張嘉文，高曉凌，謝沅澤，卞小霞

（1.鹽城工學(xué)院 信息工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051；2.鹽城工學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051；3.鹽城工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 鹽城 224051）

管道系統(tǒng)是一種重要的載流裝置，在石油化工行業(yè)、核工業(yè)工程和航空航天工程等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。由于管道系統(tǒng)在工作過程中受外界激勵的影響，其中的流體產(chǎn)生非定常流動，引起管道系統(tǒng)的流-固耦合非線性效應(yīng)，導(dǎo)致輸流管系統(tǒng)失穩(wěn)，嚴(yán)重時發(fā)生爆裂，繼而引發(fā)災(zāi)難性的事故。因此，管道系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性研究受到了廣大學(xué)者的重視。

1 輸流管道系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀

輸流管道系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，需要用非線性動力學(xué)分析方法研究[1]。Hosseini 等[2]基于Euler-Bernoulli 梁模型，利用修正的應(yīng)變梯度理論研究了長度尺度參數(shù)、外徑和長徑比對固有頻率和顫振臨界速度的影響。金基鐸等[3]研究了懸臂輸流管道受彈性支承和運(yùn)動約束作用的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象。Mao 等[4]分析了輸流管在3∶1 內(nèi)共振下的受迫振動響應(yīng)。Wang 等[5]得到了松散約束中的不同參數(shù)對懸臂梁非線性動力學(xué)行為的影響。方孟孟等[6]基于Galerkin 法研究了懸臂輸流管系統(tǒng)在基礎(chǔ)激勵與脈沖內(nèi)流聯(lián)合作用下的動力學(xué)行為。張宇飛等[7-8]分析了輸送脈動流體的懸臂管道在諧波外力作用下的非線性共振響應(yīng)、模態(tài)相互作用及倍周期和混沌振動，并且通過實(shí)驗(yàn)的方法對基礎(chǔ)激勵作用下懸臂輸流管的動力學(xué)行為進(jìn)行振動測試分析。

本文以懸臂輸流管的非線性動力學(xué)系統(tǒng)為討論對象，分析平衡點(diǎn)處穩(wěn)定條件不滿足時分岔的情況。討論了2 類臨界特征根的情況。分別是2 個零特征值，1 個零特征根和1 對純虛特征根的情況，給出了不同情況下的轉(zhuǎn)遷曲線及平衡解穩(wěn)定區(qū)域。

2 動力學(xué)模型

張宇飛等在文獻(xiàn)[7]中得到了受外激勵及內(nèi)共振影響的輸流管系統(tǒng)非線性無量綱系統(tǒng)如下

式中：“·”表示對時間t 的偏導(dǎo)數(shù)，“′”表示對X 的偏導(dǎo)數(shù)各項(xiàng)表達(dá)式及系數(shù)都可以在文獻(xiàn)[7]中找到。張宇飛等應(yīng)用攝動分析法及Galerkin 離散法得到平均方程如下

式中：X=[x1，x2，x3，x4]，式（2）中各系數(shù)均可在文獻(xiàn)[7]中找到。共振關(guān)系為

式中：σ1和σ2是2 個調(diào)諧參數(shù)。

式（2）在平衡點(diǎn)（x1，x2，x3，x4）=（0，0，0，0）處的Jacobian 矩陣為

由Hurwitz 判據(jù)，系統(tǒng)在原點(diǎn)處穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立

條件中不等式同時成立時，矩陣的特征根實(shí)部均為負(fù)數(shù)，否則，若是有1 個不等式不成立，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，可能發(fā)生分岔。

3 局部分岔分析

下面討論系統(tǒng)在原點(diǎn)附近受參數(shù)（δ1，δ2）擾動后的動力學(xué)行為，分析特征根為1 個零和1 對純虛數(shù)的情況。

選取參數(shù)值如下

此時，雅可比矩陣的特征值為λ1=0，λ2，3=±3i，λ4=-2，參數(shù)β17，μ 被擾動，變換為：β17=-1+δ1，μ=0+δ2，狀態(tài)變量經(jīng)如下變換

式中：Nfi（i=1…4）見附錄。系統(tǒng)在初始平衡點(diǎn)（y1，y2，y3，y4）=（0，0，0，0）處，參數(shù)為零時Jacobian 矩陣為

