葉 丹，周建庭，尹尚之

(1. 重慶第二師范學院 旅游與服務管理學院，重慶400065； 2. 重慶交通大學 土木建筑學院，重慶 400074； 3. 中建五局第三建設有限公司中南分公司，湖南 長沙 410000)

0 引 言

在大型結構抗震分析中，半無限域的截斷面處理方式是決定土體-結構相互作用計算精度的關鍵，且設置人工邊界條件常用于半無限域空間模型。J.LYSMER等[1]通過在截斷面處布置阻尼，完成了黏性人工邊界的施加，其概念清晰、操作簡便，但存在低頻失穩(wěn)和精度不高等缺陷。為克服以上問題，劉晶波等[2-3]基于柱面波動方程，通過在邊界處施加彈簧-阻尼器，建立了具有良好彈性恢復性能的黏彈性人工邊界(VSBE)，克服了低頻失穩(wěn)問題，獲得了良好的穩(wěn)定性，目前已在有限元軟件中得到了廣泛應用。但是，在解決復雜二維半無限域動力問題時，由于大部分有限元軟件并沒有直接施加黏彈性邊界的版塊，研究者需要逐個進行彈簧-阻尼器的計算和施加，消耗了大量的前處理時間。

首先，筆者針對集中黏彈性動力人工邊界前處理工作繁瑣、精度不高等問題，基于一致黏彈性人工邊界(CVABE)及VSBE的理論[4-5]，提出了一種全新的人工邊界，即二維弧形一致黏彈性邊界單元(2DACVABE)，該單元不僅具有VSBE特性，且單元剛度及阻尼矩陣與普通有限單元類似。然后，筆者深入討論了在二維空間內2DACVABE模型中的震源頻域、介質彈性波速和單元厚度對分析結果精度的影響。結果顯示，2DACVABE能得到較好的精度和穩(wěn)定性，并且其效果同時受到以上多個因素的影響。最后，筆者給出2DACVABE的適用范圍，為進一步的研究工作提供一定的參考。

1 等效黏彈性人工邊界單元

在二維一致黏彈性人工邊界單元中，推導了模型的總體剛度矩陣〔式(1)〕、阻尼矩陣〔式(2)〕[5]。但是，由于總體剛度和阻尼矩陣版塊在目前大型有限元分析軟件設置中的缺失，模型無法模擬真實總體剛度及阻尼，因此迫切需要開發(fā)一種等效于VSBE的普通有限單元。

以往的做法是，在已建立的模型區(qū)域外表面上沿法向延伸一層同類型的單元，再固定外單元表面節(jié)點。為使邊界上滿足阻尼與的恢復力要求，利用矩陣等效原理(圖1)，將單元的一致剛度轉化為邊界單元等效剛度矩陣，將阻尼矩陣轉化為與邊界單元等效阻尼矩陣。

圖1 一致黏彈性邊界單元

(1)

(2)

式中：KBT為切向剛度；KBN為法向彈簧剛度；CBT為切向阻尼系數；CBN為法向阻尼系數。

2 二維弧形一致黏彈性邊界單元

2.1 二維弧形一致黏彈性邊界單元的應用

等效的黏彈性邊界單元回避了集中黏彈性邊界設置中逐個設置彈簧-阻尼器的過程，在保證精度的前提下，簡便地完成了VSBE的施加過程。但是以往的研究者在處理半無限域人工邊界時，為了簡化模型，多采用平直的邊界。而在VSBE的推導過程中，采用的是柱面波假設，簡化為平直邊界，明顯不符前提假設條件及實際情況，因此筆者提出一種新的黏彈性人工邊界處理方式，即二維弧形一致黏彈性邊界單元(2DACVABE)。

在具體設置中，首先以散射波源作用點為中心，為使得波源至弧形邊界的距離不變，建立以波源為中心、半徑為R的半圓形邊界有限模型，然后沿邊界法向在已建成的有限元模型的邊界上延伸一層普通單元，固定外層邊界，并通過計算賦予合適的材料系數，以替代原離散化的彈簧-阻尼器。系數的計算與設置見2.2節(jié)，模型如圖2。

