陳慶紅 李玉龍 張平山

（1 福建林業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系， 福建 南平 353000）

（2 宿遷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院， 江蘇 宿遷 223800）

（3 華閩南配集團(tuán)股份有限公司， 福建 南平 353000）

0 引言

凸輪轉(zhuǎn)子泵是一種應(yīng)用廣泛的容積式流體設(shè)備，一對(duì)同尺寸的轉(zhuǎn)子為泵的核心部件，并通過(guò)其輪廓將轉(zhuǎn)子室分隔成若干個(gè)小空間；隨著轉(zhuǎn)子副的連續(xù)旋轉(zhuǎn)，驅(qū)使這些小空間發(fā)生周期性變化，從而實(shí)現(xiàn)物料吸排的泵送目的[1]。其中，轉(zhuǎn)子輪廓的構(gòu)造質(zhì)量直接決定了物料的泵送品質(zhì)[2]等諸多性能[3-4]，且與泵送流量間構(gòu)成了明確的因果關(guān)系[5]。轉(zhuǎn)子輪廓的優(yōu)化目的在于提高轉(zhuǎn)子泵的綜合性能[6]，主要體現(xiàn)為盡可能小的單位排量體積、流量脈動(dòng)系數(shù)和盡可能少的泵內(nèi)泄漏等。目前，在頂圓弧過(guò)渡的葉型構(gòu)造中，漸開(kāi)線(xiàn)[7]、圓弧[8]和圓擺線(xiàn)[9]的應(yīng)用最普遍。其中，圓擺線(xiàn)一般采用180°滾動(dòng)周期下的外擺線(xiàn)[10]，而非180°滾動(dòng)周期下的外擺線(xiàn)構(gòu)造則相對(duì)較少[11]。有鑒于此，本文中擬以滾徑比為變量，以泵的最佳綜合性能為目標(biāo)，探究非180°滾動(dòng)周期下的外擺線(xiàn)輪廓構(gòu)造。

1 外擺線(xiàn)轉(zhuǎn)子的輪廓構(gòu)造

圖1 中，外擺線(xiàn)轉(zhuǎn)子的半葉輪廓由頂圓弧01、外擺線(xiàn)12、內(nèi)軛線(xiàn)23 和根圓弧34，共4 段首尾相連組成。其中，頂圓弧01 和根圓弧34 為過(guò)渡輪廓段，不參與轉(zhuǎn)子副的共軛運(yùn)動(dòng)，外擺線(xiàn)12 和內(nèi)軛線(xiàn)23 為工作輪廓段，承擔(dān)轉(zhuǎn)子副的共軛運(yùn)動(dòng)；O、O′分別為本體轉(zhuǎn)子、配對(duì)轉(zhuǎn)子的中心，O0、O4 為頂、根（對(duì)稱(chēng)）軸，頂、根軸間的角平分軸為中軸O2，頂軸與中軸、中軸與根軸的夾角均為共軛圓心角φ，φ=0.5π/N，N為轉(zhuǎn)子葉數(shù)，即轉(zhuǎn)子副的重合度為1；頂、根圓弧的圓心分別為頂軸、根軸與節(jié)圓的交點(diǎn)5、交點(diǎn)6；外擺線(xiàn)成形的定圓、滾圓半徑分別為節(jié)圓半徑R、r，滾徑比i=r/R，滾圓圓心為o；轉(zhuǎn)子副間的間隙為δ。

依據(jù)轉(zhuǎn)子副間隙為[12]

選用原則，可以忽略δ對(duì)轉(zhuǎn)子輪廓的構(gòu)造影響。

圖1 所示給出了轉(zhuǎn)角為θ時(shí)轉(zhuǎn)子副輪廓間的共軛關(guān)系。其中，轉(zhuǎn)角以中軸O2 為旋轉(zhuǎn)的起始位置，0≤θ≤φ。

圖1 外擺線(xiàn)轉(zhuǎn)子的輪廓構(gòu)造Fig.1 Profile construction of epicycloid rotors

在圖1 所示的XOY直角坐標(biāo)系下，設(shè)本體轉(zhuǎn)子外擺線(xiàn)上對(duì)應(yīng)的共軛點(diǎn)為點(diǎn)7（x7，y7），點(diǎn)7 處法線(xiàn)與節(jié)圓的交點(diǎn)為轉(zhuǎn)子瞬心點(diǎn)8（x8，y8），78 連線(xiàn)的長(zhǎng)度為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬徑ρ，78 連線(xiàn)與O8 連線(xiàn)間夾角為傳動(dòng)角α，α≤90°，滾圓以點(diǎn)2 為起點(diǎn)的滾動(dòng)角∠7o8 為β，點(diǎn)8 關(guān)于中軸O2 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為8′（x8′，y8′），點(diǎn)8′在內(nèi)軛線(xiàn)23 上的垂足為共軛點(diǎn)7′（x7′，y7′）。即，在同一轉(zhuǎn)子的輪廓上，點(diǎn)7 與點(diǎn)7′存在著先中軸O2、后瞬心處節(jié)圓切線(xiàn)8′8"的雙對(duì)稱(chēng)幾何關(guān)系。

