王 強(qiáng)，王建軍，張曉瓊，張?zhí)燧x，王懷坤，吳桂英

（太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，山西 太原 030024）

材料的本構(gòu)關(guān)系研究是理論與應(yīng)用力學(xué)領(lǐng)域的重要課題。在工程應(yīng)用中，選擇合適的本構(gòu)關(guān)系來(lái)描述材料的力學(xué)行為，是進(jìn)行工程結(jié)構(gòu)承載與失效分析的前提。在航空航天工程、軍事工業(yè)等領(lǐng)域中，材料常處于高溫、高應(yīng)變率的極端環(huán)境，對(duì)處于這種極端環(huán)境下的結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值分析，需要首先建立準(zhǔn)確的材料熱黏性本構(gòu)關(guān)系。

金屬的塑性流動(dòng)是指金屬在外力作用下產(chǎn)生非彈性變形或屈服后的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。金屬材料的塑性流動(dòng)與溫度密切相關(guān)，溫度升高，金屬的流動(dòng)應(yīng)力減小，即熱軟化，如圖1 所示。金屬的塑性流動(dòng)實(shí)際上主要是位錯(cuò)越過(guò)各種障礙的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，通常，阻礙位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的障礙分為兩種：短程障礙和長(zhǎng)程障礙。短程障礙可通過(guò)熱激活克服，而長(zhǎng)程障礙對(duì)溫度不敏感。因此，對(duì)應(yīng)的金屬流動(dòng)應(yīng)力通?？捎蔁峒せ畈糠趾头菬岵糠纸M成。

圖1 不同應(yīng)變率下93W-Ni-Fe 的流動(dòng)應(yīng)力隨溫度的變化曲線[4]Fig. 1 Flow stress-temperature curves of 93W-Ni-Fe at different strain rates[4]

同時(shí)，流動(dòng)應(yīng)力的應(yīng)變率效應(yīng)也是材料中普遍存在的現(xiàn)象，不僅反映在力學(xué)性能和破壞模式的差異上，也體現(xiàn)在材料微觀機(jī)制隨應(yīng)變率的變化差異上，例如，屈服強(qiáng)度的變化和加工硬化的差異。許多學(xué)者針對(duì)多種已在工程領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用的金屬材料進(jìn)行了研究，探索了應(yīng)變率對(duì)其流動(dòng)應(yīng)力的影響機(jī)制，如2024-T351 鋁、6 061-T6 鋁合金、OFHC 銅、4340 鋼、Ti-6Al-4V 合金。為了研究材料在不同變形率下的服役性能，揭示材料的變形機(jī)制，需要針對(duì)金屬材料的應(yīng)變率效應(yīng)開(kāi)展系統(tǒng)研究，可為設(shè)計(jì)性能更優(yōu)異的新材料提供試驗(yàn)和理論基礎(chǔ)。

隨著金屬材料的廣泛應(yīng)用，需要建立材料的熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系為其工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。描述金屬塑性流動(dòng)行為的本構(gòu)關(guān)系的發(fā)展已有很長(zhǎng)的歷史，現(xiàn)有的本構(gòu)關(guān)系通常被分為經(jīng)驗(yàn)型/唯象本構(gòu)關(guān)系和物理概念本構(gòu)關(guān)系。唯象本構(gòu)關(guān)系主要包括Johnson-Cook 本構(gòu)關(guān)系（J-C 模型）、K-H 本構(gòu)關(guān)系（K-H 模型）等，物理概念本構(gòu)關(guān)系主要包括Zerilli-Armstrong 本構(gòu)關(guān)系（Z-A 模型）、力學(xué)閾值應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系（MTS 模型）、Bonder-Partom 本構(gòu)關(guān)系（B-P 模型）等。材料熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系不僅是理論與應(yīng)用力學(xué)領(lǐng)域的重要研究課題，且隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的興起，也成為了計(jì)算力學(xué)的重要組成部分。

為了系統(tǒng)地介紹可以描述在不同溫度、不同應(yīng)變率下金屬塑性流動(dòng)行為的熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系，本文中首先介紹幾種常見(jiàn)的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系，詳細(xì)討論其優(yōu)勢(shì)、不足以及其修正形式，然后系統(tǒng)介紹考慮了第三型應(yīng)變時(shí)效的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系、考慮K-W 鎖位錯(cuò)結(jié)構(gòu)引起的反常應(yīng)力峰的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系以及考慮拉壓不對(duì)稱性的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系的研究進(jìn)展。

1 常見(jiàn)金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系及其修正形式

金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系的發(fā)展已有數(shù)十年的歷史，已建立了數(shù)種常見(jiàn)的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系。在工程應(yīng)用中，如何選用合適的熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系成為關(guān)注的重點(diǎn)。為此，本節(jié)將對(duì)幾種常見(jiàn)的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系及其優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析，并介紹其修正形式。現(xiàn)有的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系分為唯象本構(gòu)關(guān)系（或經(jīng)驗(yàn)型本構(gòu)關(guān)系）和物理概念本構(gòu)關(guān)系，唯象本構(gòu)關(guān)系通常具有更簡(jiǎn)潔的形式，因此在工程中應(yīng)用廣泛，而物理概念本構(gòu)關(guān)系是基于金屬材料的塑性變形機(jī)理建立起來(lái)的，適用范圍更廣。

1.1 唯象本構(gòu)關(guān)系

1.1.1 Johnson-Cook 本構(gòu)關(guān)系

J-C 本構(gòu)關(guān)系是Johnson 等于1983 年建立的一種唯象本構(gòu)關(guān)系。J-C 本構(gòu)關(guān)系由于形式簡(jiǎn)單、參數(shù)容易獲得而被廣泛應(yīng)用，并被嵌入ABAQUS、ANSYS 等商用有限元軟件中。J-C 本構(gòu)關(guān)系認(rèn)為金屬的等效流動(dòng)應(yīng)力可表示為等效應(yīng)變函數(shù)、等效應(yīng)變率函數(shù)和溫度函數(shù)的乘積，具體形式為：

