韓旭炤，張小粉，楊新剛，向玉春，劉 雯

(1.咸陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電學(xué)院，陜西 咸陽 712000；2.西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)具有剛度大、承載能力強、運動慣性小和精度高等優(yōu)點，在機器人及機床研究中引起了廣泛的重視[1-2]，特別是自20世紀(jì)90年代美國第1次將并聯(lián)運動機構(gòu)成功運用于機床以來，并聯(lián)運動機床得到了大力發(fā)展[3]，因此，針對并聯(lián)機構(gòu)的研究和開發(fā)成為科技界的熱點課題。特別是在混聯(lián)運動平臺的開發(fā)方面少自由度并聯(lián)機構(gòu)的廣泛使用，使得串并聯(lián)結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢互補，為機床及機器人的大力發(fā)展提供了廣闊的前景。

在混聯(lián)運動平臺的開發(fā)中，對其并聯(lián)機構(gòu)部分進行深入研究更有利于指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的設(shè)計和獲得良好的綜合性能，而針對并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)解析問題是其機構(gòu)分析和機構(gòu)設(shè)計的基礎(chǔ)，在少自由度并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)解析及運動性能分析方面已有大量的研究和積累。謝哲東等[4]對一種新型的3-PSP微型并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學(xué)及工作空間分析，并進行了相關(guān)仿真；彭紅梅等[5]以空間三平移并聯(lián)機構(gòu)作為研究對象，建立運動學(xué)方程模型,分析了其奇異性、操作空間和靈巧度等性能指標(biāo)；王紅等[6]結(jié)合機構(gòu)的靈巧性分析，對一種新型的 3-PUU 并聯(lián)機器人進行了尺度綜合，為該機構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計提供了理論依據(jù)；謝俊等[7]提出一種PRR+2-PRRU型兩平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，運用解析法進行位置分析,并通過MATLAB驗證位置求解的正確性；謝志江等[8]提出了一種新型六自由度并聯(lián)機構(gòu)，分析了該機構(gòu)輸入與輸出之間的速度映射關(guān)系，建立了雅可比矩陣，以工作空間和全域靈巧度為性能評價指標(biāo)，完成了機構(gòu)尺度設(shè)計；盧帥龍等[9]提出了一種可折疊3-R(US and SPU)并聯(lián)機構(gòu)并采用遺傳算法對其相關(guān)設(shè)計參數(shù)進行了參數(shù)優(yōu)化。

本文基于一種五坐標(biāo)混聯(lián)工作臺的開發(fā)，對其所采用的2P3RR并聯(lián)機構(gòu)部分進行了相關(guān)研究。該并聯(lián)機構(gòu)為兩自由度平面運動并聯(lián)機構(gòu)，可在其動平臺上串接回轉(zhuǎn)軸，實現(xiàn)主軸頭部件的三軸運動。本文給出了2P3RR并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)位置正解、逆解，推導(dǎo)出了該機構(gòu)的速度雅可比矩陣，并分析了該機構(gòu)的工作空間，基于雅可比矩陣的工作空間全域靈巧性能指標(biāo)完成了該并聯(lián)機構(gòu)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定，以方便指導(dǎo)其設(shè)計，對混聯(lián)運動平臺的開發(fā)具有一定的參考價值。

1 并聯(lián)機構(gòu)

如圖1所示為本文討論的并聯(lián)機構(gòu)。AiBi(i=1,2)為相互平行的直線移動導(dǎo)軌組件，在該機構(gòu)中為驅(qū)動部件，C1(C2)C3為該并聯(lián)機構(gòu)的動平臺。滑塊Bi(i=1,2)在導(dǎo)軌AiBi(i=1,2)上滑動，使得AiBi(i=1,2)的長度發(fā)生改變從而驅(qū)動整個并聯(lián)機構(gòu)產(chǎn)生運動。B2B3垂直于A2B2且在滑塊B2處固聯(lián)，B1C1桿、B2C2桿和C2C3桿在C1(C2)處通過復(fù)合回轉(zhuǎn)鉸鏈聯(lián)接，B2C2桿和B3C3桿的長度相等，C2C3桿和B2B3桿的長度相等，從而B2C2桿、C2C3桿、B3C3桿和B2B3桿構(gòu)成平行四邊形，該并聯(lián)機構(gòu)中采用了平行四邊形機構(gòu)，從而保證了動平臺C1(C2)C3在并聯(lián)機構(gòu)發(fā)生運動的過程中姿態(tài)保持不變，該機構(gòu)動平臺的姿態(tài)在當(dāng)前狀態(tài)總是垂直于2條直線移動組件。

