鞠 爽，王 晶，竇立亞，顧維博

(1.北京化工大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100029；2.北方工業(yè)大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，北京 100144)

0 引言

近年來(lái)，無(wú)人機(jī)(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)在救援任務(wù)、監(jiān)視、偵察、航空攝影等領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛，受到了極大的關(guān)注。值得指出的是，在某些特定的環(huán)境下，單架UAV難以實(shí)現(xiàn)更加復(fù)雜的控制目標(biāo)或者應(yīng)對(duì)更加復(fù)雜的工作環(huán)境，如自然災(zāi)害監(jiān)測(cè)、軍事探測(cè)、追擊目標(biāo)、航空測(cè)繪等。因此，多UAV系統(tǒng)協(xié)同編隊(duì)控制研究作為UAV控制中的一個(gè)重要研究課題，逐漸成為研究的熱點(diǎn)。多UAV系統(tǒng)編隊(duì)控制的目標(biāo)是使一組UAV在運(yùn)動(dòng)的同時(shí)能夠保持一定的期望幾何編隊(duì)。多UAV系統(tǒng)編隊(duì)控制的核心思想是在代數(shù)圖論的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一致性控制策略以達(dá)到控制目標(biāo)。

實(shí)際上，領(lǐng)導(dǎo)-跟隨結(jié)構(gòu)方法和虛擬結(jié)構(gòu)方法可以看作是基于一致性的編隊(duì)控制方法的特例。在求解編隊(duì)控制問題時(shí)，通常將期望的編隊(duì)軌跡重新表示為一致性狀態(tài)，并用虛擬領(lǐng)隊(duì)來(lái)表示。領(lǐng)導(dǎo)者獨(dú)立于追隨者，但對(duì)追隨者的行為有影響。然后，可以通過只控制虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的行為，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)一組跟隨者的控制目標(biāo)。文獻(xiàn)[7]研究了領(lǐng)導(dǎo)者靜止但通信拓?fù)涫乔袚Q拓?fù)鋾r(shí)的一致性問題,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者動(dòng)態(tài)變化時(shí)，該問題更具有挑戰(zhàn)性。文獻(xiàn)[8-10]分別研究了一階、二階和高階多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨一致性問題。文獻(xiàn)[11]針對(duì)無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，提出了基于虛擬結(jié)構(gòu)法的分布式多無(wú)人機(jī)魯棒編隊(duì)控制。文獻(xiàn)[12]研究了全向移動(dòng)小車編隊(duì)的軌跡跟蹤問題。對(duì)于移動(dòng)體的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃而言，可以分為完整約束和非完整約束兩類,能夠減少位置空間自由度的是完整約束，不能減少位置空間自由度但能減少速度空間自由度的是非完整約束。相較于完整約束，非完整約束對(duì)于系統(tǒng)可能的運(yùn)動(dòng)具有限制條件，盡管這個(gè)問題很有挑戰(zhàn)性，眾多專家也對(duì)非完整約束系統(tǒng)的編隊(duì)控制開展了一系列研究并取得了優(yōu)秀的成果。文獻(xiàn)[14]研究了鏈?zhǔn)椒峭暾s束系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題，提出了一種基于觀測(cè)器的一致性算法。文獻(xiàn)[15]研究了有限時(shí)間非完整約束移動(dòng)機(jī)器人的編隊(duì)控制問題。 文獻(xiàn)[16]研究了基于紫外線方位和測(cè)距視覺相對(duì)定位系統(tǒng)的多旋翼UAV領(lǐng)導(dǎo)-跟隨編隊(duì)控制問題。文獻(xiàn)[17]研究了領(lǐng)導(dǎo)者勻速運(yùn)動(dòng)情況下,跟隨者模型具有不確定性的跟隨編隊(duì)控制問題。

滑?？刂?Sliding Mode Control，SMC)的主要思想是將被控系統(tǒng)的狀態(tài)量拉到預(yù)先設(shè)計(jì)的滑模面并保持在滑模面上運(yùn)動(dòng)，具有魯棒性好、響應(yīng)快速、易于理解和實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[20]通過SMC實(shí)現(xiàn)了對(duì)單個(gè)UAV的位置控制與姿態(tài)控制。文獻(xiàn)[21]針對(duì)多UAV系統(tǒng)，提出了基于滑模干擾觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)面控制算法，保證了編隊(duì)控制系統(tǒng)的控制精度和魯棒性。文獻(xiàn)[22]提出了一種基于自適應(yīng)非奇異終端超曲面SMC算法，解決了在有外部擾動(dòng)條件下的UAV和無(wú)人地面機(jī)器人的編隊(duì)控制問題。文獻(xiàn)[23]提出了一種分散SMC算法，使無(wú)人機(jī)群在高度和航向角上達(dá)到一致。然而，目前對(duì)于非完整約束模型的UAV系統(tǒng)的基于SMC的協(xié)同編隊(duì)控制問題的研究還不充分。