式中： σ 為等效流動(dòng)應(yīng)力； ε 為等效塑性應(yīng)變； ε ˙= ε˙/ε˙為無(wú)量綱塑性應(yīng)變率，其中 ε˙ 為塑性應(yīng)變率， ε˙為參考應(yīng)變率；=(-)/(-) 為無(wú)量綱溫度，其中為絕對(duì)溫度，為熔化溫度，為室溫；、、、和為材料常數(shù)，其中，為參考溫度和參考應(yīng)變率下的屈服應(yīng)力，為應(yīng)變硬化系數(shù)，為應(yīng)變硬化指數(shù)，和分別代表應(yīng)變率硬化系數(shù)和熱軟化系數(shù)的材料常數(shù)。

J-C 本構(gòu)關(guān)系形式簡(jiǎn)單，其材料常數(shù)通過(guò)少量試驗(yàn)即可獲得，但其對(duì)一些金屬的塑性流動(dòng)行為的預(yù)測(cè)結(jié)果并不理想，難以實(shí)現(xiàn)本構(gòu)關(guān)系形式簡(jiǎn)單和預(yù)測(cè)精度高之間的平衡。通常認(rèn)為J-C 本構(gòu)關(guān)系的缺點(diǎn)包括以下兩個(gè)方面：

（1）對(duì)于一些金屬材料，其流動(dòng)應(yīng)力隨對(duì)數(shù)應(yīng)變率呈非線性關(guān)系，這使得J-C 本構(gòu)關(guān)系不能準(zhǔn)確描述這些金屬材料塑性流動(dòng)行為的應(yīng)變率敏感性，同樣，對(duì)于一些金屬材料，J-C 本構(gòu)關(guān)系不能準(zhǔn)確描述其塑性流動(dòng)行為的溫度敏感性，如圖2 所示；

圖2 不同應(yīng)變率下，流動(dòng)應(yīng)力隨溫度變化的模型預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較[23]Fig. 2 Comparison of model predictions and experimental results of flow stress variation with temperature at different strain rates[23]

（2）對(duì)于金屬塑性流動(dòng)行為中的等效應(yīng)變、等效應(yīng)變率和溫度對(duì)流動(dòng)應(yīng)力的影響為非獨(dú)立的現(xiàn)象，J-C 本構(gòu)關(guān)系同樣不再適用。

針對(duì)J-C 本構(gòu)關(guān)系的缺點(diǎn)，學(xué)者們建立了多種修正的J-C 本構(gòu)關(guān)系。對(duì)于J-C 本構(gòu)關(guān)系的第一類缺點(diǎn)，Holmquist 等通過(guò)對(duì)OFHC 銅的泰勒沖擊試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，應(yīng)變率對(duì)材料強(qiáng)度的影響不是J-C 本構(gòu)關(guān)系所描述的為對(duì)數(shù)應(yīng)變率的線性函數(shù)，而是應(yīng)變率指數(shù)函數(shù)。為了更好地描述這種行為，將J-C 本構(gòu)關(guān)系中的應(yīng)變率項(xiàng)修正為無(wú)量綱塑性應(yīng)變率的冪函數(shù)：

式中：和為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

對(duì)于J-C 本構(gòu)關(guān)系的第二類缺點(diǎn)，Vural 等通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，實(shí)際的應(yīng)變硬化項(xiàng)下降的速度比J-C 本構(gòu)關(guān)系的預(yù)測(cè)值更快，這是由J-C 本構(gòu)關(guān)系中的溫度軟化項(xiàng)決定的。為了描述這一現(xiàn)象，其在耦合溫度和應(yīng)變硬化項(xiàng)的同時(shí)，在應(yīng)變率敏感項(xiàng)部分加入了溫度效應(yīng)，以便能更好地反映溫度對(duì)應(yīng)變率敏感性的影響。其形式為：

和分別為準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)變率范圍內(nèi)（ ε ˙＜ε˙）的率敏感度和動(dòng)態(tài)應(yīng)變率范圍內(nèi)的率敏感度（ε˙＞ε˙）， ε˙為將準(zhǔn)靜態(tài)變形與動(dòng)態(tài)變形分離開(kāi)的過(guò)渡應(yīng)變率，為室溫，為參考溫度，為Heaviside階躍函數(shù)的近似，為比例因子，、為材料常數(shù)。圖3 所示為2139-T8 鋁合金單軸拉伸的試驗(yàn)結(jié)果與修正的J-C 本構(gòu)關(guān)系預(yù)測(cè)結(jié)果的比較。

圖3 試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線與修正的J-C 本構(gòu)關(guān)系預(yù)測(cè)結(jié)果的比較[27]Fig. 3 Comparison betwwen experimental stress-strain curves with MJC model predictions[27]

Lin 等通過(guò)對(duì)2124-T851 鋁合金和高強(qiáng)合金鋼在寬溫度、寬應(yīng)變率范圍內(nèi)的拉伸塑性流動(dòng)行為進(jìn)行分析，提出了一個(gè)考慮溫度和應(yīng)變率耦合效應(yīng)的J-C 本構(gòu)關(guān)系：

式中：、、 λ和 λ為材料常數(shù)。

此外，還有許多學(xué)者針對(duì)金屬材料的熱黏塑性流動(dòng)行為建立了修正的J-C 本構(gòu)關(guān)系，極大地拓寬了J-C 本構(gòu)的使用范圍。例如，Dou 等不僅考慮了應(yīng)變、應(yīng)變率和溫度效應(yīng)，而且考慮了應(yīng)力狀態(tài)效應(yīng)，提出了一個(gè)塑性模型，確定了Ti-6Al-4V 合金在寬溫度范圍(93～1 073 K)和寬應(yīng)變率范圍（10～6.5×10s）下，不同應(yīng)力狀態(tài)(單軸拉伸、壓縮和簡(jiǎn)單剪切)下的塑性行為和微觀機(jī)制。

