蔣大偉，李加勝，劉品寬

（上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240）

1 引言

氣體軸承一般分為空氣靜壓軸承和空氣動壓軸承，由于氣體潤滑具有摩擦極小、工作精度高的特點，所以空氣靜壓軸承具有高運動精度、高轉(zhuǎn)速、無摩擦、無污染等優(yōu)點，在紡織工業(yè)、搬運包裝、電子及半導體、計量及超精密機床、渦輪機、食品機械及醫(yī)療機械等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1]。

為了保證空氣靜壓軸承的靜態(tài)、動態(tài)特性，在空氣靜壓軸承的設(shè)計階段，運用合理的方法分析其性能參數(shù)及壓力曲線可以保證空氣靜壓軸承的設(shè)計性能[2]。其主要的分析方法可概括為解析法、數(shù)值計算方法和實驗法。

解析法主要基于Reynolds方程和Harrison方程以及后來學者提出的不同的模型，數(shù)值方法主要包括工程簡化算法（ESA）、有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、計算流體動力學（CFD）以及多物理場耦合方法（MPCM）。然而，當空氣靜壓軸承作為伺服系統(tǒng)的組成部分，為了提高伺服系統(tǒng)的控制精度，辨識空氣靜壓軸承伺服系統(tǒng)的參數(shù)至關(guān)重要，即把空氣靜壓軸承與驅(qū)動單元當作整體進行系統(tǒng)參數(shù)辨識。

永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）屬于典型的非線性系統(tǒng)，具有多變量、強耦合的特點。PMSM的矢量控制策略不僅可以實現(xiàn)解耦控制，控制方法簡單，而且提高了PMSM的運動性能。

常用的系統(tǒng)辨識方法包括遞推最小二乘法（RLS）、卡爾曼濾波法、模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)（MRAS）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等。由于MRAS設(shè)計方法簡單靈活，而且辨識精度高，廣泛用于電機伺服系統(tǒng)的辨識。文獻[3]基于MRAS辨識了無速度傳感器的異步電機的轉(zhuǎn)速，并采用量子遺傳算法進行了矢量控制系統(tǒng)的PI調(diào)節(jié)器參數(shù)的優(yōu)化。

文獻[4]結(jié)合了MRAS 和RLS 算法的優(yōu)缺點，運用改進的MRAS-RLS 算法辨識了永磁同步電機的參數(shù)，實驗結(jié)果表明改進的MRAS-RLS算法提高了辨識精度。文獻[5]在無速度傳感器的感應(yīng)電機的矢量控制系統(tǒng)中運用MRAS進行了轉(zhuǎn)速的辨識，仿真與實驗結(jié)果表明，MRAS能較好的估計出電機的磁鏈及轉(zhuǎn)速，且表現(xiàn)出良好的穩(wěn)態(tài)辨識特性。

文獻[6]根據(jù)電機定子電壓和電流設(shè)計了辨識異步電機的轉(zhuǎn)速的MRAS算法，仿真結(jié)果表明，設(shè)計的MRAS速度辨識模型具有較好的精度和動態(tài)特性。文獻[7]提出了結(jié)合遞推最小二乘法和模型參考自適應(yīng)法的轉(zhuǎn)子電阻在線辨識方法，并進行了仿真與實驗研究。

文獻[8]針對PMSM系統(tǒng)辨識的欠秩問題，提出了MRAS級聯(lián)辨識模型，仿真結(jié)果表明，MRAS 級聯(lián)辨識模型準確的估計出PMSM的轉(zhuǎn)速，且表現(xiàn)出良好的動靜態(tài)性能。

文獻[9]結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)法和MRAS的優(yōu)點，提出了一種估計PMSM轉(zhuǎn)速的新方法，仿真結(jié)果表明提出的方法能夠快速精確的估計電機的速度。

文獻[10]基于復合式滑模變結(jié)構(gòu)模型參考自適應(yīng)方法辨識了異步電機的轉(zhuǎn)速，仿真與實驗結(jié)果表明，提出的辨識方法動態(tài)性能良好，具有工程實用價值。

文獻[11]結(jié)合最小二乘法和MRAS在線辨識了PMSM 的定子電阻、電感與轉(zhuǎn)子磁鏈，仿真結(jié)果表明，改進的辨識方法保證了辨識精度的同時提高了辨識速度，而且抑制了動態(tài)過程的振蕩。

