賈 攀

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院, 廣東深圳518055)

流體流動(dòng)有層流和湍流兩種基本狀態(tài)。在自然界和工程應(yīng)用中層流較為少見(jiàn)，流動(dòng)大多為湍流，故而對(duì)湍流的討論也是不同層次流體力學(xué)教學(xué)中最核心的內(nèi)容。通過(guò)對(duì)控制方程進(jìn)行合理地簡(jiǎn)化，層流問(wèn)題一般可求得解析解或者近似解；然而，對(duì)于湍流問(wèn)題而言，由于控制方程固有的數(shù)學(xué)困難，無(wú)法解析求解，需要通過(guò)計(jì)算流體力學(xué)的方法數(shù)值求解。

湍流最顯著的特點(diǎn)之一是流場(chǎng)的瞬時(shí)速度和壓強(qiáng)在時(shí)間上表現(xiàn)出明顯的脈動(dòng)。1894年，英國(guó)曼徹斯特大學(xué)物理學(xué)教授雷諾提出將瞬時(shí)速度和壓強(qiáng)分解為時(shí)均值和脈動(dòng)值之和，即u=uˉ+u′和p=+p′。進(jìn)一步，將該分解代入不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)方程和Navier-Stokes方程，即可得到描述平均流動(dòng)的雷諾時(shí)均方程組如下

其中，v和ρ分別是流體的運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)和質(zhì)量密度。相比于瞬時(shí)流動(dòng)的Navier-Stokes方程，雷諾時(shí)均流動(dòng)方程（2）中額外包括一個(gè)二階脈動(dòng)關(guān)聯(lián)項(xiàng)，該項(xiàng)來(lái)源于對(duì)非線性對(duì)流項(xiàng)?(uiuj)/?xj的平均運(yùn)算；為二階對(duì)稱張量，包含6個(gè)獨(dú)立分量，具有應(yīng)力量綱，通常稱之為雷諾應(yīng)力。上述方程組中包括4個(gè)分量方程，但是除了4個(gè)未知數(shù)uˉi和pˉ 之外，還有6個(gè)雷諾應(yīng)力的分量未知；顯然，未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，該方程組不封閉。若要求解，則須將雷諾應(yīng)力和時(shí)均流場(chǎng)關(guān)聯(lián)起來(lái)，此即為求解湍流流動(dòng)的封閉問(wèn)題，相應(yīng)的關(guān)聯(lián)式稱之為湍流模型。1877年，法國(guó)物理學(xué)家Boussinesq引入渦黏性系數(shù)的概念，發(fā)展了第一個(gè)湍流模型，即渦黏性模型[1]。在該模型的基礎(chǔ)上，人們相繼發(fā)展了混合長(zhǎng)度理論[2]和關(guān)聯(lián)于湍動(dòng)能輸運(yùn)和耗散的K-ε模型[3]。后續(xù)，獨(dú)立于渦黏性假設(shè)，人們又針對(duì)各向異性湍流發(fā)展了雷諾應(yīng)力微分模型[4]。

在現(xiàn)有的模型中，混合長(zhǎng)度理論的物理圖像清晰明了，是物理學(xué)中比擬思想最直接的范例之一，對(duì)邊界層流動(dòng)、管道和槽道流動(dòng)，以及各種自由剪切流動(dòng)的?；钟行?，目前已廣泛應(yīng)用于大氣科學(xué)[5]、海洋科學(xué)[6]以及恒星內(nèi)部流動(dòng)分析[7]。此外，該模型簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式，允許進(jìn)行一定程度的數(shù)學(xué)解析分析。因此，混合長(zhǎng)度理論是國(guó)內(nèi)外不同層次流體力學(xué)教材中介紹的重點(diǎn)內(nèi)容[8-16]。然而，大多教材都是在簡(jiǎn)要提及混合長(zhǎng)度理論的比擬思想之后即著重講述混合長(zhǎng)度的估計(jì)方法，對(duì)混合長(zhǎng)度理論的優(yōu)缺點(diǎn)，以及適用分析的流動(dòng)則較少討論，對(duì)該理論的發(fā)展和拓展性討論更是少有闡述，因此，學(xué)生往往缺乏對(duì)該理論的透徹理解。這種情況下，學(xué)生在面對(duì)教材例題之外的問(wèn)題時(shí)，比如近壁面流場(chǎng)中的黏性效應(yīng)，壁面粗糙度效應(yīng)等，往往十分困惑，無(wú)法準(zhǔn)確判斷是否可以使用混合長(zhǎng)度理論；對(duì)混合長(zhǎng)度理論的進(jìn)一步發(fā)展和改進(jìn)更是困難。

