徐迎菊，王娜，b，花玉

(青島大學(xué) a. 自動化學(xué)院； b. 山東省工業(yè)控制技術(shù)重點實驗室，山東 青島 266071)

0 引言

在工業(yè)和機(jī)械制造業(yè)的控制系統(tǒng)中，動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是否可以被精準(zhǔn)估計，將會影響系統(tǒng)運行的準(zhǔn)確性、快速性與穩(wěn)定性，如故障檢測與診斷[1]、機(jī)動目標(biāo)跟蹤[2]、機(jī)器人技術(shù)[3]和鋰離子電池荷電狀態(tài)估計[4]等。與此同時，由于環(huán)境影響、模型參數(shù)選取不當(dāng)、設(shè)備故障等原因，實際控制系統(tǒng)往往存在一些先驗知識未知的干擾。針對隨機(jī)系統(tǒng)未知干擾和狀態(tài)估計問題，文獻(xiàn)[5]提出遞歸狀態(tài)濾波器，在沒有先驗知識未知干擾的條件下進(jìn)行狀態(tài)估計?；跒V波器存在的充要條件，文獻(xiàn)[6]將遞歸濾波器設(shè)計擴(kuò)展到一般的線性組合當(dāng)中，得到一般線性最小方差無偏估計，并證明其與線性遞歸濾波器都具有最優(yōu)解，保證了全局最優(yōu)性。文獻(xiàn)[4-6]僅考慮系統(tǒng)狀態(tài)方程中含有未知干擾時對系統(tǒng)狀態(tài)估計的影響，并且要求未知干擾的系數(shù)矩陣滿足列滿秩的條件。而文獻(xiàn)[7]則提出一種新的三步迭代濾波器，可以解決系統(tǒng)方程中未知干擾系數(shù)矩陣不滿秩時，經(jīng)典濾波器無法使用的問題，然后將未知觀測干擾考慮到系統(tǒng)量測方程中，形成新的帶直通項的系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)[8]考慮了未知干擾和線性離散系統(tǒng)狀態(tài)的同時估計問題，提出一種穩(wěn)定性濾波算法，并對算法的穩(wěn)定性條件及有效性進(jìn)行了相應(yīng)的分析。

上述研究均未考慮系統(tǒng)發(fā)生量測數(shù)據(jù)丟失和噪聲相關(guān)的情況。在無線傳感網(wǎng)絡(luò)中，由于傳感器故障、網(wǎng)絡(luò)擁塞等現(xiàn)象的存在會導(dǎo)致測量數(shù)據(jù)的丟失。文獻(xiàn)[9]提出用服從伯努利分布的隨機(jī)序列來描述量測缺失的現(xiàn)象，并基于該描述對各種狀態(tài)估計(濾波)和控制問題進(jìn)行了有效的研究。特別是在實際工程應(yīng)用中，還應(yīng)將系統(tǒng)過程噪聲和量測噪聲相互關(guān)聯(lián)的問題[10]考慮到系統(tǒng)狀態(tài)估計中。因此，文獻(xiàn)[11]提出了一種基于矩陣?yán)碚撨\算的理想濾波器。但是推導(dǎo)這種濾波算法的前提條件是量測方程中未知干擾的系數(shù)矩陣列滿秩，所得結(jié)論仍具有一定的局限性。在實際應(yīng)用中，系數(shù)矩陣可能不滿足列滿秩條件。

針對量測方程中未知干擾系數(shù)矩陣不滿秩的線性離散系統(tǒng)，考慮其量測缺失和噪聲相關(guān)的情況，本文構(gòu)造了能同時估計未知干擾和系統(tǒng)狀態(tài)的遞歸濾波器，通過拉格朗日乘子法將待定增益矩陣的求取轉(zhuǎn)換成帶約束條件的優(yōu)化問題，同時運用矩陣對角理論知識直接推導(dǎo)計算濾波器中待定的增益矩陣，使估計誤差協(xié)方差最小，滿足了線性最小方差無偏估計的要求，并用數(shù)值仿真驗證了該濾波算法的有效性。

1 問題描述

考慮具有未知干擾和量測缺失的一般線性離散系統(tǒng)：

xk+1=Akxk+Bkuk+wk
yk=δkCkxk+Dkuk+νk

(1)

