李軒 孫先松 秦禹杰 胡寅紅 黃志杰 孟麟

摘要：針對傳統(tǒng)雙曲線定位模型求解計算較為復雜，低端微處理器無法滿足實時定位運算需求的問題。該文對傳統(tǒng)雙曲線定位模型做出改進，研究了一種基于雙曲線漸近線和TDOA的二維平面定位模型，并據(jù)此提出了一種三維空間目標定位的設計方案。利用Matlab軟件分別對二維平面和三維空間的定位模型進行仿真驗證，在STM32單片機上進行二者的運算速度對比，結果表明，該文所提出的定位模型在整體運算速度上要比傳統(tǒng)模型快33%左右。

關鍵詞：雙曲線定位算法;TDOA;雙曲線漸近線;三維空間目標定位

中圖法分類號：TN802? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）25-0011-04

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雙曲線定位是傳統(tǒng)導航手段當中一種簡單易行的方法[1]，雖然隨著科技的發(fā)展，各類定位技術涌現(xiàn)，如目前常見的質心定位法、三角定位法、航衛(wèi)推算法、粒子群定位算法、神經(jīng)網(wǎng)絡定位算法等[2-4]，但由于傳統(tǒng)雙曲線模型原理簡單，且易于實現(xiàn)，如今在航海、航空領域、室內(nèi)定位仍廣泛使用[5]。

定位的指標主要有兩點：一是精度，二是實時性。在雙曲線定位模型的基礎上，對于精度的改良，許多學者都進行了大量的研究。文獻[6]提出了利用雙曲線定位和廣義互相關法來提高定位精度，文獻[7]提出了在室內(nèi)定位中，可添加N個信標點，采用最大似然估計法來提高定位準確度，雖然提高了定位精度，但卻給雙曲線定位模型引入了新的計算因子，MCU處理器計算目標點坐標的時長增加，定位實時性下降。在目前高端芯片供不應求的情況下，低端處理器運算性能無法滿足實時定位的運算需求，采用傳統(tǒng)雙曲線定位的系統(tǒng)在定位實時性上難以達到較好的效果。

為解決上述問題，本文以傳統(tǒng)雙曲線定位算法為基礎，并加以改善，旨在研究出一個合適的新模型，并提出相對應的算法，簡化雙曲線定位模型的計算量，提高整體模型的計算效率，進而提高整體系統(tǒng)的定位實時性。

1 基本原理

本文提出了一種基于TDOA與雙曲線漸近線的二維平面目標定位模型，具體如下圖1所示。圖中P為目標，且處于第一象限，在同一直線上的F1、F2和F3處安置信號接收器，一般接收來自目標P所傳遞的聲信號、光信號或電磁波等信號，設線段F1F2 = F2F3=d。

首先測得目標P到F1和F3的時間差為?t1，P到F2和F3的時間差為?t2，并且通過測量可知聲信號、光信號或電磁波信號的傳播速度為v，所以有關系式|PF1-PF3|= v?t1，即目標P必在以F1和F3為焦點、F2為坐標原點、v?t1為實軸長的雙曲線上，列出雙曲線的標準方程。

[x2a2-y2b2=1]? ? ? ? ? ? ? （1）

其中實軸長2a=v?t1，焦點長2c=F1F3=2d，根據(jù)關系式a2+b2=c2可求出虛軸b，最終可求得漸近線與x軸的夾角[α=arctanba]。根據(jù)雙曲線性質，若目標P距離F1和F3足夠遠時，目標所在的雙曲線與其漸近線非常趨近，而在實際測量時，目標往往都離測量設備較遠，此時可以認為目標P在漸近線上，即此時目標P與x軸的偏角等于漸近線與x軸的偏角，所以PF2與F2F3的夾角為：