本文首先簡(jiǎn)要回顧混合長(zhǎng)度理論的基本思想，然后以固體壁面剪切流動(dòng)為對(duì)象，從近壁黏性和流向壓強(qiáng)梯度效應(yīng)、壁面粗糙度以及周期性波紋型壁面三個(gè)角度對(duì)混合長(zhǎng)度理論的應(yīng)用進(jìn)行拓展性討論。這將有助于教師幫助學(xué)生更加全面地理解混合長(zhǎng)度理論，從而能夠在分析實(shí)際流動(dòng)問(wèn)題時(shí)準(zhǔn)確選用。

1 混合長(zhǎng)度理論簡(jiǎn)述

1925年，德國(guó)科學(xué)家Prandtl將湍流流場(chǎng)中流體微團(tuán)的脈動(dòng)比擬于氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)，提出了混合長(zhǎng)度理論[2]。他假設(shè)流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)一段距離l之后才和它周?chē)牧黧w微團(tuán)發(fā)生動(dòng)量交換，速度在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中則保持不變。在該假設(shè)下，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的距離l可類(lèi)比于氣體分子運(yùn)動(dòng)的平均自由程，稱之為“混合長(zhǎng)度”。混合長(zhǎng)度的估計(jì)方法是多數(shù)流體力學(xué)教材詳細(xì)著墨的內(nèi)容[8-9,12,15]，在此不再贅述，僅簡(jiǎn)要說(shuō)明思路。如圖1(a)所示，以平直壁面的剪切流動(dòng)為例，z0處的時(shí)均速度為uˉ(z0)， 假 設(shè)z0-l處的 流 體 微團(tuán)沿z軸 正 方 向（脈動(dòng)速度w′>0 ）運(yùn)動(dòng)距離l之后才和周?chē)牧黧w混合，同時(shí)認(rèn)為該流體微團(tuán)混合前后的時(shí)均速度uˉ (z0-l) 和uˉ (z0) 之差 為z0處 的速度脈 動(dòng)。由于l為小量，可通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)、保留線性部分得到脈動(dòng)速度的量級(jí)為-l(duˉ/dy)|z0。類(lèi)似地，可通過(guò)z0+l處的流體微團(tuán)向下（w′<0 ）運(yùn)動(dòng)距離l之后和z0處的流體微團(tuán)混合，得到z0處的速度脈動(dòng)量級(jí)為l( duˉ/dy)|z0。由于z0處的流體微團(tuán)可隨機(jī)地來(lái)自z0-l或z0+l處，因此在一段時(shí)間內(nèi)從上方和下方抵達(dá)的概率是相等的，于是z0處的速度脈動(dòng)應(yīng)該與上述得到的兩個(gè)脈動(dòng)速度均值的量級(jí)相同，即進(jìn)一步假設(shè)z方向的速度脈動(dòng)w′與u′量級(jí)相同，同時(shí)考慮到通常u′w′<0 ，于是有，最終可得

圖1 平直壁面的剪切流動(dòng)

其中，尺度化符號(hào)轉(zhuǎn)化為等號(hào)的過(guò)程中出現(xiàn)的比例效應(yīng)已經(jīng)包含在混合長(zhǎng)度l中。因此，渦黏性系數(shù)可估計(jì)為vt=l2|d/dy|。由上文討論可知，混合長(zhǎng)度理論中渦黏性系數(shù)的估計(jì)涉及到一個(gè)混合長(zhǎng)度和一個(gè)混合頻率，它們分別表征了湍流場(chǎng)中特征渦的長(zhǎng)度尺度和時(shí)間尺度[14]。一般情√況下，混合頻率由流場(chǎng)應(yīng)變率的模給定其中=?ui/?xj+?uj/?xi。于是，湍流流場(chǎng)中分子擴(kuò)散引起的黏性切應(yīng)力和湍流脈動(dòng)導(dǎo)致的雷諾切應(yīng)力之和可表示為

