張映輝, 葉 琴

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 桂林 541006)

眾所周知, 自然界中大部分流體都是多相流。多相流包括不相容混合流, 如空氣和水混合流, 油、氣和水混合流。當(dāng)2種流體相容時(shí), 它們通常形成一種新的具有自身流變特性的單一流體。如穩(wěn)定的水油乳狀液是非牛頓流體, 但水和油本身都是牛頓流體。最簡單的非平凡多相流是在空氣和水之間的界面上傳播的小振幅波, 空氣和水的運(yùn)動(dòng)規(guī)律由一對(duì)具有自由界面的可壓縮 Euler 方程組刻畫:

(1)

(2)

式中：ρ+、u+、P+分別表示水的密度、速度和壓強(qiáng)；ρ-、u-、P-分別為空氣的密度、速度和壓強(qiáng)；g為重力；拖曳力FD滿足

C、為給定的物理參數(shù)。

水和空氣被未知的自由界面z=η(x,y,t) 分開, 該自由界面滿足如下動(dòng)力學(xué)方程

式中, 壓力連續(xù)地穿過該自由界面, 即P+=P-=P。

當(dāng)波的振幅足夠大時(shí), 可能出現(xiàn)波爆破。在空氣和水之間界面的周圍區(qū)域,氣體中出現(xiàn)小液滴,液體中也出現(xiàn)氣泡。由于坍塌和破碎的出現(xiàn),自由界面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變得相當(dāng)復(fù)雜,并涉及到各種不同的尺度。簡化多相流的復(fù)雜性并且滿足工程師需求的經(jīng)典方法是體積平均法,可參看文獻(xiàn)[1]了解其更多物理背景和應(yīng)用。用α+、α-分別表示水和空氣的體積分?jǐn)?shù)并作用于式(1)、(2),通過體積平均方法可推導(dǎo)出一個(gè)沒有自由界面的模型——兩相流模型

(3)

兩相流模型不僅用于刻畫水和空氣之間的分離流, 還廣泛應(yīng)用于電力、核能、化學(xué)工藝、油氣、低溫空間、生物醫(yī)學(xué)、微技術(shù)等, 參看文獻(xiàn)[2-8]和其引用文獻(xiàn)了解更多物理背景和應(yīng)用。用于模擬不同實(shí)際背景的模型具有差異, 但是平均模型與系統(tǒng)(3)具有相同的結(jié)構(gòu)。

下面用流體+和流體-分別表示2種非混溶流體, 如上述的水可用流體 + 表示,空氣可用流體-表示,引入黏性力和毛細(xì)管效應(yīng),將模型(3)推廣為如下可壓縮非守恒兩相流模型

(4)

式中：α+、α-分別表示流體+和流體-的體積分?jǐn)?shù),α±∈[0,1]；ρ±、u±、P±分別表示流體+和流體-的密度、速度、壓強(qiáng)；應(yīng)力張量τ滿足

(5)

常數(shù)μ±、λ±為2種流體的剪切黏性系數(shù)和膨脹黏性系數(shù);毛細(xì)管效應(yīng)參數(shù)σ±>0。模型(4)及其相關(guān)模型的適定性、大時(shí)間行為、漸近性等內(nèi)容可參看文獻(xiàn)[4,8-28]和其引用文獻(xiàn)。

可壓縮非守恒兩相流模型(4)具有非守恒性和強(qiáng)耦合性, 至今研究成果還很少。下面按流體壓強(qiáng)相等且有毛細(xì)管效應(yīng)(P+=P-=P,σ±>0)、壓強(qiáng)不相等且無毛細(xì)管效應(yīng) (P+≠P-,σ±>0)、壓強(qiáng)相等且無毛細(xì)管效應(yīng)(P+=P-,σ±=0)這3種情況分別討論該模型的研究進(jìn)展。

1 壓強(qiáng)相等且有毛細(xì)管效應(yīng)

1.1 模型

設(shè)2種流體壓強(qiáng)相等, 并且有毛細(xì)管效應(yīng)。于是式(4)可改寫為

(6)

μ±(ρ±)=v±ρ±,λ±(ρ±)=0,

v±為給定的常數(shù)。文獻(xiàn)[31]中,剪切黏性系數(shù)μ和膨脹黏性系數(shù)λ滿足

μ±>0,λ±+2u±>0。

2種流體的聲速s±滿足

則有

(7)

令R±=α±ρ±,則

(8)

(9)

將式(9)代入式(8), 得

(10)

結(jié)合式(7), 有

(11)

于是,式(6)可改寫為

(12)

式(12)的初值條件如下

(13)

其中

(14)

(15)

F1=-div(n+u+)；

(16)

F3=-div(n-u-)；

(17)