[α=arctan（2d2-vΔt122vΔt1）]? ? ? ? ?（2）

式（2）中的d、v和?t1皆為可測物理量，因此α可以由式（2）計算得出。

設目標P的坐標為（x，y），根據(jù)直角三角形的三邊關系可得以下幾個關系式：

[y=xtanα]? ? ? ? ? ? ?（3）

[PF22=x2+y2]? ? ? ? ? ? ? ?（4）

[PF32=x-d2+y2]? ? ? ? ? （5）

由所測目標P到F2和F3的時間差?t2，可得到|PF2-PF3|=v?t2，因此聯(lián)立上面三式可得：

[x=-d2+vΔt22d+vΔt2tanα2+12vΔt22-2d2+2vΔt22tanα2]? （6）

[x=-d2+vΔt22d-vΔt2tanα2+12vΔt22-2d2+2vΔt22tanα2]? （7）

式（6）為P處于y軸右側計算公式，式（7）為P處于y軸左側的計算公式，即所求坐標結果有兩個解，之后與傳統(tǒng)雙曲線定位模型處理過程一樣，通過相位差、幅度差等方式，判斷在雙曲線的某條邊上，進一步篩選出真實值。

在此基礎上[8-10]，本文提出了一種三維空間目標定位模型的設計方案，如圖2所示。圖中P為目標，坐標為（x，y，z） ，首先在Z軸上依次安置三個信號接收器（F1、F2和F3） ，在Y軸的正半軸安置一個信號接收器（F4），其中F2為三維空間直角坐標系的坐標原點，設線段F1F2 = F2F3= F2F4=d，目標P到各接收器的距離分別為PF1、PF2、PF3、PF4。

首先測得目標P到F1和F3的時延差為?t1，P到F1和F2的時延差為?t2，P到F2和F4的時延差為?t3，并且已知目標P所傳遞的光信號、聲信號或電磁信號的傳播速度為v。以三維空間直角坐標系的第一象限為例，若仰角和目標P到原點F2的距離確定，此時不管方位角為多少度，聲源的z坐標都為定值，取聲源與Z軸的截面圖，如圖3所示。

研究對比發(fā)現(xiàn)，此時的三維空間截面（圖3） 與二維平面（圖1） 一致，并滿足二維平面目標定位模型的所有條件，若假定的目標P處于第一象限，因此利用二維平面目標定位模型推導出z的值如下：

[z=-d2+vΔt22d+vΔt2tanα2+12vΔt22-2d2+2vΔt22tanα2]? （8）

上式（8）中的參數(shù)d、v、?t2和α皆為已知變量，因此可求得z，并根據(jù)三角關系求出[PF2=zcos（α）]。

在三維空間直角坐標系中，如圖2所示，存在以下幾個關系式：

[x2+y2+z2=PF22]? ? ? ? ? ?（9）

[x2+y-d2+z2=PF42]? ? ? ? ? （10）

[|PF2-PF4|=vΔt3]? ? ? ? ? ?（11）

聯(lián)立以上三式可以求得：

[x=-d4+4（dPF2）2-4PF2Δt3vd2+2（dΔt3v）2-4（dz）2-4（PF2Δt3v）2+4PF2（Δt3v）3-（Δt3v）42d]

（12）

[y=d2-（Δt3v）2+2PF2Δt3v2d]? ? ? ? ? （13）

式（12）和式（13）中的參數(shù)d、PF2、?t3、v和z都已知，因此可以根據(jù)二式，求出目標P的x坐標和y坐標，至此求出目標P在三維空間直角坐標系中的坐標（x，y，z） 。

2 定位模型的仿真驗證與分析

本次實驗在Matlab中進行，且為理想條件。為了驗證上述模型，下文所述二維平面定位模型簡稱二維模型，三維空間定位模型簡稱三維模型，文中無單位標注的物理量，所用單位均為國際標準單位。

搭建如圖1和圖3所示模型，假設目標P為聲源，在不考慮聲音傳播的衰減、混響、噪聲等情況下，即聲源P到各個信號接收器之間為理想傳播，利用Matlab進行聲源定位模型仿真，設置F1、F2、F3和F4之間間距d為0.02m，聲速為340m/s。