在回顧了混合長(zhǎng)度理論的基本思想之后，我們從三個(gè)角度探討流體力學(xué)教學(xué)中針對(duì)混合長(zhǎng)度理論的拓展性討論。

2 拓展性討論之一：平壁表面剪切流場(chǎng)的完全描述

對(duì)于平壁附近剪切流動(dòng)，若已知壁面處的切應(yīng)力為τ0=ρu2?，其中u?為摩擦速度，理論上即可求解流場(chǎng)的平均速度廓線。當(dāng)流動(dòng)方向的壓強(qiáng)梯度為零時(shí)，對(duì)時(shí)均流動(dòng)的控制方程沿垂直于平板方向積分可得

在近鄰壁面處存在一個(gè)黏性底層，該層內(nèi)黏性起主導(dǎo)作用，雷諾應(yīng)力可忽略，故而時(shí)均速度呈線性分布

黏性底層之外，慣性效應(yīng)占優(yōu)，黏性可以忽略，流動(dòng)處于完全湍流狀態(tài)，稱之為湍流核心區(qū)。若通過(guò)混合長(zhǎng)度理論來(lái)模化雷諾應(yīng)力，即可得到湍流核心區(qū)的時(shí)均速度廓線。Prandtl認(rèn)為混合長(zhǎng)度取值不受流體黏性的影響；同時(shí)，由于流場(chǎng)中一點(diǎn)到壁面的距離z是流動(dòng)中唯一的長(zhǎng)度尺度，因此可假設(shè)l=κz；該假設(shè)也意味著在=τ0成立的長(zhǎng)度尺度范圍內(nèi)，流場(chǎng)中一點(diǎn)處的動(dòng)量輸運(yùn)，不會(huì)受到長(zhǎng)度尺度比該點(diǎn)到壁面距離z大的渦的影響，也不會(huì)受到壁面附近小渦的影響。結(jié)合流動(dòng)控制方程，可得湍流核心區(qū)的速度廓線呈對(duì)數(shù)分布

其中C為待定的積分常數(shù)，κ≈0.4 為von Karman常數(shù)，對(duì)于光滑壁面C≈5.0[8,14]。

以上通過(guò)混合長(zhǎng)度理論得到湍流核心區(qū)對(duì)數(shù)律平均速度廓線的討論通常作為典型的應(yīng)用范例，可見(jiàn)于流體力學(xué)教材[8-9,12,15]。其實(shí)，在黏性底層和湍流核心區(qū)之間還存在一個(gè)黏性應(yīng)力和雷諾應(yīng)力都比較重要的過(guò)渡區(qū)（也稱緩沖區(qū)）。顯然，在黏性底層和過(guò)渡區(qū)內(nèi)，速度分布都不遵循方程（6）所示的“對(duì)數(shù)律”，故而混合長(zhǎng)度理論不能直接使用。如何實(shí)現(xiàn)固壁湍動(dòng)剪切流場(chǎng)的完全描述，可作為混合長(zhǎng)度理論教學(xué)的拓展性討論之一。

若將方程（3）應(yīng)用于黏性底層，我們可得O(y3)，l～O(y3) 。因此，湍流核心區(qū)混合長(zhǎng)度的估計(jì)形式l=κz并不適用，需要進(jìn)行衰減處理。1956年，van Direst通過(guò)引入一個(gè)指數(shù)形式的阻尼因子來(lái)改進(jìn)混合長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)了固體壁面湍動(dòng)剪切流場(chǎng)的完全描述[17]。改進(jìn)之后的混合長(zhǎng)度估計(jì)形式為

其中，Rt為過(guò)渡雷諾數(shù)。對(duì)于流動(dòng)方向壓強(qiáng)梯度為零的于平壁剪切流動(dòng)來(lái)說(shuō)，Rt0≈26 。將方程（3）代入方程（4）求解即可得