圖1 機構(gòu)原理

2 位置關(guān)系求解

如圖1所示，∑O為該并聯(lián)機構(gòu)的定平臺坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點O選在導(dǎo)軌A1B1上，X坐標(biāo)軸與導(dǎo)軌A1B1的中軸線重合，坐標(biāo)軸正向如圖1所示，Z坐標(biāo)軸由A1指向A2；∑om為該并聯(lián)機構(gòu)的動平臺坐標(biāo)系，由于該并聯(lián)機構(gòu)動平臺的姿態(tài)保持不變，從而將坐標(biāo)原點om設(shè)置在復(fù)合回轉(zhuǎn)鉸鏈的回轉(zhuǎn)中心處，xm、zm坐標(biāo)方向和定平臺坐標(biāo)方向一致。

設(shè)∑om的坐標(biāo)原點om在∑O中的坐標(biāo)表示為(x,0,z)，則該機構(gòu)的位置逆解為：

(1)

(2)

根據(jù)幾何關(guān)系,該并聯(lián)機構(gòu)的動平臺在驅(qū)動滑塊的右側(cè)，從而式(1)和式(2)中取“-”號。

令l1=l2=b，則該機構(gòu)的位置正解表達式為：

(3)

(4)

式(3)和式(4)中,取“+”號,a為2導(dǎo)軌之間的距離。

由于本文在尺度綜合部分，需要用到該機構(gòu)的雅可比矩陣，對式(1)和式(2)兩邊分別求導(dǎo)，整理后，得到該并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣為

J(q)=

(5)

3 并聯(lián)機構(gòu)尺度綜合

3.1 工作空間分析

通過位置關(guān)系求解可以看出，該機構(gòu)的位置正、逆解具有顯式的表達式，可以采用解析的方法進行求解，從而可以采用掃描的方法獲得該機構(gòu)的工作空間，由于該機構(gòu)各結(jié)構(gòu)參數(shù)待定，因此，這里采用圖解的方法進行說明。

以動平臺上的C1(C2)點為參考點進行分析，動平臺上的其他各點可以通過坐標(biāo)變換的方式獲得。容易看出C1(C2)點是以(X1,0,0)、(X2,0,a)為圓心以l1、l2為半徑的2個圓的交點，在如圖2所示位置處，滑塊Bi(i=1，2)為初始位置，此時C1(C2)點位于工作空間的最左端。

若滑塊Bi(i=1，2)在導(dǎo)軌AiBi(i=1,2)上移動，即Xi(i=1,2)在區(qū)間[Ximin,Ximax]上變化時，C1(C2)點的集合是以(X1,0,0)、(X2,0,a)為圓心以l1、l2為半徑的2個圓分別沿X方向滾動形成的包絡(luò)面的交集，如圖2陰影部分所示。在工程應(yīng)用中，有效工作空間通常取2導(dǎo)軌之間的區(qū)域。

圖2 工作空間分析

3.2 基于任務(wù)空間的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定

任務(wù)空間是機構(gòu)工作空間的子空間，這里討論在滿足任務(wù)空間的前提下確定并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)從而使并聯(lián)機構(gòu)緊湊靈活。一般情況下，驅(qū)動元件的行程、并聯(lián)機構(gòu)的桿長以及導(dǎo)軌之間的距離等是影響并聯(lián)機構(gòu)工作空間的主要因素，下面基于任務(wù)空間確定這些結(jié)構(gòu)參數(shù)。