2.1 定位模型驗證

在二維平面目標定位中，如圖1所示，因為實驗條件是理想傳播，即可認為，通過聲源P到各個接收器之間的距離關系計算所得的理論值?t1和?t2，等于各個接收器最終檢測所得的實際時間差數(shù)值（三維空間驗證中同理） 。以第一象限為例，在其中選取一組二維平面中的隨機點作為聲源P的坐標，并記為實際坐標（x，y），將參數(shù)d、v、?t1和?t2帶入式（3）和（6）中，計算所得坐標，記為公式坐標（x0，y0），并記坐標誤差（x0-x，y0-y），驗證后的結果整理至表1中，單位均為國際標準單位。

由表1可看出隨著x的增大，理論上誤差越來越小現(xiàn)象，并未出現(xiàn)，而造成這一現(xiàn)象的原因便是角度誤差，不同的角度對應的坐標所產(chǎn)生的誤差各不相同，后續(xù)會加以驗證。

在三維空間中，如圖2所示，驗證過程與二維平面一致，以第一象限為例，選取一組隨機點記為實際坐標（x，y，z），再將參數(shù)d、v、?t1、?t2和?t3帶入式（8）、（12）和（13）中，計算所得坐標，記為公式坐標（x0，y0，z0），并記坐標誤差（x0-x，y0-y，z0-z），驗證后的結果整理至表2中。

由表2可看出三維模型所產(chǎn)生的現(xiàn)象與二維模型相一致，原因在于前者是在后者基礎上建立的，因此具備了由后者帶來的誤差，這一點從圖3和式（8）、（12）和（13）可知。三維空間的誤差主要是由于二維平面的誤差造成的，因此下面對二維平面的誤差產(chǎn)生原因做出驗證。

2.2 誤差分析

本文所提出的模型如圖1所示，誤差原因是利用了雙曲線性質：當目標P距離F1和F3足夠遠時，目標所在的雙曲線與其漸近線非常趨近。而上述理論中的趨近一詞并不意味著相等，用漸近線與x軸的夾角（以下簡稱漸近線夾角），代替雙曲線上的點和原點的連線與x軸的夾角（以下簡稱雙曲線夾角），此過程中產(chǎn)生了理論誤差。

記雙曲線夾角為[α1]，漸近線夾角為[α2]，記角度誤差?[α]=[α2]-[α1]，由于[0≤α1≤90]，則以每10°分為一個小段，并從每個小段中隨機選定一個角度作為[α1]的值，求出隨著x的增大，對應的角度誤差?[α]，驗證后的數(shù)據(jù)記錄至圖4中。

觀察圖4可知隨著x的增大，不同[α1]下的?[α]都呈下降趨勢，滿足隨著距離的增大，雙曲線和漸近線愈加趨近這一特性。從圖4可知，不同角度下的?[α]曲線在x為0.5～1.5m之間區(qū)別較大，而1.5m之后，各曲線之間的誤差相對較小。為求出理論上的最大誤差，在x=1m的條件下，[α1]處于0～90°之間，以1°為基本單位，對所有角度下的誤差?[α]進行對比，整理實驗數(shù)據(jù)至圖5中。

從圖5中可以看出30°下存在最大誤差，于是按前文定位模型驗證中的方式計算對應的坐標誤差，并記

[誤差結果=x-x0x*100%]

y方向的誤差結果計算方式與上式相同，經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)當實際值x為20米時，測量值的橫坐標和縱坐標誤差結果約為0.075%，當x為200米時，誤差結果約為0.0075%，對于大多數(shù)定位場合而言，此時誤差可忽略不計。

3 定位模型的計算速度對比實例

如文獻[11]中所述，傳統(tǒng)雙曲線定位模型示意圖如圖6所示。

圖中P為目標，在同一直線上的F1、F2和F3處安置信號接收器，一般接收來自目標P所傳遞的聲信號、光信號或電磁波等信號，設線段F1F2 = F2F3=d。首先測得目標P到F1和F2的時間差為?t1，P到F2和F3的時間差為?t2，并且通過測量可知聲信號、光信號或電磁信號的傳播速度為v，那么令目標P的坐標為（x，y），則有方程組：

[vΔt1=x2+（y-d）2-x2+y2vΔt2=（x-d）2+y2-x2+y2]