1.1.2 Khan-Huang（K-H）本構(gòu)關(guān)系和Khan-Huang-Liang（K-H-L）本構(gòu)關(guān)系

Khan 等對(duì)鉭、含2.5%鎢的鉭合金以及AerMet 100 鋼3 種BCC 金屬進(jìn)行了不同溫度和不同應(yīng)變率下的試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)J-C 本構(gòu)關(guān)系和Z-A 本構(gòu)關(guān)系無(wú)法準(zhǔn)確描述這3 種材料的加工硬化隨應(yīng)變率變化的塑性流動(dòng)行為。因此，為了更好地預(yù)測(cè)這3 種BCC 材料的加工硬化行為，他們耦合了應(yīng)變和應(yīng)變率對(duì)加工硬化的影響，建立了修正的K-H 本構(gòu)關(guān)系：

針對(duì)Ti-6Al-4V 合金的塑性流動(dòng)行為，Khan 等建立了一個(gè)修正的K-H-L 本構(gòu)關(guān)系，并與J-C 本構(gòu)關(guān)系的預(yù)測(cè)結(jié)果以及試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明，修正后的K-H-L 本構(gòu)關(guān)系比J-C 本構(gòu)關(guān)系對(duì)Ti-6Al-4V 合金塑性流動(dòng)行為有更好的預(yù)測(cè)結(jié)果，如圖4 所示。修正后的K-H-L 本構(gòu)關(guān)系為：

圖4 不同應(yīng)變率下，Ti-6Al-4V(296 K)的準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn)結(jié)果與K-H-L 和J-C 本構(gòu)關(guān)系預(yù)測(cè)結(jié)果的比較[13]Fig. 4 Quasi-static and dynamic loading experimental results of Ti-6Al-4V (at a temperature of 296 K) for different strain rates with correlations using K-H-L and J-C models[13]

為了描述晶粒細(xì)化引起的不同多晶金屬的塑性流動(dòng)行為，F(xiàn)arrokh 等基于K-H-L 本構(gòu)關(guān)系，建立了與晶粒尺寸和溫度相關(guān)的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系：

式中：為被測(cè)材料粗晶狀態(tài)的平均晶粒度，為材料常數(shù)。圖5 中給出了K-H-L 本構(gòu)關(guān)系對(duì)不同晶粒尺寸納米晶鋁在不同應(yīng)變率下的流動(dòng)應(yīng)力預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖5 不同晶粒尺寸納米晶鋁在不同應(yīng)變率下的流動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變?cè)囼?yàn)結(jié)果與K-H-L 本構(gòu)關(guān)系預(yù)測(cè)結(jié)果[38]Fig. 5 Observed and calculated responses for nanocrystalline aluminium at different strain rates by using KHL model for various grain sizes[38]

1.1.3 其他唯象模型

FCC 金屬的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可以通過(guò)指數(shù)形式表示，Voce和Kocks建立了V-K 本構(gòu)關(guān)系。該指數(shù)律最初由Voce于1948 年提出，之后被許多研究者進(jìn)行了擴(kuò)展，其表達(dá)式為：

式中： δ為一個(gè)無(wú)量綱特征長(zhǎng)度尺度細(xì)化率參數(shù)， δ為較大應(yīng)變下特征長(zhǎng)度尺度的飽和尺寸， δ和 δ分別為 δ和 δ的參考值，、和以及、和為描述微觀結(jié)構(gòu)細(xì)化和穩(wěn)態(tài)特征長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)變率和溫度依賴性的常數(shù)。、和 ε˙、 ε˙為參考溫度和參考應(yīng)變率。圖6 中給出了利用M-R 本構(gòu)關(guān)系預(yù)測(cè)銅在沖擊載荷下的塑性流動(dòng)行為。Naderi 等將V-K 本構(gòu)關(guān)系和M-R 本構(gòu)關(guān)系結(jié)合起來(lái)描述了22MnB5 硼鋼在等溫變形下的應(yīng)變、應(yīng)變率和溫度的依賴性。然而，該研究的不足在于只考慮了相對(duì)較低的應(yīng)變率情況（小于10 s）。

圖6 不同溫度和應(yīng)變率下銅的真實(shí)應(yīng)力-真實(shí)應(yīng)變曲線與預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比[41]Fig. 6 Comparison of true stress - true strain curves and model predictions for copper at different temperatures and strain rates[41]

為了能直觀地了解各唯象本構(gòu)關(guān)系的主要特性及其表達(dá)式，表1 中給出了各種唯象型本構(gòu)關(guān)系的主要特征，表2 中給出了各種唯象型本構(gòu)關(guān)系的方程形式。

表1 唯象型本構(gòu)關(guān)系的模型對(duì)比Table 1 Comparison of phenomenological constitutive relations

表2 唯象型本構(gòu)關(guān)系的方程形式Table 2 Equations of phenomenological constitutive relationships relations

1.2 物理概念本構(gòu)關(guān)系

1.2.1 Bodner-Partom（B-P）本構(gòu)關(guān)系

Bodner 等于1975 年建立了考慮應(yīng)變硬化和黏性影響的大變形彈-黏-塑性本構(gòu)關(guān)系。盡管該本構(gòu)關(guān)系對(duì)應(yīng)變率不是很敏感，且沒(méi)有考慮溫度效應(yīng)，但B-P 本構(gòu)關(guān)系的優(yōu)勢(shì)在于其堅(jiān)實(shí)的物理基礎(chǔ)。該本構(gòu)關(guān)系將材料的總變形率分為彈性和塑性兩部分，即：