接下來討論式（11）的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性。式（11）的Jacobian 矩陣為

式（11）的平衡點(diǎn)有如下情況：①z=r=0 為初始平衡點(diǎn)；②z2=-δ1/4，r=0 為靜態(tài)分岔解次Hopf 分岔解二次Hopf 分岔解。

以上平衡解的穩(wěn)定性條件由Jacobian 矩陣（12）分析得到，對于初始平衡解①，δ1＞0，δ2＞0 時平衡點(diǎn)穩(wěn)定。記其穩(wěn)定邊界即轉(zhuǎn)遷曲線為L1：δ2＝0（δ1＞0），L2：δ1＝0（δ2＞0）；對于靜態(tài)分岔解②，δ1＜0 時解存在，δ1＜0 且δ1/4+δ2＞0 時解穩(wěn)定，則有穩(wěn)定邊界L2：δ1＝0（δ2＞0），L3：δ1/4+δ2=0（δ2＞0）；對于一次Hopf 分岔解③，δ2＜0 時解存在，穩(wěn)定條件為δ2＞0，5δ1＋39δ2＞0，對比得到此解無法穩(wěn)定，轉(zhuǎn)遷曲線是L4：5δ1＋39δ2＝0（δ1＞0）；對于二次Hopf 分岔解④，δ1＋4δ2＜0，5δ1＋39δ2＞0 時解存在，50δ1+352δ2＞0 時解穩(wěn)定，得到穩(wěn)定邊界為L3：δ1/4+δ2=0（δ2＞0），L5：50δ1+352δ2＞0。

由上述分析可知系統(tǒng)平衡解的轉(zhuǎn)遷曲線及穩(wěn)定區(qū)域如圖1 所示，初始平衡解①穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)镮，參數(shù)穿過L2分岔出靜態(tài)分岔解②，解②的穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)棰?，參?shù)經(jīng)過L3時分岔出二次Hopf 分岔解④，區(qū)域Ⅲ中，解②不再穩(wěn)定，解④穩(wěn)定。

從圖1 的不同區(qū)域選取參數(shù)（δ1，δ2）驗(yàn)證理論分析的結(jié)果。圖2（a）、2（b）、2（c）是不同參數(shù)及不同初始狀態(tài)對應(yīng)的狀態(tài)變量x1的時間歷程曲線，圖2（d）是二次Hopf分岔解對應(yīng)的相軌線在（x1，x2）平面上的投影。首先從平衡解（z，r）＝（0，0）的穩(wěn)定區(qū)域Ⅰ中選?。é?，δ2）=（0.1，0.1），初始狀態(tài)為（x1，x2，x3，x4）=（-0.1，0.1，0.1，0.1），如圖2（a）所示，軌線最終收斂到零點(diǎn)；其次，從靜態(tài)分岔解（z，r）=（－δ1/4，0）的穩(wěn)定區(qū)域Ⅱ中選取（δ1，δ2）=（-0.1，0.2），初始條件取為（x1，x2，x3，x4）=（0.1，0.1，-0.1，0.1），由圖2（b）可見軌線收斂到確定的非零解；最后，從二次Hopf 分岔解的穩(wěn)定區(qū)域Ⅲ中選?。é?，δ2）=（-0.1，0.018），初始條件取為（x1，x2，x3，x4）=（-0.1，0.1，0.1，0.1），由圖2（c）、2（d）可見狀態(tài)變量作穩(wěn)定的周期運(yùn)動，相軌線收斂到穩(wěn)定的極限環(huán)。

圖1 系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)（δ1，δ2）的轉(zhuǎn)遷曲線圖

圖2 不同條件下時間歷程曲線及相軌線

4 結(jié)論

通過Hurwitz 判據(jù)分析了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件。對于特征值為1 個零和1 對純虛根的臨界情況，分析了平衡條件不滿足時，系統(tǒng)的局部分岔行為。參數(shù)（μ，β17）受擾后，系統(tǒng)可能會產(chǎn)生4 個平衡解：①z＝r=0；②z2=-（δ1＋4δ2）。其中第三類存在性與穩(wěn)定性條件沖突，無法實(shí)際產(chǎn)生，其他3 個解在相應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域均可產(chǎn)生，數(shù)值分析驗(yàn)證了理論結(jié)果。