求解出的方程組有兩個解，然后通過相位差等信息，確定唯一真實值。本次時間對比試驗中，傳統(tǒng)雙曲線模型的計算時間為求解上述方程組的兩個坐標值所耗費的時間，本文所提模型的計算時間為求解出式（2）、（3）、（6）和（7）所得坐標的耗費時間，本次試驗選取STM32F1戰(zhàn)艦開發(fā)板作為試驗平臺，利用定時器計時兩模型計算一次坐標所花時間，并將多次測量結果傳送至上位機，結果如圖7所示。

觀察圖7可知，在實驗條件相同的情況下，傳統(tǒng)雙曲線模型的計算用時在600us左右，而本文所提模型的計算用時在400us左右，相較于前者來說，后者在計算用時上快了200us左右，速度提升了大約33%。對于STM32F103ZET6這款微處理器而言，其執(zhí)行一條指令的時間約為0.011us，200us的時間差距足夠該微處理器執(zhí)行18181條指令，在速度上具有較大提升。針對圖7，還需說明：對于不同微處理器，在同一條件下運行所耗費的時間可能不同，但兩種模型所耗費時間的關系，一定相同。

4 結束語

本文所提出的模型，以傳統(tǒng)雙曲線模型為基礎，并在其基礎上做出相應的改進。與傳統(tǒng)雙曲線模型對比可知，本文所提出的模型在理論計算中存在相對較小的誤差，在對定位精度要求極高的環(huán)境中，本文所提出的模型要稍差于傳統(tǒng)雙曲線模型，但在理論上本文的計算復雜度要遠低于傳統(tǒng)模型，也就意味著成本更低的低端微處理器采用本文所提模型進行實時目標定位的速度有一個很大的提升。

目前低端的微處理器一般不具備DSP庫，在計算三角函數(shù)時速度較慢，在今后的研究過程中，可以圍繞算法進行DSP庫的編寫，以進一步提升低端微處理器的計算速度。此外，后續(xù)也會在此模型的基礎上，加上廣義互相關法、神經(jīng)網(wǎng)絡等算法，提高整體系統(tǒng)的定位精度。

參考文獻：

[1] 方冠，楊春燕，李響，等.雙模壓縮光雙曲線定位方案設計與分析[J].空軍工程大學學報（自然科學版），2017，18（4）：66-72.

[2] 朱清山，王偉.基于SAGA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡室內(nèi)定位算法[J].電子測量技術，2021，44（9）：100-104.

[3] 張勇，徐小龍，徐科宇.基于加權質心法的WLAN室內(nèi)定位系統(tǒng)[J].電子測量與儀器學報，2015，29（7）：1036-1041.

[4] 龔陽，崔琛，余劍，等.基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的室內(nèi)定位算法研究[J].電子測量技術，2016，39（10）：57-60，99.

[5] 高萬明.E羅蘭系統(tǒng)研究現(xiàn)狀和進展[J].信息通信，2019，32（7）：166-170.

[6] 郝燕玲，鄧志鑫，趙國清.雙曲線與圓圓定位最優(yōu)岸臺分布算法研究與比較[J].中國航海，2008，31（2）：95-99.

[7] 殷桂華，王小輝，雷毅談.基于TDOA的室內(nèi)運動目標雙曲線RFID定位方法[J].計算機應用，2014，34（S2）：52-54.

[8] 楊震.基于EKF的TDOA/AOA定位算法解決TDOA多解難題[J].工業(yè)控制計算機，2019，32（9）：104-106.

[9] 張曉光，呂海峰，呂傳茂，等.四元十字麥克風陣聲源定位算法研究[J].中國測試，2020，46（2）：96-102.

[10] 陳浩，李起偉，王子龍.基于改進TDOA在煤礦井下超寬帶定位算法的研究[J].電子測量技術，2021，44（6）：96-102.

[11] 葉佳卉.基于TDOA的室內(nèi)定位算法設計與實現(xiàn)[D].武漢：華中科技大學，2013.

【通聯(lián)編輯：光文玲】