式中：為最大應(yīng)變率，為一個(gè)內(nèi)部變量，表示材料的變形歷史。應(yīng)變率敏感度由參數(shù)控制。假定為塑性功的函數(shù)：

式中：、和為本構(gòu)常數(shù)。

Huang 等使用B-P 本構(gòu)關(guān)系描述了1100-0 鋁在應(yīng)變率為10～10s范圍內(nèi)的塑性流動(dòng)行為。結(jié)果表明，B-P 本構(gòu)關(guān)系可以準(zhǔn)確描述1100-0 鋁的應(yīng)變率敏感性和在大塑性變形下的加工硬化。

由于B-P 本構(gòu)關(guān)系沒(méi)有考慮溫度效應(yīng)，所以Chen 等在B-P 本構(gòu)關(guān)系中引入了熱軟化效應(yīng)來(lái)描述30CrMnSiA 鋼的塑性流動(dòng)行為，其形式為：

式中：、和為本構(gòu)常數(shù)。

圖7 所示為B-P 本構(gòu)關(guān)系預(yù)測(cè)得到的30CrMnSiA 在溫度升高時(shí)流動(dòng)應(yīng)力的軟化。馬鑫等用B-P本構(gòu)關(guān)系描述了Sn-Pb 共晶合金在10～10s應(yīng)變率范圍內(nèi)、-55～125 ℃溫度下的拉伸行為，其結(jié)果如圖8 所示。

圖7 30CrMnSiA 熱軟化情況的理論和試驗(yàn)值的比較[44]Fig. 7 Comparison between theoretical and experimental values on thermal softening of 30CrMnSiA[44]

圖8 Sn60Pb40 合金的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較[45]Fig. 8 Comparison of calculated results and experimental results for Sn60Pb40 alloy[45]

1.2.2 Zerilli-Armstrong（Z-A）本構(gòu)關(guān)系

Zerilli于1987 年基于位錯(cuò)力學(xué)建立了Z-A 本構(gòu)關(guān)系，該本構(gòu)關(guān)系考慮了應(yīng)變硬化、應(yīng)變率硬化和晶粒尺寸對(duì)金屬材料流動(dòng)應(yīng)力的影響。由于溫度和應(yīng)變率對(duì)面心立方體金屬材料（face-centered cubic，F(xiàn)CC）和體心立方體金屬材料（body-centered cubic，BCC）的影響不同，例如BCC 金屬比FCC 金屬表現(xiàn)出更高的溫度敏感性和應(yīng)變率敏感性，所以FCC 和BCC 兩類金屬材料的Z-A 型本構(gòu)關(guān)系形式也不同。對(duì)于FCC 金屬，位錯(cuò)必須克服林位錯(cuò)的阻礙；對(duì)于BCC 金屬，位錯(cuò)必須克服Peierls-Nabarro 障礙。因此，對(duì)于FCC 金屬，Z-A 本構(gòu)關(guān)系的形式為：

對(duì)于BCC 金屬，Z-A 本構(gòu)關(guān)系的形式為：

式中： σ為流動(dòng)應(yīng)力的非熱分量，主要由溶質(zhì)和晶界等因素確定， σ=σ+，其中 σ為考慮溶質(zhì)和初始位錯(cuò)密度影響的屈服應(yīng)力部分，為晶粒尺寸系數(shù)，表征微結(jié)構(gòu)應(yīng)力強(qiáng)度； α =α-αln ε˙ ，β=β-βln ε˙ ，、、α、α、β、β和σ為由試驗(yàn)確定的材料參數(shù)。

鑒于HCP（hexagonal close-packed，HCP）材料表現(xiàn)出與FCC 和BCC 金屬類似的應(yīng)變率敏感性和溫度依賴性，例如鈦金屬，Zerilli 等將Z-A 本構(gòu)關(guān)系的FCC 形式和BCC 形式統(tǒng)一，建立了一個(gè)新的本構(gòu)關(guān)系，描述了Ti-6Al-4V 合金和HY-100 合金的塑性流動(dòng)行為，其表達(dá)式為：

Z-A 本構(gòu)關(guān)系中的參數(shù)在各種條件和整個(gè)變形過(guò)程中被視為常數(shù)，但是這種情況與實(shí)際情況是不符合的。因此Zhang 等建立了一個(gè)修正的Z-A 本構(gòu)關(guān)系，描述了新開(kāi)發(fā)的鎳基高溫合金IC10 在寬溫域(293～1 073 K)和寬應(yīng)變率(10～10s)下的塑性響應(yīng)，該本構(gòu)關(guān)系考慮了溫度、應(yīng)變率和變形過(guò)程對(duì)參數(shù)的影響。修正后的本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式為：

對(duì)于FCC：

除此之外，許多學(xué)者對(duì)Z-A 本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了修正以適應(yīng)某些特定的材料。例如，Samantaray 等在Z-A 本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上，考慮了溫度與應(yīng)變、溫度與應(yīng)變率的耦合效應(yīng)對(duì)流動(dòng)應(yīng)力的影響，建立了一個(gè)新的本構(gòu)關(guān)系，描述了Ti 改性?shī)W氏體不銹鋼(D9 合金)在1 073～1 473 K 溫度范圍、10～1 s應(yīng)變率范圍內(nèi)的塑性流動(dòng)行為，其本構(gòu)形式為：

式中：、、、、和為材料常數(shù)。

Abed 等通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，Z-A 本構(gòu)關(guān)系在預(yù)測(cè)熱激活應(yīng)力時(shí)，假定應(yīng)力-溫度呈指數(shù)關(guān)系。但是這種指數(shù)形式并不適用于所有類型的金屬，特別是在高溫下，這會(huì)導(dǎo)致Z-A 本構(gòu)關(guān)系的熱激活應(yīng)力在任何溫度下都不會(huì)消失，該假設(shè)與熱激活理論相悖。因此，Abed 等建立了Z-A 本構(gòu)關(guān)系的修正形式。