其中Rl=u?l/v。進(jìn)一步，將方程（7）代入并積分即可得到固壁面附近完整的平均速度廓線，如圖1(b)所示無(wú)量綱之后的速度廓線。在壁面附近的黏性底層內(nèi)（z→0 ），可得∝z的線性變化關(guān)系；遠(yuǎn)離壁面處，方程（7）中的指數(shù)項(xiàng)衰減趨近于零，從而可再現(xiàn)湍流核心區(qū)內(nèi)的對(duì)數(shù)律速度分布（方程（6））。雖然van Direst修正模型是經(jīng)驗(yàn)性的，但是能很好地同時(shí)應(yīng)用于黏性底層和湍流核心區(qū)，實(shí)現(xiàn)了兩者之間的光滑過(guò)渡（圖1(b)），該修正適用于多種壁面流動(dòng)模型，尤其在大渦模擬中廣泛使用[18]。

除了近壁面處黏性底層的影響之外，流動(dòng)方向的壓強(qiáng)梯度也會(huì)對(duì)混合長(zhǎng)度的估計(jì)有影響（本節(jié)上文討論中，假設(shè)壓強(qiáng)梯度為零，見(jiàn)方程（4））。1967年，Smith 等[19]在 van Direst模型（方程（5））的基礎(chǔ)上，對(duì)Rt進(jìn)行了修正，來(lái)考慮壓強(qiáng)梯度的效應(yīng)

其中p+=[v/(ρu3?)](dp/dx) 。為了使不同層間速度廓線之間光滑過(guò)渡，Granville[20]在1989年又對(duì)Rt中的相關(guān)系數(shù)作了進(jìn)一步修正。下文中，我們還將對(duì)波紋型壁面導(dǎo)致的壓強(qiáng)梯度效應(yīng)進(jìn)行討論（第4節(jié)）。

3 拓展性討論之二：固體壁面的粗糙度的影響

上文討論了主要針對(duì)光滑壁面的情況。然而在實(shí)際流動(dòng)中，壁面總是粗糙的；并且粗糙度等級(jí)（通過(guò)平均高度表征）對(duì)壁面切應(yīng)力和流場(chǎng)時(shí)均速度廓線會(huì)有顯著影響。壁面剪切流動(dòng)中，黏性底層厚度的量級(jí)為δv～v/u?；若壁面粗糙度的平均高度d<δv，則壁面的粗糙結(jié)構(gòu)完全淹沒(méi)在黏性底層中，湍流區(qū)不同尺度的渦感受不到壁面的粗糙結(jié)構(gòu)，這種情況稱之為水力光滑；反之，若d>δv，那么湍流區(qū)的渦會(huì)直接和表面的粗糙結(jié)構(gòu)發(fā)生摩擦作用，造成可觀的能量耗散，這種情況稱之為水力粗糙。水力光滑和水力粗糙的基本概念多數(shù)教材會(huì)有簡(jiǎn)要地討論，比如文獻(xiàn)[8-9,12, 15]；但是，壁面粗糙度等級(jí)如何影響混合長(zhǎng)度的估計(jì)，以及如何定量地分析粗糙度等級(jí)對(duì)流場(chǎng)速度廓線的影響，則鮮有提及，可作為混合長(zhǎng)度理論教學(xué)的拓展性討論之二。

為了考慮壁面粗糙度對(duì)混合長(zhǎng)度的影響，Claudin等[21]在van Direst的基礎(chǔ)上給出了估計(jì)混合長(zhǎng)度，即[21]