外擺線(xiàn)成形原理為

由式（3），點(diǎn)8（x8，y8）和點(diǎn)7（x7，y7）表達(dá)式分別為

由式（4）可得，外擺線(xiàn)12的成形方程（x12，y12）為

由式（3）、點(diǎn)8′（x8′，y8′）和點(diǎn)7′（x7′，y7′）的表達(dá)式為

由式（6）可得，內(nèi)軛線(xiàn)23的成形方程（x23，y23）為

2 外擺線(xiàn)轉(zhuǎn)子的3種特定形態(tài)

設(shè)α0、ρ0分別為外擺線(xiàn)輪廓端點(diǎn)1 處的傳動(dòng)角α和轉(zhuǎn)動(dòng)半徑ρ，ε為轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)，其中，α0也為頂圓弧01和根圓弧34的圓心角。

由式（3）及θ=φ=0.5π/N可得

由式（8）可得轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)ε為

由式（7）中橫坐標(biāo)x23表達(dá)式為

由式（10）可得i=0.5、1.0。其中，對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)y23為

以N=3 為例，外擺線(xiàn)隨i=1/6、0.5、1、1.5 的形態(tài)變化，如圖2所示。其中

由圖2 和式（12）知，i越大，ε越大。其中，i=1/6 時(shí)，α0=0°、β=0°～180°滾動(dòng)周期下的輪廓構(gòu)造，如圖2（a）所示。此時(shí)，并無(wú)頂圓弧和根圓弧，且內(nèi)軛線(xiàn)為節(jié)圓內(nèi)的圓內(nèi)擺線(xiàn)，此為常見(jiàn)180°滾動(dòng)周期下的等幅圓擺線(xiàn)輪廓構(gòu)造。

i=0.5 時(shí)，α0=60°、β=0°～60°滾動(dòng)周期下的輪廓構(gòu)造，如圖2（b）所示。此時(shí)，內(nèi)軛線(xiàn)為與中軸重合的直線(xiàn)段，這與由式（9）～式（10）給出的（x23，y23）=（0，Rcosθ）完全一致。

i=1.0 時(shí)，α0=75°、β=0°～30°滾動(dòng)周期下的輪廓構(gòu)造，如圖2（c）所示。此時(shí)，內(nèi)軛線(xiàn)收縮為輪廓點(diǎn)2，這與由式（9）～式（10）給出的（x23，y23）=（0，R）完全一致。

圖2 理論輪廓的3種特定形態(tài)Fig.2 Three specific forms of theoretical profile

i=1.5＞1時(shí)，內(nèi)軛線(xiàn)23存在幾何干涉，不符合作為轉(zhuǎn)子輪廓的要求，如圖2（d）所示。

由此可知，在頂圓弧過(guò)渡的任意葉型構(gòu)造中，i=1 的外擺線(xiàn)能取得任意葉型下的最大形狀系數(shù)；其次，i的取值范圍為0.5/N≤i≤1。即i=0.5/N、0.5、1.0 為外擺線(xiàn)轉(zhuǎn)子輪廓的3 種特定形態(tài)，對(duì)應(yīng)的內(nèi)軛線(xiàn)分別具有內(nèi)擺線(xiàn)、直線(xiàn)段、固定點(diǎn)型的輪廓特征。

3 形狀系數(shù)和容積利用系數(shù)

由式（9）可得，3 種特定形態(tài)下轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)分別為

由文獻(xiàn)[13]，有

外擺線(xiàn)轉(zhuǎn)子的容積利用系數(shù)λ為

其3種特定形態(tài)下對(duì)應(yīng)的容積利用系數(shù)λ分別為

以N=3 為例，ε、λ隨i的變化，如表1 所示。其中，0.5/N=1/6≤i＜0.5時(shí)，i對(duì)ε、λ的影響較大，ε增大了12.5%，λ增大了27.3%，轉(zhuǎn)子間因?qū)儆谕?凹縫隙流，共軛間隙δ處的泄漏（簡(jiǎn)稱(chēng)為共軛泄漏）相對(duì)較??；0.5＜i≤1 時(shí)，i對(duì)ε、λ的影響很小，ε僅增大1.2%，λ僅增大1.9%，且因?qū)儆谕?凸縫隙流，共軛泄漏相對(duì)較大；i=0.5 時(shí)，因?qū)儆谕?平縫隙流，共軛泄漏居中[14]。即，i越大，ε、λ越大，但變化在i=0.5附近快速趨緩，即具有前急后緩的影響特點(diǎn)。