對(duì)于FCC：

對(duì)于BCC：

式中：=ln(1/ε˙) ；、和為與微觀結(jié)構(gòu)相關(guān)的材料參數(shù)；為一個(gè)附加的應(yīng)力，與溶質(zhì)、原始位錯(cuò)密度以及晶粒尺寸相關(guān)。

1.2.3 力學(xué)閾值應(yīng)力（mechanical threshold stress，MTS）本構(gòu)關(guān)系

在Z-A 本構(gòu)關(guān)系中，流動(dòng)應(yīng)力的應(yīng)變率相關(guān)性被分成兩個(gè)區(qū)：滑移區(qū)和拖曳區(qū)，將FCC 金屬的流動(dòng)應(yīng)力在應(yīng)變率超過(guò)10s時(shí)的快速增長(zhǎng)解釋為變形機(jī)制的轉(zhuǎn)變：從滑移區(qū)向拖曳區(qū)轉(zhuǎn)變。然而Follansbee 等通過(guò)試驗(yàn)觀察，認(rèn)為應(yīng)變率敏感性的上升應(yīng)歸因于結(jié)構(gòu)演化的速率敏感性，因此，為了描述材料的高應(yīng)變率行為，發(fā)展了MTS 本構(gòu)關(guān)系，其形式為：

MTS 本構(gòu)關(guān)系中考慮了應(yīng)變、應(yīng)變率和溫度對(duì)流動(dòng)應(yīng)力的影響，所以需要大量的試驗(yàn)才能確定所需的材料參數(shù)，因此使用起來(lái)比較麻煩。Follansbee于1988 年總結(jié)回顧了MTS 本構(gòu)關(guān)系的研究進(jìn)展，加入了變形孿晶和多重強(qiáng)化機(jī)制，給出了MTS 本構(gòu)關(guān)系的更一般的形式：

式中：S為與溫度和應(yīng)變率相關(guān)的因子，σ?為熱應(yīng)力，一般取=2。

由于MTS 本構(gòu)關(guān)系可以很好地預(yù)測(cè)高應(yīng)變率范圍（10～10s）內(nèi)的流動(dòng)行為，因此被研究人員用來(lái)模擬各種金屬在寬應(yīng)變率范圍內(nèi)的塑性變形行為。

Banerjee 等對(duì)不同退火的4340 鋼進(jìn)行了泰勒沖擊試驗(yàn)，并使用MTS 本構(gòu)關(guān)系預(yù)測(cè)了其在高溫高應(yīng)變率下的塑性流動(dòng)行為。此外，學(xué)者們也將MTS 本構(gòu)關(guān)系嵌入有限元程序，用來(lái)模擬金屬材料在高應(yīng)變率下的變形行為，如Maudlin 等采用Taylor 沖擊試驗(yàn)、扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)、平板撞擊和斜撞擊試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，在EPIC-2 和PINON 程序上對(duì)MTS 進(jìn)行了評(píng)估，發(fā)現(xiàn)在剪應(yīng)變小于0.2 的情況下，MTS 模型有很好的精度。

1.2.4 Nemat-Nasser-Li（N-N-L）本構(gòu)關(guān)系

為了描述鉭和鉭鎢合金在寬溫度域、寬應(yīng)變率范圍、大變形條件下的塑性流動(dòng)行為，Nemat-Nasser 等建立了一種金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系，其表達(dá)式為：

圖9 不同應(yīng)變率和溫度下，退火OFHC 銅的N-N-L 本構(gòu)關(guān)系預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較[57]Fig. 9 Comparison of model prediction predictions with experimental results for annealed OFHC copper at different strain rates and temperatures using N-N-L constitutive model[57]

Guo 等利用N-N-L 本構(gòu)關(guān)系描述了3003 Al-Mn 合金的塑性流動(dòng)行為，結(jié)果如圖10 所示。此外，N-N-L 本構(gòu)關(guān)系也被用于鉬和鈦等金屬塑性流動(dòng)行為的預(yù)測(cè)。

圖10 不同應(yīng)變率下N-N-L 模型預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果的比較[58]Fig. 10 Comparison between N-N-L model predictions with experimental results at different strain rate[58]

1.2.5 其他物理概念本構(gòu)模型

除上述幾種常見(jiàn)的物理概念本構(gòu)關(guān)系外，學(xué)者們建立了其他的物理概念本構(gòu)關(guān)系以描述金屬材料的溫度依賴性和應(yīng)變率敏感性。例如，Rusinek 等基于Klepaczko的研究建立了一種熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系（R-K 本構(gòu)關(guān)系），用于描述金屬鋁薄板在10～10s應(yīng)變率下的應(yīng)變、應(yīng)變率和溫度與流動(dòng)應(yīng)力之間的關(guān)系。該本構(gòu)關(guān)系中添加了一個(gè)有效應(yīng)力，對(duì)應(yīng)于應(yīng)變硬化和熱激活過(guò)程。其表達(dá)式為：

圖11 用M-R-K 本構(gòu)關(guān)系描述的流動(dòng)應(yīng)力隨塑性應(yīng)變的變化[65]Fig. 11 Change of the flow stress with plastic strain described using the M-R-K model[65]

Gao 等基于位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的熱激活機(jī)制，建立了一種可以描述FCC 金屬動(dòng)態(tài)塑性行為的熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系，該本構(gòu)關(guān)系中本構(gòu)參數(shù)與材料的微觀結(jié)構(gòu)特征直接相關(guān)，其形式為：