如圖3所示，若要求該并聯(lián)機構(gòu)的任務(wù)空間為w×h的矩形區(qū)域，結(jié)合工程實際需要，設(shè)定該矩形區(qū)域分布在上、下導(dǎo)軌之間且相對于導(dǎo)軌呈對稱分布，為了便于說明，約定2并聯(lián)桿BiCi(i=1，2)的桿長相等。設(shè)動平臺參考點C1(C2)到達任務(wù)空間的左邊界上界P1點時，滑塊B2在初始位置處(即和A2點重合，此時X2=0)，而滑塊B1沿導(dǎo)軌滑動了d1；當(dāng)動平臺參考點C1(C2)沿任務(wù)空間的上邊界運動到點P2時，滑塊B2沿導(dǎo)軌滑動了d2，此時滑塊B1沿導(dǎo)軌滑動了d1+d2；根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性，當(dāng)動平臺參考點C1(C2)沿任務(wù)空間的左邊界由P1點運動到P4點時，滑塊B1在初始位置處，而滑塊B2沿導(dǎo)軌滑動了d1；當(dāng)動平臺參考點C1(C2)沿任務(wù)空間的下邊界由P4點運動到P3點時，滑塊B1沿導(dǎo)軌滑動了d2，而滑塊B2沿導(dǎo)軌滑動了d1+d2。通過以上分析可以看出，為了便于緊湊設(shè)計，導(dǎo)軌的行程為d1+d2就能滿足任務(wù)空間的實現(xiàn)，而d2實際上就是任務(wù)空間在X方向上的尺寸w。

圖3 任務(wù)空間分析

設(shè)l1=l2=b，任務(wù)空間上邊界到上導(dǎo)軌的距離為d，若任務(wù)空間的左邊界在直線X=x1上，則任務(wù)空間各端點的坐標(biāo)為：P1(x1,0,h+d) ；P2(x1+w,0,h+d) ；P3(x1,0,d) ；P4(x1+w,0,d)。 此時容易求得

(6)

由式(1)可求得

(7)

于是

(8)

L為導(dǎo)軌的行程。

從而，桿長至少要滿足如下的關(guān)系：

b≥h+d

(9)

若b=h+d，當(dāng)并聯(lián)機構(gòu)參考點到達P1點時，桿件B1C1和導(dǎo)軌方向垂直，此時并聯(lián)機構(gòu)處于奇異狀態(tài)，因此，式(9)中只取“>”。從而在確定并聯(lián)機構(gòu)任務(wù)空間的左邊界直線X=x1時，x1應(yīng)滿足如下的關(guān)系式：

(10)

在工程實踐中，若要求α=β，于是

(11)

(12)

從而有：

(13)

(14)

d1=bcosβ-bsinα=h

(15)

從而可求得導(dǎo)軌的行程以及2導(dǎo)軌之間的距離為：

L=d1+d2=h+w

(16)

(17)

3.3 任務(wù)空間靈巧性分析

在并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計和開發(fā)中，通常采用并聯(lián)機構(gòu)的速度雅可比矩陣進行相關(guān)靈巧性分析和計算，該機構(gòu)的雅可比矩陣如式(5)所示?；谘趴杀染仃嚳蓸?gòu)造的并聯(lián)機構(gòu)的靈巧性評價指標(biāo)有[10]：條件數(shù)、最小奇異值以及可操作性等。實踐表明，采用雅可比矩陣的條件數(shù)作為靈巧性度量指標(biāo)比較合理，雅可比矩陣的條件數(shù)可定義為

(18)

‖·‖為矩陣任意范數(shù)。條件數(shù)與奇異值的關(guān)系為

(19)

σmax、σmin分別為雅可比矩陣J(q)的最大、最小奇異值。容易看出，k(J)的取值范圍為 1≤k(J)≤∞。當(dāng)k(J)=1時，矩陣的各奇異值相等，并聯(lián)機構(gòu)的形位各向同性。為了使機構(gòu)趨于各向同性，應(yīng)使雅可比矩陣的條件數(shù)越小越好。

由于雅可比矩陣的元素與機構(gòu)所處形位有很大關(guān)系，因而采用雅可比矩陣描述的是機構(gòu)的局部特性，不能反映并聯(lián)機構(gòu)在整個任務(wù)空間的情況。采用文獻[11]提出的評價指標(biāo)對該并聯(lián)機構(gòu)進行靈巧性分析，即