圖2 弧形一致黏彈性邊界單元

此方法無需逐一計算和布置彈簧-阻尼器，大大簡化了前處理工作。同時，因模型半徑為定值，避免了材料特性相關系數計算中近似取值所帶來的誤差，有效提高了有限元動力分析的精度。

2.2 等效剛度與等效阻尼的設置

在弧形邊界單元的剛度與阻尼單元計算中，參考等效黏彈性人工邊界單元的思路，使CVABE的剛度矩陣與相對應的弧形邊界單元剛度矩陣相等，并采用與剛度成正比的阻尼矩陣[4]，即：

(3)

由定義可推導邊界單元的等效剪切模量和等效彈性模量，如式(4)；對阻尼矩陣，為使邊界單元設置更加簡便，將等效單元的阻尼比例系數設置為兩個方向系數的平均值[4],如式(5)：

(4)

(5)

綜上所述，只需定義2DACVABE的材料特性相關系數，便可使得在有限元軟件中普通單元的阻尼矩陣、等效剛度與CVABE的阻尼矩陣、剛度相等，便完成2DACVABE的設置。即邊界處應力-應變情況等價于CVABE，新的方法明顯簡化了黏彈性邊界的設置過程，并保證了較高的精度。

3 算 例

3.1 有限元模型建立

筆者在建立弧形邊界單元模型時，取半徑為50 m 的半圓形近場觀測區(qū)域，模型周圍延伸一層單位厚度單元，將外層節(jié)點固定。

選取介質密度為2 000 kg/m3、楊氏模量為20 MPa、泊松比為0.3的彈性半無限域介質進行研究?？紤]介質Rayleigh阻尼，其α=0.616，β=0.000 312。2DACVABE的材性系數參考式(4)和式(5)進行計算。在中心點施加1/2個頻率為1 Hz的正弦脈沖，并取對稱軸處的表面點A和埋深10 m的點B為觀測點進行觀測，模型見圖3。為驗證2DACVABE的效果，同時建立固定邊界、黏性邊界、遠置邊界和集中黏彈性邊界等多組模型進行對比分析。

圖3 弧形一致黏彈性單元邊界模型

3.2 弧形一致黏彈性邊界單元精度分析

為驗證2DACVABE的精度，對各邊界模型觀測點的位移進行對比分析(圖4)，并將建模復雜、求解效率低但模擬效果最佳的遠置邊界作為標準解，以尋求精度接近遠置邊界且建模效率高、求解效率高的人工邊界。

圖4 觀測點位移時程曲線

由圖4可見：固定邊界模型出現了明顯的反射干擾現象，與遠置邊界標準解相差很大，不能反映半無限域介質中波的實際傳播情況；集中黏彈性邊界模型中，波的反射明顯減少，但在中后段明顯出現了向下漂移情況，筆者認為其精度不能滿足要求；黏性邊界、弧形一致黏彈性邊界單元及遠置邊界模型在脈沖波輸入后，能量迅速減小，僅產生了很小的波動，最后幾乎完全被邊界單元吸收，滿足精度要求。將常用的人工邊界與筆者提出的弧形一致黏彈性邊界優(yōu)劣勢進行對比總結，如表1。

表1 人工邊界優(yōu)劣勢對比

為進行人工邊界的精度對比，將各邊界模型觀測點位移與遠置邊界觀測點位移(標準解)相除，可得表2，并對表2進行處理，得到筆者提出的弧形一致黏彈性邊界與其他常用人工邊界相比后的精度提升系數，如表3。分析表2、表3可得，弧形一致黏彈性邊界單元模型精度隨著埋深的增加而增加。對于地表面觀測點A而言，與其他常用人工邊界相比，弧形一致黏彈性單元的精度提升0.6%～3.4%；對于埋深較深的觀測點B而言，與其他常用人工邊界相比，弧形一致黏彈性單元的精度提升3.1%～16.7%;從均值來看，弧形一致黏彈性單元的精度平均提升3.5%～15.4%。綜上，筆者認為，弧形一致黏性單元的計算精度和穩(wěn)定性均優(yōu)于黏彈性邊界和集中黏彈性邊界，精度與遠置邊界最為接近，并且其設置方法更為簡單，更易于在有限元軟件中實現。