表3 物理概念本構(gòu)關(guān)系的模型對(duì)比Table 3 Comparison of physically based constitutive relations

表4 物理概念本構(gòu)關(guān)系的方程形式Table 4 Equations of physically based constitutive relations

此外，Xu 等近年來(lái)也對(duì)常見(jiàn)的各種金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系的描述和預(yù)測(cè)能力進(jìn)行了詳細(xì)的研究和對(duì)比。主要針對(duì)B-P、N-N-L、Z-A、V-A 和R-K 等5 種物理概念本構(gòu)關(guān)系以及J-C 和K-H-L 等2 種唯象本構(gòu)關(guān)系，介紹了各本構(gòu)關(guān)系參數(shù)的確定方法，分別用于描述典型FCC 金屬銅和鎢基復(fù)合材料93W-4.9Ni-2.1Fe在寬應(yīng)變率寬溫度范圍內(nèi)的塑性行為，分析了各本構(gòu)關(guān)系在描述加工硬化、溫度和應(yīng)變速率影響時(shí)的靈活性。

2 包含第三型應(yīng)變時(shí)效的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系

在寬溫域、寬應(yīng)變率范圍內(nèi)對(duì)金屬材料的塑性流動(dòng)行為進(jìn)行測(cè)試時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)：在某應(yīng)變率下，金屬材料的流動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變曲線隨著試驗(yàn)溫度升高整體或較大部分反而上升，表現(xiàn)在對(duì)應(yīng)的流動(dòng)應(yīng)力-溫度曲線上為出現(xiàn)一反常應(yīng)力峰值，如圖12 所示?？紤]到這種現(xiàn)象在形式上有別于“靜態(tài)應(yīng)變時(shí)效”和鋸齒屈服PLC 動(dòng)態(tài)應(yīng)變時(shí)效，郭偉國(guó)等，Wang 等和Xiao 等將這一現(xiàn)象稱為“第三型應(yīng)變時(shí)效”（third type SA，簡(jiǎn)稱3rd SA）。第三型應(yīng)變時(shí)效現(xiàn)象的出現(xiàn)具有普遍性，在單晶、多晶(BCC, HCP, FCC)等各類金屬中都出現(xiàn)這一現(xiàn)象。

圖12 DH36 鋼流動(dòng)應(yīng)力隨溫度變化曲線上出現(xiàn)的反常應(yīng)力峰[71]Fig. 12 Anomalous stress peaks in the flow stress curves of DH36 steel with temperature[71]

第三型應(yīng)變時(shí)效現(xiàn)象的出現(xiàn)使得常見(jiàn)的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系不能很好地描述金屬材料在第三型應(yīng)變時(shí)效出現(xiàn)的溫度區(qū)域內(nèi)的塑性流動(dòng)行為。為此，學(xué)者們通過(guò)對(duì)第三型應(yīng)變時(shí)效的表現(xiàn)形式和微觀機(jī)理的研究來(lái)建立考慮第三型應(yīng)變時(shí)效的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系。Gilat 等在基于位錯(cuò)熱激活理論建立的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上，增加了考慮局部溶質(zhì)原子濃度的第三型應(yīng)變時(shí)效項(xiàng)，利用建立的包含第三型應(yīng)變時(shí)效的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系，可以很好地描述1020 鋼在不同溫度、不同應(yīng)變率下的塑性流動(dòng)行為。Cheng 等基于N-NL 本構(gòu)關(guān)系考慮第三型應(yīng)變時(shí)效過(guò)程中溶質(zhì)原子濃度的變化，建立了包含第三型應(yīng)變時(shí)效的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系，其最終形式如下：

其中并未考慮第三型應(yīng)變時(shí)效現(xiàn)象的應(yīng)變率效應(yīng)。孟衛(wèi)華等和Su 等同樣在Nemat-Nasser 等建立的物理概念熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上，增加了第三型應(yīng)變時(shí)效項(xiàng)來(lái)描述DH-36 鋼的拉伸和壓縮塑性流動(dòng)行為，考慮到第三型應(yīng)變時(shí)效現(xiàn)象的應(yīng)變率效應(yīng)，通過(guò)對(duì)在很寬應(yīng)變率范圍內(nèi)的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行進(jìn)行分析，認(rèn)為第三型應(yīng)變時(shí)效項(xiàng)中的特征參數(shù) σ、和與對(duì)數(shù)應(yīng)變率呈線性關(guān)系，表達(dá)式為：

第三型應(yīng)變時(shí)效現(xiàn)象的出現(xiàn)，使常見(jiàn)的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系不能很好地描述金屬塑性流動(dòng)行為，為此，學(xué)者們建立了多種包含第三型應(yīng)變時(shí)效的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系，可分為兩類：具有物理概念的本構(gòu)關(guān)系和經(jīng)驗(yàn)型的本構(gòu)關(guān)系。具有物理概念的本構(gòu)關(guān)系是基于第三型應(yīng)變時(shí)效微觀機(jī)理，即運(yùn)動(dòng)位錯(cuò)與溶質(zhì)原子的相互作用建立起來(lái)的，其形式通常較復(fù)雜，材料參數(shù)不易獲得。經(jīng)驗(yàn)型的本構(gòu)關(guān)系在常見(jiàn)金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上增加了第三型應(yīng)變時(shí)效項(xiàng)，由于其形式簡(jiǎn)單、參數(shù)容易獲得，近年來(lái)受到了廣泛關(guān)注。經(jīng)驗(yàn)型的本構(gòu)關(guān)系中的第三型應(yīng)變時(shí)效項(xiàng)通常采用正態(tài)分布形式，但是其中的特征參數(shù)與應(yīng)變率的關(guān)系式有一定差異。

3 包含K-W 鎖位錯(cuò)結(jié)構(gòu)引起的反常應(yīng)力峰的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系