其中，r=1/30 和s=1/3 為無(wú)量綱參數(shù)，該取值通過(guò)測(cè)量具有不同粗糙度等級(jí)的固壁表面剪切流動(dòng)的速度廓線標(biāo)定得到[22]。實(shí)際上，rd對(duì)應(yīng)于流體動(dòng)力學(xué)粗糙度，可通過(guò)將湍流核心區(qū)的對(duì)數(shù)速度廓線（方程（4））外推到速度為零時(shí)對(duì)應(yīng)的壁面距離給定，如圖1(b)所示；顯然，rd直接關(guān)聯(lián)于壁面和流體界面上的摩擦力和動(dòng)量輸運(yùn)。sd關(guān)聯(lián)于黏性底層的厚度，隨著壁面粗糙度等級(jí)的增加，黏性底層的厚度被抑制。以粗糙度的平均高度為特征長(zhǎng)度，我們定義雷諾數(shù)Rd=u?d/v，用以表征粗糙度的平均等級(jí)和黏性底層厚度的相對(duì)大小，判斷壁面流動(dòng)的光滑和粗糙特性。圖2中給出了不同Rd下，壁面剪切流動(dòng)的時(shí)均速度廓線和流體動(dòng)力學(xué)粗糙度。當(dāng)Rd較小時(shí)，壁面是水力光滑的，黏性底層相對(duì)較大，靠近壁面處速度線性分布（圖2(a)中橙色曲線）；此時(shí)，流體動(dòng)力學(xué)粗糙度基本不隨Rd變化，由黏性底層的厚度δv～v/u?決定。當(dāng)Rd較大時(shí)，黏性底層隱藏在壁面粗糙結(jié)構(gòu)之內(nèi)，過(guò)渡區(qū)也很薄可以忽略，整個(gè)流場(chǎng)幾乎全部處于湍流狀態(tài)，混合長(zhǎng)度直接正比于到壁面的距離，速度廓線呈對(duì)數(shù)變化（圖2(a)中黑色和藍(lán)色曲線），相應(yīng)地，流體動(dòng)力學(xué)粗糙度，由壁面粗糙度高度決定，隨Rd的增大而增大（圖2(b)）。

4 拓展性討論之三：周期性波紋型壁面剪切流動(dòng)的描述

前文有關(guān)混合長(zhǎng)度的估計(jì)針對(duì)的都是平直壁面上的剪切流動(dòng)。實(shí)際上，該理論也可推廣到非平直壁面剪切流動(dòng)的情況，這一點(diǎn)可作為混合長(zhǎng)度理論教學(xué)的拓展性討論之三。

為了不失一般性，我們考慮輪廓按三角函數(shù)形式變化的波紋型壁面（圖3(a)）。在只關(guān)注實(shí)部的情況下，壁面輪廓的數(shù)學(xué)描述可表示為Z(x)=ζexp(ikx)，其中ζ為壁面幅值，k=2π/λ為波數(shù)，λ為波長(zhǎng)。其他形式的壁面輪廓都可通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)疊加的思想得到。對(duì)于波紋型壁面，由于伯努利效應(yīng)，從波峰到波谷的流動(dòng)中流速降低，壓強(qiáng)上升；相應(yīng)地，從波谷到波峰的流動(dòng)中，流速上升，壓強(qiáng)下降；因此流動(dòng)方向會(huì)存在一個(gè)周期性變化的壓強(qiáng)梯度，需要指出：該梯度并不與壁面輪廓保持同相位變化[23]。由于該壓強(qiáng)梯度的存在，Rt不能取常數(shù)，van Direst模型不可直接使用；此外，由于是非平直壁面，前文第2節(jié)關(guān)于壓強(qiáng)梯度的修正亦不適用。針對(duì)這種情況，Hanratty[24]于1981年研究指出Rt的取值依賴于一個(gè)在空間相位上滯后于壓強(qiáng)梯度的無(wú)量綱數(shù)H，由以下弛豫方程描述

其中τxx為應(yīng)力分量，a為H的空間相位滯后的無(wú)量綱數(shù)值系數(shù)，b=(1/R0t)(dRt/dH) 表征由于壓強(qiáng)梯度導(dǎo)致的Rt的相對(duì)變化。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的波紋壁面切應(yīng)力的變化特性，標(biāo)定可得a=2000和b=35[25]。

對(duì)于波紋壁面來(lái)說(shuō)，時(shí)均流動(dòng)不再是平行流動(dòng)，即使在給定混合長(zhǎng)度的情況下，由于非線性對(duì)流項(xiàng)的存在，流動(dòng)的控制方程組也無(wú)法解析求解。對(duì)于kζ較小的情況，通?？赏ㄟ^(guò)線性穩(wěn)定性分析的思想求解流場(chǎng)：以平直壁面的流動(dòng)作為基態(tài)，然后引入傅里葉模態(tài)對(duì)基態(tài)流場(chǎng)進(jìn)行擾動(dòng)，擾動(dòng)后流場(chǎng)參數(shù)f(x,z) 的一般形式可表示為