鑒于此，本文針對(duì)一類具有非完整約束的多UAV系統(tǒng)，提出了一種基于SMC的協(xié)同編隊(duì)控制算法。主要貢獻(xiàn)總結(jié)如下：

1)在領(lǐng)導(dǎo)-跟隨結(jié)構(gòu)下，采用分布式狀態(tài)觀測(cè)器，在僅部分跟隨者先驗(yàn)已知虛擬領(lǐng)導(dǎo)者信息，并且所有跟隨者之間只需局部交互信息的情況下，所有跟隨者能夠在有限時(shí)間內(nèi)估計(jì)出虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)。 文獻(xiàn)[22]需要所有跟隨者得到領(lǐng)導(dǎo)者信息，文獻(xiàn)[13]研究了無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者編隊(duì)的有限時(shí)間控制問題，所有無(wú)人機(jī)需發(fā)送和接收鄰居信息。從通信和信息交互的角度而言，本文采用的分布式狀態(tài)觀測(cè)器適用于更多的應(yīng)用場(chǎng)景。

2)利用分布式觀測(cè)器的估計(jì)狀態(tài)，提出了基于滑模的協(xié)同編隊(duì)控制算法。與文獻(xiàn)[13,22]類似，本文所提控制算法是基于滑模的，能夠使誤差系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，使所有無(wú)人機(jī)漸近收斂到期望編隊(duì)，并且能夠跟蹤上期望的運(yùn)動(dòng)軌跡。由于滑模面的設(shè)計(jì)與被控對(duì)象的參數(shù)及擾動(dòng)無(wú)關(guān)，也就使得處于滑模運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)具有很好的魯棒性。文獻(xiàn)[15]所提算法可以使無(wú)人機(jī)能夠在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，但是未討論算法的魯棒性。另外，與文獻(xiàn)[13]所提出的SMC算法相比，本文所提控制器參數(shù)需滿足的條件簡(jiǎn)單，控制器實(shí)現(xiàn)方便。

1 問題描述與預(yù)備知識(shí)

1.1 圖論

1.2 問題描述

考慮個(gè)跟隨者在平面上運(yùn)動(dòng)，它們滿足經(jīng)典的四旋翼UAV非完整約束動(dòng)力學(xué)模型。在全局坐標(biāo)系下，跟隨者的動(dòng)態(tài)表達(dá)式如下

(1)

其中，[；]∈表示UAV的位置；∈表示UAV的線速度；∈表示UAV的角速度；∈[-π,π)表示UAV的偏航角；=1,2,…,。

虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的表達(dá)式如下

(2)

其中，[；]∈表示虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的位置；∈表示虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的線速度；∈表示虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的角速度；∈[-π,π)表示虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的偏航角。

目標(biāo)1：個(gè)跟隨者能夠收斂至期望編隊(duì)Π，即

(3)

目標(biāo)2：個(gè)跟隨者能夠跟蹤上期望軌跡，即

(4)

其中，,=1,2,…,。

1.3 相關(guān)引理

首先，給出一些關(guān)于齊次性的引理。

文獻(xiàn)[24]考慮連續(xù)向量函數(shù)

()=((),(),…,())

文獻(xiàn)[25]考慮如下系統(tǒng)

(5)

其中，()是連續(xù)函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)(5)的齊次度為。如果初始值是漸近穩(wěn)定的并且<0，那么系統(tǒng)的初始狀態(tài)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

文獻(xiàn)[24]考慮系統(tǒng)(5)，假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)():→滿足如下條件：

1)()是正定的。

2)存在實(shí)數(shù)c>0,α ∈ (0,1)和原點(diǎn)附近的鄰居集U0 ∈U,V(x)+c(V(x))α ≤0,x ∈U0{0}成立,那么可以得到系統(tǒng)原點(diǎn)是一個(gè)有限時(shí)間穩(wěn)定的,有限時(shí)間為

如果==，那么原點(diǎn)是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的。

值得指出的是，僅圖中的部分跟隨者能夠知道虛擬領(lǐng)導(dǎo)者信息。因此，本節(jié)還給出了一個(gè)關(guān)于分布式狀態(tài)觀測(cè)器的引理，用于估計(jì)虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，為控制器的設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

文獻(xiàn)[15]針對(duì)系統(tǒng)(1)和(2)，設(shè)計(jì)分布式觀測(cè)器如下

其中

2 主要結(jié)果

本章在引理5中有限時(shí)間觀測(cè)器的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了協(xié)同編隊(duì)控制器。

(6)

2.1 誤差系統(tǒng)及問題轉(zhuǎn)化

首先，采用引理5中的狀態(tài)觀測(cè)器，在全局坐標(biāo)系下，定義如下誤差系統(tǒng)

(7)

(8)

為了實(shí)現(xiàn)前文提到的編隊(duì)控制問題，僅需要滿足如下控制目標(biāo)

(9)

