張 鵬,陳惠賢,裘應(yīng)馳,雷武樂,李 雙

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

柔性醫(yī)用機(jī)械臂是放射治療設(shè)備中極為重要的部件,它用于支撐患者,確保醫(yī)師能夠?qū)⒒颊叩牟≡钪糜诜派渲委熢O(shè)備的輻射野內(nèi)進(jìn)行治療。醫(yī)用機(jī)械臂的運(yùn)動精度與可靠性是相當(dāng)重要的,但造成醫(yī)用機(jī)械臂末端空間定位精度差的原因是多方面的,如大懸臂、連桿和關(guān)節(jié)的彈性變形等,并且醫(yī)用機(jī)械臂對各軸運(yùn)動的位置、軌跡和速度準(zhǔn)確性具有極高的要求,關(guān)節(jié)傳動誤差直接影響著醫(yī)用機(jī)械臂的運(yùn)動軌跡及其末端的準(zhǔn)確性,因此解決關(guān)節(jié)傳動和連桿柔性所產(chǎn)生的誤差問題是當(dāng)務(wù)之急[1-2]。

目前,已有大量學(xué)者對此開展了相關(guān)的研究,如單麗君等[3]對理論齒廓擺線輪和針齒,柱銷和柱銷孔受力所產(chǎn)生的變形進(jìn)行了分析,計(jì)算出受力狀態(tài)下的回轉(zhuǎn)誤差;任軍等[4]對RV減速器中的針擺傳動建立了一種考慮擺線輪齒廓曲率半徑變化的等效扭轉(zhuǎn)嚙合剛度模型;鄭宇等[5]通過分析RV減速器的零部件的加工、裝配誤差,將LIN的平移扭轉(zhuǎn)耦合模型和質(zhì)量彈簧誤差等價(jià)原理相結(jié)合,建立了RV減速器的傳動誤差模型;韓林山等[6]綜合考慮RV減速器中的非線性因素,建立了非線性動力學(xué)模型,為研究加工誤差和游隙對角傳動誤差的影響提供了理論依據(jù);李兵等[7]采用作用線增量法分析針齒與擺線輪嚙合處的原始誤差得到多齒嚙合下的擺線輪輸出轉(zhuǎn)角誤差,并以此為基礎(chǔ)建立了傳動誤差分析模型;張壯[8]將柔性機(jī)械臂視為Euler-Bernoulli梁,并利用拉格朗日方程建立了柔性機(jī)械臂的動力學(xué)模型;Mohsen等[9]基于拉格朗日方程和泰勒級數(shù)對具有柔性關(guān)節(jié)的剛性機(jī)械臂進(jìn)行了動力學(xué)建模;何勇[10]將空間天線伸展臂等效成雙柔性桿臂并將末端夾持器及附加裝置簡化成末端集中質(zhì)量,利用拉格朗日法建立了帶有末端負(fù)載的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型;王斌銳等[11]綜合考慮了關(guān)節(jié)和連桿柔性,基于Lagrangian方程和轉(zhuǎn)子非線性扭簧模型,建立了柔性機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型;Asada等[12]基于柔性機(jī)械臂的逆動力學(xué),通過使用虛擬坐標(biāo)系以簡單而緊湊的形式表示柔性臂的動態(tài)變形,提出了通過近似方法來求解逆動力學(xué);郎英彤等[13]利用拉格朗日方程建立單柔性機(jī)械臂動力學(xué)模型,采用近似法和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對動力學(xué)模型進(jìn)行了數(shù)值仿真分析;齊俊德等[14]為了提高機(jī)器人的絕對定位精度,建立了機(jī)器人絕對定位誤差模型并進(jìn)行了補(bǔ)償方法研究,將定位誤差分為幾何參數(shù)誤差與柔度誤差,分別建立了相應(yīng)的誤差模型;焦國太[15]分析了機(jī)器人的誤差來源,將其統(tǒng)一歸結(jié)為關(guān)節(jié)變量誤差和結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差,運(yùn)用MD-H方法建立了機(jī)器人的誤差模型;龔星如等[16]綜合考慮了機(jī)器人基座坐標(biāo)系誤差以及機(jī)器人自身內(nèi)部參數(shù)誤差,建立起基于微分變換的機(jī)器人末端定位誤差模型。對于機(jī)械臂誤差建模,前人做出了許多重要的貢獻(xiàn),主要是從機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)誤差著手,研究整機(jī)的誤差標(biāo)定,而關(guān)于關(guān)節(jié)傳動誤差對機(jī)械臂末端空間定位精度的影響研究較少。通過建立柔性醫(yī)用機(jī)械臂的動力學(xué)模型和關(guān)節(jié)RV減速器的等效嚙合剛度模型,分析關(guān)節(jié)傳動誤差和連桿柔性耦合作用下對機(jī)械臂末端精度的影響,建立機(jī)械臂末端空間定位誤差模型,將有助于機(jī)械臂末端空間位置誤差的補(bǔ)償。