表1 形狀系數(shù)和容積利用系數(shù)隨滾徑比的變化Tab.1 Changes of shape factor and volume utilization factor with rolling radius rate

所以，i=0.5 外擺線(xiàn)為兼顧ε和λ數(shù)值最大化、共軛泄漏最小化、V 型易加工的一個(gè)較理想的轉(zhuǎn)子輪廓，如圖3（a）所示。3 葉時(shí)，1.5 的形狀系數(shù)比圓弧轉(zhuǎn)子的1.477 0 大1.6%、漸開(kāi)線(xiàn)轉(zhuǎn)子的1.463 8[15]大2.5%；0.517 的容積利用系數(shù)比圓弧轉(zhuǎn)子的0.503 5大2.7%、漸開(kāi)線(xiàn)轉(zhuǎn)子的0.499 8大3.4%。

i=1.0時(shí)，因點(diǎn)共軛造成縫隙流變成了孔口流[16]，共軛泄漏相對(duì)最大，但其卻具有最大的形狀系數(shù)和更易加工的節(jié)圓內(nèi)全過(guò)渡輪廓，通過(guò)節(jié)圓半徑R的微調(diào)，極利于空間相對(duì)狹窄的節(jié)圓內(nèi)輪廓采用標(biāo)準(zhǔn)圓孔加工，如圖3（b）所示。故，輪廓最簡(jiǎn)單，加工最容易。

圖3 節(jié)圓內(nèi)易加工輪廓Fig.3 Easily machined profile inner the pitch circle

4 理論流量的脈動(dòng)系數(shù)

由文獻(xiàn)[17]，得外擺線(xiàn)轉(zhuǎn)子泵的理論流量Q為

式中，B為轉(zhuǎn)子寬度；ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度。

則，理論流量Q的最大流量Qmax、最小流量Qmin、平均流量Qave分別為

由此，得理論流量Q的脈動(dòng)系數(shù)δ為

N=3 時(shí)，δ隨i的變化，如表2 所示。其中，i越大，δ越大，脈動(dòng)性能越差，但在i=0.5 附近快速變緩。

表2 流量脈動(dòng)系數(shù)隨滾徑比的變化Tab.2 Changes of flow ripple factor with rolling radius rate

5 理論排量及泵的輕量化

對(duì)于轉(zhuǎn)子泵這樣的容積泵，轉(zhuǎn)子腔的可利用空間是用于輸送工作介質(zhì)的，在不考慮泄漏、壓縮等無(wú)容積損失的理論狀態(tài)下，轉(zhuǎn)子副每轉(zhuǎn)輸送的介質(zhì)量等于可利用空間的容積，而每轉(zhuǎn)輸送的介質(zhì)量等于平均流量Qave乘以每轉(zhuǎn)的時(shí)間2π/ω。

由式（18）中的平均流量Qave，得理論排量q為

由于轉(zhuǎn)子副所占空間的最小包裹體積即轉(zhuǎn)子腔內(nèi)體積V0，直接決定了轉(zhuǎn)子泵的整體尺寸與質(zhì)量，所以，可用KVV0代表泵的總體積V。其中，KV為大于1的體積因子。

此時(shí)，由式（20）和

可得單位排量體積qV為

由此可知，i越大，單位排量體積qV越小，輕量化效果越好，但在i=0.5附近快速變緩。

6 結(jié)論

（1）同一轉(zhuǎn)子上的外擺線(xiàn)與其內(nèi)軛線(xiàn)，存在先中軸、后瞬心處節(jié)圓切線(xiàn)的雙對(duì)稱(chēng)幾何關(guān)系。

（2）由輪廓構(gòu)造所決定的形狀系數(shù)和容積利用系數(shù)，直接決定了泵的性能，彼此間存在明確的因果關(guān)系。

（3）在外擺線(xiàn)輪廓的3種特定形態(tài)下，內(nèi)軛線(xiàn)分別具有內(nèi)擺線(xiàn)、直線(xiàn)段、固定點(diǎn)型的輪廓特征。

（4）滾徑比越大，形狀系數(shù)越大，輕量化效果越好，但流量脈動(dòng)性能越差，具有前急后緩的影響特點(diǎn)。

（5）0.5滾徑比對(duì)應(yīng)的直型內(nèi)軛線(xiàn)輪廓，具有綜合性能最佳及V型易加工的輪廓特征。

（6）1.0滾徑比對(duì)應(yīng)的點(diǎn)型內(nèi)軛線(xiàn)輪廓，形狀系數(shù)最大，構(gòu)造最簡(jiǎn)單，加工最容易。