式中：xk∈Rnx是系統(tǒng)狀態(tài)向量；uk∈Rnu是未知干擾；yk∈Rny是測量輸出；wk∈Rnx是過程噪聲；vk∈Rny是量測噪聲；δk為隨機(jī)變量；Ak∈Rnx×nx、Bk∈Rnx×nu、Ck∈Rny×nx和Dk∈Rny×nu表示具有適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣。

當(dāng)量測方程中出現(xiàn)未知干擾時，往往假定其系數(shù)矩陣是滿秩的。此時假設(shè)未知干擾前的系數(shù)矩陣不滿秩，rank(Dk)=rk≤nu，Dk∈Rny×nu，對Dk進(jìn)行滿秩分解

(2)

(3)

用隨機(jī)變量δk來模擬量測缺失現(xiàn)象，并服從以下概率分布

(4)

式中π∈[0,1]是給定的標(biāo)量，代表量測缺失的概率是1-π，假設(shè)所有的隨機(jī)變量δk(0≤k≤N)在k中獨立。

假設(shè)噪聲信號wk和vk與初始向量x0是不相關(guān)的，并且噪聲信號wk和vk具有以下統(tǒng)計特性：

(5)

式中：Rw>0、Rv>0，分別表示過程噪聲協(xié)方差和量測噪聲協(xié)方差；Rwv表示過程和量測噪聲的協(xié)方差矩陣。上述的協(xié)方差矩陣都是已知的，δ(·,·)表示以下定義的克羅內(nèi)克函數(shù)

(6)

由式(5)-式(6)可以看出過程噪聲wk和量測噪聲vk是相關(guān)的。本文對具有相關(guān)噪聲的系統(tǒng)，提出一種直接估計算法，簡化估計值的分析過程。

2 遞歸濾波器的設(shè)計與研究

本文設(shè)計最小方差無偏遞歸濾波器，該濾波器適用于具有未知干擾、量測缺失、過程噪聲和量測噪聲相關(guān)的系統(tǒng)。與以往的設(shè)計方法不同，假設(shè)量測方程中未知干擾前系數(shù)矩陣不滿秩。

為了同時估計未知干擾和狀態(tài)，設(shè)計以下形式的濾波器：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

證明：由于隨機(jī)變量δk與其他向量不相關(guān)，wk和vk統(tǒng)計特性已知，對方程(11)和方程(12)的兩側(cè)分別求期望

(13)

(14)

虛擬未知干擾估計誤差的協(xié)方差矩陣

(15)

(16)

狀態(tài)估計誤差協(xié)方差矩陣如下

(17)

其中虛擬未知干擾和狀態(tài)的估計誤差協(xié)方差矩陣

(18)

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

由矩陣行列式性質(zhì)得

(28)

(29)

(30)

Mk=[Irk0]Uk

(31)

(32)

(33)

(34)

3 數(shù)值仿真分析

圖1和圖2分別是應(yīng)用遞歸濾波器得到的線性系統(tǒng)狀態(tài)xk和未知干擾uk的估計結(jié)果圖。圖1反映了系統(tǒng)狀態(tài)的估計值跟隨著真實值的變化，表現(xiàn)出良好的濾波性能，實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的無偏估計。從圖2可以看出，本文提出的遞歸濾波算法對未知干擾u2能夠?qū)崿F(xiàn)良好的估計，但是對未知輸入u1沒有產(chǎn)生估計效果，原因是對系數(shù)矩陣Dk進(jìn)行滿秩分解后的矩陣Tk的第一列系數(shù)全為0，導(dǎo)致量測值輸出中沒有u1的信息。

圖1 狀態(tài)xk真實值和估計值

圖2 未知干擾uk的真實值和估計值

4 結(jié)語

本文研究了一類含有量測缺失和相關(guān)噪聲的線性離散系統(tǒng)狀態(tài)和未知干擾同時估計問題，其中表示量測缺失的隨機(jī)序列滿足伯努利分布，系統(tǒng)內(nèi)噪聲相關(guān)和量測方程中未知干擾系數(shù)矩陣不滿秩。提出了一種基于直接代數(shù)運算的濾波算法，該算法在滿足未知干擾和線性系統(tǒng)狀態(tài)估計無偏的條件基礎(chǔ)上，以估計誤差協(xié)方差矩陣最小化為目的，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)理論知識獲得濾波器中待定的增益矩陣，并通過數(shù)值仿真驗證了該濾波算法有效性。