1 單桿柔性醫(yī)用機(jī)械臂動力學(xué)建模

1.1 柔性機(jī)械臂物理模型以及坐標(biāo)系的建立

所研究的醫(yī)用機(jī)械臂三維模型如圖1所示。取醫(yī)用機(jī)械臂的小臂為研究對象,將碳纖維床板和調(diào)整臂簡化為小臂的末端質(zhì)量m,假定單杠柔性醫(yī)用機(jī)械小臂的運(yùn)動和彎曲振動都在同一平面內(nèi),柔性臂桿作平面運(yùn)動。柔性醫(yī)用機(jī)械臂的小臂可簡化成Euler-Bernoulli梁,只考慮臂桿的彎曲變形,不考慮臂桿的重力作用,建立小臂的物理模型如圖2所示,圖2中τ(t)為RV減速器機(jī)構(gòu)施加到機(jī)械臂固定端的驅(qū)動力矩;θ(t)為機(jī)械臂在平面內(nèi)轉(zhuǎn)角的角位移。

圖1 醫(yī)用機(jī)械臂三維模型

圖2 小臂的物理模型

假設(shè)柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動過程中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為B(X,Y),OXY表示為慣性坐標(biāo)系,oxy表示為浮動坐標(biāo)系。柔性機(jī)械臂t時(shí)刻任意一點(diǎn)B的彎曲彈性變形可以表示為

(1)

將機(jī)械臂看成一端固定、一端自由的懸臂梁,根據(jù)梁的彎曲自由振動方程和邊界條件求得陣型函數(shù)為

φi(x)=cos (βix)-cosh(βix)-

λi(sin (βix)-sinh(βix)),

(2)

其中:

1.2 拉格朗日法建模

拉格朗日方程為

(3)

減速機(jī)的動能T1為

(4)

單桿柔性機(jī)械臂自身的動能T2為

(5)

將x=l帶入可得集中質(zhì)量m的速度Vm,由此可得末端集中質(zhì)量的動能T3為

(6)

將式(4)～(6)聯(lián)立帶入式(3),并且考慮正交條件得到柔性機(jī)械臂的機(jī)械系統(tǒng)的總動能為

(7)

其中:

由于單桿柔性機(jī)械臂做平面旋轉(zhuǎn)運(yùn)動,考慮其勢能由彈性變形所引起,則可得

(8)

拉格朗日函數(shù)L為

(9)

將式(8)和式(9)帶入式(3),并忽略耦合項(xiàng)和非線性項(xiàng)后,得到末端帶有集中質(zhì)量的柔性機(jī)械臂線性化動力學(xué)方程為

(10)

2 RV減速器二級傳動擺線輪與針齒理論嚙合剛度模型

理論上擺線輪與針齒是通過線接觸傳遞運(yùn)動,實(shí)際情況下擺線輪在與針齒嚙合的過程中發(fā)生了彈性變形。對于擺線輪與針齒的嚙合,擺線輪與針齒的接觸可以近似看成是2個(gè)圓柱面進(jìn)行接觸,假設(shè)接觸點(diǎn)為兩彈性體變形的直線,如圖3所示。

圖3 擺線輪與針輪接觸模型

當(dāng)2個(gè)圓柱體接觸時(shí),根據(jù)赫茲公式可得到接觸面的半寬為

(11)

ρ2為針齒的曲率半徑且為確定值rrp,由文獻(xiàn)[17]可知擺線輪的理論曲率半徑為

(12)