在對(duì) γ相增強(qiáng)的鎳基高溫合金的塑性流動(dòng)行為的研究中發(fā)現(xiàn)： γ相增強(qiáng)的鎳基高溫合金流動(dòng)應(yīng)力在隨溫度變化的曲線上，會(huì)出現(xiàn)一反常應(yīng)力峰，如圖13 所示。該反常應(yīng)力峰的出現(xiàn)被認(rèn)為是由鎳基高溫合金中 γ相中的K-W 鎖位錯(cuò)結(jié)構(gòu)引起的。學(xué)者們?cè)谟^察和分析交滑移鎖形成過(guò)程的基礎(chǔ)上，成功發(fā)展出很多與K-W 鎖的形成和解鎖相關(guān)的超彎折模型。K-W 鎖的形成過(guò)程為被壓縮的超不全位錯(cuò)首先滑移到立方面上，然后擴(kuò)展到一相交的八面體上，以非平面鎖的形式鎖住整個(gè)位錯(cuò)。超彎折模型的基礎(chǔ)為O r o w a n 公式，包含S u n 模型、Hirsch 模型、ELU 模型和自解鎖機(jī)制模型。

圖13 鎳基高溫合金的拉伸強(qiáng)度隨溫度的變化[97-98]Fig. 13 Tensile strength of nickel base superalloy as a function of temperature[97-98]

為了描述γ′相增強(qiáng)的鎳基高溫合金DD407的力學(xué)行為，Wang 等建立了一個(gè)考慮屈服應(yīng)力的異常溫度依賴性及其應(yīng)變率效應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系。根據(jù)反常應(yīng)力峰的特點(diǎn)，Wang 等修正了Johnson-Cook 本構(gòu)關(guān)系以描述鎳基高溫合金GH4133B 的塑性流動(dòng)行為。結(jié)合反相界面能的溫度依賴性和經(jīng)典的顆粒剪切理論，Li 等建立了一個(gè)溫度依賴的屈服強(qiáng)度模型來(lái)描述 γ增強(qiáng)高溫合金的屈服強(qiáng)度隨溫度的變化。

Wang 等基于鎳基單晶高溫合金的微觀結(jié)構(gòu)——一種含有 γ 基體相和 γ增強(qiáng)相的雙相結(jié)構(gòu)，建立了包含K-W 鎖位錯(cuò)結(jié)構(gòu)引起的反常應(yīng)力峰的屈服強(qiáng)度與溫度和應(yīng)變率的關(guān)系?？紤] γ 相和γ相的影響，高溫合金的流動(dòng)應(yīng)力可表示為：

式中：為玻爾茲曼常數(shù)，為位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的激活自由能，和為材料常數(shù)。

位錯(cuò)從八面體平面向立方體平面的交叉滑移，導(dǎo)致K-W 鎖的形成，是屈服應(yīng)力與溫度正相關(guān)的根本原因。由于熱激活滑移更傾向于立方體平面，導(dǎo)致材料在超過(guò)峰值應(yīng)力對(duì)應(yīng)的溫度時(shí)發(fā)生軟化。為了描述由K-W 鎖引起的對(duì)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的額外阻力的大小，可用正態(tài)分布來(lái)定量描述K-W 鎖形成的概率隨溫度的變化， γ相的流動(dòng)應(yīng)力具體表達(dá)式如下：

式中：、 ζ 和為K-W 鎖引起的反常應(yīng)力峰值的特征參數(shù)，為K-W 鎖產(chǎn)生的阻力最大時(shí)的溫度，即峰值溫度， ζ 為應(yīng)力峰的寬度，為應(yīng)力峰的高度。、 ζ 和為應(yīng)變率的函數(shù)：

式中：、、、和為材料常數(shù)。

王建軍等所建立的包含K-W 鎖位錯(cuò)結(jié)構(gòu)引起的反常應(yīng)力峰的本構(gòu)關(guān)系可以很好地描述γ相增強(qiáng)的鎳基高溫合金屈服應(yīng)力隨溫度和應(yīng)變率的變化，但未考慮塑性變形的影響。近期，Wang 等在對(duì)鎳基高溫合金K403 在寬溫度域、寬應(yīng)變率范圍內(nèi)的塑性流動(dòng)行為進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)：高溫合金K403 的流動(dòng)應(yīng)力隨溫度變化會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)反常應(yīng)力峰，如圖14 所示，通過(guò)系統(tǒng)分析，認(rèn)為這兩個(gè)反常應(yīng)力峰分別由第三型應(yīng)變時(shí)效和K-W 鎖位錯(cuò)結(jié)構(gòu)引起。為了能準(zhǔn)確描述高溫合金K403 的塑性流動(dòng)行為，在文獻(xiàn)[99]建立的 γ相增強(qiáng)的鎳基高溫合金的本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上，在 γ 相的流動(dòng)應(yīng)力（ σ）中增加了第三型應(yīng)變時(shí)效項(xiàng)，在固溶阻力部分（ σ）增加了非熱部分。因此， γ相增強(qiáng)的鎳基高溫合金熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系的最終表達(dá)式為：

圖14 高溫合金K403 在不同應(yīng)變率下的流動(dòng)應(yīng)力隨溫度的變化Fig. 14 Flow stress of superalloy K403 as function oftemperature at different strain rates

如圖14 所示，所建立的 γ相增強(qiáng)的鎳基高溫合金的熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)高溫合金K403 在寬溫度域、寬應(yīng)變率范圍內(nèi)的塑性流動(dòng)行為。