式(16)、(17)中,

式(15)的初值條件為

式中

(n+,u+,n-,u-)(x,t)→0,|x|→∞。

1.2 模型(6)研究成果

并且

則周期域問題(12)～(14)在[0,T]上存在全局弱解(α±,ρ±,u±)。

定理2(三維柯西問題小初值光滑解的全局存在性和衰減率)[30]若對(duì)任意整數(shù)s≥3,存在常數(shù)δ>0,使得

則柯西問題(12)～(14)在[0,∞]上存在全局強(qiáng)解(ρ±,α±,u±),滿足

R+-1,R--1∈C0([0,∞];Hs+1(R3)∩C1[0,∞];Hs(R3)),

u+,u-∈C0([0,∞];Hs(R3)∩C1[0,∞];Hs-1(R3)),

且存在與t無關(guān)的c>0,C>0使得

解滿足如下衰減估計(jì)

則柯西問題(12)～(14)存在全局強(qiáng)解 (R+,u+,R-,u-) 滿足

R+-1,R--1∈C0([0,∞];Hs+1(R3)∩C1[0,∞];Hs(R3)),

u+,u-∈C0([0,∞];Hs(R3)∩C1[0,∞];Hs-2(R3)),

且

衰減率上界估計(jì)：對(duì)任意t≥0,0≤k≤s,有

其中?<2,s>2為給定的常數(shù),則存在與t無關(guān)的常數(shù)k,且0≤k≤s,對(duì)任意足夠大的t,有

注1定理1考慮特殊的黏性情形為μ±(ρ±)=μ±ρ±,λ±(ρ±)=0,利用緊性建立了三維周期域問題全局弱解的存在性。然而,文獻(xiàn)[29]中的方法很大程度上依賴于毛細(xì)管效應(yīng)和特殊的黏性,不能處理無毛細(xì)管效應(yīng)(σ±=0)和常黏性系數(shù)情形。定理2考慮更特殊的黏性和相等的毛細(xì)管系數(shù)為μ±(ρ±)=νρ±,λ±(ρ±)=0,σ+=σ-=σ>0,證明三維柯西問題小初值光滑解的全局存在性和衰減率。文獻(xiàn)[30]的主要方法是基于特殊的黏性和相等的毛細(xì)管系數(shù),將模型(6)分解為2個(gè)4×4系統(tǒng),它們的線性部分與可壓縮Navier-Stokes-Korteweg方程的線性部分擁有類似的耗散結(jié)構(gòu)。但是文獻(xiàn)[30]中的方法不適用于常黏性系數(shù)和不相等的毛細(xì)管系數(shù)情形。定理3考慮具有常黏性系數(shù)和不相等的毛細(xì)管系數(shù)(μ±(ρ±)=μ±>0,λ±(ρ±)=λ±,σ+≠σ->0),證明三維柯西問題小初值光滑解的全局存在性和最優(yōu)衰減率。文獻(xiàn)[31]通過引入比例密度的線性組合以及2個(gè)新的時(shí)間加權(quán)能量泛函, 利用巧妙的矩陣分解、精細(xì)的譜分析和兩系能量方法證明了該結(jié)論。

2 壓強(qiáng)不相等且無毛細(xì)管效應(yīng)

2.1 模型

設(shè)2種流體壓強(qiáng)不相等, 且無毛細(xì)管效應(yīng)。 于是式(4)可改寫為

(18)

其中應(yīng)力張力τ滿足式(5),剪切黏性系數(shù)μ±>0,膨脹黏性系數(shù)λ滿足λ±+2μ±>0,f(α-ρ-) ∈C3([0,∞]),且在平衡態(tài)附近f(α-ρ-) 為嚴(yán)格減函數(shù)，式(9)～(11)可改寫為

令

則在(R+,+∞)中

由于P+(ρ+)-P-(ρ-)=f(α-ρ-),故存在ρ+=ρ+(R+,R-),使得φ(ρ+)=0。令

則式(18)可改寫為

(19)

式(19)的初值條件為

(20)

式中

(21)

(22)

其中

(23)

(24)

式(22)右端

G1=-m+divu+,G2=-m-divu-,

(25)

(26)

1≤i,j≤3。式(25)～(26)中

式(22)的初值條件如下

式中

(n+,u+,n-,u-)(x,t)→0,|x|→∞。

2.2 模型(18)研究成果

定理 4(三維柯西問題光滑小解的全局存在性和衰減率)[18]若存在適當(dāng)小的固定常數(shù)η>0,使得

(27)