(20)

w為并聯(lián)機構(gòu)的整個任務(wù)空間；η為基于整個任務(wù)空間的條件數(shù)分布而得到的全域性能指標(biāo)。

4 應(yīng)用實例

結(jié)合作者團隊當(dāng)前正在開發(fā)的一種五坐標(biāo)混聯(lián)工作臺，其并聯(lián)機構(gòu)部分采用本文討論的2P3RR并聯(lián)機構(gòu)，要求動平臺在工作平面內(nèi)的工作范圍為500 mm×500 mm，任務(wù)空間邊界到導(dǎo)軌的距離為600 mm，如圖4所示，由前文推導(dǎo)，得到:

b≥h+d=1 100 mm

考慮結(jié)構(gòu)的緊湊性和恰邊界條件，動平臺參考點C1(C2)到達任務(wù)空間的左邊界上界P1點時，左導(dǎo)軌上的滑塊B2在初始位置處，其他各邊界點處滑塊的位置關(guān)系如圖4虛線所示，圖4中單位為mm。根據(jù)工程中的實際應(yīng)用情況，只需要沿著導(dǎo)軌的高度方向調(diào)整滑塊的初始位置即可。

圖4 應(yīng)用實例結(jié)構(gòu)參數(shù)確定

由前文的推導(dǎo)可以看出，當(dāng)桿件長度b確定以后，x1也能確定，因此，該并聯(lián)機構(gòu)主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)為桿件長度b。為了便于說明桿件長度b對機構(gòu)靈巧性的影響，從而確定其長度值，讓桿件長度b在區(qū)間[1 150 mm，1 450 mm]上變化，對機構(gòu)的整個工作空間求雅可比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)的全域均值η，其隨桿長的變化曲線如圖5所示?？梢钥闯?，當(dāng)桿件長度b取1 300 mm時，其全域靈巧性指標(biāo)η較為理想。此時，可求得該機構(gòu)的導(dǎo)軌行程L=960 mm。采用掃描法獲得該并聯(lián)機構(gòu)的工作空間如圖6所示，其中，方框線即為該五坐標(biāo)混聯(lián)工作臺并聯(lián)機構(gòu)部分的任務(wù)空間區(qū)域。在此任務(wù)空間中并聯(lián)機構(gòu)動平臺參考點在各點處的雅可比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)分布如圖7所示，可以看出，任務(wù)空間中各點處的靈巧度值分布在區(qū)間[0.60,0.85]之間，且此時該機構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)的全域均值η為0.68，說明當(dāng)前選定的結(jié)構(gòu)參數(shù)比較理想，能夠滿足設(shè)計中關(guān)于機構(gòu)靈巧度的要求。

圖5 機構(gòu)靈巧性全域評價指標(biāo)隨b的變化曲線

圖6 并聯(lián)機構(gòu)工作空間掃描

圖7 任務(wù)空間內(nèi)各點處的靈巧度值

5 結(jié)束語

本文基于五坐標(biāo)混聯(lián)工作臺，對其并聯(lián)機構(gòu)部分進行了相關(guān)研究，得到如下結(jié)論：

a.在混聯(lián)運動平臺的開發(fā)中，其并聯(lián)機構(gòu)部分采用少自由度并聯(lián)機構(gòu)既能發(fā)揮并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)勢，又能獲得良好的綜合性能。本文結(jié)合作者團隊當(dāng)前正在開發(fā)的一種五坐標(biāo)混聯(lián)工作臺的并聯(lián)機構(gòu)部分進行了相關(guān)研究，探討了主要結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的相互關(guān)系，并進行了設(shè)計計算，為混聯(lián)運動平臺的開發(fā)奠定了理論基礎(chǔ)。

b.采用恰邊界條件，結(jié)合基于雅可比矩陣的并聯(lián)機構(gòu)工作空間全域靈巧性能指標(biāo)進行并聯(lián)機構(gòu)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)確定，能更好地反映并聯(lián)機構(gòu)在整個工作空間上的工作性能，且編程簡單，易于處理，能夠容易獲得綜合性能理想的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)值，更能方便地指導(dǎo)并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計，對混聯(lián)運動平臺的開發(fā)具有一定的參考價值。