射角(即z軸方向沿逆時(shí)針與入射波傳播方向間的夾角),有σ=π+θI-θR。IR(x,σ)可進(jìn)一步表示為
(23)
因此式(22)的成像公式在角度域可寫為
(24)
對(duì)于式(24),如果σ比較小,則成像結(jié)果主要反映波阻抗的相對(duì)擾動(dòng)ΔI(x)/Ib(x); 如果σ比較大,則成像結(jié)果主要反映速度的相對(duì)擾動(dòng)Δv(x)/vb(x)。利用角度域成像公式(式(24))得到的角度域共成像道集是進(jìn)一步物性和巖性分析、反演的基礎(chǔ)。
如果在成像過程中不考慮密度變化,僅考慮地下介質(zhì)的速度變化,則可用標(biāo)量波方程代替聲波方程描述地震波,即
(25)
對(duì)應(yīng)的地層性成像結(jié)果是地下介質(zhì)的速度相對(duì)擾動(dòng)av(x),相應(yīng)的計(jì)算步驟為:
(1)計(jì)算背景波場(chǎng)ub(x,t;xs)
(26)
(2)地表反射波場(chǎng)uR(xr,t;xs)的逆時(shí)傳播
(27)
(3)速度相對(duì)擾動(dòng)av(x)的成像
(28)
由于標(biāo)量波方程中的波場(chǎng)是標(biāo)量,不涉及方向,因此利用標(biāo)量波波動(dòng)方程的物性成像方法只能得到角度域平均的速度相對(duì)擾動(dòng),而不能得到類似于式(24)的角度域成像結(jié)果。
式(3)、式(21)、式(22)和式(24)表示以波阻抗相對(duì)擾動(dòng)為目標(biāo)的地震數(shù)據(jù)地層成像方法,式(26)~式(28)為以速度相對(duì)擾動(dòng)為目標(biāo)的地震數(shù)據(jù)地層成像方法。本文的地震數(shù)據(jù)地層成像方法雖然是以地震數(shù)據(jù)線性表示為基礎(chǔ),但實(shí)現(xiàn)過程與波動(dòng)方程逆時(shí)偏移一致,都需波場(chǎng)外推和成像。如果不進(jìn)行波場(chǎng)角度分解的角度域成像,則地層成像方法的計(jì)算量與逆時(shí)偏移基本相當(dāng)。此外,本文的地層成像方法對(duì)背景模型的要求與逆時(shí)偏移也是相同的,即要求有一個(gè)空間光滑變化的背景模型,背景模型的地震波運(yùn)動(dòng)學(xué)特征與真實(shí)模型一致。
基于上述認(rèn)識(shí),將本文提出的方法稱為基于波動(dòng)方程偏移的地震數(shù)據(jù)地層成像方法。
為了驗(yàn)證本文的地層成像方法的正確性和有效性,對(duì)兩個(gè)模型的合成數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)。由于方法的計(jì)算步驟和計(jì)算公式以及對(duì)模型的要求與逆時(shí)偏移相同,因此主要驗(yàn)證方法的正確性。
假定地下介質(zhì)的密度為常數(shù),僅考慮地下介質(zhì)的速度變化,使用標(biāo)量波動(dòng)方程描述地震波的傳播。圖1為用于合成地震數(shù)據(jù)的速度模型,是部分Sig-sbee2A模型。模型尺寸為3km×3km,網(wǎng)格間距為15m。應(yīng)用波動(dòng)方程有限差分方法合成地震數(shù)據(jù),震源為主頻20Hz的Ricker子波,炮間距為30m,共101炮; 道間距為15m,每炮有201道。圖2為圖1經(jīng)過平滑、用于速度相對(duì)擾動(dòng)成像的背景速度模型,圖3為由圖1和圖2得到的速度相對(duì)擾動(dòng)的理論模型。
圖1 Sigsbee2A部分速度模型
圖2 Sigsbee2A背景速度模型
利用本文提出的標(biāo)量波地震數(shù)據(jù)地層性成像方法,對(duì)合成地震數(shù)據(jù)進(jìn)行速度相對(duì)擾動(dòng)的地層成像(圖4)。對(duì)比圖4與圖3可見,圖4的地層成像結(jié)果準(zhǔn)確地反映了圖3的速度相對(duì)擾動(dòng)變化。由于模型邊部的地震波照明能量不足,致使模型邊部的成效果較差。為了與模型理論值進(jìn)行仔細(xì)對(duì)比,提取圖3和圖4中x=1500m處的單道曲線,如圖5所示,可見,成像結(jié)果中的速度相對(duì)擾動(dòng)與模型的理論速度相對(duì)擾動(dòng)具有較高的一致性。由此可知,本文提出的速度相對(duì)擾動(dòng)成像方法可以有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)地層速度擾動(dòng)的成像。
圖3 Sigsbee2A模型理論速度相對(duì)擾動(dòng)
圖4 Sigsbee2A模型的速度相對(duì)擾動(dòng)成像結(jié)果