理由如下:一方面，當(dāng)式(9)滿足時(shí)，存在

,=1,2,…,。根據(jù)式(8)可知，目標(biāo)1(3)滿足。另一方面，當(dāng)式(9)滿足時(shí)，有

根據(jù)式(8)可知，目標(biāo)2(4)滿足。

為方便控制器設(shè)計(jì)，將全局坐標(biāo)系下的誤差系統(tǒng)(7)轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)系下的誤差系統(tǒng)，表示為

(10)

當(dāng)≥時(shí)，誤差系統(tǒng)(10)表示為

(11)

根據(jù)式(1)、式(2)和式(8)，對(duì)式(11)求導(dǎo)可以得出誤差系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)表達(dá)式為

(12)

鑒于此，多UAV系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題可以轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)(12)的穩(wěn)定性問題，即：設(shè)計(jì)合適的控制率和使誤差系統(tǒng)(12)穩(wěn)定，可以滿足控制目標(biāo)(9)，進(jìn)而滿足控制目標(biāo)(3)、(4)。

2.2 協(xié)同編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)角速度滑模面為

(13)

(14)

設(shè)計(jì)速度的滑模面為

(15)

(16)

2.3 主要定理

證明：定義Lyapunov函數(shù)

對(duì)其求導(dǎo)并將式(13)代入，可以得到

將角速度式(14)代入上式，可以得出

設(shè)計(jì)如下Lyapunov函數(shù)

對(duì)其求導(dǎo)可以得出

將速度式(16)代入上式，可以得出

證明成立。

證明：分為以下三個(gè)步驟。

根據(jù)上式，可以得出

(17)

速度控制率(16)等價(jià)于

(18)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)

對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，得出

將式(18)代入上式，得出

將式(18)代入上式可以得到

將上式分解為和，分別表示為

證明成立。

3 仿真驗(yàn)證

在本章中，用數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性?？紤]圖1所示的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其中0表示虛擬領(lǐng)導(dǎo)者，1～4表示跟隨者。根據(jù)圖1，矩陣和分別設(shè)置為=[0 1 1 0; 1 0 0 0; 1 0 0 1; 0 0 1 0]和=diag{1,0,1,0}。

圖1 多無(wú)人機(jī)通信拓?fù)銯ig.1 Communication topology of multi-UAVs

初始位置為[(0),(0),(0)]=[15,10,20]，(0)=[20,25,32,-2],(0)=[20,28,-3,2]，(0)=[-20,30,40,-30]。期望編隊(duì)中心與各個(gè)跟隨者在方向和方向的期望距離分別為[-15,15,-15,15]和[-10,-10,10,10]。其他參數(shù)如表1所示。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)參數(shù)

圖2所示為多無(wú)人機(jī)編隊(duì)軌跡，可以看出4架無(wú)人機(jī)能夠保持一個(gè)方形編隊(duì)并跟蹤上期望軌跡。圖3所示分別為角速度和速度滑模面的變化曲線。可以看出，本文所提控制算法能夠使速度與加速度滑模面快速收斂到零。圖4所示分別為跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者方向和方向的實(shí)際距離與期望距離誤差?？梢钥闯?，該誤差趨近于零，但存在一定的抖振。在實(shí)際應(yīng)用中，可采用飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)，以減少抖振帶來(lái)的影響。

圖2 多無(wú)人機(jī)編隊(duì)軌跡(系統(tǒng)無(wú)不確定項(xiàng))Fig.2 Formation trajectories of multi-UAVs (no system uncertainty)

受到文獻(xiàn)[18]的啟發(fā)，考慮實(shí)際系統(tǒng)往往存在不確定項(xiàng)，本文的系統(tǒng)模型(1)可以表示為

(a) 角速度

(b) 速度

(a) x向

(b) y向

圖5 多無(wú)人機(jī)編隊(duì)軌跡(系統(tǒng)存在不確定項(xiàng))Fig.5 Formation trajectories of multi-UAVs(system uncertainty exists)

4 結(jié)論

針對(duì)一類具有非完整約束的多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)，提出了一種基于滑模的協(xié)同編隊(duì)控制算法。

1)采用分布式狀態(tài)觀測(cè)器，使所有跟隨者能夠在有限時(shí)間內(nèi)估計(jì)出虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)。利用該觀測(cè)器的估計(jì)狀態(tài)，提出了一種基于滑模的協(xié)同編隊(duì)控制算法?；诶钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論證明了多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2)在系統(tǒng)不存在和存在不確定項(xiàng)這兩種情況下，將所提算法應(yīng)用于5架無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制中，得出的仿真結(jié)果顯示出多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)最終能夠收斂到期望編隊(duì)，并且能夠跟蹤上期望的運(yùn)動(dòng)軌跡。這表明所提算法是有效的并且具有一定的魯棒性。

3)本文所設(shè)計(jì)的方法僅適用于跟隨者之間的通信為無(wú)向的情況，在未來(lái)工作中，可考慮將此方法擴(kuò)展至跟隨者之間的通信是有向的情況，并且考慮固定翼無(wú)人機(jī)的的協(xié)同編隊(duì)控制問題。