此外，還有許多學者對MRAS方法進行了研究與創(chuàng)新。雖然科研人員運用MRAS進行了電機系統(tǒng)的控制及辨識，但是辨識精度與控制性能仍需進一步提高，從而提高伺服控制系統(tǒng)的性能。這里基于MRAS進行了空氣靜壓軸承伺服系統(tǒng)的參數(shù)辨識，運用Popov超穩(wěn)定性理論設(shè)計了自適應(yīng)律，并采用雙鏈量子遺傳算法對自適應(yīng)律的常數(shù)項和PI調(diào)節(jié)器系數(shù)進行了優(yōu)化。

2 永磁同步電機的數(shù)學模型

一般建立PMSM的數(shù)學模型假設(shè)如下[12]：不考慮電機的渦流和磁滯損耗；不考慮電機鐵芯飽和工作狀態(tài)；轉(zhuǎn)子沒有阻尼繞組；忽略磁場的空間諧波影響，永磁體磁場和三相繞組的電樞磁場沿氣隙正弦分布。

dq坐標系下PMSM的數(shù)學模型表示為：

式中：id、iq—定子電流的d軸和q軸分量；ud、uq—定子電壓的d軸和q軸分量；R—定子電阻；Ls—定子電感，且本實驗的電機電感滿足Ld=Lq=Ls；ωr—轉(zhuǎn)子角速度；ψf—永磁體磁鏈。進一步整理為如下形式：

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

式中：pn—電機極對數(shù)，其他變量含義同上。

3 模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)

MRAS算法的結(jié)構(gòu)框圖，如圖1所示。在這里MRAS框圖由參考模型PMSM、可調(diào)模型和自適應(yīng)律構(gòu)成。

圖1 MRAS算法的結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block Diagram of MRAS

由于本試驗臺采用PMSM驅(qū)動空氣靜壓軸承平臺，所以將空氣靜壓軸承與PMSM當成整體來進行系統(tǒng)參數(shù)辨識，即參考模型PMSM考慮了空氣靜壓軸承的作用。

可調(diào)系統(tǒng)模型表示為：

自適應(yīng)律的設(shè)計理論一般包括梯度法、Lyapunov 穩(wěn)定性理論、Popov超穩(wěn)定性理論、尋優(yōu)定理等，使兩個模型的誤差逐漸收斂到0，即lime(t)=lim[i-]=0。這里采用Popov 超穩(wěn)定理論設(shè)計了自適應(yīng)律，Popov超穩(wěn)定理論設(shè)計時變系統(tǒng)的標準非線性框圖，如圖2所示。

圖2 標準非線性時變反饋系統(tǒng)框圖Fig.2 Diagram of Standard Nonlinear Time Variable Feedback System

當系統(tǒng)輸入r=0，則u=-w，廣義誤差方程為：

在系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式能控能觀的前提下，系統(tǒng)保持穩(wěn)定的前提為系統(tǒng)傳遞函數(shù)嚴格正實，根據(jù)Popov超穩(wěn)理論，該反饋系統(tǒng)保持穩(wěn)定等效于滿足條件[13]。

代入廣義誤差方程，則Popov不等式可以整理為：

一般自適應(yīng)律設(shè)計為PI控制器的形式[14]，自適應(yīng)律可以表示如下：

當lime(t)=lim[i-]=0，則可調(diào)模型趨近于參考模型，觀察自適應(yīng)律的表達式易得，常數(shù)項值直接影響到參數(shù)辨識的精度，而三組PI調(diào)節(jié)器的參數(shù)Ki（i=1,2）會影響到參數(shù)辨識的動態(tài)特性。

下面將通過DCQGA算法進行自適應(yīng)律的常數(shù)項及PI調(diào)節(jié)器的參數(shù)優(yōu)化，在保證辨識精度的前提下減輕人工調(diào)節(jié)參數(shù)的工作量。

4 雙鏈量子遺傳算法

對比于傳統(tǒng)的遺傳算法，量子遺傳算法雖然沒有交叉、變異操作，但是由于量子染色體中的量子態(tài)的疊加天生具有個體多樣性，量子遺傳算法比普通的遺傳算法具有更好的種群多樣性和收斂性。

目前，量子遺傳算法多采用基于量子位測量的二進制編碼方式，通過改變量子比特相位實現(xiàn)進化。

而雙鏈量子遺傳算法（DCQGA）是一種連續(xù)空間優(yōu)化的基于實數(shù)編碼的進化算法，且引入了目標函數(shù)的梯度信息，避免了普通的量子遺傳算法進化過程中的隨機性和盲目性。算法的流程，如圖3所示。