如果ρ1為正值,擺線輪的輪廓曲線向內(nèi)凹,擺線輪與針齒凹凸接觸,曲率求和為負(fù)號;如果ρ1為負(fù)值,擺線輪的輪廓曲線向外凸,擺線輪與針齒凸凸接觸,曲率求和為正號。

2.1 單個(gè)擺線輪齒和針齒的剛度

由圖3可知,由于C很小,可在C范圍內(nèi)近似地認(rèn)為是一段圓弧,則可得

(13)

其中:hc為擺線輪齒徑向擠壓變形量。

(14)

計(jì)算得到單個(gè)擺線輪齒剛度為

(15)

當(dāng)ρ1j<0時(shí):

(16)

其中:S=1+K12-2K1cosφj;T=K1(1+zp)·cosφj-(1+zpK12);φj為第j個(gè)針齒對于轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)角。

當(dāng)ρ1j>0時(shí):

(17)

同理可得單個(gè)針齒的剛度,當(dāng)ρ1<0時(shí),取數(shù)值|ρ|計(jì)算;當(dāng)ρ1>0時(shí),將ρj帶入式(17)中可得

(18)

2.2 單對擺線輪齒與針齒接觸剛度模型

接觸剛度模型為

(19)

將kcj、krj代入式(19)化簡,并當(dāng)ρ1<0時(shí),得

(20)

當(dāng)ρ1>0時(shí):

(21)

根據(jù)式(20)、式(21)可知,當(dāng)ρ1<0時(shí),擺線輪齒與針齒的嚙合剛度為定值。

2.3 擺線針輪嚙合剛度模型

擺線針輪接觸模型見圖3。顯然各單齒嚙合剛度對擺線針輪整體剛度的貢獻(xiàn)是角度的函數(shù),不能簡單的相加。因此先將各單齒嚙合剛度轉(zhuǎn)化為等效的扭轉(zhuǎn)剛度,然后再進(jìn)行疊加求出擺線針輪整體嚙合的等效扭轉(zhuǎn)剛度。

第j對擺線輪齒和針齒的公法線到擺線輪中心的距離lj為

(22)

當(dāng)擺線輪和針齒嚙合時(shí),第j對齒產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)嚙合剛度計(jì)算公式為

(23)

擺線輪和針齒理論嚙合傳動的等效嚙合剛度模型為

(24)

3 柔性機(jī)械臂末端定位誤差模型

由于機(jī)械臂是一個(gè)柔性臂,自身存在著彈性變形,同時(shí)RV減速器擺線輪與針齒傳動所產(chǎn)生的誤差也會影響到機(jī)械臂的定位精度。所以,機(jī)械臂末端定位誤差ΔX由兩部分組成:RV減速器傳動誤差和機(jī)械臂自身的彈性變形引起的定位誤差。

3.1 RV減速器擺線輪與針齒嚙合的動態(tài)傳動誤差模型

根據(jù)式(22)可以看出,當(dāng)φ=φ0=arccosK1時(shí),力臂最大為lmax=aza;根據(jù)變形關(guān)系,針齒的接觸力Fj與力臂lj呈正比,可得

(25)

由文獻(xiàn)[3]所述可得

(26)

將式(22)、式(25)帶入式(26),并轉(zhuǎn)化為積分近似計(jì)算形式,得到動態(tài)傳動誤差為

(27)

3.2 柔性醫(yī)用機(jī)械臂末端定位誤差模型

末端定位誤差模型為

(28)

4 數(shù)值仿真

4.1 醫(yī)用柔性機(jī)械臂逆動力學(xué)數(shù)值求解

采用近似的方法對醫(yī)用柔性機(jī)械臂動力學(xué)模型進(jìn)行逆動力學(xué)數(shù)值仿真求解,機(jī)械臂的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所列。

表1 機(jī)械臂的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)

端輸出驅(qū)動力矩和模態(tài)坐標(biāo)q1、q2、q3與時(shí)間的關(guān)系曲線,并利用Origin對其進(jìn)行最小二乘法擬合,得到驅(qū)動力矩和模態(tài)響應(yīng)函數(shù)如圖4所示。

圖4 驅(qū)動力矩函數(shù)曲線和模態(tài)響應(yīng)函數(shù)曲線

擬合得到的驅(qū)動力矩和模態(tài)響應(yīng)函數(shù)為

(29)