4 考慮拉壓不對(duì)稱性的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系

在鈦合金和其他HCP 金屬中經(jīng)常觀察到拉伸和壓縮之間的強(qiáng)度差，即拉/壓不對(duì)稱。Khan 等研究了電子束單熔體Ti-6Al-4V 合金在不同應(yīng)變率下的拉伸和壓縮行為，發(fā)現(xiàn)Ti-6Al-4V 合金的拉伸和壓縮行為不僅在屈服應(yīng)力水平上有明顯差異，而且在加工硬化速率上也有顯著差異。Li 等研究了激光立體成形Ti-6Al-4V 合金(LSF Ti-6Al-4V)在寬溫度域和寬應(yīng)變率下的拉伸和壓縮行為，發(fā)現(xiàn)拉伸和壓縮力學(xué)行為在屈服應(yīng)力和加工硬化速率上也存在顯著差異。

在結(jié)構(gòu)分析中，通常采用經(jīng)典塑性理論來(lái)描述金屬合金的塑性響應(yīng)，該理論認(rèn)為應(yīng)力偏量的第一不變量和第三不變量對(duì)流動(dòng)應(yīng)力沒(méi)有影響。然而，對(duì)于金屬塑性流動(dòng)行為中出現(xiàn)的拉/壓不對(duì)稱行為，塑性理論不再適用。巖土力學(xué)界早就認(rèn)識(shí)到將靜水壓力(與應(yīng)力偏量的第1 個(gè)不變量有關(guān))和Lode 角參數(shù)(與應(yīng)力偏量的第三個(gè)不變量有關(guān))納入本構(gòu)關(guān)系的必要性。Richmond 等進(jìn)行了初步研究，證明了靜水壓力對(duì)鋁合金屈服的影響；Gao 等揭示了應(yīng)力狀態(tài)對(duì)5 083 鋁合金的塑性響應(yīng)有很強(qiáng)的影響，為應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的塑性模型的發(fā)展提供了藍(lán)圖；Khan 等提出了應(yīng)變率和溫度依賴的屈服準(zhǔn)則來(lái)描述Ti-6Al-4V 合金的各向異性屈服行為和拉壓不對(duì)稱特性；Tuninetti 等研究了Ti-6Al-4V 合金的拉壓不對(duì)稱、各向異性屈服和各向異性應(yīng)變硬化行為，基于宏觀正交各向異性屈服準(zhǔn)則CPB06，建立了考慮拉壓不對(duì)稱、各向異性屈服和各向異性應(yīng)變硬化的彈塑性本構(gòu)關(guān)系。

在Ti-6Al-4V 合金中經(jīng)常觀察到的流動(dòng)應(yīng)力拉/壓不對(duì)稱通常歸因于滑移系統(tǒng)和機(jī)械孿晶的不同。LSF Ti-6Al-4V 合金的屈服應(yīng)力和加工硬化速率具有顯著的拉/壓不對(duì)稱，且其拉/壓不對(duì)稱與溫度和應(yīng)變速率有關(guān)。本文中將基于LSF Ti-6Al-4V 合金的塑性流動(dòng)行為，建立一個(gè)考慮拉/壓不對(duì)稱以及溫度和應(yīng)變速率依賴性的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系。

式中： σ為初始缺陷引起的應(yīng)力，為應(yīng)變硬化系數(shù)，為應(yīng)變硬化指數(shù)。 σ為由晶粒尺寸效應(yīng)引起的應(yīng)力。孿晶是LSF Ti-6Al-4V 合金的變形機(jī)制之一，孿晶細(xì)化晶粒提高了晶粒的抗滑移性和加工硬化率。由于孿晶對(duì)應(yīng)變速率和溫度的敏感性很低，因此將孿晶對(duì)流動(dòng)應(yīng)力的貢獻(xiàn)納入到非熱應(yīng)力中。Meyers 等提出，在大多數(shù)情況下，孿晶的粒度依賴性服從Hall-Petch 關(guān)系，且孿晶的斜率大于滑移的斜率。因此， σ可以表示為：

圖15 為所建立的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系的預(yù)測(cè)結(jié)果與不同溫度和應(yīng)變率下LSF Ti-6Al-4V 拉伸和壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線的對(duì)比，可以看出，所建立的考慮拉/壓不對(duì)稱行為的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系可以很好地描述LSF Ti-6Al-4V 拉伸和壓縮塑性流動(dòng)行為。

圖15 考慮拉壓不對(duì)稱行為的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig. 15 Comparison between the predicted and experimental results of thermo-viscoplastic constitutive relationships of metal considering the asymmetrical behavior of tension and compression

5 總 結(jié)

熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系能夠描述最普遍情況下金屬材料的變形行為，可預(yù)測(cè)金屬材料在一定的溫度和應(yīng)變率范圍內(nèi)的塑性流動(dòng)行為。傳統(tǒng)唯象本構(gòu)關(guān)系缺乏對(duì)物理機(jī)制的足夠認(rèn)識(shí)，所以無(wú)法準(zhǔn)確描述材料塑性變形與微觀結(jié)構(gòu)演化的關(guān)系；而物理型本構(gòu)關(guān)系考慮了材料在變形過(guò)程中的熱變形機(jī)理。此外，由位錯(cuò)及其相互作用引起的加工硬化和溫度升高引起的動(dòng)態(tài)軟化將導(dǎo)致熱變形過(guò)程中特有的變形機(jī)制，所以能充分地描述這兩種效應(yīng)在金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系中的作用，也是一個(gè)重要的研究領(lǐng)域。

由于第三型應(yīng)變時(shí)效引起的反常應(yīng)力峰、K-W 鎖位錯(cuò)結(jié)構(gòu)引起的反常應(yīng)力峰以及拉壓不對(duì)稱行為的出現(xiàn)，使得常見(jiàn)的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系不再適用。為此，學(xué)者們針對(duì)3 種現(xiàn)象的微觀機(jī)理、宏觀特征等建立了考慮這3 種反常行為的金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系，進(jìn)一步完善了金屬熱黏塑性本構(gòu)關(guān)系。