圖3 DCQGA算法流程圖Fig.3 Flow Chart of DCQGA

算法的具體過程描述[15-17]：

（1）初始化量子種群，設(shè)置轉(zhuǎn)角步長初值θ0，變異概率pm

在DCQGA中，采用雙鏈量子位概率幅編碼：

式中：tij=2π×rand，rand—隨機數(shù)函數(shù)。i=1，2，…，m；j=1，2，…，n；m—種群規(guī)模；n—量子位數(shù)。

可以將每個量子位的概率幅看成并列的基因鏈，每條染色體中包含兩條基因鏈，而每條基因鏈代表一個優(yōu)化解，即：

式中：i=1，2，…，m；pic—余弦解；pis—正弦解。按式（11）進行量子種群的初始化。

（2）解空間變換

（3）計算線性變換后的各量子染色體的適應(yīng)度

這里選擇參考模型與可調(diào)模型的誤差的絕對積分作為適應(yīng)度函數(shù)，即：

通過等間隔記錄T時間內(nèi)的絕對誤差積分作為不同的量子染色體的適應(yīng)度值，絕對誤差積分值越小說明該組量子染色體的適應(yīng)性越強。

（4）運用量子旋轉(zhuǎn)門更新量子位

量子旋轉(zhuǎn)門定義為：

轉(zhuǎn)角方向的確定：

令α0和β0是當前搜索到的全局最優(yōu)解中某量子位的概率幅，α1和β1是當前解中相應(yīng)量子位的概率幅，記A=則當A≠0時，轉(zhuǎn)角θ的方向為-sgn(A)；當A=0時，轉(zhuǎn)角θ的方向取正負均可。

轉(zhuǎn)角大小的確定：考慮可微目標函數(shù)的變化率，利用梯度定義轉(zhuǎn)角的步長函數(shù)為：

式中：xp、xc—父代和子代的量子染色體。

（5）量子非門變異處理

采用量子非門實現(xiàn)量子染色體的變異，隨機選擇一條染色體，然后隨機選擇若干個量子位施加量子非門變換，使該量子位的兩個概率幅互換。

設(shè)某一量子位幅角為t，變異后的幅角為π/2-t，即幅角正向旋轉(zhuǎn)了π/2-2t。

（6）判斷是否滿足收斂準則，或者達到最大迭代限制，否則返回（2）。

5 仿真

為了驗證MRAS-DCQGA 算法的性能，這里基于MATLAB SIMULINK平臺進行了算法的仿真。仿真中的PMSM參數(shù)，如表1所示。

表1 永磁同步電機參數(shù)Tab.1 Parameters of PMSM

根據(jù)PMSM 的數(shù)學模型及MRAS-DCQGA 算法的描述過程建立了Simulink仿真框圖，如圖4所示。

圖4 MRAS-DCQGA算法的Simulink仿真框圖Fig.4 Simulink Diagram of MRAS-DCQGA

采用id=0的控制方法實現(xiàn)了PMSM的解耦控制。

由自適應(yīng)律的式（8）～式（10）辨識R、Ls、ψf時需要整定3組PI調(diào)節(jié)器的參數(shù)及常數(shù)項，仿真實驗中每組參數(shù)運行時間為0.5s，即適應(yīng)度的采樣周期為0.5s。

DCQGA算法與傳統(tǒng)的遺傳算法整定參數(shù)進行了對比實驗，兩種算法的種群規(guī)模均為10，尋優(yōu)迭代100次。

適應(yīng)度曲線，如圖5（a）所示，明顯的看出傳統(tǒng)的遺傳算法存在早熟缺點，易于陷入局部最優(yōu)，而DCQGA算法具有較好的全局搜索能力。

算法整定的參數(shù)結(jié)果與辨識，如表2所示。

表2 參數(shù)整定結(jié)果與辨識值Tab.2 Tuning Results and Identification Value

可以得出DCQGA 算法的參數(shù)辨識值優(yōu)于GA 算法的辨識值。參數(shù)辨識曲線，如圖5（b）～圖5（d）所示。

圖5 （a）為適應(yīng)度曲線，（b）、（c）、（d）為參數(shù)辨識曲線Fig.5 （a）Fitness Curve，（b）、（c）、（d）the Identification Results

6 結(jié)論

這里設(shè)計了用于空氣靜壓軸承伺服系統(tǒng)辨識的MRAS-DCQGA算法，針對自適應(yīng)律參數(shù)多、整定難的問題，應(yīng)用雙鏈量子遺傳算法進行了參數(shù)自整定優(yōu)化。

通過傳統(tǒng)的遺傳算法和DCQGA算法的對比仿真實驗，DCQGA算法表現(xiàn)出良好的全局搜索能力，由于該算法中引入了目標函數(shù)的梯度信息，所以DCQGA算法收斂速度快且動態(tài)特性穩(wěn)定。從辨識結(jié)果中得出，在合理的誤差范圍內(nèi)MRAS-DCQGA算法性能滿足要求。