圖5 Sigsbee2A模型速度擾動(dòng)成像結(jié)果(紅)與理論值(藍(lán))的單道對(duì)比
同時(shí)考慮地下介質(zhì)的密度和速度變化,使用聲波方程描述地震波的傳播。圖6和圖7分別為用于合成地震數(shù)據(jù)的隨機(jī)層狀速度和密度模型,尺寸是3000m×1500m,兩個(gè)方向的網(wǎng)格間距均為10m。應(yīng)用波動(dòng)方程有限差分方法合成地震數(shù)據(jù),震源是主頻為20Hz的Ricker子波,炮間距為20m,共151炮; 道間距為10m,每炮有301道。圖8和圖9分別為用于地層成像的光滑背景速度模型和光滑背景密度模型。
圖6 隨機(jī)層狀速度模型
圖7 隨機(jī)層狀密度模型
圖8 隨機(jī)層狀模型的背景速度
圖9 隨機(jī)層狀模型的背景密度
根據(jù)給定的速度、密度模型和背景模型可計(jì)算得到波阻抗相對(duì)擾動(dòng)理論模型(圖10)和速度相對(duì)擾動(dòng)理論模型(圖11)。
圖10 隨機(jī)層狀模型的理論波阻抗相對(duì)擾動(dòng)
圖11 隨機(jī)層狀模型的理論速度相對(duì)擾動(dòng)
圖12 隨機(jī)層狀模型角度域平均波阻抗相對(duì)擾動(dòng)成像結(jié)果
圖13 隨機(jī)層狀模型角度域平均的波阻抗相對(duì)擾動(dòng)成像結(jié)果(紅色)與理論波阻抗相對(duì)擾動(dòng)(藍(lán)色)的單道對(duì)比
圖14 隨機(jī)層狀模型x=1500m處的角度域共成像點(diǎn)道集
圖15 隨機(jī)層狀模型x=1500m處σ/2=0°對(duì)應(yīng)的波阻抗相對(duì)擾動(dòng)成像結(jié)果(紅色)與理論波阻抗相對(duì)擾動(dòng)(藍(lán)色)的單道對(duì)比
圖16 隨機(jī)層狀模型x=1500m處σ/2=50°對(duì)應(yīng)的波阻抗相對(duì)擾動(dòng)成像結(jié)果(紅色)與理論速度相對(duì)擾動(dòng)(藍(lán)色)的單道對(duì)比
由上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,本文提出的波阻抗相對(duì)擾動(dòng)成像方法可以有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)地層波阻抗擾動(dòng)的成像,得到的角度域平均成像結(jié)果和角度域共成像點(diǎn)道集不同角度的成像結(jié)果可作為地層波阻抗相對(duì)擾動(dòng)或速度相對(duì)擾動(dòng)的估計(jì)。本文的地層成像方法只需地震波運(yùn)動(dòng)學(xué)特征準(zhǔn)確的地下介質(zhì)光滑模型,就能具有與逆時(shí)偏移方法一樣的實(shí)用性。
通過引入具有地震波運(yùn)動(dòng)學(xué)特征準(zhǔn)確的地下介質(zhì)光滑模型,波動(dòng)方程偏移是一種基于地震波傳播理論的地震數(shù)據(jù)線性反演,其目標(biāo)是對(duì)地層分界面反射率的成像。本文根據(jù)地震數(shù)據(jù)波動(dòng)方程偏移成像的思想,利用用于偏移的地下介質(zhì)光滑模型,推導(dǎo)了基于地下地層波阻抗相對(duì)擾動(dòng)的地震數(shù)據(jù)線性正演公式,結(jié)合線性反演理論,構(gòu)建了面向地層波阻抗相對(duì)擾動(dòng)的地震數(shù)據(jù)地層成像方法。如果在成像中不對(duì)波場(chǎng)進(jìn)行角度分解,地層成像方法對(duì)于常規(guī)小炮檢距觀測(cè)系統(tǒng)的反射地震數(shù)據(jù)可以快捷地獲取角度域平均的地層成像結(jié)果。如果在成像中對(duì)波場(chǎng)進(jìn)行角度分解,地層成像方法雖然可以得到角度域共成像點(diǎn)道集和不同角度的地層成像結(jié)果,但計(jì)算量大增,尤其是三維地震數(shù)據(jù)的地層成像。波阻抗相對(duì)擾動(dòng)的角度域共成像點(diǎn)道集可為發(fā)展精細(xì)的物性巖性分析、反演奠定基礎(chǔ)。地層成像方法的數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明,標(biāo)量波方程對(duì)應(yīng)的速度相對(duì)擾動(dòng)成像和聲波方程對(duì)應(yīng)的波阻抗相對(duì)擾動(dòng)成像均取得了理想的效果。
本文的地層成像具有與逆時(shí)偏移相同的計(jì)算步驟和相當(dāng)?shù)挠?jì)算量,適用于逆時(shí)偏移的地震數(shù)據(jù)同樣適用于本文提出的地層成像方法,因此本文的地層成像方法對(duì)于實(shí)際地震資料具有與逆時(shí)偏移一樣的實(shí)用性。