表2 時程曲線擬合精度對比

表3 弧形一致黏彈性邊界單元精度提升系數

3.3 震源頻率與彈性波速

首先，選取多組不同頻率的動力荷載進行對比分析，以便于進一步研究震源頻率與介質彈性波速對弧形一致黏彈性邊界單元模型的計算精度影響。各組均為1/2個等幅值正弦脈沖波，頻率分別為0.35、0.50、1.00 Hz，加載時程如圖5。然后，在建模過程中，保持其他因素一致，挑選兩種不同的介質彈性波速模型，波速分別為10、100 m/s。通過對頻率與彈性波速的多種組合模型進行數值分析，依據圖6，認為介質彈性波速和震源荷載頻率均為影響2DACVABE模擬效果精確度的關鍵因素。

圖5 脈沖波加載時程曲線

圖6 觀測點位移時程曲線

由圖6可知，在保持介質彈性波速不變的情況下，震源頻率越高，其后段反射干擾越明顯，模擬效果越差；對比圖6(a)、圖6(c)或圖6(b)、圖6(d)可知，在相同波源頻率的情況下，模擬效果隨著介質彈性波速增大而顯著改善，計算精度提高。因此，筆者得出震源的頻率和介質材料性質對動力響應均有重要影響的結論。在有限元軟件計算中使用2DACVABE時，建議要合理選擇震源頻率范圍，規(guī)避頻率過高的震動對結果的影響，并且要考慮材料性質對模擬效果的影響，對于介質應選取較高的彈性波速。

3.4 弧形一致黏彈性邊界單元厚度

在以往的等效黏彈性邊界單元研究中，研究者認為，邊界單元的厚度對模擬結果影響不大，在1～50倍厚寬比范圍內取值均可獲得滿意的結果[4]。筆者針對弧形一致黏彈性邊界，選取了厚寬為0.1～5.0的5種模型進行計算，如圖7。

由圖7可知：當邊界單元厚寬比h/l≤0.1時，出現了明顯的反射干擾現象，這主要是因為單元厚寬比過小時，局部位置處可能發(fā)生邊界單元的內表面觸及固定外表面的情況，這就解釋了為什么觀測點時程圖出現類似于固定邊界干擾反射的情況；當h/l≥5.0時，觀測點出現了明顯的漂移現象，這主要是因為邊界單元越厚其在相同應力下產生的法向應變越大，最終呈現為向下的漂移情況，造成了不可接受的誤差。

圖7 觀測點位移時程曲線

綜上所述，通過計算不同厚度的人工邊界單元模型的曲線擬合度，發(fā)現弧形一致黏彈性邊界單元厚度對動力響應有直接的影響。當1.0

4 結 論

筆者基于弧形一致黏彈性人工邊界及黏彈性人工邊界單元的理論，提出了一種全新的二維弧形一致黏彈性邊界單元概念。具體闡述了該人工邊界的建立思路和在有限元軟件中的實現方法，并通過數值算例分析了其適用性：

1)考慮到集中黏彈性邊界設置中近似取值所帶來的誤差和過于繁瑣的前處理工作，筆者提出了一種新的人工邊界，即二維弧形一致黏彈性邊界單元。該單元模型的操作過程比集中黏彈性邊界更加簡單，并通過算例證明了其具有良好的精度及穩(wěn)定性。

2)人工邊界的動力模擬效果與輸入震源的動力特性及分析介質的彈性常數存在密切的關系，建議要合理選擇震源頻率范圍，規(guī)避頻率過高的震動對結果的影響，同時要考慮材料性質對于模擬效果的影響，盡量選取較高的介質彈性波速。

3)弧形一致黏彈性邊界單元厚度直接影響到模擬的計算精度水平。當厚寬比h/l超過推薦范圍(1.0,2.0)時，即可能存在邊界反射干擾或法向漂移等問題，使其計算結果存在較大誤差甚至錯誤，建議合理選擇單元厚度以控制誤差。