且存在常數(shù)ε,使得初值滿足

則柯西問題(19)～(21)存在全局強(qiáng)解(R+,u+,R-,u-)滿足

R+-1,R--1∈C0([0,∞];H2(R3)∩C1([0,∞];H1(R3)),

u+,u-∈C0([0,∞];H2(R3)∩C1([0,∞];L2(R3)),

注 2證明定理4,通常需對(duì)相應(yīng)線性化系統(tǒng)進(jìn)行格林函數(shù)的譜分析和對(duì)非線性系統(tǒng)做能量估計(jì)。文獻(xiàn)[18]中,只需要對(duì)格林函數(shù)的低頻部分進(jìn)行譜分析和能量估計(jì),可以在頻率空間中使用能量估計(jì)的方法得到低頻部分的衰減率,從而避免對(duì)格林函數(shù)的復(fù)雜分析,并且可以直接通過能量估計(jì)處理高頻部分。即使初值在H2框架中,解的衰減率也可以通過低頻部分的衰減率和能量估計(jì)得到。

則柯西問題(19)～(21)存在全局強(qiáng)解(R+-1,u+,R--1,u-)滿足

R+-1,R--1∈C0([0,∞];HN(R3)∩C1[0,∞];HN-1(R3)),

u+,u-∈C0([0,∞];HN(R3)∩C1[0,∞];HN-2(R3))。

衰減率下界估計(jì)：設(shè)β1、β4滿足式(24)、(25),令

則存在與t無關(guān)的常數(shù)C0>0，當(dāng)t足夠大時(shí)，

定理 6(三維初邊值問題全局小解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定性)[21]Ω是一個(gè)光滑的有界域,且Ω?R3，?Ω∈C4，邊界條件為

則初邊值問題(19)～(20)存在全局強(qiáng)解(R+,u+,R-,u-),并且,若

則全局強(qiáng)解(R+,u+,R-,u-)滿足

此外,存在與t無關(guān)的常數(shù)θ>0,使得

注 3定理4假定f在平衡態(tài)附近嚴(yán)格遞減,得到了三維柯西問題光滑H2小解的全局存在性和衰減率。文獻(xiàn)[18]指出這一假定在整個(gè)證明過程中起到至關(guān)重要的作用,對(duì)該模型具有本質(zhì)的穩(wěn)定性效應(yīng),但是文獻(xiàn)[18]的方法不能處理壓強(qiáng)相等(f≡0)的情形。定理5假定初始擾動(dòng)的H2范數(shù)充分小但其高階空間導(dǎo)數(shù)可以任意大,證明了三維柯西問題的解及其各階空間導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)上界和下界衰減率。文獻(xiàn)[32]通過Hodge分解技巧、高-低頻分解和時(shí)間加權(quán)能量估計(jì)，將文獻(xiàn)[18]的結(jié)果推廣到一般的HN(N≥2)情形。定理6得到三維初邊值問題全局小解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定性。

3 壓強(qiáng)相等且無毛細(xì)管效應(yīng)

3.1 模型

設(shè)2種流體壓強(qiáng)相等,且無毛細(xì)管效應(yīng)。于是式(4)可改寫為

(28)

在一維域Ω=(0,1)上,模型(28)可改寫為

(29)

不失一般性,設(shè)μ±=1,假設(shè)ρ>0,令R±=α±ρ±,于是式(29)可改寫為

(30)

式(30)的初值條件為

(31)

式(30)的邊界條件為R±u±|x=0=R±u±|x=1=0。

3.2 模型(28)研究成果

注4文獻(xiàn)[33]得到定理7的方法強(qiáng)烈依賴于一維空間的優(yōu)勢(shì),并不適用于高維問題。由于模型(28)相應(yīng)的線性系統(tǒng)有零特征根,比例密度(α±ρ±)沒有任何耗散,并且該模型是非守恒系統(tǒng)，且具有強(qiáng)非線性性,這些給該模型的數(shù)學(xué)分析(適定性和穩(wěn)定性)帶來很多本質(zhì)上的困難。至今,系統(tǒng)(28)的高維問題沒有任何數(shù)學(xué)結(jié)果,這將是今后工作的重點(diǎn)。

4 結(jié)語

本文分別介紹2種流體壓強(qiáng)相等且有毛細(xì)管效應(yīng)、2種流體壓強(qiáng)不相等且無毛細(xì)管效應(yīng)、2種流體壓強(qiáng)相等且無毛細(xì)管效應(yīng)3類可壓縮非守恒兩相流模型及其研究成果，其中,2種流體壓強(qiáng)相等且無毛細(xì)管效應(yīng)的高維可壓縮非守恒兩相流模型的線性系統(tǒng)含零特征根,這使得該問題的數(shù)學(xué)分析變得十分復(fù)雜和困難,該模型至今無任何數(shù)學(xué)成果,這將是今后研究的重點(diǎn)。