4.2 柔性醫(yī)用機(jī)械臂末端定位誤差數(shù)值仿真分析

考慮關(guān)節(jié)減速器時(shí)變嚙合剛度，分別對比分析不同型號RV減速器和不同階數(shù)模態(tài)下對柔性醫(yī)用機(jī)械臂末端定位誤差的影響規(guī)律。分別取柔性醫(yī)用機(jī)械臂關(guān)節(jié)減速器為RVSHPR-110E、RV320E、RV40E，其中不同型號RV減速器的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所列。根據(jù)RV減速器的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)通過Matlab數(shù)值仿真軟件編寫求解算法進(jìn)行數(shù)值仿真求解分析。

表2 RV減速器的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

利用Matlab取0～100 s進(jìn)行數(shù)值仿真求解分析得到不同型號RV減速器和不同階數(shù)模態(tài)的柔性醫(yī)用機(jī)械臂末端定位誤差如圖5所示，圖5中(a)、(b)、(c)分別表示在相同RV減速器下不同階數(shù)模態(tài)的柔性醫(yī)用機(jī)械臂末端定位誤差;而圖5中(d)、(e)、(f)分別表示在相同階數(shù)模態(tài)下不同RV減速器的柔性醫(yī)用機(jī)械臂末端定位誤差。

通過對比分析圖5中(a)、(b)、(c)得到，當(dāng)取不同RV減速器時(shí)，柔性醫(yī)用機(jī)械臂的末端定位誤差都處于一種動態(tài)增長的狀態(tài)，其中一階模態(tài)下機(jī)械臂末端定位誤差的動態(tài)波動不明顯，但是隨著模態(tài)階數(shù)的增加其機(jī)械臂末端定位誤差的動態(tài)波動更加明顯，從而表明模態(tài)階數(shù)越高機(jī)械臂末端定位誤差的動態(tài)波動越劇烈。

通過對比分析圖5中(d)、(e)、(f)得到，不同階數(shù)模態(tài)下減速器型號為RVSHPR-110E、RV320E、RV40E，在100 s時(shí)柔性醫(yī)用機(jī)械臂末端所產(chǎn)生的定位誤差分別為10.74 mm、13.21 mm和29.28 mm，并且根據(jù)表2可知這3個(gè)減速器的彈性模量逐漸遞減，從而說明關(guān)節(jié)減速器的彈性模量越大則剛度越強(qiáng),其彈性變形也就越小，所產(chǎn)生的關(guān)節(jié)傳動誤差也就越小。

5 結(jié)論

以醫(yī)用機(jī)械臂小臂為研究對象將小臂簡化成Evler-Bernoulli梁并且基于拉格朗日法建立機(jī)械臂的動力學(xué)模型,同時(shí)建立關(guān)節(jié)RV減速器二級傳動擺線輪與針齒時(shí)變嚙合剛度模型,最后通過連桿柔性與關(guān)節(jié)傳動誤差的耦合建立醫(yī)用機(jī)械臂末端動態(tài)定位誤差模型。通過對模型的仿真分析得到以下結(jié)論:

(1) 通過對醫(yī)用柔性機(jī)械臂動力學(xué)模型的逆向求解得到擬合度較好的驅(qū)動力矩、模態(tài)響應(yīng)函數(shù)公式。

(2) 通過仿真分析得到模態(tài)階數(shù)越高機(jī)械臂末端定位誤差的動態(tài)波動越劇烈;關(guān)節(jié)減速器二級傳動部分的彈性模量越大產(chǎn)生的關(guān)節(jié)傳動誤差越小。

(3) 關(guān)節(jié)處微小的轉(zhuǎn)角變化,經(jīng)臂桿放大后會造成機(jī)械臂末端較大的運(yùn)動誤差,在滿足機(jī)械臂驅(qū)動力矩的要求時(shí),應(yīng)盡量選取剛度大的RV減速器以減小關(guān)節(jié)傳動誤差。

(4) 今后可對醫(yī)用機(jī)械臂整體進(jìn)行建模分析,并對關(guān)節(jié)RV減速器的一級傳動和二級傳動建立RV減速器整體的嚙合剛度模型來分析關(guān)節(jié)傳動誤差,從而建立醫(yī)用機(jī)械臂整機(jī)末端空間動態(tài)誤差模型。