其中η=k(z-Z) 為z方向的無(wú)量綱坐標(biāo)，為基態(tài)流場(chǎng)信息；右邊第二項(xiàng)為擾動(dòng)項(xiàng)，其中比例系數(shù)c為有量綱量，用以匹配各物理量的單位，F(xiàn)(η)為無(wú)量綱的模態(tài)函數(shù)，用以描述流場(chǎng)物理量在z方向的變化。通過(guò)這種思路線性化時(shí)均流動(dòng)的Navier-Stokes方程，并結(jié)合van Driest和Hanratty對(duì)混合長(zhǎng)度估計(jì)方法的修正，求解可得波紋壁面剪切流場(chǎng)的全息信息。詳細(xì)求解過(guò)程，讀者可參考文獻(xiàn)[26]。

在這類(lèi)流動(dòng)中，壁面切應(yīng)力一般是最為關(guān)注的物理量，按照方程（12），可表示為

因此，只要確定切應(yīng)力對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)St在η=0處的值，即可確定壁面上的切應(yīng)力分布。分析表明St(0) 為復(fù)數(shù)，這表明壁面切應(yīng)力相對(duì)于壁面輪廓除了數(shù)值上的差別之外，還存在一個(gè)相位差。取St(0)=A+iB，容易理解：A和B的取值依賴于壁面附近的流動(dòng)狀態(tài)（由壁面雷諾數(shù)Rλ=u?/(kv) 表征）。圖3(b)和圖3(c)所示為A和B隨Rλ的變化規(guī)律。顯然，Rλ在 10-4～10-3范圍內(nèi)，相位差φ=arctan(B/A)>0 均成立；因此，壁面切應(yīng)力相對(duì)于輪廓存在一個(gè)相位提前；也就是說(shuō)，最大壁面切應(yīng)力出現(xiàn)在波峰之前，并且在Rλ≈10-3附近出現(xiàn)了劇烈的變化，這些結(jié)果已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中證實(shí)，進(jìn)一步的討論可參考文獻(xiàn)[25]。

在這部分的拓展性討論中，我們探討了混合長(zhǎng)度理論在周期性波紋型壁面剪切流動(dòng)?；械膽?yīng)用。波紋型壁面在自然界很常見(jiàn)，比如沙漠和河床表面，以及行星環(huán)境下的波紋構(gòu)型，它們的形成和演化都依賴于壁面上的剪切流動(dòng)引起質(zhì)量和能量輸運(yùn)，已有學(xué)者借助波紋壁面的混合長(zhǎng)度理論對(duì)這些構(gòu)型進(jìn)行了深入地討論[25-26]，在教學(xué)中可通過(guò)這些有趣的應(yīng)用來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)湍流理論的好奇心和興趣。

5 結(jié)語(yǔ)

本文以固體壁面的剪切流動(dòng)為例，從近壁黏性和流向壓強(qiáng)梯度效應(yīng)，壁面粗糙度以及周期性波紋型壁面的剪切流動(dòng)三個(gè)角度對(duì)混合長(zhǎng)度理論的拓展性教學(xué)給出了方案。前兩種討論是混合長(zhǎng)度理論直接相關(guān)的擴(kuò)展，可作為本科層次的教學(xué)拓展討論；有關(guān)基于混合長(zhǎng)度理論對(duì)波紋型壁面剪切流動(dòng)分析，需要對(duì)流動(dòng)穩(wěn)定性分析的思想有所了解，可作為研究生層次的拓展討論內(nèi)容。經(jīng)過(guò)這樣的拓展性討論教學(xué)之后，將加深學(xué)生對(duì)混合長(zhǎng)度理論的理解，幫助學(xué)生厘清混合長(zhǎng)度理論的適用范圍，具備準(zhǔn)確地應(yīng)用于相關(guān)流動(dòng)分析的能力。在拓展性教學(xué)的基礎(chǔ)上，筆者還認(rèn)為應(yīng)該探討混合長(zhǎng)度理論的一些固有缺陷，比如，不同于氣體分子之間的碰撞，流體微團(tuán)的互相作用是連續(xù)的，兩者直接比擬比較牽強(qiáng)等。如此，學(xué)生可以對(duì)混合長(zhǎng)度理論有一個(gè)更加全面客觀的理解。